3. Afleiður

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

He felt that his whole life was some kind of dream and he sometimes wondered whose it was and whether they were enjoying it.

– Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy


3.1. Skilgreining á afleiðu

3.1.1. Skilgreining: Afleiða

Látum \(a\) vera innri punkt skilgreiningarsvæðis falls \(f\). Afleiða fallsEkki fannst þýðing á hugtakinu: afleiða \(f\) í punkti \(a\) er skilgreind sem

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Ef markgildið er til þá er sagt að fallið \(f\)diffranlegten: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(a\), en annars er sagt að fallið sé ekki diffranlegt í punktinum \(a\).

3.1.2. Dæmi

Fallið \(f(x) = x^2\) er diffranlegt í sérhverjum punkti \(a\). Það sést af því að

\[\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2ah+h^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 2a+h = 2a.\end{aligned}\]

3.1.3. Setning

Ef fall \(f\) er diffranlegt í punkti \(c\) þá er \(f\) samfellt í punktinum \(c\).

Sýna sönnun

Aðvörun

Fall getur verið samfellt í punkti \(c\) án þess að það sé diffranlegt í \(c\).

3.1.4. Dæmi

Fallið \(f(x) = |x|\) er samfellt. En það er ekki diffranlegt í punktinum \(x=0\). Það sést af því að

\[\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\]

en

\[\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1.\]

Þannig að markgildið \(\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) er ekki til og því er fallið ekki diffranlegt í \(x=0\).

3.1.5. Snertill

Afleiðu falls \(f\) í punktinum \(a\) fæst með því að taka sniðilEkki fannst þýðing á hugtakinu: sniðill í gegnum punktana \((a,f(a))\) og \((a+h,f(a+h))\), og láta svo \(h\) stefna á \(0\).

Þetta gefur hallatölu snertilsinsen: tangent line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við graf fallsins í punktinum \((a,f(a))\)

Jafna snertils við graf fallsins í punktingum \(a\) er línan

\[y = f'(a)(x-a) + f(a).\]

3.1.6. Athugasemd: Hallatalan \(\infty\) er ekki leyfð

Við leyfum ekki \(f'(a) = \infty\) eða \(f'(a) = -\infty\). Samanber \(f(x) = x^{\frac 13}\) í \(a=0\),

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}h = \lim_{h \to 0} \frac{h^{\frac 13}}h = \lim_{h \to 0} h^{-\frac 23} = \infty.\]

Hér ætti því jafna snertilsins að vera \(x=0\).

_images/01_x13.png

Við viljum að snertillinn sé nálgun við graf fallsins fyrir \(x\) nálægt \(a\), lóðrétt lína er gagnslaus nálgun því hún er ekki skilgreind sem fall af \(x\).


3.2. Útvíkkun fyrir lokuð bil

Ef fallið \(f\) er skilgreint á lokuðu bili þá getum við skilgreint afleiðuna í endapunktunum með því að taka markgildi frá hægri/vinstri eftir því sem við á.

3.2.1. Skilgreining: Hægri/vinstri afleiða

  1. Hægri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

    \[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]
  2. Vinstri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

    \[f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]

3.2.2. Setning

Ef \(x\) er innri punktur í skilgreiningarsvæði fallsins \(f\) þá er \(f\) diffranlegt í \(x\) þá og því að eins

\[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\]

og þá er \(f'(x)\) jafnt og markgildin hér fyrir ofan.

Þetta leiðir beint af skilgreiningunum hér á undan og Setningu 2.2.5.

3.2.3. Skilgreining: Diffranlegt fall

Látum \(f\) vera fall með skilgreiningarsvæði \(A\). Gerum ráð fyrir að \(A\) sé sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið \(f\)diffranlegt ef það er diffranlegt í öllum innri punktum \(A\) og diffranlegt frá vinstri/hægri í jaðarpunktum \(A\) eftir því sem við á.

