8. Diffurjöfnur

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

Now, the invention of the scientific method and science is, I’m sure we’ll all agree, the most powerful intellectual idea, the most powerful framework for thinking and investigating and understanding and challenging the world around us that there is, and that it rests on the premise that any idea is there to be attacked and if it withstands the attack then it lives to fight another day and if it doesn’t withstand the attack then down it goes.

– Douglas Adams

8.1. Diffurjöfnur

8.1.1. Skilgreining: Diffurjafna

Skilgreining

Ritum \(y=y(x)\) sem fall af \(x\).

Diffurjafna en: differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er jafna á forminu

\[F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)})=0\]

þar sem \(F\) er fall (formúla) í \(n+2\) breytistærðum.

Diffurjafnan er sögð vera af \(n\)-ta stigi ef hæsta afleiða \(y\) sem kemur fyrir í henni er \(n\).

Að leysa diffurjöfnu felur í sér að skrifa \(y\) sem fall af \(x\), þ.e. finna formúlu fyrir \(y\).

Athugasemd

Deildajafna, afleiðujafna og diffurjafna eru samheiti yfir sama hlutinn.

8.1.2. Dæmi um diffurjöfnu

Það að finna stofnfall fyrir gefið fall \(f\) er jafngilt því að leysa fyrsta stigs diffurjöfnuna

\[y'(x) = f(x),\]

eða með framsetningunni úr skilgreiningunni hér að ofan,

\[F(x,y') = f(x) - y'(x) = 0.\]

8.1.3. Skilgreining: Aðgreinanleg diffurjafna

Skilgreining

Fyrsta stigs diffurjafna sem má rita á forminu

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]

kallast aðgreinanleg. Það er, þátta má hægri hliðina þannig að annar þátturinn er bara fall af \(x\) og hinn þátturinn er bara fall af \(y\).

Umritum jöfnuna yfir á formið

\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx.\]

Aðvörun

Það má ekkert \(x\) koma fyrir í vinstri hliðinni og ekkert \(y\) má koma fyrir í hægri hliðinni.

Síðan heildum við báðar hliðar og reiknum stofnföllin hægra og vinstra megin í jöfnunni

\[\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx.\]

og munum eftir að setja inn heildunarfasta (einn er nóg). Þá höfum við jöfnu sem lýsir sambandi \(x\) og \(y\), og inniheldur engar afleiður af \(y\). Út frá þeirri jöfnu má fá upplýsingar um eiginleika lausnarinnar \(y\). Stundum er hægt að einangra \(y\) og fá þannig formúlu fyrir lausn diffurjöfnunar.

8.1.4. Dæmi um aðgreinanlega diffurjöfnu

Ef við skoðum diffurjöfnuna

\[y' = x\exp(x-y)\]

þá sjáum við að hún er aðgreinanleg því með því að skrifa \(\exp(x-y) = \exp (x) \exp(-y)\) og margfalda í gegn með \(\exp (y)\) þá fæst

\[\exp(y)\, y' = x\exp x.\]

Hér eru öll \(y\) vinstra megin og öll \(x\) hægra megin. Heildum nú beggja vegna og munum að það er nóg að setja einn heildunarfasta

\[\exp{y} + C = \int \exp y \, dy = \int x\exp x\, dx = x\exp x - \exp x.\]

Reynum nú að einangra \(y\) til þess að geta skrifað út formúlu fyrir lausninni. Byrjum á að færa heildunarfastann yfir og tökum svo logrann af báðum hliðum

\[y = \ln(x\exp x - \exp x - C).\]

8.2. Línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur

8.2.1. Skilgreining: Línuleg diffurjafna

Skilgreining

Diffurjafna á forminu

\[a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)\]

kallast línuleg diffurjafna en: linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Hún er \(n\)-ta stigs ef \(a_n(x)\) er ekki fastafallið \(0\).

