2. Markgildi og samfelldni

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

  • Jafna línu, P.2
  • Jafna hrings, P.3
  • Hliðrun og skölun grafs, P.3
  • (Stranglega) minnkandi og (stranglega) vaxandi föll, 2.8
  • Jafnstæð og oddstæð föll, P.4
  • Margliður; deiling, þáttun og rætur, P.6
  • Tölugildisfallið, P.1
  • Þríhyrningsójafnan, P.1
  • Formerkjafallið, \(sgn(x)\), P.5

Aðvörun

Þessi kafli fjallar um tvö afskaplega mikilvæg og nátengd hugtök, markgildi og samfelldni. Það er nauðsynlegt fyrir nemendur að ná góðum tökum á þeim því mörg hugtök í stærðfræði og hagnýtingum á stærðfræði sem verða á vegi ykkar í framtíðinni byggja á þessum hugtökum.

I’d take the awe of understanding over the awe of ignorance any day.

- Douglas Adams, The Salmon of Doubt


2.1. Markgildi

2.1.1. Óformleg skilgreining á markgildi

Segjum að fall \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé eins nálægt \(L\) og við viljum bara með því að velja \(x\) nógu nálægt \(a\).

2.1.2. Skilgreining: Markgildi

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Við segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að um öll \(x\) sem eru þannig að

\[0 < |x-a| < \delta,\quad \text{ þá gildir } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

Við segjum að talan \(L\)markgildiEkki fannst þýðing á hugtakinu: markgildi \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á \(a\).

Athugasemd

Þegar athugað er hvort markgildið \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\) er til, og þá hvert gildi þess er, þá skiptir ekki máli hvort \(f(a)\) er skilgreint eða ekki.

2.1.3. Dæmi

  1. \(\lim_{x \to a} c = c\), \(c\) fasti
  2. \(\lim_{x \to a} x = a\)
  3. \(\lim_{x \to a} |x| = |a|\)

Sýna sönnun á lið 2

Sýna ábendingar


2.2. Markgildi frá hægri og vinstri

2.2.1. Óformleg skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili \((a,b)\). Segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá hægri, og ritum \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé eins nálægt \(L\) og við viljum bara með því að velja \(x>a\) nógu nálægt \(a\).

2.2.2. Skilgreining: Markgildi frá hægri

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili \((a,b)\). Við segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá hægri, og ritum \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að um öll \(x\) sem eru þannig að

\[a<x<a+\delta,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.3. Óformleg skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili \((b,a)\). Segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá vinstri, og ritum \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé eins nálægt \(L\) og við viljum bara með því að velja \(x<a\) nógu nálægt \(a\).

2.2.4. Skilgreining: Markgildi frá vinstri

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili \((b,a)\). Við segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá vinstri, og ritum \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að um öll \(x\) sem eru þannig að

\[a-\delta<x<a,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.5. Setning

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\]

ef og aðeins ef

\[\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x).\]

2.2.6. Dæmi: Tölugildisfallið

Tölugildisfalliðen: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(|x|\) er skilgreint sem \(x\) ef \(x\geq 0\) en \(-x\) ef \(x<0\). Um tölugildisfallið gildir

  1. \[\lim_{x\to 0^+} \frac x{|x|} = 1\]
  2. \[\lim_{x\to 0^-} \frac x{|x|} = -1\]
  3. \[\lim_{x\to 0} \frac x{|x|} \quad \text{er ekki til}\]
_images/02_daemi.png

Sýna sönnun


2.3. Reiknireglur fyrir markgildi

2.3.1. Setning

Gerum ráð fyrir að \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\) og að \(\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M\). Þá gildir

  1. \(\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)+g(x)\Big)=L+M\).
  2. \(\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)-g(x)\Big)=L-M\).
  3. \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=LM\).
  4. \(\lim_{x\rightarrow a}kf(x)=kL\), þar sem \(k\) fasti.
  5. \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=L/M\), að því gefnu að \(M\neq 0\).
  6. Gerum ráð fyrir að \(m\) og \(n\) séu heiltölur þannig að \(f(x)^{m/n}\) sé skilgreint fyrir öll \(x\) á bili \((b,c)\) umhverfis \(a\) (en ekki endilega fyrir \(x=a\)) og að \(L^{m/n}\) sé skilgreint. Þá er \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{m/n}=L^{m/n}\).
  7. Ef til er bil \((b,c)\) sem inniheldur \(a\) þannig að \(f(x)\leq g(x)\) fyrir öll \(x\in (b,c)\), nema kannski \(x=a\), þá er \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leq M=\lim_{x\rightarrow a}g(x)\).

Aðvörun

Liður (i) í setningunni á undan segir að ef markgildin \(\lim_{x\to a} f(x)\) og \(\lim_{x\to a} g(x)\) eru til þá sé markgildið \(\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))\) einnig til.

