3. Afleiður

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

He felt that his whole life was some kind of dream and he sometimes wondered whose it was and whether they were enjoying it.

– Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy

3.1. Skilgreining á afleiðu

3.1.1. Skilgreining: Afleiða

Skilgreining

Látum \(a\) vera innri punkt skilgreiningarsvæðis falls \(f\). Afleiða falls en: derivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) í punkti \(a\) er skilgreind sem

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Ef markgildið er til þá er sagt að fallið \(f\) sé diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \(a\), en annars er sagt að fallið sé ekki diffranlegt í punktinum \(a\).

3.1.2. Dæmi

Dæmi

Fallið \(f(x) = x^2\) er diffranlegt í sérhverjum punkti \(a\). Það sést af því að

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2ah+h^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 2a+h = 2a.\end{aligned}\end{split}\]

3.1.3. Setning

Setning

Ef fall \(f\) er diffranlegt í punkti \(c\) þá er \(f\) samfellt í punktinum \(c\).

Sönnun

Skoðum markgildið \(f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\). Þar sem \(h\to 0\) þá verður teljarinn einnig að stefna á 0. Það er \(\lim_{h \to 0} f(c+h)-f(c) = 0\), eða \(\lim_{h \to 0} f(c+h) = f(c)\). Þetta má einnig rita \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\), sem þýðir að fallið \(f\) er samfellt í \(x=c\).

Aðvörun

Fall getur verið samfellt í punkti \(c\) án þess að það sé diffranlegt í \(c\).

3.1.4. Dæmi

Dæmi

Fallið \(f(x) = |x|\) er samfellt. En það er ekki diffranlegt í punktinum \(x=0\). Það sést af því að

\[\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\]

en

\[\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1.\]

Þannig að markgildið \(\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) er ekki til og því er fallið ekki diffranlegt í \(x=0\).

3.1.5. Snertill

Afleiðu falls \(f\) í punktinum \(a\) fæst með því að taka sniðil (e. secant) í gegnum punktana \((a,f(a))\) og \((a+h,f(a+h))\), og láta svo \(h\) stefna á \(0\).

Þetta gefur hallatölu snertilsins en: tangent line, tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við graf fallsins í punktinum \((a,f(a))\)

Jafna snertils við graf fallsins í punktinum \(a\) er línan

\[y = f'(a)(x-a) + f(a).\]

3.1.6. Athugasemd: Hallatalan \(\infty\) er ekki leyfð

Athugasemd

Við leyfum ekki \(f'(a) = \infty\) eða \(f'(a) = -\infty\). Samanber \(f(x) = x^{\frac 13}\) í \(a=0\),

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}h = \lim_{h \to 0} \frac{h^{\frac 13}}h = \lim_{h \to 0} h^{-\frac 23} = \infty.\]

Hér ætti því jafna snertilsins að vera \(x=0\).

../_images/01_x13.png

Við viljum að snertillinn sé nálgun við graf fallsins fyrir \(x\) nálægt \(a\), lóðrétt lína er gagnslaus nálgun því hún er ekki skilgreind sem fall af \(x\).

3.2. Útvíkkun fyrir lokuð bil

Ef fallið \(f\) er skilgreint á lokuðu bili þá getum við skilgreint afleiðuna í endapunktunum með því að taka markgildi frá hægri/vinstri eftir því sem við á.

3.2.1. Skilgreining: Hægri/vinstri afleiða

Skilgreining

  1. Hægri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

    \[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]

  2. Vinstri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

    \[f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]

3.2.2. Setning

Setning

Ef \(x\) er innri punktur í skilgreiningarsvæði fallsins \(f\) þá er \(f\) diffranlegt í \(x\) þá og því aðeins að

\[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\]

og þá er \(f'(x)\) jafnt og markgildin hér fyrir ofan.

Þetta leiðir beint af skilgreiningunum hér á undan og Setningu 2.2.5.

3.2.3. Skilgreining: Diffranlegt fall

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall með skilgreiningarsvæði \(A\). Gerum ráð fyrir að \(A\) sé sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið \(f\) sé diffranlegt ef það er diffranlegt í öllum innri punktum \(A\) og diffranlegt frá vinstri/hægri í jaðarpunktum \(A\) eftir því sem við á.

