10. Veldaraðir

What to do if you find yourself stuck in a crack in the ground underneath a giant boulder you can’t move, with no hope of rescue. Consider how lucky you are that life has been good to you so far. Alternatively, if life hasn’t been good to you so far, which given your current circumstances seems more likely, consider how lucky you are that it won’t be troubling you much longer.

– Douglas Adams, The Original Hitchhiker Radio Scripts

10.1. Veldaraðir

10.1.1. Skilgreining

Röð á forminu

\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots\]

kallast veldaröðen: power series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með miðjuen: centre
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(c\).

10.1.2. Setning

Um sérhverja veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) gildir eitt af þrennu:

  1. Röðin er aðeins samleitin fyrir \(x=c\).
  2. Til er jákvæð tala \(R\) þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll \(x\) þannig að \(|x-c|<R\) og ósamleitin fyrir öll \(x\) þannig að \(|x-c|>R\).
  3. Röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\).

10.1.3. Skilgreining: Miðja og samleitnigeisli

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) vera veldaröð.

  1. Talan \(c\) kallast miðja eða samleitnimiðja veldaraðarinnar.

  2. Í tilviki 2. í setningunni hér á undan er röðin alsamleitin á opna bilinu \((c-R, c+R)\) og ósamleitin fyrir utan lokaða bilið \([c-R, c+R]\).

    Talan \(R\) er kölluð samleitnigeislien: radius of convergence
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    raðarinnar.

    Mögulegt er að röðin sé samleitin (alsamleitin eða skilyrt samleitin) í öðrum eða báðum punktunum \(x=c-R\) og \(x=c+R\) (þetta þarf að athuga sérstaklega).

    Í tilfelli 1. í setningunni þegar röðin er bara samleitin fyrir \(x=c\) setjum við \(R=0\) og í tilfelli 3. þegar röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\) þá setjum við \(R=\infty\).

  3. Samleitnibilen: interval of convergence
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    veldaraðarinnar \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) er mengi allra gilda \(x\) þannig að röðin er samleitin. Setning hér á undan sýnir að :þetta mengi er alltaf bil.

    • Þegar samleitnigeilsinn er 0 er samleitnibilið \(\{c\}\).
    • Þegar samleitnigeislinn er \(R>0\) þá koma fjórir möguleikar til greina eftir því hvort röðin er samleitin í hvorugum, öðrum eða báðum punktunum \(x=c-R\) og \(x=c+R\). Samleitnibilið getur verið \((c-R, c+R)\), \([c-R, c+R)\), \((c-R, c+R]\) eða \([c-R, c+R]\).
    • Þegar samleitnigeislinn er \(\infty\) þá er samleitnibilið \((-\infty, \infty)\).

10.2. Samleitnipróf

10.2.1. Setning

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) vera veldaröð.

  1. KvótaprófEkki fannst þýðing á hugtakinu: Kvótapróf: Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) sé til eða \(\infty\).

    Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) samleitnigeisla

    \[\begin{aligned}R= \left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \text{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{aligned}\]
  2. Rótarprófen: root test
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    : Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\) sé til eða \(\infty\). Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) samleitnigeisla

    \[\begin{aligned}R= \left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \text{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{aligned}\]

10.2.2. Setning Abels

Fallið \(f\) skilgreint á samleitnibili með

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\]

er samfellt á öllu samleitnibili veldaraðarinnar.

Ef samleitnigeislinn er \(0<R<\infty\) og röðin er samleitin í punktinum \(x=c+R\) þá er

\[\lim_{x\rightarrow (c+R)^-}f(x)=f(c+R)=\sum_{n=0}^\infty a_n((c+R)-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_nR^n.\]

Eins ef röðin er samleitin í punktinum \(x=c-R\) þá er

\[\lim_{x\rightarrow (c-R)^+}f(x)=f(c-R)=\sum_{n=0}^\infty a_n((c-R)-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n.\]

10.2.3. Setning: Diffrað lið fyrir lið

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).

Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.\]

Fallið \(f\) er diffranlegt og

\[f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-c)^{n-1}=a_1+2a_2(x-c)+3a_3(x-c)^2+\cdots\]

og röðin fyrir \(f'(x)\) er samleitin fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\).

Þetta þýðir að við getum diffrað veldaraðir lið fyrir lið.

Þar sem diffranleg föll eru samfelld þá fæst eftirfarandi.

