1. Tölur og föll

1.1. Inngangur

There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why it is here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened.

- Douglas Adams, The Restaurant at the End of the Universe

1.1.1. Grunnhugmyndin

Stærðfræðigreining grundvallast á því að mæla breytingu (oft með tilliti til tíma)

  • Eðlisfræði: hraði, hröðun, massi, orka, vinna, afl, þrýstingur
  • Rúmfræði: flatarmál, rúmmál, lengd, massamiðja
  • Hagnýtingar: hagfræði, stofnstærðir, hámörkun/lágmörkun, hreyfikerfi, hitaflæði
  • Stærðfræði: markgildi, hermun, jafnvægisástand

Sett fram samtímis, en óháð, af Isaac Newton og Gottfried Leibniz í lok 17. aldar.

_images/01_NewtonLeibniz.jpg

1.1.2. Ítarefni

Fyrir nánari útlistun á hugtökunum sem við fjöllum um þá er hægt að skoða, auk kennslubókarinnar,

1.1.3. Forrit


1.2. Tölur

1.2.1. Skilgreining: Tölur

  1. Náttúrlegu tölurnaren: natural number
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    eru tölurnar \(1, 2, 3, 4, \ldots\) og mengi þeirra er táknað með \(\mathbb{N}\).
  2. Mengi heiltalnaen: integer
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    er táknað með \(\mathbb{Z}\). \(\mathbb{Z}= \ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\)
  3. Mengi ræðra talnaen: rational number
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    er táknað með \(\mathbb{Q}\). \(\mathbb{Q}= \{ \frac pq ; p,q \in \mathbb{Z}\}\).
  4. Mengi rauntalnaen: real number
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    er táknað með \(\mathbb{R}\).
  5. Mengi tvinntalnaen: complex number
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    er táknað með \(\mathbb{C}\).

Athugasemd

Margir vilja telja \(0\) með sem náttúrlega tölu. Það er eðlilegt ef maður lítur á náttúrlegu tölurnar þannig að þær tákni fjölda. Ef maður lítur hins vegar þannig á að þær séu notaðar til að númera hluti þá er 0 ekki með.

Sjá einnig http://edbook.hi.is/undirbuningur/Kafli1.html#talnakerfi.

1.2.2. Smíði rauntalna

Rauntölur eru smíðaðar úr ræðu tölunum með því að fylla upp í götin.

T.d. eru

\[\begin{aligned} \pi &= 3,1415926\ldots, \qquad \text{og}\\ \sqrt 2 -4 &= -2,58578\ldots\end{aligned}\]

ekki ræðar tölur (það er ekki hægt að skrifa þær sem brot \(\frac ab\), þar sem \(a\) og \(b\) eru heilar tölur), en þær eru rauntölur. Slíkar tölur kallast óræðaren: irrational number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Sjá einnig Óræðar tölur | stæ.is.

1.2.3. Frumsendan um efra mark

Látum \(A\) vera mengi af rauntölum sem er þannig að til er tala \(x\), þannig að fyrir allar tölur \(a \in A\) þá er

\[a\leq x.\]

Þá er til rauntala \(x_0\) sem kallast efra marken: least upper bound
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir \(A\), sem er þannig að \(a\leq x_0\) fyrir allar tölur \(a\in A\) og ef \(x<x_0\) þá er til tala \(a\in A\) þannig að \(a>x\).

Sjá einnig Least-upper-bound property.

1.3. Bil

1.3.1. Skilgreining: Bil

Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur þannig að \(a<b\). Skilgreinum

  1. opið bil \((a,b)=\{x\in \mathbb{R}; a<x<b\}\)
  2. lokað bil \([a,b]=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x\leq b\}\)
  3. hálfopið bil \([a,b)=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x<b\}\)
  4. hálfopið bil \((a,b]=\{x\in \mathbb{R}; a< x\leq b\}\)

Þessi bil sem er skilgreind hér fyrir ofan eru kölluð endanleg. Til eru fleiri gerðir af bilum:

  1. opið óendanlegt bil \((a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}; a<x\}\)
  2. opið óendanlegt bil \((-\infty, a)=\{x\in \mathbb{R}; x<a\}\)
  3. lokað óendanlegt bil \([a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x\}\)
  4. lokað óendanlegt bil \((-\infty, a]=\{x\in \mathbb{R}; x\leq a\}\)
  5. allur rauntalnaásinn \((-\infty, \infty)= \mathbb{R}\).

1.3.2. Skilgreining: Bil

Mengi \(A\) af rauntölum kallast bilen: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef um allar tölur \(a<b\) sem eru í menginu \(A\) gildir að ef \(a<x<b\) þá er \(x\) líka í menginu \(A\). Þ.e. bil innihalda engin göt.

Athugasemd

Sérhvert bil á rauntalnaásnum er af einni þeirra gerða sem talin er upp í Skilgreining 1.3.1. Þessi staðhæfing er jafngild frumsendunni um efra mark.