3.2.4. Ritháttur

Afleiða falls \(f\) er ýmist táknuð með

\[f', \qquad \frac {df}{dx}, \qquad D_x f \qquad \text{eða} \qquad Df.\]

Ef við skrifum \(y=f(x)\) þá má einnig tákna hana með

\[y', \qquad \frac {dy}{dx}, \qquad D_x y \qquad \text{eða} \qquad Dy.\]

3.2.5. Dæmi

Dæmi

Fallið \(f(x) = \sqrt{x}\), \(f:[0,\infty[\to {{\mathbb R}}\) er diffranlegt á menginu \(]0,\infty[\) og afleiðan er gefin með \(f'(x) = \frac 1{2\sqrt{x}} = \frac 12 x^{-1/2}\) þar. Hins vegar er \(f\) ekki diffranlegt í \(x=0\) þrátt fyrir að fallgildið sé vel skilgreint (og fallið samfellt frá hægri) þar.

Ef \(x>0\) þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}},\end{aligned}\end{split}\]

sem segir okkur að \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\).

Í vinstri endapunkti skilgreingarsvæðisins, \(x=0\), þá fæst hins vegar

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}h &= \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}}h\\ &= \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty,\end{aligned}\end{split}\]

sem sýnir að fallið er ekki diffranlegt frá hægri í \(x=0\).

3.3. Reiknireglur

3.3.1. Setning

Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru diffranleg í punkti \(x\). Þá eru föllin \(f+g,\ f-g, kf\) (þar sem \(k\) er fasti) og \(fg\) diffranleg í punktinum \(x\), og ef \(g(x)\neq 0\) þá eru föllin \(1/g\) og \(f/g\) líka diffranleg í \(x\).

Eftirfarandi formúlur gilda um afleiður fallanna sem talin eru upp hér að framan:

  1. \((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)

  2. \((f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\)

  3. \((kf)'(x)=kf'(x)\), þar sem \(k\) er fasti

  4. \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

  5. \(\displaystyle\Bigg(\frac{1}{g}\Bigg)'(x)=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)

  6. \(\displaystyle\Bigg(\frac{f}{g}\Bigg)'(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)

3.3.2. Nokkrar afleiður

  1. \(\frac{d}{dx} c = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}h = 0\)

  2. \(\frac{d}{dx} x = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}h = 1\)

  3. \(\frac{d}{dx} x^2 = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}h = \lim_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}h = \lim_{h\to 0} 2x+h= 2x\)

3.3.3. Setning

Setning

\[\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\]

Sönnun

Sýnum þetta með þrepun.Tilfellið \(n=1\) er afgreitt hér að ofan (3.3.2 (2)). Gerum ráð fyrir að niðurstaðan gildi fyrir \(n\) og sýnum að þá gildi hún einnig fyrir \(n+1\),

\[\frac{d}{dx} x^{n+1} = \frac{d}{dx} (x\cdot x^n) = \left(\frac{d}{dx} x\right) x^n + x\frac{d}{dx} x^n = x^n + x\, \underbrace{n\, x^{n-1}}_\text{þ.f.} = (n+1) x^n.\]

3.3.4. Afleiður margliða

Með því að nota setningarnar að ofan þá eigum við ekki í neinum vandræðum með að diffra margliður. Setning 3.3.1 (i) segir að við getum diffrað hvern lið fyrir sig, liður (iii) í sömu setningu segir að við getum tekið fastana fram fyrir afleiðuna og loks segir Setning 3.3.3 hvernig við diffrum \(x^n\).

