4. Torræð föll

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

We are stuck with technology when what we really want is just stuff that works.

- Douglas Adams, The Salmon of Doubt


4.1. Náttúrlegi logrinn

4.1.1. Skilgreining: Náttúrlegi logrinn

Látum \(A_{x_0}\) tákna flatarmál svæðisins sem afmarkast af \(x\)-ás, grafinu \(y=\frac{1}{x}\) og línunum \(x=1\) og \(x=x_0\). Þá skilgreinum við náttúrlega logrannen: natural logarithm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með formúlunni

\[\begin{aligned}\ln x_0 =\left\{\begin{array}{ll} A_{x_0} & \text{ef }x_0 \geq 1,\\ -A_{x_0} & \text{ef }0<x_0<1. \end{array} \right.\end{aligned}\]

Aðvörun

Fallið \(\ln\) er bara skilgreint fyrir jákvæðar rauntölur

4.1.2. Setning

Náttúrlegi logrinn er diffranlegur og afleiðan uppfyllir

\[\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.\]

Af þessu fylgir að logrinn er samfellt fall.

4.1.3. Setning

Fyrir allar tölur \(x,y>0\) gildir að:

  1. \(\ln(1) = 0\)
  2. \(\ln(xy)=\ln x+\ln y\)
  3. \(\ln(1/x)=-\ln x\)
  4. \(\ln(x/y)=\ln x-\ln y\)
  5. \(\ln (x^r)=r\ln x\).

4.2. Veldisvísisfallið

4.2.1. Setning

Fallið \(\ln x\) er strangt vaxandi og þar með eintækt.

4.2.2. Skilgreining: Veldisvísisfallið

Veldisvísisfalliðen: exponential function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, \(\exp x\), er skilgreint sem andhverfa fallsins \(\ln x\). Skilgreiningarsvæði \(\exp x\) er jafnt myndmengi \(\ln x\) sem er \({{\mathbb R}}\). Myndmengi \(\exp x\) er jafnt skilgreiningarsvæði \(\ln x\) sem er bilið \((0,\infty)\).

_images/02_ln-exp.png

4.2.3. Skilgreining: Talan \(e\)

Skilgreinum töluna með \(e=\exp 1\).

Það þýðir að \(\ln(e)=1\), og talan \(e\) ákvarðast þess vegna af því að flatarmál svæðisins milli \(x\)-ás og grafs \(\frac 1x\) á bilinu \([1,e]\) sé 1.

_images/02_ln-e.png

Athugasemd

Hver er munurinn á \(e^x\) og \(\exp(x)\) ?

\(e^x\) er aðeins skilgreint þegar \(x\) er ræð tala, en \(\exp(x)\) er skilgreint fyrir allar rauntölur því logrinn, \(\ln:(0,\infty)\to {{\mathbb R}}\), er átækur.

Það er hins vegar hægt að sýna að

\[\exp(x)=\lim_{r\to x, r\text{ ræð tala}} e^r.\]

Því er eðlilegt að rita fyrir rauntölu \(x\), hvort sem hún er ræð eða óræð, að \(e^x=\exp x\). Þannig að héðan í frá gerum við engan greinarmun á \(e^x\) og \(\exp x\), við notum bara það sem lítur betur út fagurfræðilega.

Athugasemd

Athugið að

\[e^{\ln x}=x \text{ fyrir allar tölur }x>0\qquad \text{og} \qquad \ln(e^x)=x \text{ fyrir allar tölur }x.\]

4.2.4. Eiginleikar veldisvísisfallsins

Út frá eiginleikum lograns fáum við svo eftirfarandi

  1. \(e^0=1\)
  2. \(e^{x+y}=e^x e^y\)
  3. \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\)
  4. \(e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\)
  5. \(\left(e^x\right)^y=e^{xy}\)

Athugasemd

Hænan eða eggið? Hér höfum við nálgast \(\ln\) og \(\exp\) þannig að við byrjum á að skilgreina \(\ln\) með heildi (flatarmáli) og finnum svo andhverfu lograns, \(\exp\).

Einnig væri mögulegt að byrja á því að sýna að \(e^x\) sé vel skilgreint, ekki bara fyrir ræð \(x\) heldur einnig óræð. Það myndum við gera með því að nota markgildið \(\exp(x)=\lim_{r\to x, r\text{ ræð tala}} e^r\) hér að ofan, og taka þá \(e^x\) sem skilgreiningu á \(\exp x\) og finna svo andhverfuna, \(\ln\).

Báðar þessar aðferðir hafa kosti og galla, en við notum þá fyrri vegna þess að hún gefur myndræna framsetningu á logranum.