3.2.4. Ritháttur

Afleiða falls \(f\) er ýmist táknuð með

\[f', \qquad \frac {df}{dx}, \qquad D_x f \qquad \text{eða} \qquad Df.\]

Ef við skrifum \(y=f(x)\) þá má einnig tákna hana með

\[y', \qquad \frac {dy}{dx}, \qquad D_x y \qquad \text{eða} \qquad Dy.\]

3.2.5. Dæmi

Fallið \(f(x) = \sqrt{x}\), \(f:[0,\infty[\to {{\mathbb R}}\) er diffranlegt á menginu \(]0,\infty[\) og afleiðan er gefin með \(f'(x) = \frac 1{2\sqrt{x}} = \frac 12 x^{-1/2}\) þar. Hins vegar er \(f\) ekki diffranlegt í \(x=0\) þrátt fyrir að fallgildið sé vel skilgreint (og fallið samfellt frá hægri) þar.

Ef \(x>0\) þá fæst

\[\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}},\end{aligned}\]

sem segir okkur að \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\).

Í vinstri endapunkti skilgreingarsvæðisins, \(x=0\), þá fæst hins vegar

\[\begin{aligned} \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}h &= \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}}h\\ &= \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty,\end{aligned}\]

sem sýnir að fallið er ekki diffranlegt frá hægri í \(x=0\).


3.3. Reiknireglur

3.3.1. Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru diffranleg í punkti \(x\). Þá eru föllin \(f+g,\ f-g, kf\) (þar sem \(k\) er fasti) og \(fg\) diffranleg í punktinum \(x\), og ef \(g(x)\neq 0\) þá eru föllin \(1/g\) og \(f/g\) líka diffranleg í \(x\).

Eftirfarandi formúlur gilda um afleiður fallanna sem talin eru upp hér að framan:

  1. \((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)
  2. \((f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\)
  3. \((kf)'(x)=kf'(x)\), þar sem \(k\) er fasti
  4. \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
  5. \(\displaystyle\Bigg(\frac{1}{g}\Bigg)'(x)=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)
  6. \(\displaystyle\Bigg(\frac{f}{g}\Bigg)'(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)

3.3.2. Nokkrar afleiður

  1. \(\frac{d}{dx} c = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}h = 0\)
  2. \(\frac{d}{dx} x = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}h = 1\)
  3. \(\frac{d}{dx} x^2 = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}h = \lim_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}h = \lim_{h\to 0} 2x+h= 2x\)

3.3.3. Setning

\[\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\]

Sýna sönnun

3.3.4. Afleiður margliða

Með því að nota setningarnar að ofan þá eigum við ekki í neinum vandræðum með að diffra margliður. Setning 3.3.1 (i) segir að við getum diffrað hvern lið fyrir sig, liður (iii) í sömu setningu segir að við getum tekið fastana fram fyrir afleiðuna og loks segir Setning 3.3.3 hvernig við diffrum \(x^n\).

3.3.5. Dæmi: Afleiða margliðu

Finnum afleiðu margliðunnar \(p(x) = 4x^3-2x + 5\). Nú er

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} p(x) &= \frac{d}{dx}4x^3 - \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}5 \\ &= 4\frac{d}{dx}x^3 -2\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}5 = 4\cdot 3x^2 -2\cdot 1 + 0 = 12x^2-2\end{aligned}\]

3.3.6. Setning: Keðjureglan

Gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu föll þannig að \(g\) er diffranlegt í \(x\) og \(f\) er diffranlegt í \(g(x)\). Þá er samskeytingin \(f\circ g\) diffranleg í \(x\) og

\[(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).\]

3.3.7. Dæmi

Skoðum föllin \(f(x) = \sqrt x\) og \(g(x) = 3x^5\). Bæði þessi föll eru diffranleg og afleiðurnar eru \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\) og \(g'(x) = 15x^4\). Afleiða samskeytingarinnar \(f\circ g\) er þá samkvæmt keðjureglunni

\[(f\circ g)'(x) = \frac 12 (3x^5)^{-1/2} \cdot 15x^4.\]

3.4. Hærri afleiður

3.4.1. Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Afleiðan \(f'\) er fall sem skilgreint er í öllum punktum þar sem \(f\) er diffranlegt.

Ef fallið \(f'\) er diffranlegt í punkti \(x\) þá er afleiða \(f'\) í punktinum \(x\) táknuð með \(f''(x)\) og kölluð önnur afleiðaEkki fannst þýðing á hugtakinu: önnur afleiða \(f\) í punktinum \(x\). Líta má á aðra afleiðu \(f\) sem fall \(f''\) sem er skilgreint í öllum punktum þar sem \(f'\) er diffranlegt.