3.3.5. Dæmi: Afleiða margliðu

Dæmi

Finnum afleiðu margliðunnar \(p(x) = 4x^3-2x + 5\). Nú er

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{d}{dx} p(x) &= \frac{d}{dx}4x^3 - \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}5 \\ &= 4\frac{d}{dx}x^3 -2\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}5 = 4\cdot 3x^2 -2\cdot 1 + 0 = 12x^2-2\end{aligned}\end{split}\]

3.3.6. Setning: Keðjureglan

Keðjureglan

Gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu föll þannig að \(g\) er diffranlegt í \(x\) og \(f\) er diffranlegt í \(g(x)\). Þá er samskeytingin \(f\circ g\) diffranleg í \(x\) og

\[(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).\]

3.3.7. Dæmi

Dæmi

Skoðum föllin \(f(x) = \sqrt x\) og \(g(x) = 3x^5\). Bæði þessi föll eru diffranleg og afleiðurnar eru \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\) og \(g'(x) = 15x^4\). Afleiða samskeytingarinnar \(f\circ g\) er þá samkvæmt keðjureglunni

\[(f\circ g)'(x) = \frac 12 (3x^5)^{-1/2} \cdot 15x^4.\]

3.4. Hærri afleiður

3.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Afleiðan \(f'\) er fall sem skilgreint er í öllum punktum þar sem \(f\) er diffranlegt.

Ef fallið \(f'\) er diffranlegt í punkti \(x\) þá er afleiða \(f'\) í punktinum \(x\) táknuð með \(f''(x)\) og kölluð önnur afleiða (e. second derivative) \(f\) í punktinum \(x\). Líta má á aðra afleiðu \(f\) sem fall \(f''\) sem er skilgreint í öllum punktum þar sem \(f'\) er diffranlegt.

Almennt má skilgreina \(n\)-tu afleiðu \(f\), táknaða með \(f^{(n)}\), þannig að í þeim punktum \(x\) þar sem fallið \(f^{(n-1)}\) er diffranlegt þá er \(f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\).

3.4.2. Dæmi

Dæmi

Ef \(f(x) = 3x^2\), þá er

\[f'(x) = 3\frac{d}{dx}x^2 = 3\cdot 2x = 6x\]

og

\[f''(x) = \frac{d}{dx} 6x = 6.\]

3.4.3. Ritháttur

Ritum \(y=f(x)\).

Þá má tákna fyrstu afleiðu \(f\) með

\[y'= f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)\ =\ D_x y= \frac{dy}{dx},\]

aðra afleiðuna með

\[\begin{aligned} y'' &= f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}f(x) = D^2_xf(x)= D^2_x y=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}\end{aligned}\]

og almennt \(n\)-tu afleiðuna

\[\begin{split}\begin{aligned} y^{(n)} &= f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)= \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\Big) \\ &=D^n_xf(x)\ =\ D^n_x y =\frac{d^n}{dx^n}f(x) = \frac{d^n y}{dx^n}.\end{aligned}\end{split}\]

Athugasemd

Venja er að rita \(f'''\) til að tákna þriðju afleiðu \(f\) en afar sjaldgæft að \(f''''\) sé notað til að tákna fjórðu afleiðu \(f\) og mun algengara að nota \(f^{(4)}\).

3.5. Útgildi

3.5.1. Skilgreining: Útgildi

Skilgreining

Við segjum að fall \(f\) hafi staðbundið hágildi en: local maximum, maximum, maximum in the small, relative maximum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \(x_0\) ef til er bil \((a,b)\) umhverfis \(x_0\), sem er þannig að

\[f(x) \leq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).\]

Við segjum að fall \(f\) hafi staðbundið lággildi en: local minimum, minimum, minimum in the small, relative minimum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \(x_0\) ef til er bil \((a,b)\) umhverfis \(x_0\), sem er þannig að

\[f(x) \geq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).\]

Tölum um að fallið \(f\) hafi staðbundið útgildi en: extremum in the small, local extremum, relative extremum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \(x_0\) ef það hefur staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi þar.

3.5.2. Setning

Setning

Ef fallið \(f\) hefur staðbundið útgildi í punktinum \(x_0\) og er diffranlegt þá er \(f'(x_0)=0\).

