9. Runur og raðir

Would it save you a lot of time if I just gave up and went mad now?

- Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy

9.1. Runur

9.1.1. Skilgreining: Runa

Runa er raðaður listi af tölum.

Runa hefur fyrsta stak en ekkert síðasta stak. Stökin í runu eru oft númeruð með náttúrlegu tölunum \(1, 2, 3, \ldots\). Stökin eru þá

\[a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots\]

Runur eru táknaðar með \(\{a_n\}_{n\in {{{\mathbb N}}}}\), \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) eða bara \(\{a_n\}\).

Oft er runa gefin með formúlu, \(a_n = f(n)\). Til dæmis \(a_n = 3n + n^2\).

9.1.2. Skilgreining

Runa \(\{a_n\}\) er sögð takmörkuð að neðan ef til er tala \(m\) þannig að

\[m\leq a_n\]

fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).

Runan er sögð takmörkuð að ofan ef til er tala \(M\) þannig að

\[a_n\leq M\]

fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).

Runa sem er bæði takmörkuð að ofan og neðan er sögð takmörkuð.

9.1.3. Skilgreining

Runa \(\{a_n\}\) er sögð

  1. vaxandi ef \(a_n\leq a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
  2. stranglega vaxandi ef \(a_n< a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
  3. minnkandi ef \(a_n\geq a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
  4. stranglega minnkandi ef \(a_n> a_{n+1}\) fyrir öll \(n\).

Runa kallast einhalla ef hún er annaðhvort vaxandi eða minnkandi.

9.1.4. Skilgreining: Víxlmerkjaruna

Víxlmerkjaruna er runa þannig að formerki skiptast á, annaðhvort \(+, -, +, -, \ldots\) eða \(-, +, -, +, \ldots\).

Einnig má lýsa þessu þannig að runa \(\{a_n\}\) sé víxlmerkjaruna ef \(a_na_{n+1}<0\) fyrir öll \(n\).

9.1.5. Skilgreining

Segjum að \(\{a_n\}\)samleitin að tölu \(L\) (eða stefni á \(L\)) ef fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) má finna náttúrlega tölu \(N\) þannig að ef \(n\geq N\) þá er

\[|a_n-L|<\epsilon.\]

Ritað \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\) og talan \(L\) kallast markgildi rununnar.

Sagt er að runa sé samleitin ef \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\) er skilgreint, en annars er runan sögð ósamleitin.

9.1.6. Setning

Látum \(f\) vera fall skilgreint á \({{\mathbb R}}\) og látum \(\{a_n\}\) vera runu þannig að \(a_n=f(n)\) fyrir öll \(n\). Ef \(\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L\) þá er \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\).

Aðvörun

Þetta gildir ekki í hina áttina, runan getur verið samleitin án þess að fallið sé það.

9.1.7. Setning

Látum \(\{a_n\}\) vera runu. Eftirfarandi tvö skilyrði eru jafngild:

  1. \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\),
  2. fyrir sérhvert \(\epsilon>0\) eru aðeins endanlega margir liðir rununnar \(\{a_n\}\) utan við bilið \((L-\epsilon, L+\epsilon)\).

9.1.8. Fylgisetning

Samleitin runa er takmörkuð.

9.1.9. Setning

Gerum ráð fyrir að runurnar \(\{a_n\}\) og \(\{b_n\}\) séu samleitnar. Þá gildir:

  1. \(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)= \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\pm\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\),

  2. \(\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n= c\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\), þar sem \(c\) er fasti,

  3. \(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)= (\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)\),

  4. ef \(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\neq 0\) þá er \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\),

  5. ef \(a_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór, þá er

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\lim_{n\rightarrow\infty}b_n,\]

    (frasinn fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór þýðir að til er einhver tala \(N\) þannig að skilyrðið gildir fyrir öll \(n\geq N\)),

  6. (Klemmuregla) ef \(a_n\leq c_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór og \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\) þá er runan \(\{c_n\}\) samleitin og

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}c_n=L.\]

9.1.10. Setning

Takmörkuð einhalla (vaxandi eða minnkandi) runa er samleitin.

9.2. Raðir

9.2.1. Skilgreining: Röð

Látum \(a_1, a_2, \ldots\) vera gefna runu. Röðinen: infinite series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

\[\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+\cdots\]

er skilgreind sem formleg summa liðanna \(a_1, a_2, a_3, \ldots\).

9.2.2. Skilgreining

Fáum í hendurnar röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) þar sem \(a_1, a_2, \ldots\) eru tölur. Skilgreinum

\[s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\]

sem summa fyrstu \(n\) liða raðarinnar. Segjum að röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)samleitin með summuen: convergent series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(s\) ef

\[\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s.\]

Það er að segja, röðin er samleitin með summu \(s\) ef

\[\lim_{n\rightarrow \infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=s.\]

Ritum þá

\[\sum_{n=1}^\infty a_n=s.\]

9.2.3. Setning

Ef \(A=\sum_{n=1}^\infty a_n\) og \(B=\sum_{n=1}^\infty b_n\), þ.e. báðar raðirnar eru samleitnar, þá gildir að

  1. ef \(c\) er fasti þá er \(\sum_{n=1}^\infty ca_n=cA\),
  2. \(\sum_{n=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B\),
  3. ef \(a_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) þá er \(A\leq B\).

