6. Heildun

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

  • markgildi
  • afleiður
  • keðjureglan
  • reiknireglur fyrir afleiður

It can be very dangerous to see things from somebody else’s point of view without the proper training.

- Douglas Adams, The Ultimate Hitchhiker’s Guide : Five Complete Novels and One Story


6.1. Heildun

6.1.1. Óformleg skilgreining á heildi jákvæðs falls

Látum \(f:[a,b]\rightarrow {{\mathbb R}}\) vera fall þannig að \(f(x)\geq 0\) fyrir öll \(x\in[a,b]\).

Þegar heildiðen: integrate
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\int_a^b f(x)\,dx\) er skilgreint er útkoman úr því flatarmál svæðisins sem liggur á milli \(x\)-ás og grafs fallsins (og afmarkast til vinstri af línunni \(x=a\) og til hægri af línunni \(x=b\)).

Ef heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) er skilgreint þá segjum við að fallið \(f\)heildanlegten: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
yfir bilið \([a,b]\).

Tölurnar \(a\) og \(b\) kallast heildismörken: limit of integration
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
heildisins.

6.1.2. Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Skilgreinum föllin \(f_+\) og \(f_-\), sem bæði hafa sama skilgreiningarsvæði og \(f\), með

\[\begin{aligned}f_+(x)=\left\{\begin{array}{ll} f(x) & \text{ef }f(x)\geq 0,\\ 0 & \text{ef }f(x)<0, \end{array} \right. \qquad f_-(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ef }f(x)\geq 0,\\ -f(x) & \text{ef }f(x)<0. \end{array}\right.\end{aligned}\]

Athugið að \(f(x)=f_+(x)-f_-(x)\).

_images/01_fplusminus.png

6.1.3. Óformleg skilgreining á heildi falls

Takmarkað fall \(f\) er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\) ef bæði föllin \(f_+\) og \(f_-\) eru heildanleg yfir bilið \([a, b]\). Ef fallið \(f\) er heildanlegt þá skilgreinum við heildi þess með formúlunni

\[\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f_+(x)\,dx-\int_a^b f_-(x)\,dx.\]

Athugasemd

Flatarmálið sem er undir \(x\)-ás reiknast neikvætt.

6.2. Undir- og yfirsummur

6.2.1. Dæmi: Að finna heildi

Hvernig getum við fundið flatarmálið \(\int_a^b f(x)\, dx\)?

Svar: Við þurfum að nálga flatarmálið með formum sem hafa þekkt flatarmál, til dæmis rétthyrningum.

6.2.2. Skilgreining: Undirsumma

Skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) parta. Á hverjum parti komum við fyrir rétthyrning sem liggur undir grafi fallsins, þ.e. hæðin á honum er lággildi fallsins á þessum tiltekna parti.

_images/03_undirsumma.png

Látum \(u_k\) vera flatarmál rétthyrninganna, þar sem \(k=1,\ldots,n\).

Við köllum flatarmál allra rétthyrninganna undirsummuen: lower sum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir heildið og táknum hana með \(U(n)\), það er \(U(n) = \sum_{k=1}^n u_k\).

Þá er augljóslega \(U(n) \leq \int_a^b f(x)\, dx\).

Þegar \(n\) stækkar þá fáum við betri og betri nálgun á heildinu.

6.2.3. Skilgreining: Yfirsumma

Skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) parta. Á hverjum parti komum við fyrir rétthyrning sem er þannig að hæðin á honum er hágildi fallsins á þessum tiltekna parti.

_images/03_yfirsumma.png

Táknum flatarmál hans með \(y_k\), þar sem \(k=1,\ldots,n\). Við köllum summu flatarmáls allra rétthyrninganna yfirsummuen: upper sum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir heildið og táknum hana með \(Y(n)\), það er \(Y(n) = \sum_{k=1}^n y_k\).

Þá fæst að \(\int_a^b f(x)\, dx \leq Y(n)\).

Þegar \(n\) stækkar þá fáum við betri og betri nálgun á heildinu.

6.2.4. Skilgreining: Heildi

Ef til er nákvæmlega ein tala \(I\) þannig að

\[U(n) \leq I \leq Y(n),\]

fyrir allar undirsummur \(U(n)\) og yfirsummur \(Y(n)\) þá er fallið \(f\) heildanlegt á \([a,b]\) og

\[I = \int_a^b f(x)\, dx.\]

Athugasemd

Við sögðum ekkert um það hvernig við skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) parta. Það má gera hvernig sem er, það er ekki nauðsynlegt að þeir séu allir jafn stórir. Eina krafan er að stærð allra parta stefni á 0 þegar \(n\to \infty\).