Sönnun

Gerum ráð fyrir að \(f\) hafi staðbundið hágildi í punktinum \(x_0\). Þá er \(f(x_0)-f(x)\geq 0\) og ef \(x<x_0\), þá fæst að \(\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0\). Þetta þýðir að

\[\lim_{x \to x_0^-} = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x} \geq 0.\]

Eins þá er \(f(x_0)-f(x)\geq 0\) og ef \(x_0<x\), þá er \(\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} \leq 0\). Þetta þýðir að

\[\lim_{x \to x_0^+} = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x} \leq 0.\]

Við vitum að markgildið \(\lim_{x\to x_0} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\) er til þar sem fallið er diffranlegt, það þýðir að markgildin frá hægri og vinstri eru þau sömu. Eina leiðin til þess að það samræmist hægri og vinstri markgildunum hér að ofan er ef

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} = 0.\]

Aðvörun

Þó að \(f'(a)=0\) þá er ekki víst að \(a\) sé staðbundið útgildi.

Til dæmis þá hefur fallið \(f(x) = x^3\) ekkert staðbundið útgildi þrátt fyrir að \(f'(0) = 0\) (\(f'(x) = 3x^2\)).

3.6. Hornaföll og afleiður þeirra

3.6.1. Setning

Setning

  1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=0\)

  3. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)

  4. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)

  5. \(\displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\)

3.7. Meðalgildissetningin

3.7.1. Setning Rolle

Setning Rolle

Látum \(g:[a,b]\rightarrow{{\mathbb R}}\) vera samfellt fall. Gerum ráð fyrir að \(g\) sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu \((a,b)\). Ef \(g(a)=g(b)\) þá er til punktur \(c\) á bilinu \((a,b)\) þannig að \(g'(c)=0\).

Sönnun

Ef \(g(x)=c\) er fasti, þá er \(g'(x)=0\). Ef hins vegar \(g\) er ekki fasti þá er til \(x \in (a,b)\) þannig að \(g(x)\neq g(a)\), gerum ráð fyrir að \(g(x)>g(a)\) (tilfellið ef \(g(x)<g(a)\) gengur nánast eins fyrir sig). Samkvæmt Há- og lággildislögmálinu þá tekur fallið \(g\) sitt hæsta gildi í punkti \(c\) á bilinu \([a,b]\).Þar sem \(g(c)\geq g(x) > g(a) = g(b)\) þá getur \(c\) hvorki verið \(a\) né \(b\). Þar sem \(c\) er útgildi þá segir Setning 3.5.2 að \(g'(c)=0\).

3.7.2. Meðalgildissetningin

Meðalgildissetningin

Látum \(f:[a,b]\rightarrow{{\mathbb R}}\) vera samfellt fall. Gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu \((a,b)\). Þá er til punktur \(c\) í bilinu \((a,b)\) þannig að

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).\]

Sönnun

Skilgreinum nýtt fall

\[h(x)=f(x)-\left(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right).\]

Athugið að \(h\) er bara \(f\) mínus línufallið en: affine function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. gegnum punktana \((a,f(a))\) og \((b,f(b))\). Þetta þýðir að \(h\) er diffranlegt og að \(h(a)=h(b)=0\). Þá gefur Setning Rolle að til er \(c\) þannig að \(h'(c)=0\).

Nú er

\[h'(x) = f'(x) - \left(0+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-0)\right) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

þannig að

\[0 = h'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},\]

eða

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Athugasemd

Niðurstöðuna úr meðalgildissetningunni en: mean value theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. má orða svona:

Í einhverjum punkti á bilinu er stundarbreytingin jöfn meðalbreytingunni yfir allt bilið.

3.7.3. Alhæfða meðalgildissetningin

Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu samfelld á lokaða bilinu \([a,b]\) og diffranleg á opna bilinu \((a,b)\). Gerum auk þess ráð fyrir að fyrir allar tölur \(x\) í \((a,b)\) sé \(g'(x)\neq 0\). Þá er til tala \(c\in (a,b)\) þannig að

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\]

3.8. Vaxandi og minnkandi föll

3.8.1. Skilgreining: Vaxandi/minnkandi

Skilgreining

Fall \(f\) er vaxandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) \leq f(x_2).\]

Fall \(f\) er stranglega vaxandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) < f(x_2).\]

Fall \(f\) er minnkandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) \geq f(x_2).\]

Fall \(f\) er stranglega minnkandi á bili \((a,b)\) ef um alla punkta \(x_1\) og \(x_2\) á \((a,b)\) þannig að \(x_1 < x_2\) gildir að

\[f(x_1) > f(x_2).\]

Athugasemd

Kennslubókin notar nondecreasing/nonincreasing fyrir vaxandi/minnkandi og increasing/decreasing fyrir stranglega vaxandi/minnkandi.