9.2.4. Setning

Ef röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin þá er

\[\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0.\]

9.2.5. Athugasemd

Ef \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) þá ekki víst að röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) sé samleitin.

9.2.6. Dæmi: Kvótaröð

Röðin

\[\sum_{n=0}^\infty a^n\]

kallast kvótaröð. Hún er samleitin ef \(-1<a<1\) og þá er

\[\sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}.\]

9.2.7. Dæmi: Kíkisröð

Röðin

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-1)}\]

kallast kíkisröð. Hún er samleitin og

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-1)} =1.\]

9.3. Samleitnipróf fyrir raðir

9.3.1. Setning

Ef \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\) er ekki til eða \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ekki samleitin.

9.3.2. Setning: Samleitnipróf I

Gerum ráð fyrir að \(a_n\geq 0\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\). Röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er þá annaðhvort samleitin eða ósamleitin að \(\infty\) (þ.e.a.s. hlutsummurnar \(s_n=a_1+\cdots+a_n\) stefna á \(\infty\) þegar \(n\) stefnir á \(\infty\).)

9.3.3. Setning: Samleitnipróf II – Samanburðarpróf

Gerum ráð fyrir að \(0\leq a_n\leq b_n\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).

  1. Ef \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er samleitin þá er \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka samleitin.
  2. Ef \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er ósamleitin þá er \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) líka ósamleitin.

9.3.4. Setning: Samleitnipróf III – Heildispróf

Látum \(f\) vera jákvætt, samfellt og minnkandi fall sem er skilgreint á bilinu \([1, \infty)\). Fyrir sérhverja náttúrlega tölu \(n\) setjum við \(a_n=f(n)\). Þá eru röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) og óeiginlega heildið \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) annaðhvort bæði samleitin eða bæði ósamleitin.

9.3.5. Fylgisetning

Röðin \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{p}}\) er samleitin ef \(p>1\) en ósamleitin ef \(p\leq 1\).

9.3.6. Setning: Samleitnipróf IV – Markgildissamanburðarpróf

Gerum ráð fyrir að \(a_n\geq 0\) og \(b_n\geq 0\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\) og \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\), þar sem \(L\) er tala eða \(\infty\).

  1. Ef \(L<\infty\) og röðin \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er samleitin þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka samleitin.
  2. Ef \(L>0\) og röðin \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er ósamleitin þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka ósamleitin.

9.3.7. Setning: Samleitnipróf V – Kvótapróf

Gerum ráð fyrir að \(a_n>0\) fyrir öll \(n\) og að markgildið \(\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\) sé skilgreint eða að það sé \(\infty\).

  1. Ef \(0\leq\rho<1\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) samleitin.
  2. Ef \(1<\rho\leq \infty\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ósamleitin.
  3. Ef \(\rho=1\) þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það.

9.3.8. Setning: Samleitnipróf VI – Rótarpróf

Gerum ráð fyrir að \(a_n>0\) fyrir öll \(n\) og að markgildið \(\sigma=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}\) sé skilgreint eða að það sé \(\infty\).

  1. Ef \(0\leq\sigma<1\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) samleitin.
  2. Ef \(1<\sigma\leq \infty\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ósamleitin.
  3. Ef \(\sigma=1\) þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það.

9.3.9. Setning: Samleitnipróf VII – Víxlmerkjaraðapróf

Gerum ráð fyrir að

  1. \(a_n\geq 0\) fyrir öll \(n\) (frekar jákvæðir liðir),
  2. \(a_{n+1}\leq a_n\) fyrir öll \(n\) (frekar minnkandi),
  3. \(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0\) (stefnir á 0).

Þá er víxlmerkjaröðin

\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots\]

samleitin.

9.3.10. Fylgisetning

Gerum ráð fyrir að runa \(\{a_n\}\) uppfylli skilyrðin sem gefin eru í setningunni á undan (9.3.9).

Látum \(s_n\) tákna summu \(n\) fyrstu liða raðarinnar \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n\) og táknum summu raðarinnar með \(s\). Þá gildir að \(|s-s_n|\leq |a_{n+1}|\).

9.4. Alsamleitni

9.4.1. Skilgreining

Röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er sögð vera alsamleitin ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) er samleitin.

9.4.2. Setning

Röð sem er alsamleitin er samleitin.

9.4.3. Athugasemd

Til eru samleitnar raðir, t.d. röðin \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}\), sem eru ekki alsamleitnar.

9.4.4. Skilgreining

Samleitin röð sem er ekki alsamleitin er sögð vera skilyrt samleitin, það er \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin en röðin \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) er ósamleitin.

9.4.5. Setning: Umröðun

Dæmi um umröðun á liðum raðar \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er

\[a_{10}+a_9+\cdots+a_1+a_{100}+a_{99}+\cdots+a_{11}+ a_{1000}+a_{999}+\cdots.\]
  1. Ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er alsamleitin þá skiptir engu máli hvernig liðum raðarinnar er umraðað, summan verður alltaf sú sama.
  2. Ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er skilyrt samleitin og \(L\) einhver rauntala, eða \(\pm\infty\) þá er hægt að umraða liðum raðarinnar þannig að summan eftir umröðun verði \(L\).

Athugasemd

Með öðrum orðum: Liðum skilyrt samleitinnar raðar má umraða þannig að summan getur orðið hvað sem er, það jskiptir því máli í hvaða röð við leggjum saman.