En hún segir ekki að ef \(f\) og \(g\) eru föll þannig að markgildið \(\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))\) er til, að þá séu markgildin \(\lim_{x\to a} f(x)\) og \(\lim_{x\to a} g(x)\) einnig til.

Sýna sönnun á lið 1.

2.3.2. Setning: Klemmureglan

Gerum ráð fyrir að \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) fyrir öll \(x\) á bili \((b, c)\) sem inniheldur \(a\), nema kannski \(x=a\). Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L.\]

Þá er \(\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\).

_images/04_03_klemmuregla.png

Sýna sönnun

2.3.3. Dæmi: Markgildi með sínus

  1. \[\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac 1x\right) \quad \text{er ekki til}\]
  2. \[\lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac 1x\right) = 0\]
  3. \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\]

Sýna sönnun á 1.

2.4. Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

_images/06_liminf.png

2.4.1. Óformleg skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á bili \((a, \infty)\). Segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(\infty\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé eins nálægt \(L\) og við viljum bara með því að velja \(x\) nógu stórt.

2.4.2. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to \infty\)

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á bili \((a,\infty)\). Við segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(\infty\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(R\) þannig að um öll \(x>R\) gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.4.3. Óformleg skilgreining

Fyrir \(-\infty\) er þetta gert með sama sniði.

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á bili \((-\infty, a)\). Segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(-\infty\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé eins nálægt \(L\) og við viljum bara með því að velja \(x\) sem nógu stóra neikvæða tölu.

2.4.4. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to -\infty\)

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á bili \((-\infty,a)\). Við segjum að \(f(x)\) stefni á tölu \(L\) þegar \(x\) stefnir á \(-\infty\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(R\) þannig að um öll \(x<R\) gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.5. Óendanlegt sem markgildi

2.5.1. Óformleg skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Segjum að \(f(x)\) stefni á \(\infty\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty\), ef við getum tryggt að \(f(x)\)hversu stórt sem við viljum bara með því að velja \(x\) nógu nálægt \(a\).

2.5.2. Skilgreining: Markgildið \(\infty\)

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Við segjum að \(f(x)\) stefni á \(\infty\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu \(B\) er til tala \(\delta>0\) þannig að um öll \(x\) sem eru þannig að

\[0 < |x-a| <\delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x) > B.\]

Aðvörun

Athugið að \(\infty\) er ekki tala. Þó að \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty\) þá er samt sagt að markgildið \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\) sé ekki til.

2.5.3. Óformleg skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Segjum að \(f(x)\) stefni á \(-\infty\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty\), ef við getum tryggt að \(f(x)\) sé hversu lítið sem við viljum bara með því að velja \(x\) nógu nálægt \(a\).

2.5.4. Skilgreining: Markgildið \(-\infty\)

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn \(a\), nema hvað hugsanlega er \(f(a)\) ekki skilgreint. Við segjum að \(f(x)\) stefni á \(-\infty\) þegar \(x\) stefnir á \(a\), og ritum \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty\), ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu \(B\) er til tala \(\delta>0\) þannig að um öll \(x\) sem eru þannig að

\[0 < |x-a| < \delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x)<B.\]

Aðvörun

Athugið að \(-\infty\) er ekki tala. Þó að \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty\) þá er samt sagt að markgildið \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\) sé ekki til.


2.6. Samfelldni

Hér skilgreinum við og skoðum seinna grundvallarhugtakið í þessum kafla, sem er samfelldnien: continuity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

2.6.1. Skilgreining: Innri punktur

Látum \(A\subseteq {{\mathbb R}}\) og \(x\in A\). Við segjum að \(x\)innri punkturen: inner point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(A\) ef \(A\) inniheldur opið bil umhverfis \(x\), það er að segja til er tala \(\delta>0\) þannig að \((x-\delta, x+\delta)\subseteq A\).

Ef \(x\) er ekki innri punktur \(A\) og \(x\in A\) þá segjum við að \(x\)jaðarpunkturen: boundary point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(A\).

2.6.2. Skilgreining: Samfelldni í punkti

Látum \(f\) vera fall og \(c\) innri punkt skilgreiningarsvæðis \(f\). Sagt er að \(f\)samfellt í punktinum \(c\) ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

2.6.3. Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll. Gerum ráð fyrir að \(c\) sé innri punktur skilgreiningarsvæðis beggja fallanna og að bæði föllin séu samfelld í punktinum \(c\). Þá eru eftirfarandi föll samfelld í \(c\):

  1. \(f+g\)
  2. \(f-g\)
  3. \(fg\)
  4. \(kf\), þar sem \(k\) er fasti
  5. \(f/g\), ef \(g(c)\neq 0\)
  6. \(\Big(f(x)\Big)^{1/n}\), að því gefnu að \(f(c)>0\) ef \(n\) er slétt tala og \(f(c)\neq 0\) ef \(n<0\).

Þessi setning er bein afleiðing af Setningu 2.3.1.