Einnig þekkist að nota increasing/decreasing og strictly increasing/decreasing. Til dæmis er það gert á Wikipedia: Monotonic functions.

3.8.2. Setning

Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall á bili. Þá er \(f\) vaxandi þá og því aðeins að \(f' \geq 0\).

Sönnun

Byrjum á að gera ráð fyrir að fallið sé vaxandi. Festum punkt \(x\) og sýnum að \(f'(x)\geq 0\). Þar sem \(f\) er vaxandi þá gildir fyrir sérhvert \(h>0\) að

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0\]

Þá gildir einnig um markgildið \(\lim_{h\to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0\).

Ef hins vegar \(h<0\) þá er \(x+h < x\) og því \(f(x+h)<f(x)\). Þetta gefur að

\[\frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0\]

sem þýðir að \(\lim_{h\to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0\). Og þar af leiðandi er \(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0\).

Gerum nú ráð fyrir \(f'\geq 0\) og sýnum að þá sé fallið vaxandi. Festum tvo punkta \(x_1 < x_2\). Ef \(f(x_1) > f(x_2)\), það er \(f(x_2)-f(x_1)<0\) þá er

\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < 0.\]

Samkvæmt meðalgildissetningunni þá er til punktur \(¢\) á bilinu \([x_1,x_2]\) þar sem afleiðan tekur þetta gildi, en það er í mótsögn við að \(f'(c)\geq 0\).

3.8.3. Setning

Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall á bili. Þá er \(f\) minnkandi þá og því aðeins að \(f' \leq 0\).

3.8.4. Setning

Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall á bili. Ef \(f'>0\) þá er \(f\) stranglega vaxandi.

3.8.5. Setning

Setning

Látum \(f\) vera diffranlegt fall á bili. Ef \(f'<0\) þá er \(f\) stranglega minnkandi.

Aðvörun

Diffranlegt fall getur verið stranglega vaxandi/minnkandi án þess að afleiðan sé alls staðar stærri/minni en 0. Til dæmis er afleiða \(f(x)=x^3\) jöfn 0 í \(x=0\) en fallið er stranglega vaxandi á öllum rauntalnaásnum.

3.8.6. Afleiður fastafalla

Við vitum að ef \(f\) er fasti, það er \(f(x)=c\), þá er \(f'(x)=0\) fyrir öll \(x\).

Nú fáum við einnig eftirfarandi út frá Setningum 3.8.2 og 3.8.3:

Ef \(f\) er diffranlegt fall á bili \(I\) sem er þannig að \(f'(x) = 0\) á \(I\), þá er \(f\) fasti, þ.e. \(f(x) = c\) fyrir öll \(x\in I\).

3.9. Fólgin diffrun

3.9.1. Dæmi

Dæmi

Jafna hrings með geisla 1 er \(x^2+y^2=1\). Við vitum að hægt er að skrifa efri og neðri helminga hans sem föll af \(y\), annars vegar \(y=\sqrt{1-x^2}\) og hins vegar \(y=-\sqrt{1-x^2}\). Ef við viljum finna snertil við hringinn getum við notað þessi föll. En þar sem við vitum að hægt er að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) þá getum við einnig diffrað jöfnu hringsins beint með aðstoð keðjureglunnar,

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2+y^2) &=& \frac{d}{dx} 1\\ 2x + 2y\frac{dy}{dx} &=& 0\\ y\frac{dy}{dx} &=& -x\\ \frac{dy}{dx} &=& -\frac xy.\end{aligned}\end{split}\]
../_images/11_hringur.png

3.9.2. Setning: Andhverfusetningin

Setning

Látum feril vera gefinn með \(F(x,y) =0\), þar sem \(F\) er diffranlegt í bæði \(x\) og \(y\). Í punktum þar sem snertill ferilsins er ekki lóðréttur (þ.e. \(\frac{d}{dy}F \neq 0\)) þá er hægt að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) og þá fæst af keðjureglunni að

\[\frac{d}{dx} F(x,y) + \frac{d}{dy}F(x,y) \frac{dy}{dx} = 0,\]

þ.e.