4.3. Önnur veldisvísisföll og lograr

4.3.1. Skilgreining

Fyrir tölu \(a>0\) og rauntölu \(x\) skilgreinum við

\[a^x=e^{x\ln a}.\]

4.3.2. Skilgreining

Andhverfa fallsins \(a^x\) er kölluð logri með grunntölu \(a\) og táknuð með \(\log_a x\). Fallið \(\log_a x\) er skilgreint fyrir öll \(x>0\).

4.3.3. Athugasemd

\[y =\log_a(x)\qquad \text{ þá og því aðeins að } \qquad x = a^y.\]

4.3.4. Setning

Fyrir rauntölu \(a>0\) og allar rauntölur \(x,y\) gildir að:

  1. \(a^0=1\)
  2. \(a^1=a\)
  3. \(a^{x+y}=a^xa^y\)
  4. \(a^{-x}=\frac{1}{a^x}\)
  5. \(a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}\)
  6. \(\big(a^x\big)^y=a^{xy}\)
  7. \((ab)^x=a^xb^x\) (hér er forsenda að \(b>0\)).

Fyrir rauntölu \(a>0\) og allar rauntölur \(x,y\) gildir að:

  1. \(\log_a 1=0\)
  2. \(\log_a a = 1\)
  3. \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
  4. \(\log_a (1/x)=-\log_a x\)
  5. \(\log_a (x/y)=\log_a x-\log_a y\)
  6. \(\log_a (x^y)=y\log_a x\)
  7. \(\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}\) (hér er forsenda að \(b>0\)).

4.4. Eiginleikar veldisvísisfalla og logra

4.4.1. Setning

  1. \(\frac{d}{dx}\ln x=\frac 1x\)
  2. \(\frac{d}{dx}e^x=e^x\)
  3. \(\frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x\)
  4. \(\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{(\ln a)x}\)

4.4.2. Setning

Ef \(a>0\) þá er

  1. \(\lim_{x\to \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0\)
  2. \(\lim_{x\to \infty} \frac{\ln(x)}{x^a} = 0\)
  3. \(\lim_{x\to -\infty} |x|^a e^x = 0\)
  4. \(\lim_{x\to 0^+} x^a\, \ln(x) = 0\)

Athugasemd

Athugið að setningin að ofan gildir óháð því hversu stórt \(a\) er (liðir 1 og 3) eða hversu lítið \(a\) er (liðir 2 og 4).

Með öðrum orðum:

  • Veldisvísisföll vaxa hraðar en allar margliður.
  • Lograr vaxa hægar en allar margliður.

4.5. Andhverfur hornafalla

4.5.1. Andhverfa sínus

Fallið \(\sin(x)\) skilgreint á öllum rauntalnaásnum er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.

Við getum hins vegar takmarkað okkur við hálfa lotu, þ.e. skoðum bara \(x\in [-\frac \pi 2, \frac \pi 2]\). \(\sin(x)\) takmarkað við þetta bil táknum við með \({{\text{Sin}}}(x)\). \({{\text{Sin}}}\) er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.

4.5.2. Skilgreining: arcsin

Andhverfa sínussins, táknuð \(\arcsin(x)\) (eða \(\sin^{-1}(x)\)), er andhverfa \({{\text{Sin}}}\) og hefur því myndmengið \([-\frac \pi 2, \frac \pi 2]\) og skilgreiningarmengið \([-1,1]\).

_images/05_arcsin.png

4.5.3. Andhverfa kósínus

Fallið \(\cos(x)\) skilgreint á öllum rauntalnaásnum er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.

Við getum hins vegar takmarkað okkur við hálfa lotu, þ.e. skoðum bara \(x\in [0, \pi]\). \(\cos(x)\) takmarkað við þetta bil táknum við með \({{\text{Cos}}}(x)\). \({{\text{Cos}}}\) er strangt minnkandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.

4.5.4. Skilgreining: arccos

Andhverfa kósínussins, táknuð \(\arccos(x)\) (eða \(\cos^{-1}(x)\)), er andhverfa \({{\text{Cos}}}\) og hefur því myndmengið \([0,\pi]\) og skilgreiningarmengið \([-1,1]\).

_images/05_arccos.png

4.5.5. Andhverfa tangens

Fallið \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) skilgreint á \(\{x \in {{\mathbb R}}; x \neq \pi k + \frac \pi 2, k \in {{\mathbb Z}}\}\) er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.

Við getum hins vegar takmarkað okkur við eina lotu, þ.e. skoðum bara \(x\in (-\frac \pi 2, \frac \pi 2)\). Athugið að hér eru endapunktar bilsins ekki með. \(\tan(x)\) takmarkað við þetta bil táknum við með \({{\text{Tan}}}(x)\). \({{\text{Tan}}}\) er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.

4.5.6. Skilgreining: arctan

Andhverfa tangensins, táknuð \(\arctan(x)\) (eða \(\tan^{-1}(x)\)), er andhverfa \({{\text{Tan}}}\) og hefur því myndmengið \((-\frac \pi 2, \frac \pi 2)\) og skilgreiningarmengið \((-\infty,\infty)\). Þar að auki þá er \(\lim_{x\to \infty} \arctan(x) = \frac \pi 2\) og \(\lim_{x\to -\infty} \arctan(x) = -\frac \pi 2\).