2.6.4. Setning: Samskeyting samfelldra falla

Látum \(g\) vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis \(c\) og samfellt í \(c\) og látum \(f\) vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis \(g(c)\) og samfellt í \(g(c)\). Þá er fallið \(f\circ g\) skilgreint á opnu bili umhverfis \(c\) og er samfellt í \(c\).

Athugasemd

Ef fall er skilgreint með formúlu og skilgreingamengið er ekki tilgreint sérstaklega, þá er venjan að líta alla þá punkta þar sem formúlan gildir sem skilgreingarmengi fallsins

2.6.5. Skilgreining: Samfellt fall

Við segjum að fall \(f\)samfellten: continuous function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef það er samfellt í sérhverjum punkti skilgreingarmengisins.

Óformlega þýðir þetta að hægt er að teikna graf \(f\) án þess að lyfta pennanum frá blaðinu.

2.6.6. Dæmi

Eftirfarandi föll eru samfelld

  1. margliður
  2. ræð föll
  3. ræð veldi
  4. hornaföll; \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)
  5. tölugildisfallið \(|x|\)

2.6.7. Að búa til samfelld föll

Með því að nota föllin úr dæminu á undan sem efnivið þá getum við búið til fjölda samfelldra fall með því að beita aðgerðunum úr Setningu 2.6.4 og Setningu 2.6.3.

2.6.8. Dæmi

Fallið \(\cos(3x+5)\) er samfellt. Margliðan \(g(x) =3x+5\) og \(f(x) = \cos(x)\) eru samfelld föll og þá er samskeytingin \(f\circ g(x) = \cos(3x+5)\) einnig samfellt fall.


2.7. Hægri/vinstri samfelldni

Rifjum upp skilgreininguna á samfelldni.

2.7.1. Skilgreining

Látum \(f\) vera fall og \(c\) innri punkt skilgreiningarsvæðis \(f\). Sagt er að \(f\)samfellt í punktinum \(c\) ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

2.7.2. Athugasemd

Þessi skilgreining virkar aðeins fyrir innri punkta skilgreiningarsvæðisins. Þannig að ef ætlunin er að rannsaka samfelldni í jaðarpunktum þá gengur þessi skilgreining ekki. Hins vegar getum við útvíkkað skilgreininguna á samfelldni fyrir hægri og vinstri endapunkta bila með því að einskorða okkur við markgildi frá vinstri og hægri.

2.7.3. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni

  1. Fall \(f\) er samfellt frá hægri í punkti \(c\) ef \(\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=f(c)\).

    Hér er gert ráð fyrir að fallið \(f\) sé amk. skilgreint á bili \([c, a)\).

  2. Fall \(f\) er samfellt frá vinstri í punkti \(c\) ef \(\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=f(c)\).

    Hér er gert ráð fyrir að fallið \(f\) sé amk. skilgreint á bili \((a, c]\).

Uppfærum nú skilgreininguna á samfelldu falli.

2.7.4. Uppfærð skilgreining: Samfellt fall

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé fall sem er skilgreint á mengi \(A\), þar sem \(A\) er sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið \(f\)samfellt ef það er samfellt í öllum innri punktum skilgreingarmengisins og ef það er samfellt frá hægri/vinstri í jaðarpunktum skilgreingarmengisins, eftir því sem við á.

Athugasemd

Ef fall er samfellt á opnu bili \((a,b)\), og ef \(a<c<d<b\), þá er fallið einnig samfellt á bilinu \([c,d]\).


2.8. Eiginleikar samfelldra falla

2.8.1. Setning – Há- og lággildislögmálið

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili \([a,b]\). Þá eru til tölur \(x_1\) og \(x_2\) í \([a,b]\) þannig að fyrir allar tölur \(x\) í \([a,b]\) er

\[f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2).\]

Þetta þýðir að samfellt fall \(f\) á lokuðu og takmörkuðu bili \([a,b]\) tekur bæði hæsta og lægsta gildi á bilinu. Hæsta gildið er þá \(f(x_2)\) og lægsta gildið er \(f(x_1)\).

Athugasemd

Það er mögulegt að fallið taki há/lággildi sitt í fleiri en einum punkti.

2.8.2. Setning: Milligildissetningin

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili \([a,b]\). Gerum ráð fyrir að \(s\) sé tala sem liggur á milli \(f(a)\) og \(f(b)\). Þá er til tala \(c\) sem liggur á milli \(a\) og \(b\) þannig að \(f(c)=s\).

Sýna sönnun

Athugasemd

Það er möguleiki að það séu fleiri en einn punktur á bilinu þar sem fallið tekur gildið \(s\). Sönnunin hér á undan finnur þann stærsta.

2.8.3. Fylgisetning

Ef \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) er margliða af oddatölu stigi \(n\), þá er til rauntala \(c\) þannig að \(P(c)=0\).

Sýna sönnun