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{d}{dx} F(x,y)}{\frac{d}{dy} F(x,y)}.\]

Sjá https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

3.9.3. Með öðrum orðum

Það kemur í sama stað niður að einangra \(y=f(x)\), ef það er mögulegt, og finna \(y'\) með því að diffra, eins og að diffra \(F(x,y)=0\) og einangra svo \(y'=\frac{dy}{dx}\).

3.9.4. Vinnulag

  1. Diffrum báðar hliðar jöfnunar með tilliti til \(x\), og lítum á \(y\) sem fall af \(x\) sem við diffrum með aðstoð keðjureglunnar (og gleymum ekki \(y'\))

  2. Einangrum \(y'\)

  3. Skiptum \(y\) út fyrir \(f(x)\).

3.9.5. Setning: Hagnýting á fólginni diffrun

Setning

Ef \(n\) og \(m\) eru heilar tölur þá er

\[\frac{d}{dx} x^{\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}.\]

Sönnun

Punktar á grafi fallsins \(x^{n/m}\) ákvarðast af jöfnunni \(y=x^{n/m}\), það er \(y^m = x^n\). Skilgreinum því

\[F(x,y) = x^n-y^m\]

Þar sem \(\frac d{dx} F(x,y) = nx^{n-1}\) og \(\frac d{dy} F(x,y) = -my^{m-1}\) þá fæst að

\[\begin{split}\begin{aligned} y' &= \frac {d}{dx} y = - \frac{n x^{n-1}}{-m y^{m-1}} = \frac{n x^{n-1}}{m (x^{\frac nm})^{m-1}} \\ &= \frac nm x^{(n-1) - \frac nm(m-1)} = \frac nm x^{n-1-n+\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}. \end{aligned}\end{split}\]

3.10. Andhverf föll

Rifjum upp að gagntæk vörpun \(f:X\to Y\) hefur andhverfu \(f^{-1}:Y\to X\) sem uppfyllir að

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

Sjá kafla 1.4.

3.10.1. Athugasemd

Athugasemd

Látum \(f:X \to Y\) vera fall sem skilgreint er á mengi \(X\). Gerum ráð fyrir að \(f\) sé eintækt. Með því að einskorða bakmengi \(f\) við myndmengið \(\tilde Y = f(X)\) þá verður \(f:X\to \tilde Y\) gagntækt fall. Þá er til andhverfa \(f^{-1}:\tilde Y \to X\) sem uppfyllir

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

3.10.2. Setning

Setning

Fall sem er strangt vaxandi eða strangt minnkandi er eintækt og á sér því andhverfu.

3.10.3. Eiginleikar andhverfra falla

  1. \(y=f^{-1}(x)\) þá og því aðeins að \(x=f(y)\).

  2. Skilgreingarsvæði \(f\) er myndmengi \(f^{-1}\).

  3. Myndmengi \(f^{-1}\) er jafnt skilgreiningarsvæði \(f\).

  4. \(f^{-1}(f(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f\).

  5. \(f(f^{-1}(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f^{-1}\).

  6. \((f^{-1})^{-1}(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarsvæði \(f\), alltsvo \((f^{-1})^{-1}=f\).

  7. Graf \(f^{-1}\) er speglun á grafi \(f\) um línuna \(y=x\).

3.10.4. Setning: Afleiða andhverfunnar

Setning

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) hafi andhverfu \(f^{-1}\). Látum \(x\) vera á skilgreiningarsvæði \(f\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í punktinum \(f^{-1}(x)\) og að \(f'(f^{-1}(x)) \neq 0\). Þá er \(f^{-1}\) diffranlegt í punktinum \(x\) og

\[\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

Athugasemd

Setningin segir okkur sér í lagi að láréttur snertill við \(f\) svarar til lóðrétts snertils við \(f^{-1}\).