Almennt má skilgreina \(n\)-tu afleiðu \(f\), táknaða með \(f^{(n)}\), þannig að í þeim punktum \(x\) þar sem fallið \(f^{(n-1)}\) er diffranlegt þá er \(f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\).

3.4.2. Dæmi

Ef \(f(x) = 3x^2\), þá er

\[f'(x) = 3\frac{d}{dx}x^2 = 3\cdot 2x = 6x\]

og

\[f''(x) = \frac{d}{dx} 6x = 6.\]

3.4.3. Ritháttur

Ritum \(y=f(x)\).

Þá má tákna fyrstu afleiðu \(f\) með

\[y'= f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)\ =\ D_x y= \frac{dy}{dx},\]

aðra afleiðuna með

\[\begin{aligned} y'' &= f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}f(x) = D^2_xf(x)= D^2_x y=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}\end{aligned}\]

og almennt \(n\)-tu afleiðuna

\[\begin{aligned} y^{(n)} &= f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)= \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\Big) \\ &=D^n_xf(x)\ =\ D^n_x y =\frac{d^n}{dx^n}f(x) = \frac{d^n y}{dx^n}.\end{aligned}\]

Athugasemd

Venja er að rita \(f'''\) til að tákna þriðju afleiðu \(f\) en afar sjaldgæft að \(f''''\) sé notað til að tákna fjórðu afleiðu \(f\) og mun algengara að nota \(f^{(4)}\).


3.5. Útgildi

3.5.1. Skilgreining: Útgildi

Við segjum að fall \(f\) hafi staðbundið hágildien: local maximum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(x_0\) ef til er bil \((a,b)\) umhverfis \(x_0\), sem er þannig að

\[f(x) \leq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).\]

Við segjum að fall \(f\) hafi staðbundið lággildien: local minimum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(x_0\) ef til er bil \((a,b)\) umhverfis \(x_0\), sem er þannig að

\[f(x) \geq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).\]

Tölum um að fallið \(f\) hafi staðbundið útgildien: extremum in the small
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(x_0\) ef það hefur staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi þar.

3.5.2. Setning

Ef fallið \(f\) hefur staðbundið útgildi í punktinum \(x_0\) og er diffranlegt þá er \(f'(x_0)=0\).

Sýna sönnun



Aðvörun

Þó að \(f'(a)=0\) þá er ekki víst að \(a\) sé staðbundið útgildi.

Til dæmis þá hefur fallið \(f(x) = x^3\) ekkert staðbundið útgildi þrátt fyrir að \(f'(0) = 0\) (\(f'(x) = 3x^2\)).


3.6. Hornaföll og afleiður þeirra

3.6.1. Setning

  1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=0\)
  3. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)
  4. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
  5. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)

3.7. Meðalgildissetningin

3.7.1. Setning Rolle

Látum \(g:[a,b]\rightarrow{{\mathbb R}}\) vera samfellt fall. Gerum ráð fyrir að \(g\) sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu \((a,b)\). Ef \(g(a)=g(b)\) þá er til punktur \(c\) á bilinu \((a,b)\) þannig að \(g'(c)=0\).

Sýna sönnun

3.7.2. Meðalgildissetningin

Látum \(f:[a,b]\rightarrow{{\mathbb R}}\) vera samfellt fall. Gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu \((a,b)\). Þá er til punktur \(c\) í bilinu \((a,b)\) þannig að

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).\]

Sýna sönnun

Athugasemd

Niðurstöðuna úr meðalgildissetningunnien: mean value theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
má orða svona:

Í einhverjum punkti á bilinu er stundarbreytingin jöfn meðalbreytingunni yfir allt bilið.

3.7.3. Alhæfða meðalgildissetningin

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu samfelld á lokaða bilinu \([a,b]\) og diffranleg á opna bilinu \((a,b)\). Gerum auk þess ráð fyrir að fyrir allar tölur \(x\) í \((a,b)\)\(g'(x)\neq 0\). Þá er til tala \(c\in (a,b)\) þannig að

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\]

3.8. Vaxandi og minnkandi föll

3.8.1. Skilgreining: Vaxandi/minnkandi

Fall \(f\) er vaxandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) \leq f(x_2).\]

Fall \(f\) er stranglega vaxandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) < f(x_2).\]

Fall \(f\) er minnkandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) \geq f(x_2).\]

Fall \(f\) er stranglega minnkandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) > f(x_2).\]

Athugasemd

Kennslubókin notar nondecreasing/nonincreasing fyrir vaxandi/minnkandi og increasing/decreasing fyrir stranglega vaxandi/minnkandi.