Athugasemd

Það er jafngilt að segja

\[x \in (a-\eta,a+\eta)\]

og

\[|x-a| < \eta.\]

1.4. Föll

1.4.1. Skilgreining: Vörpun

Vörpunen: mapping
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
frá mengi \(X\) yfir í mengi \(Y\) er regla sem úthlutar sérhverju staki \(x\) í \(X\) nákvæmlega einu staki \(f(x)\) í \(Y\). Táknum þetta með \(f:X \to Y\).

Stakið \(f(x)\) kallast gildien: image
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
vörpunarinnar (í punktinum \(x\)).

1.4.2. Skilgreining

Mengið \(X\) kallast skilgreiningarmengien: argument domain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(f\), mengið \(Y\) kallast bakmengien: codomain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(f\) og mengið \(f(X) = \{ f(x); x \in X \}\) kallast myndmengien: actual range
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(f\).

_images/02_Mynd_vorpunar.png

Aðvörun

Það er ekki víst að öll gildin í \(Y\) séu tekin (það er \(f(X)\) getur verið minna en \(Y\)). Eins þá er mögulegt að \(f\) taki sama gildið oftar en einu sinni.

1.4.3. Skilgreining: Samskeyting

Látum \(f:X \to Y\) og \(g:Y \to Z\) vera varpanir. Vörpunin \(g\circ f:X \to Z\) sem skilgreind er með \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) kallast samskeytingen: composite
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(f\) og \(g\). Stakið \(g(f(x)) \in Z\) fæst með því að beita fyrst vörpuninni \(f\) á stakið \(x\) og síðan vörpuninni \(g\) á stakið \(f(x)\).

_images/02_Samskeyting.png

1.4.4. Dæmi

Skoðum föllin \(f:\mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x-1\) og \(g:\mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2\). Þá er samskeytingin \(g\circ f\)

\[g(f(x) = g(2x -1) = (2x-1)^2 = 4x^2-4x+1\]

Athugið að samskeytingin \(f \circ g\) er ekki sama fallið

\[f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2-1\]

1.4.5. Skilgreining: Átækni og eintækni

Við segjum að vörpunin \(f\)átæken: onto
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(f(X)=Y\), það þýðir að fyrir sérhvert stak \(y\) í \(Y\) þá er til (amk. eitt) stak \(x\) í \(X\) þannig að \(f(x)=y\).

Segjum að vörpunin \(f\)eintæken: injective
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(f(x_1) = f(x_2)\) hefur í för með sér að \(x_1=x_2\), það er sérhvert gildi sem vörpunin tekur er bara tekið einu sinni.

1.4.6. Skilgreining: Gagntækni

Vörpun sem er bæði eintæk og átæk kallast gagntæken: bijective
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

1.4.7. Skilgreining: Andhverfa

Látum \(f:X \to Y\) vera vörpun. Sagt er að \(f\)andhverfanlegen: invertible
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef til er vörpun \(f^{-1}:Y \to X\) þannig að samskeyting varpananna \(f\) og \(f^{-1}\) annars vegar og \(f^{-1}\) og \(f\) hins vegar sé viðeigandi samsemdarvörpunen: identity mapping
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, þ.e. \(f^{-1}\circ f=id_X\) og \(f\circ f^{-1} = id_Y\).

_images/02_Andhverfa.png

Athugasemd

Venjulega hjá okkur þá eru mengin \(X\) og \(Y\) mengi af rauntölum. Þegar \(Y\) er mengi af tölum þá er notast við orðið fallen: function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í stað orðsins vörpun.

1.4.8. Dæmi

Látum \(X=[0,2]\), \(Y=[0,4]\) og \(f:X \to Y, f(x) = x^2\). Þá er \(f\) gagntæk vörpun og andhverfan er gefin með \(f^{-1}(x) = \sqrt x\).

_images/04_andhverfa.png

Athugasemd

Hér má velja \(X\) sem önnur mengi en \([0,2]\) svo lengi sem \(X\) inniheldur ekki bæði \(a\) og \(-a\), \(a\neq 0\), því þá er \(f\) ekki lengur eintæk.

Mengið \(Y\) er svo valið sem myndmengið \(f(Y)\).

1.4.9. Skilgreining: Graf

Látum \(f:X \to Y\) vera fall þannig að \(X\) og \(Y\) eru mengi af rauntölum. GrafEkki fannst þýðing á hugtakinu: Graf fallsins \(f\) er þá mengi allra punkta í planinu \(\mathbb{R}^2\) af gerðinni \((x,f(x))\) þar sem \(x\in X\). Hér notum við oft \(y\) í stað \(f(x)\).

1.4.10. Skilgreining: Jafnstætt og oddstætt

Við segjum að fall \(f\)jafnstætten: even
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef

\[f(x) = f(-x)\]

fyrir öll \(x\) í skilgreiningarmengi \(f\).

Við segjum að fall \(f\)oddstættEkki fannst þýðing á hugtakinu: oddstætt ef

\[f(x) = -f(-x)\]

fyrir öll \(x\) í skilgreiningarmengi \(f\).

_images/04_JafnstaettOddstaett.png