Ef \(f\) er fastafallið \(0\) þá er jafnan sögð óhliðruð (e. homogeneous) en ef \(f\) er ekki fastafallið \(0\) þá er hún sögð hliðruð en: inhomogeneous linear differential equation, non-homogeneous linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

8.2.2. Línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur

Almenna línulega fyrsta stigs jöfnu má rita á forminu

\[y'+p(x)y=q(x).\]

Samsvarandi óhliðruð jafna er

\[y'+p(x)y=0.\]

Setning

Látum \(y'+p(x)y=q(x)\) vera almenna línulega fyrsta stigs diffurjöfnu. Skilgreinum \(\mu(x)=\int p(x)\,dx\). Þá er

\[y(x)=e^{-\mu(x)}\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx\]

lausn á diffurjöfnunni.

Sönnun

Setjum

\[y(x)=e^{-\mu(x)}\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx\]

inn í vinstri hlið diffurjöfnunnar, ef út kemur hægri hliðin \(q(x)\) þá höfum við sýnt að þetta er lausn.

Athugum fyrst að

\[\begin{split}\begin{aligned} y'(x) &=e^{-\mu(x)}(-\mu'(x)) \int e^{\mu(x)}q(x)\, dx + e^{-\mu(x)} \frac{d}{dx} \int e^{\mu(x)}q(x)\,dx \\ &= -e^{-\mu(x)}p(x)\int e^{\mu(x)}q(x)\, dx + e^{-\mu(x)} e^{\mu(x)}q(x) = -p(x)y(x) + q(x). \end{aligned}\end{split}\]

Ef við setjum þetta inn í diffurjöfnuna fæst

\[y'(x) + p(x)y(x) = -p(x)y(x) + q(x) + p(x)y(x) = q(x),\]

þannig að \(y\) skilgreint eins og hér að ofan er greinilega lausn á diffurjöfnunni.

Aðvörun

Þegar þið reiknið \(\mu(x)=\int p(x)\,dx\) þá megið þið sleppa heildunarfastanum, en ekki þegar þið reiknið heildið \(\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx\).

8.3. Línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla

8.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Línuleg annars stigs diffurjafna með fastastuðla er diffurjafna á forminu

\[ay''+by'+cy=f(x)\]

þar sem \(a, b\) og \(c\) eru fastar, \(a\neq 0\).

Jafnan er sögð óhliðruð ef fallið \(f(x)\) er fastafallið 0.

8.3.2. Skilgreining: Kennijafna

Skilgreining

Jafnan \(ar^2+br+c=0\) kallast kennijafna en: characteristic equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. diffurjöfnunnar \(ay''+by'+cy=0\).

8.3.3. Setning

Setning

Ef föllin \(y_1(x)\) og \(y_2(x)\) eru lausnir á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=0\) þá er fallið

\[y(x)=Ay_1(x)+By_2(x),\]

þar sem \(A\) og \(B\) eru fastar, líka lausn.

Ef \(y_2(x)\) er ekki fastamargfeldi af \(y_1(x)\) þá má skrifa sérhverja lausn \(y(x)\) á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=0\) á forminu

\[y(x)=Ay_1(x)+By_2(x),\]

þar sem \(A\) og \(B\) eru fastar.

8.3.4. Setning

Setning

Ef leysa á annars stigs óhliðraða diffurjöfnu með fastastuðla

\[ay''+by'+cy=0\]

þá geta komið upp þrjú tilvik.

Tilvik I

Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur tvær ólíkar rauntölulausnir \(r_1\) og \(r_2\).

Þá er fallið

\[y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\]

alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.

Tilvik II

Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur bara eina rauntölulausn \(k=-\frac{b}{2a}\).

Þá er fallið

\[y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx}\]

alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.

Tilvik III

Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur engar rauntölulausnir.

Setjum \(k=-\frac{b}{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\).

Rætur kennijöfnunnar eru \(r_1=k+i\omega\) og \(r_2=k-i\omega\).

Þá er fallið

\[y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x)\]

alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.