Einnig þekkist að nota increasing/decreasing og strictly increasing/decreasing. Til dæmis er það gert á Wikipedia: Monotonic functions.

3.8.2. Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall. Þá er \(f\) vaxandi þá og því aðeins að \(f' \geq 0\).

Sýna sönnun

3.8.3. Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall. Þá er \(f\) minnkandi þá og því aðeins að \(f' \leq 0\).

3.8.4. Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall. Ef \(f'>0\) þá er \(f\) stranglega vaxandi.

3.8.5. Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall. Ef \(f'<0\) þá er \(f\) stranglega minnkandi.

Aðvörun

Diffranlegt fall getur verið stranglega vaxandi/minnkandi án þess að afleiðan sé alls staðar stærri/minni en 0. Til dæmis er afleiða \(f(x)=x^3\) jöfn 0 í \(x=0\) en fallið er stranglega vaxandi á öllum rauntalnaásnum.

3.8.6. Afleiður fastafalla

Við vitum að ef \(f\) er fasti, það er \(f(x)=c\), þá er \(f'(x)=0\) fyrir öll \(x\).

Nú fáum við einnig eftirfarandi út frá Setningum 3.8.2 og 3.8.3:

Ef \(f\) er diffranlegt fall á bili \(I\) sem er þannig að \(f'(x) = 0\) á \(I\), þá er \(f\) fasti, þ.e. \(f(x) = c\) fyrir öll \(x\in I\).


3.9. Fólgin diffrun

3.9.1. Dæmi

Jafna hrings með geisla 1 er \(x^2+y^2=1\). Við vitum að hægt er að skrifa efri og neðri helminga hans sem föll af \(y\), annars vegar \(y=\sqrt{1-x^2}\) og hins vegar \(y=-\sqrt{1-x^2}\). Ef við viljum finna snertil við hringinn getum við notað þessi föll. En þar sem við vitum að hægt er að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) þá getum við einnig diffrað jöfnu hringsins beint með aðstoð keðjureglunnar,

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2+y^2) &=& \frac{d}{dx} 1\\ 2x + 2y\frac{dy}{dx} &=& 0\\ y\frac{dy}{dx} &=& -x\\ \frac{dy}{dx} &=& -\frac xy.\end{aligned}\]
_images/11_hringur.png

3.9.2. Setning: Andhverfusetningin

Látum feril vera gefinn með \(F(x,y) =0\), þar sem \(F\) er diffranlegt í bæði \(x\) og \(y\). Í punktum þar sem ferillinn er ekki lóðréttur (þ.e. \(\frac{d}{dy}F \neq 0\)) þá er hægt að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) og þá fæst af keðjureglunni að

\[\frac{d}{dx} F(x,y) + \frac{d}{dy}F(x,y) \frac{dy}{dx} = 0,\]

þ.e.

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{d}{dx} F(x,y)}{\frac{d}{dy} F(x,y)}.\]

Sjá https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

3.9.3. Með öðrum orðum

Það kemur á sama stað niður að einangra \(y=f(x)\), ef það er mögulegt, og finna \(y'\) með því að diffra, eins og að diffra \(F(x,y)=0\) og einangra svo \(y'=\frac{dy}{dx}\).

3.9.4. Vinnulag

  1. Diffrum beggja vegna jöfnuna með tilliti til \(x\), og lítum á \(y\) sem fall af \(x\) sem við diffrum með aðstoð keðjureglunnar (og gleymum ekki \(y'\))
  2. Einangrum \(y'\)
  3. Skiptum \(y\) út fyrir \(f(x)\).

3.9.5. Setning: Hagnýting á fólginni diffrun

Ef \(n\) og \(m\) eru heilar tölur þá er

\[\frac{d}{dx} x^{\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}.\]

Sýna sönnun


3.10. Andhverf föll

Rifjum upp að gagntæk vörpun \(f:X\to Y\) hefur andhverfu \(f^{-1}:Y\to X\) sem uppfyllir að

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

Sjá kafla 1.4.