3.11. Línulegar nálganir

3.11.1. Staðbundnar nálganir

Skoðum diffranlegt fall \(f\) í grennd um fastan punkt \(a\). Látum \(x\) vera punkt í grennd um \(a\). Ef graf fallsins er ekki „mjög sveigt“ þá er snertillinn við \((a,f(a))\) næstum samsíða sniðlinum gegnum \((a,f(a))\) og \((x,f(x))\). Það þýðir að

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} &\approx f'(a),\\ f(x)-f(a) &\approx f'(a)(x-a),\\ f(x) &\approx f'(a)(x-a) + f(a). \end{aligned}\end{split}\]

Aðvörun

Athugið að hér er \(a\) fast en \(x\) breytist.

Athugasemd

Einnig er hægt að skrifa þetta á eftirfarandi hátt. Setjum \(\Delta x = x-a\) og \(\Delta y = f(x) - f(a)\) þá þýðir þetta að \(\Delta y \approx \Delta x f'(a)\).

Það er, breytingin á fallgildinum er um það bil breytingin í breytunni margfaldað við afleiðuna í punktinum.

3.11.2. Skilgreining: Línuleg nálgun

Skilgreining

Línuleg nálgun á falli \(f\) nálægt \(a\), eða 1. stigs Taylor-margliða \(f\) í \(a\), er gefin með \(P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\).

3.11.3. Setning: Skekkjumat

Setning

Skekkjan í nálguninni \(E_1(x)=f(x)-P_1(x)\) uppfyllir að til er tala \(X \in (a,x)\) þannig að

\[E_1(x)=\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2.\]

3.11.4. Skekkjumat fyrir línulegar nálganir

Gerum ráð fyrir að \(f''(t)\) sé skilgreint fyrir öll \(t\) í opnu bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Gerum enn fremur ráð fyrir að \(m\) og \(M\) séu tölur þannig að fyrir öll \(t\in (a, x)\) gildi að \(m\leq f''(t)\leq M\). Þá er

\[\frac{m}{2}(x-a)^2\leq E_1(x) =\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2\leq \frac{M}{2}(x-a)^2,\]

sem gefur að

\[f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{m}{2}(x-a)^2\leq f(x) \leq f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{M}{2}(x-a)^2.\]

3.12. Taylor-margliður

Línuleg nálgun á falli er ekkert annað en nálgun með fyrsta stigs margliðu.

Spurningin er því hvort hægt sé að nota margliður af hærra stigi og fá þá betri nálgun?

Hvernig er 0. stigs nálgun á falli?

3.12.1. Skilgreining: Taylor-margliða

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) sé diffranlegt \(n\) sinnum í punkti \(a\), þ.e.a.s. við gerum ráð fyrir að \(n\)-ta afleiðan \(f^{(n)}(a)\) sé skilgreind. Taylor margliða af \(n\)-ta stigi fyrir \(f\) um \(x=a\) (oft líka sagt með miðju í \(a\)) er margliðan

\[\begin{split}\begin{gathered} P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\ \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\end{gathered}\end{split}\]

Talað er um \(n\)-ta stigs Taylor-nálgun þegar gildið \(P_n(x)\) er notað sem nálgun fyrir \(f(x)\).

Skekkjan í nálguninni (munurinn á réttu fallgildi og nálgunargildi) er táknaður með

\[E_n(x)=f(x)-P_n(x).\]

3.12.2. Skekkjumat fyrir Taylor-margliður

Gerum ráð fyrir að \(n+1\)-afleiðan \(f^{(n+1)}(t)\) sé skilgreind fyrir öll \(t\) í opnu bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Þá er til tala \(X\) á milli \(a\) og \(x\) þannig að

\[E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

Því má rita

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\ & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+E_n(x)\\ =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\\ & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\end{aligned}\end{split}\]

Aðvörun

Yfirleitt er engin leið til þess að finna \(X\). Hins vegar getum við haft gagn af skekkjumatinu ef við höfum mat á \(f^{(n+1)}\).