Sönnun

Tilvik I: Sýnum að \(e^{r_1x}\) sé lausn á diffurjöfnunni. Það gerum við með því að stinga inn \(y=e^{r_1x}\), ef út kemur 0 þá er þetta lausn. Byrjum á að reikna \(y'=r_1e^{r_1x}\) og \(y''=r_1^2 e^{r_1x}\). Stingum þessu inn í diffurjöfnuna,

\[ar_1^2 e^{r_1x} + br_1e^{r_1x} + ce^{r_1} = e^{r_1x}(ar_1^2+br_1+c).\]

Þar sem \(r_1\) er lausn á \(ar^2+br+c=0\) þá jafngildir sviginn 0 og þar með höfum við lausn.

Eins fæst að \(e^{r_2x}\) er lausn. Og þá segir setningin á undan að \(Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\) er lausn fyrir öll \(A\) og \(B\).

Tilvik II: Það fæst með sama hætti fyrir ofan að \(e^{kx}\) er lausn. Sýnum að \(y=xe^{kx}\) sé einnig lausn. Þá er \(y'=e^{kx} + kxe^{kx}\) og \(y''=ke^{kx} + ke^{kx} + k^2xe^{kx}=2ke^{kx}\). Stingum þessu inn í diffurjöfnuna, þá fæst

\[\begin{split}& a(2ke^{kx}+k^2xe^{kx}) + b(e^{kx}+kxe^{kx})+cxe^{kx}\\ =& e^{kx}(a2k+ak^2x+b+bxk+cx) \\ =& e^{kx}(2ak+b + x(ak^2+bk+c))\end{split}\]

Þar sem \(k\) er lausn á kennijöfnunni þá er innri sviginn jafn 0, og þar sem \(k=-\frac b{2a}\) þá er \(2ak=-b\), sem segir okkur að fyrstu tveir liðirnir í ytri sviganum styttast út.

Af þessu sést að \(xe^{kx}\) er lausn og þá er \(Ae^{kx}+Bxe^{kx}\) lausn fyrir öll \(A\) og \(B\)

Tilvik III: Sýnum að \(y=e^{kx}\cos(\omega x)\) sé lausn. Þá er

\[y' = ke^{kx}\cos(\omega x) - e^{kx}\sin(\omega x)\omega\]

og

\[y'' = k^2e^{kx}\cos(\omega x) - ke^{kx}\sin(\omega x)\omega -ke^{kx}\sin(\omega x)\omega - e^{kx}\cos(\omega x)\omega^2\]

Setjum þetta inn í diffurjöfnuna, þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} &a(k^2e^{kx}\cos(\omega x) - ke^{kx}\sin(\omega x)\omega -ke^{kx}\sin(\omega x)\omega - e^{kx}\cos(\omega x)\omega^2)\\ &+b(ke^{kx}\cos(\omega x) - e^{kx}\sin(\omega x)\omega)\\ &+ce^{kx}\cos(\omega x)\\ =& e^{kx}\cos(\omega x)(ak^2-a\omega^2+bk+c)\\ &+ e^{kx}\sin(\omega x)\omega(-2ak -b) \end{aligned}\end{split}\]

Ef við stingum nú inn \(k=-\frac b{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{ac-b^2}}{2a}\) þá sjáum við að fyrri sviginn jafngildir

\[\begin{split}\begin{aligned}&a\left(-\frac b{2a}\right)^2 - a\left(\frac{\sqrt{ac-b^2}}{2a}\right)^2 +b\left(-\frac b{2a}\right)+c\\ =& \frac{b^2}{4a} - \frac{4ac-b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} +c =0 \end{aligned}\end{split}\]

og seinni sviginn jafngildir

\[-2a\left(-\frac b{2a} - b\right) = 0.\]

Af þessu sést að \(e^{kx}\cos(\omega x)\) er lausn. Með sama hætti fæst að \(e^{kx}\sin(\omega x)\) er lausn, og þá er \(Ae^{kx}\cos(\omega x) + Be^{kx}\sin(\omega x)\) lausn fyrir öll \(A\) og \(B\).