Athugasemd

Við erum ekki bundin af því að skoða rétthyrninga sem með hæð sem er há/lággildi fallsins á hverjum parti, t.d. má taka miðgildið á hverjum parti, gildið í hægri endapunkti eða gildið í vinstri endapunkti.

Niðurstaðan þegar \(n\to \infty\) verður hins vegar alltaf sú sama, þ.e. við nálgumst heildið.

Athugasemd

Einnig er mögulegt að nálga heildið með öðrum formum en rétthyrningum, t.d.trapisum, og hentar það hugsanlega betur í tölulegum útreikningum.

6.3. Eiginleikar heildisins

6.3.1. Setning

  1. Ef fallið \(f\) er samfellt á bilinu \([a, b]\) þá er \(f\) heildanlegt yfir bilið \([a, b]\).
  2. Einhalla fall skilgreint á bili \([a,b]\) er heildanlegt.

6.3.2. Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Þá er

\[\Big|\int_a^b f(x)\,dx\Big|\leq \int_a^b |f(x)|\,dx.\]

6.3.3. Skilgreining: Heildismörkunum snúið við

Ef fallið \(f\) er heildanlegt yfir bilið \([a,b]\) (hér er \(a<b\)) þá skilgreinum við

\[\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.\]

6.3.4. Setning

  1. \(\int_a^a f(x)\,dx=0\).

  2. \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\)

    (Hér er náttúrlega forsenda að öll heildin séu skilgreind.)

6.3.5. Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru heildanleg yfir bilið \([a,b]\) og látum \(A\) og \(B\) vera fasta. Þá er

\[\int_a^b Af(x)+Bg(x)\,dx=A\int_a^b f(x)\,dx+B\int_a^b g(x)\,dx.\]

Með öðrum orðum, heildun er línuleg aðgerð.

6.3.6. Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Gerum ráð fyrir að um öll \(x\in [a, b]\) gildi að \(f(x)\geq 0\). Þá er

\[\int_a^b f(x)\,dx\geq 0.\]

6.3.7. Fylgisetning

  1. Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru heildanleg yfir bilið \([a, b]\). Gerum ráð fyrir að um öll \(x\in [a, b]\) gildi að \(f(x)\leq g(x)\). Þá er

    \[\int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b g(x)\,dx.\]
  2. Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Ef \(m\) og \(M\) eru fastar þannig að um öll \(x\in [a, b]\) gildir að \(m\leq f(x)\leq M\) þá er

    \[m(b-a)= \int_a^b m\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b M\,dx =M(b-a).\]

6.3.8. Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bil \([-a, a]\).

  1. Ef fallið \(f\) er oddstætt þá er

    \[\int_{-a}^a f(x)\,dx=0.\]
  2. Ef fallið \(f\) er jafnstætt þá er

    \[\int_{-a}^a f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx.\]

6.3.9. Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Meðalgildien: average value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins \(f\) á bilinu \([a, b]\) er skilgreint sem

\[\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\,dx.\]

6.3.10. Setning: Meðalgildissetning fyrir heildi

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\)samfellt á bilinu \([a, b]\). Þá er til punktur \(c\) í bilinu \([a, b]\) þannig að

\[\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c).\]

Það er að segja, til er punktur \(c\) í bilinu \([a, b]\) þannig að \(f(c)=\bar{f}\).

6.4. Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

6.4.1. Skilgreining og setning: Fall skilgreint með heildi

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bil \([a, b]\). Fyrir \(x\in[a, b]\) skilgreinum við \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\). Fallið \(F\) er samfellt á \([a, b]\).

Aðvörun

Athugið að \(t\) er breytan sem er heildað með tilliti til, en \(x\) er haldið föstu á meðan. \(t\) hverfur svo þegar búið er að reikna heildið.

6.4.2. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar, fyrri hluti

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\) sé samfellt á bili \(I\) og \(a\) sé punktur í \(I\). Fyrir \(x\) í \(I\) skilgreinum við \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\). Þá er fallið \(F\) diffranlegt og

\[F'(x)=f(x)\]

fyrir öll \(x\in I\).

6.5. Stofnföll

6.5.1. Skilgreining: Stofnfall

Látum \(f\) vera fall sem er skilgreint á bili \(I\). Fall \(G\) kallast stofnfallen: antiderivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir \(f\) á bilinu \(I\) ef \(G'(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í \(I\).

6.5.2. Fylgisetning

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á bili \(I\). Þá er til stofnfall fyrir \(f\) samkvæmt fyrri hluta undirstöðustöðusetningarinnar.

6.5.3. Hjálparsetning

Ef \(F\) og \(G\) eru hvor tveggja stofnföll fyrir \(f\) á bilinu \(I\), þá er til fasti \(C\) þannig að \(F(x)=G(x)+C\) fyrir öll \(x\) í \(I\).