_images/05_arctan.png

4.5.7. Setning

  1. \(\frac d{dx} \arcsin(x) = \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)
  2. \(\frac d{dx} \arccos(x) = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
  3. \(\frac d{dx} \arctan(x) = \frac 1{1+x^2}\)

4.6. Breiðbogaföll

4.6.1. Skilgreining: cosh og sinh

Við skilgreinum breiðbogasínusen: hyperbolic sine
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, \(\sinh\), og breiðbogakósínusen: hyperbolic cosine
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, \(\cosh\), með eftirfarandi formúlum

\[\begin{aligned} \sinh(x) &= \frac{e^x - e^{-x}}2,\\ \cosh(x) &= \frac{e^x + e^{-x}}2.\end{aligned}\]
_images/06_sinh-cosh.png

4.6.2. Setning

  1. \(\frac d{dx} \sinh(x) = \cosh(x)\)
  2. \(\frac d{dx} \cosh(x) = \sinh(x)\)

Aðvörun

Það er enginn mínus í afleiðu \(\cosh\) eins og í afleiðu \(\cos\).

4.6.3. Setning

  1. \(\sinh(0) = 0\) og \(\cosh(0) = 1\)
  2. \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\)
  3. \(\sinh(-x) = -\sinh(x)\)
  4. \(\cosh(-x) = \cosh(x)\)
  5. \(\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)\)
  6. \(\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)\)
  7. \(\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 1+2\sinh^2(x) = 2\cosh^2(x)-1\)
  8. \(\sinh(2x) = 2\sinh(x)\cosh(x)\)

4.6.4. Skilgreining: tanh

Við skilgreinum breiðbogatangensen: hyperbolic tangent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með

\[\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\]

4.6.5. Setning

  1. \(\tanh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
  2. \(\frac d{dx} \tanh(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}\)
  3. \(\lim_{x\to \infty} \tanh(x) = 1\)
  4. \(\lim_{x\to -\infty} \tanh(x) = -1\)

4.7. Andhverfur breiðbogafalla

4.7.1. Andhverfa breiðbogasínussins og breiðbogatangensins

Af Setningum 4.6.1 (2) og 4.6.5 (2) sjáum við að afleiður \(\sinh\) og \(\tanh\) eru jákvæðar og föllin því stranglega vaxandi. Þau eru þar með eintæk og eiga sér andhverfur.

4.7.2. Skilgreining

Andhverfa breiðbogasínussinsen: area-hyperbolic sine
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, táknuð \({{\text{arsinh}}}(x)\) (eða \(\sinh^{-1}(x)\)), er andhverfa \(\sinh\) og hefur myndmengið \((-\infty,\infty)\) og skilgreiningarmengið \((-\infty,\infty)\). Þar að auki þá er

\[{{\text{arsinh}}}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\]

Andhverfa breiðbogatangensinsen: inverse hyperbolic tangent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, táknuð \({{\text{artanh}}}(x)\) (eða \(\tanh^{-1}(x)\)), er andhverfa \(\tanh\) og hefur myndmengið \((-\infty,\infty)\) og skilgreiningarmengið \((-1,1)\). Þar að auki þá er

\[{{\text{artanh}}}(x) = \frac 12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]

4.7.3. Andhverfa breiðbogakósínussins

Þar sem \(\cosh\) er ekki eintækt fall þá verðum við að beita svipuðum aðferðum eins og þegar við fundum \(\arcsin\) til þess að finna andhverfu þess. Það er, við þurfum að takmarka skilgreiningarmengi þess.

Táknum \(\cosh(x)\) takmarkað við bilið \([0,\infty)\) með \({{\text{Cosh}}}(x)\). Fallið \({{\text{Cosh}}}\) er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og á sér þar með andhverfu.

4.7.4. Skilgreining

Andhverfa breiðbogakósínussinsen: inverse hyperbolic cosine
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, táknuð \({{\text{arcosh}}}(x)\) (eða \(\cosh^{-1}(x)\)), er andhverfa \({{\text{Cosh}}}\) og hefur því myndmengið \([0,\infty)\) og skilgreiningarmengið \([1,\infty)\). Þar að auki þá er

\[{{\text{arcosh}}}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\]
_images/07_arcosh.png

4.7.5. Í framtíðinni

Við höfum séð að veldisvísisfallið og logrinn tengjast breiðbogaföllunum töluvert og það sama á við um hornaföllin. Seinna, nánar tiltekið í Stærðfræðigreiningu III, þá sjáið þið að hornaföllin og breiðbogaföllin eru bara mismunandi hliðar á veldisvísisfallinu.

_images/07_exp.png