3.10.1. Athugasemd

Látum \(f:X \to Y\) vera fall sem skilgreint er á mengi \(X\). Gerum ráð fyrir að \(f\) sé eintækt. Með því að einskorða bakmengi \(f\) við myndmengið \(\tilde Y = f(X)\) þá verður \(f:X\to \tilde Y\) gagntækt fall. Þá er til andhverfa \(f^{-1}:\tilde Y \to X\) sem uppfyllir

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

3.10.2. Setning

Fall sem er strangt vaxandi eða strangt minnkandi er eintækt og á sér því andhverfu.

3.10.3. Eiginleikar

  1. \(y=f^{-1}(x)\) þá og því aðeins að \(x=f(y)\).
  2. Skilgreingarsvæði \(f\) er myndmengi \(f^{-1}\).
  3. Myndmengi \(f^{-1}\) er jafnt skilgreiningarsvæði \(f\).
  4. \(f^{-1}(f(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f\).
  5. \(f(f^{-1}(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f^{-1}\).
  6. \((f^{-1})^{-1}(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f\), alltsvo \((f^{-1})^{-1}=f\).
  7. Graf \(f^{-1}\) er speglun á grafi \(f\) um línuna \(y=x\).

3.10.4. Setning: Afleiða andhverfunnar

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) hafi andhverfu \(f^{-1}\). Látum \(x\) vera á skilgreiningarsvæði \(f\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í punktinum \(f^{-1}(x)\) og að \(f'(f^{-1}(x))\neq 0\). Þá er \(f^{-1}\) diffranlegt í punktinum \(x\) og

\[\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

Athugasemd

Setningin segir okkur sér í lagi að láréttur snertill við \(f\) svarar til lóðrétts snertils við \(f^{-1}\).


3.11. Línulegar nálganir

3.11.1. Staðbundnar nálganir

Skoðum diffranlegt fall \(f\) í grennd um fastann punkt \(a\). Látum \(x\) vera punkt í grennd um \(a\) Ef graf fallsins er ekki ,,mjög sveigt” þá er snertillinn við \((a,f(a))\) næstum samsíða sniðlinum gegnum \((a,f(a))\) og \((x,f(x))\). Það þýðir að

\[\begin{aligned} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} &\approx f'(a),\\ f(x)-f(a) &\approx f'(a)(x-a),\\ f(x) &\approx f'(a)(x-a) + f(a). \end{aligned}\]

Aðvörun

Athugið að hér er \(a\) fast en \(x\) breytist.

Athugasemd

Einnig er hægt að skrifa þetta á eftirfarandi hátt. Skilgreinum \(x\) = a + Delta x` og \(\Delta y = f(x) - f(a)\) þá þýðir þetta að \(\Delta y \approx \Delta x f'(a)\).

Það er, breytingin á fallgildinum er um það bil breytingin í breytunni margfaldað við afleiðuna í punktinum.

3.11.2. Skilgreining: Línuleg nálgun

Línuleg nálgun á falli \(f\) nálægt \(a\), eða 1. stigs Taylor margliða \(f\) í \(a\), er gefin með \(P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\).

3.11.3. Setning: Skekkjumat

Skekkjan í nálguninni \(E_1(x)=f(x)-P_1(x)\) uppfyllir að til er tala \(X \in (a,x)\) þannig að

\[E_1(x)=\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2.\]

3.11.4. Skekkjumat fyrir línulegar nálganir

Gerum ráð fyrir að \(f''(t)\) sé skilgreint fyrir öll \(t\) í opnu bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Gerum enn fremur ráð fyrir að \(m\) og \(M\) séu tölur þannig að fyrir öll \(t\in (a, x)\) gildi að \(m\leq f''(t)\leq M\). Þá er

\[\frac{m}{2}(x-a)^2\leq E_1(x) =\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2\leq \frac{M}{2}(x-a)^2,\]

sem gefur að

\[f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{m}{2}(x-a)^2\leq f(x) \leq f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{M}{2}(x-a)^2.\]

3.12. Taylormargliður

Línuleg nálgun á falli er ekkert annað en nálgun með fyrsta stigs margliðu.

Spurningin er því hvort hægt sé að nota margliður af hærra stigi og fá þá betri nálgun?

Hvernig er 0. stigs nálgun á falli?