Sönnun: Þar sem

\[\frac{d}{dx}(G(x) - F(x)) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\]

fyrir öll \(x\in I\) þá er \(G(x)-F(x) = C\) fasti.

6.5.4. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar, seinni hluti

Ef \(f\) er samfellt fall á bilinu \(I\) og \(G\) er eitthvert stofnfall fyrir \(f\) þá er

\[\int_a^b f(t)\,dt=G(b)-G(a).\]

Athugasemd

Það skiptir ekki máli hvaða stofnfall er valið í setningunni að ofan, heildið er alltaf það sama.

6.5.5. Ritháttur

Þegar \(F\) er stofnfall fyrir \(f\) þá ritum við

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\,\bigg|_a^b= F(b)-F(a),\]

eða

\[\int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b= F(b)-F(a).\]

6.6. Aðferðir við að reikna stofnföll

Skilgreiningin á heildi með undir- og yfirsummum er gagnleg til að útskýra og sanna eiginleika heilda en hún er ekki mjög góð til þess að reikna heildi. Því er nauðsynlegt að koma sér upp tólum sem henta betur til þess. Ef þau duga ekki þá þurfum við að grípa til tölulegra reikninga.

6.6.2. Athugasemd

Gerum ráð fyrir að \(F\) sé stofnfall \(f\), þ.e.

\[F(x)=\int f(t)\,dt.\]

Svo að

\[F'(x)=f(x).\]

Látum nú \(g\) vera fall og skoðum fallið \(F\circ g\). Þá fæst samkvæmt keðjureglunni

\[\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x),\]

eða, með því að heilda beggja vegna jafnaðarmerkisins,

\[F(g(x))+C = \int f(g(x))g'(x)\,dx.\]

6.6.3. Innsetning

Ef við viljum reikna \(\int f(g(x))g'(x)\, dx\) þá dugar okkur að geta fundið \(\int f(x)\, dx\).

6.6.4. Notkun á innsetningu

Setjum \(u=g(x)\). Þá er

\[\frac{du}{dx}=g'(x)\qquad \text{eða} \qquad du=g'(x)\,dx.\]

Svo

\[\underbrace{\int f(g(x))g'(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = \int f(u)\,du \underbrace{=}_{\text{Getum reiknað}} F(u)+C = \underbrace{F(g(x))+C}_{\text{Svarið}}.\]

Aðvörun

Ef við breytum heildi með tilliti til \(x\) í heildi með tilliti til annarar breytistærðar \(u\) þá verða öll \(x\) að hverfa úr heildinu við breytinguna.

6.6.5. Notkun á innsetningu með mörkum

Með mörkum þá verður innsetningin svona

\[\begin{aligned} \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = [F(u)]_{x=a}^{x=b} \\ &=& [F(g(x))]_{x=a}^{x=b} = F(g(b)) - F(g(a)).\end{aligned}\]

Ef \(A=g(a)\) og \(B=g(b)\) þá getum við eins skrifað þetta svona

\[\begin{aligned} \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = \int_{A}^{B} f(u)\, du \\ &=& [F(u)]_A^B = F(B) - F(A).\end{aligned}\]

6.6.6. Öfug innsetning

Reiknum \(\int f(x)\, dx\), með því að finna hugsanlega flóknara heildi sem við getum reiknað

\[\int f(g(u))g'(u)\, du.\]

Aðvörun

Athugið að hér þurfum við að finna heppilegt \(g\). Það er ekki alltaf augljóst hvaða \(g\) er hægt að nota.

6.6.7. Notkun á öfugri innsetningu

Setjum \(x=g(u)\). Þá er

\[\frac{dx}{du}=g'(u)\qquad\quad dx=g'(u)\,du.\]

Sem gefur að

\[\underbrace{\int f(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = \int f(g(u))g'(u)\,du \underbrace{=}_{\text{Getum reiknað}} F(u) + C = \underbrace{F(g^{-1}(x)) + C}_{\text{Svarið}}.\]

6.6.8. Öfug innsetning með mörkum

Við öfuga innsetningu þarf að passa að breyta mörkunum. Það er

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx &= \int_{x=a}^{x=b} f(g(u))g'(u)\,du \\ &= [F(u)]_{x=a}^{x=b} = [F(g^{-1}(x))]_a^b = F(g^{-1}(b)) - F(g^{-1}(a)).\end{aligned}\]

Eða ef \(a=g(A)\) og \(b=g(B)\) (það er \(g^{-1}(a) = A\) og \(g^{-1}(b) = B\)),

\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_A^B f(g(u))g'(u)\,du= [F(u)]_A^B = F(B) - F(A).\]

6.6.9. Hlutheildun

Munum að ef \(u\) og \(v\) eru föll þá er \((u\cdot v)' = u'\cdot v + u \cdot v'\).