8.3.5. Setning

Setning

Látum \(y_{\rm p}(x)\) vera einhverja lausn á hliðruðu jöfnunni

\[ay''+by'+cy=f(x).\]

Látum \(y_1(x)\) og \(y_2(x)\) vera lausnir sem fást úr 8.3.4 á óhliðruðu jöfnunni

\[ay''+by'+cy=0.\]

Sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir þá er fallið

\[y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)+y_{\rm p}(x)\]

alltaf lausn á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=f(x)\) og sérhverja lausn má skrifa á þessu formi.

8.4. Ágiskanir

Við höfum skoðað aðferðir til að leysa aðgreinanlegar diffurjöfnur, línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur og óhliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla. Þessar jöfnur eru samt bara pínulítið brot af öllum mögulegum diffurjöfnum og ef við veljum diffurjöfnu af „handahófi“ þá getum við yfirleitt ekki leyst hana auðveldlega.

Þrátt fyrir þetta er ástæðulaust að gefast upp og fyrir ákveðinn flokk af diffurjöfnum þá getum við stundum giskað á lausn, en þetta eru hliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla.

8.4.1. Ágiskun

Lausn á hliðruðu jöfnu \(ay''+by'+cy=f(x)\) kallast sérlausn. Stundum, ef \(f\) er ekki of flókið, þá er mögulegt að giska á sérlausn.

Látum \(P_n(x)\) standa fyrir einhverja \(n\)-ta stigs margliðu og látum \(A_n(x)\) og \(B_n(x)\) tákna \(n\)-ta stigs margliður með óákveðnum stuðlum.

  • Ef \(f(x)=P_n(x)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x)\).

  • Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x)e^{rx}\).

  • Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\sin(kx)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)]\).

  • Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\cos(kx)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)]\).

Hér táknar \(m\) minnstu töluna af tölunum 0, 1, 2 sem tryggir að enginn liður í ágiskuninni sé lausn á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=0\).

Ef við erum búin að finna sérlausn \(y_p\) og almenna lausn \(y\) á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=0\), þá er \(y+y_p\) áfram lausn á hliðruðu jöfnunni. Reyndar er sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni á forminu \(y+y_p\), bara með mismundandi \(A\) og \(B\) í \(y\).

8.5. Samantekt

8.5.1. Aðskiljanlegar jöfnur

Jöfnur sem hægt er að rita á forminu

\[\frac{dy}{dx} = f(x)g(y),\]

má leysa með því að heilda og einangra \(y\) út úr

\[\int \frac 1{g(y)}\, dy = \int f(x)\, dx.\]

8.5.2. Línulegar fyrsta stigs jöfnur

Lausn við jöfnu á forminu

\[y'(x) + p(x)y = q(x)\]

er gefin með

\[y(x) = e^{-\mu(x)} \int e^{\mu(x)} q(x)\, dx,\]

þar sem \(\mu(x) = \int p(x)\, dx\).

8.5.3. Línulegar annars stigs jöfnur með fastastuðla

Lausn á \(ay''+by'+cy=0\) er gefin með

Tilvik I

\(y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\) ef kennijafnan hefur tvær ólíkar rauntölulausnir \(r_1\) og \(r_2\).

Tilvik II

\(y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx}\) ef kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur bara eina tvöfalda rauntölulausn \(k=-\frac{b}{2a}\).

Tilvik III

\(y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x)\) ef kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur engar rauntölulausnir, bara tvinntölulausnir \(r_1=k+i\omega\) og \(r_2=k-i\omega\), þar sem \(k=-\frac{b}{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\).

Lausn á liðruðu jöfnunni á \(ay''+by'+cy=f(x)\) er mögulega hægt að finna með ásgiskun. Sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=f(x)\) er svo á forminu \(y+y_p\) þar sem \(y\) er lausn á óhliðruðu jöfnunni.

8.5.4. Æfingadæmi

Æfingadæmi

Hver er kennijafna diffurjöfnunnar \(3y’’ + 2y’+5y=0\)?

Lausn

Skilgr. 8.3.2 gefur að kennijafnan sé \(3r^2 + 2r + 5=0\) þar sem \(a=5\), \(b=2\) og \(c=5\).