3.12.1. Skilgreining: Taylormargliða

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé diffranlegt \(n\) sinnum í punkti \(a\), þ.e.a.s. við gerum ráð fyrir að \(n\)-ta afleiðan \(f^{(n)}(a)\) sé skilgreind. Taylor margliða af \(n\)-ta stigi fyrir \(f\) um \(x=a\) (oft líka sagt með miðju í \(a\)) er margliðan

\[\begin{aligned}\begin{gathered} P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\ \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\end{gathered}\end{aligned}\]

Talað er um \(n\)-ta stigs Taylor nálgun þegar gildið \(P_n(x)\) er notað sem nálgun fyrir \(f(x)\).

Skekkjan í nálguninni (munurinn á réttu fallgildi og nálgunargildi) er táknaður með

\[E_n(x)=f(x)-P_n(x).\]

3.12.2. Skekkjumat fyrir Taylor margliður

Gerum ráð fyrir að \(n+1\)-afleiðan \(f^{(n+1)}(t)\) sé skilgreind fyrir öll \(t\) í opnu bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Þá er til tala \(X\) á milli \(a\) og \(x\) þannig að

\[E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

Því má rita

\[\begin{aligned} f(x) =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\ & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+E_n(x)\\ =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\\ & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\end{aligned}\]

Aðvörun

Yfirleitt er engin leið til þess að finna \(X\). Hins vegar getum við haft gagn af skekkjumatinu ef við höfum mat á \(f^{(n+1)}\).

3.12.3. Fylgisetning

Gerum ráð fyrir að \(f\)\(n+1\) diffranlegt á bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Gerum enn fremur ráð fyrir að \(m\) og \(M\) séu tölur þannig að fyrir öll \(t\in (a, x)\) gildi að \(m\leq f^{(n+1)}(t)\leq M\). Þá er

\[P_n(x) + \frac{m}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \leq f(x) \leq P_n(x) + \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

3.12.4. Skilgreining: O

Við ritum

\[f(x)=O(u(x)) \text{ þegar } x\rightarrow a\]

ef til er fasti \(K\) og tala \(\delta>0\) þannig að

\[|f(x)|<K|u(x)|\quad\text{ fyrir öll}\quad x\in(a-\delta, a+\delta).\]

Einnig ritað

\[f(x)=g(x)+O(u(x)) \text{ þegar }x\rightarrow a\]

ef \(f(x)-g(x)=O(u(x))\) þegar \(x\rightarrow a\).

Tilgangur þessa ritháttar er að skilgreina tól sem getur sagt okkur hversu hratt \(f\) stefnir á markgildið þegar \(x\to a\).

3.12.5. Athugasemd

Við sjáum að

\[f(x) = P_n(x) + O((x-a)^{n+1}) \text{ þegar } x\rightarrow a,\]

því hægt er að nota \(K = \frac{\max\{-m,M\}}{(n+1)!}\) í skilgreiningunni hér á undan.

3.12.6. Setning

Gerum ráð fyrir að \(Q_n(x)\) sé margliða af stigi ekki hærra en \(n\). Ef \(f(x)=Q_n(x)+O((x-a)^{n+1})\) þegar \(x\rightarrow a\) þá er \(Q_n(x)=P_n(x)\) þar sem \(P_n(x)\) er \(n\)-ta stigs Taylor margliða \(f\) með miðju í \(a\).

Með öðrum orðum, \(P_n\) er sú margliða af stigi \(\leq n\) sem nálgar \(f\) best.


3.13. Regla l’Hôpital

3.13.1. Regla l’Hôpital, einhliða útgáfa

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á opnu bili \((a, b)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in (a, b)\). Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

Eins má skoða markgildi frá vinstri \(x\to a^-\).

Sýna sönnun

3.13.2. Regla l’Hôpital

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, a)\) og \((a, x_2)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\) í þessum bilum. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

3.13.3. Dæmi

Við höfum áður séð að \(\lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1\). Skoðum hvernig hægt er að sýna þetta með lítilli fyrirhöfn og reglu l’Hôpital.

Sjáum að \(f(x) = \sin(x)\) og \(g(x)\) eru diffranleg í grennd um 0 og að \(g'(x) = 1 \neq 0\). Þá fæst að

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = 1.\]

3.13.4. Regla l’Hôpital, \(\infty\)-útgáfa

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, \infty)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in (x_1, \infty)\). Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

3.13.5. Regla l’Hôpital, útgáfa 4

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, a)\) og \((a, x_2)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\) í þessum bilum. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]