Notum Undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar og heildum beggja vegna jafnaðarmerkisins, þá fæst

\[u(x)v(x) = \int (u(x)v(x))'\, dx = \int u'(x)v(x)\, dx + \int u(x)v'(x)\, dx.\]

Það er

\[\int u'(x)v(x)\, dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\, dx.\]

6.6.10. Hlutheildun með mörkum

Eða með mörkum

\[\int_a^b u'(x)v(x)\, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\, dx.\]

(Athugið að þá verða engin \(x\) í svarinu.)

6.6.11. Stofnbrotaliðun

Viljum heilda rætt fall \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) þar sem \(P(x)\) og \(Q(x)\) eru margliður. Stofnbrotaliðun gengur út á það að skrifa ræða fallið \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) sem summu af liðum á forminu

\[\frac{1}{ax+b}, \quad \frac{x}{x^2+bx+c} \quad\text{ og }\quad \frac{1}{x^2+bx+c},\]

því svona liði getum við heildað hvern fyrir sig.

Nánar er fjallað um stofnbrotaliðun í kafla 6.2 í kennslubókinni.

6.7. Óeiginleg heildi

6.7.1. Skilgreining: Óeiginleg heildi I

Látum \(f\) vera samfellt fall á bilinu \([a, \infty)\). Skilgreinum

\[\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_a^R f(x)\,dx.\]

Fyrir fall \(f\) sem er samfellt á bili \((-\infty, b]\) skilgreinum við

\[\int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow-\infty} \int_R^b f(x)\,dx.\]

Heildi eins og þau hér að ofan kallast óeiginlegt heildien: improper integral
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef markgildið er til, en ósamleitið ef markgildið er ekki til.

Aðvörun

Ef \(f\) stefnir ekki á 0 þegar \(x\to \infty\) þá er heildið ekki samleitið. En jafnvel þó fallið stefni á 0 þá er ekki víst að heildið sé samleitið, samanber eftirfarandi dæmi.

6.7.2. Dæmi

Heildið \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) er samleitið ef \(p>1\) en ósamleitið ef \(p\leq 1\).

Ef \(p>1\) þá er

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{p-1}.\]

6.7.3. Skilgreining: Óeiginleg heildi I, framhald

Látum \(f\) vera fall sem er samfellt á öllum rauntalnaásnum.

Heildi af gerðinni \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx\) er sagt samleitið ef bæði heildin \(\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx\) og \(\int_0^\infty f(x)\,dx\) eru samleitin og þá er

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^\infty f(x)\,dx.\]

Athugasemd

Það skiptir ekki máli í hvaða punkti heildinu er skipt í tvennt, það má velja aðra tölu heldur en 0, útkoman verður alltaf sú sama.

6.7.4. Skilgreining: Óeiginleg heildi II

Látum \(f\) vera samfellt fall á bilinu \((a, b]\) og hugsanlega ótakmarkað í grennd við \(a\). Skilgreinum

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow a^+} \int_c^b f(x)\,dx.\]

Fyrir fall \(f\) sem er samfellt á bili \([a, b)\) og hugsanlega ótakmarkað í grennd við \(b\) þá skilgreinum við

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow b^-} \int_a^c f(x)\,dx.\]

Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef markgildið er til en ósamleitið ef markgildið er ekki til.

6.7.5. Dæmi

Heildið \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) er samleitið ef \(p<1\) en ósamleitið ef \(p\geq 1\). Ef \(p<1\) þá er

\[\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{1-p}.\]

6.7.6. Skilgreining

Látum \(f\) vera samfellt fall á bili \((a,\infty)\) og ótakmarkað í grennd við \(a\). Látum \(c\) vera einhverja tölu þannig að \(a<c<\infty\).

Heildið \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) er sagt vera samleitið ef bæði heildin \(\int_a^c f(x)\,dx\) og \(\int_c^\infty f(x)\,dx\) eru samleitin og þá er

\[\int_{a}^\infty f(x)\,dx=\int_{a}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx.\]

Athugasemd

Það er sama hvað tala \(c\) er valin hér að ofan, útkoman verður alltaf sú sama.

6.7.7. Setning

Látum \(-\infty\leq a<b\leq \infty\). Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu samfelld á \((a, b)\) og að um öll \(x\in (a, b)\) gildi að \(0\leq f(x)\leq g(x)\).

  1. Ef heildið \(\int_a^b g(x)\,dx\) er samleitið þá er heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) líka samleitið og

    \[\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx.\]
  2. Ef heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) er ósamleitið þá er heildið \(\int_a^b g(x)\,dx\) líka ósamleitið.