10.2.4. Fylgisetning

Fallið \(f\) er samfellt á \((c-R, c+R)\).

10.2.5. Setning: Heildað lið fyrir lið

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).

Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\).

Fallið \(f\) hefur stofnfall

\[\begin{aligned}\begin{gathered} F(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} \\ =a_0(x-c)+\frac{a_1}{2}(x-c)^2+\frac{a_2}{3}(x-c)^3+ \frac{a_3}{4}(x-c)^4+\cdots\end{gathered}\end{aligned}\]

og röðin fyrir \(F(x)\) er samleitin fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\).

Þetta þýðir að við getum heildað veldaraðir lið fyrir lið.

10.2.6. Setning

Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).

Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.\]

Fallið \(f\) er \(k\)-sinnum diffranlegt fyrir \(k=1, 2, 3, \ldots\) og

\[a_k=\frac{f^{(k)}(c)}{k!}.\]

10.2.7. Skilgreining: Fágað fall

Fall \(f\) þannig að til er veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) með samleitnigeisla \(R>0\) þannig að

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\]

fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\) kallast fágað (raunfágað) í punktinum \(c\).

10.2.8. Athugasemd

Dæmi um raunfáguð föll eru margliður, ræð föll, hornaföll, veldisföll og lograr.

10.3. Taylorraðir

10.3.1. Skilgreining: Taylorröð

Gerum ráð fyrir að fall \(f(x)\) sé óendanlega oft diffranlegt í punktinum \(x=c\), (það er \(f^{(k)}(c)\) er til fyrir \(k=0, 1, 2, \ldots\)).

Veldaröðin

\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n = & f(c)+f'(c)(x-c)+ \frac{f''(c)}{2}(x-c)^2 \\ & + \frac{f'''(c)}{3!}(x-c)^3 + \frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-c)^4 + \cdots \end{aligned}\]

kallast Taylorröð með miðju í \(x=c\) fyrir \(f(x)\).

Ef svo vill til að \(c=0\) þá er oft talað um Maclaurinröð.

10.3.2. Setning

Taylormargliða með miðju í \(c\) fyrir \(f\) er skilgreind sem margliðan

\[\begin{aligned} P_n(x)& =\sum_{n=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{n!}(x-c)^n \\ &=f(c)+f'(c)(x-c)+ \frac{f''(c)}{2}(x-c)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n.\end{aligned}\]

Skekkjan í \(n\)-ta stigs Taylornálgun er \(R_n(x)=f(x)-P_n(x)\).

Til er tala \(X\) sem liggur á milli \(c\) og \(x\) þannig að

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.\]

10.3.3. Setning

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé fall sem er óendanlega oft diffranlegt í punktinum \(c\).

Fyrir fast gildi á \(x\) þá er Taylorröðin

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\]

samleitin með summu \(f(x)\) ef og aðeins ef

\[\lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0.\]

10.3.4. Dæmi: Tvíliðuröðin

Fyrir \(x\) þannig að \(|x|<1\) og rauntölu \(r\) gildir að

\[\begin{aligned} (1+x)^r =& 1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+ \frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3 \\ &+\frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{4!}x^4+\cdots\\ =& 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}x^n.\end{aligned}\]

10.3.5. Athugasemd

Ef \(r \in {{\mathbb N}}\) þá gefur summan að ofan einfaldlega stuðlanna þegar búið er að margfalda upp úr svigum, og summan er því endanleg, því þegar \(n \geq r+1\) þá verða stuðlarnir 0.

Ef hins vegar \(r\notin {{\mathbb N}}\) þá er enginn stuðlanna 0.

10.3.6. Taylorraðir nokkra falla

\[\begin{aligned} e^x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!} +\cdots &\text{fyrir öll }x\\ \sin x&= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots &\text{fyrir öll }x\\ \cos x&= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots &\text{fyrir öll }x\\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n =1+x+x^2+x^3+\cdots &\text{fyrir }-1<x<1\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} =1+2x+3x^2+4x^3+\cdots &\text{fyrir }-1<x<1\\ \ln(1+x)&= \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots &\text{fyrir }-1<x\leq 1\\ \tan^{-1} x&= \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots &\text{fyrir }-1\leq x\leq 1\\\\ \sinh x&= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots &\text{fyrir öll } x\\ \cosh x&= \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} =1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots &\text{fyrir öll } x\\\end{aligned}\]

I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed to be.

– Douglas Adams, The Long Dark Tea-Time of the Soul