3.12.3. Fylgisetning

Fylgisetning

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé \(n+1\) diffranlegt á bili sem inniheldur bæði \(a\) og \(x\). Gerum enn fremur ráð fyrir að \(m\) og \(M\) séu tölur þannig að fyrir öll \(t\) á milli a og x gildi að \(m\leq f^{(n+1)}(t)\leq M\). Þá er

\[P_n(x) + \frac{m}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \leq f(x) \leq P_n(x) + \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

3.12.4. Ritháttur

Við ritum

\[f(x)=O(u(x)) \text{ þegar } x\rightarrow a\]

ef til er fasti \(K\) og tala \(\delta>0\) þannig að

\[|f(x)|<K|u(x)|\quad\text{ fyrir öll}\quad x\in(a-\delta, a+\delta).\]

Einnig er ritað

\[f(x)=g(x)+O(u(x)) \text{ þegar }x\rightarrow a\]

ef \(f(x)-g(x)=O(u(x))\) þegar \(x\rightarrow a\).

Tilgangur þessa ritháttar er að skilgreina tól sem getur sagt okkur hversu hratt \(f\) stefnir á markgildið þegar \(x\to a\).

3.12.5. Athugasemd

Athugasemd

Við sjáum að

\[f(x) = P_n(x) + O((x-a)^{n+1}) \text{ þegar } x\rightarrow a,\]

því hægt er að nota \(K = \frac{\max\{-m,M\}}{(n+1)!}\) í skilgreiningunni hér á undan.

3.12.6. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að \(Q_n(x)\) sé margliða af stigi ekki hærra en \(n\). Ef \(f(x)=Q_n(x)+O((x-a)^{n+1})\) þegar \(x\rightarrow a\) þá er \(Q_n(x)=P_n(x)\) þar sem \(P_n(x)\) er \(n\)-ta stigs Taylor-margliða \(f\) með miðju í \(a\).

Með öðrum orðum, \(P_n\) er sú margliða af stigi \(\leq n\) sem nálgar \(f\) best.

3.13. Regla l’Hôpital

3.13.1. Regla l’Hôpital, einhliða útgáfa

Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á opnu bili \((a, b)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in (a, b)\). Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

Eins má skoða markgildi frá vinstri \(x\to a^-\).

Sönnun

Þar sem \(\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0\) þá getum við gert ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu samfelld á bilinu \([a,b)\) og taki gildið 0 í \(a\).

Þá fæst af alhæfðu meðalgildissetningunni fyrir sérhvert \(x\in (a,b)\) að til er \(c \in (a,x)\) þannig að

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]

Þegar \(x \to a^+\) þá gildir einnig að \(c \to a^+\) því \(c\) er klemmt á milli \(a\) og \(x\). Þar sem markgildið

\[\lim_{c\to a^+} \frac{f'(c)}{g'(c)} = L\]

er til, þá er markgildið \(\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}\) einnig til og er jafnt og \(L\).

3.13.2. Regla l’Hôpital

Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, a)\) og \((a, x_2)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\) í þessum bilum. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

3.13.3. Dæmi

Dæmi

Við höfum áður séð að \(\lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1\). Skoðum hvernig hægt er að sýna þetta með lítilli fyrirhöfn og reglu l’Hôpital.

Sjáum að \(f(x) = \sin(x)\) og \(g(x) = x\) eru diffranleg í grennd um 0 og að \(g'(x) = 1 \neq 0\). Þá fæst að

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = 1.\]

3.13.4. Regla l’Hôpital, \(\infty\)-útgáfa

Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, \infty)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in (x_1, \infty)\). Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=0 \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

3.13.5. Regla l’Hôpital, tvíhliða útgáfa

Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu diffranleg á bilum \((x_1, a)\) og \((a, x_2)\) og að \(g'(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\) í þessum bilum. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.\]

(Hér má \(L\) vera rauntala, \(\infty\) eða \(-\infty\).)

Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]

3.13.6. Æfingadæmi

Æfingadæmi

Hakið við þá fullyrðingu sem er ósönn.

Lausn

Fallið \(f(x)=|x+1|\) er samfellt en ekki diffranlegt í \(x=-1\), en samfelldni hefur ekki endilega í för með sér diffranleika (sjá 3.1.3).