6. Heildun

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

Markgildi. Sjá einnig undirstöðuatriði um markgildi.

Afleiður. Sjá einnig undirstöðuatriði um afleiður.

Reiknireglur fyrir afleiður, sér í lagi keðjureglan.

It can be very dangerous to see things from somebody else’s point of view without the proper training.

- Douglas Adams, The Ultimate Hitchhiker’s Guide : Five Complete Novels and One Story

6.1. Heildun

6.1.1. Óformleg skilgreining á heildi jákvæðs falls

Látum \(f:[a,b]\rightarrow {{\mathbb R}}\) vera fall þannig að \(f(x)\geq 0\) fyrir öll \(x\in[a,b]\).

Þegar heildið Ekki fannst þýðing á hugtakinu: heildi \(\int_a^b f(x)\,dx\) er skilgreint er útkoman úr því flatarmál svæðisins sem liggur á milli \(x\)-ás og grafs fallsins (og afmarkast til vinstri af línunni \(x=a\) og til hægri af línunni \(x=b\)).

Ef heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) er skilgreint þá segjum við að fallið \(f\) sé heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir bilið \([a,b]\).

Tölurnar \(a\) og \(b\) kallast heildismörk en: limit of integration
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. heildisins.

6.1.2. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Skilgreinum föllin \(f_+\) og \(f_-\), sem bæði hafa sama skilgreiningarsvæði og \(f\), með

\[\begin{split}f_+(x)=\left\{\begin{array}{ll} f(x) & \text{ef }f(x)\geq 0,\\ 0 & \text{ef }f(x)<0, \end{array} \right. \qquad f_-(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ef }f(x)\geq 0,\\ -f(x) & \text{ef }f(x)<0. \end{array}\right.\end{split}\]

Athugið að \(f(x)=f_+(x)-f_-(x)\).

6.1.3. Óformleg skilgreining á heildi falls

Takmarkað fall \(f\) er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\) ef bæði föllin \(f_+\) og \(f_-\) eru heildanleg yfir bilið \([a, b]\). Ef fallið \(f\) er heildanlegt þá skilgreinum við heildi þess með formúlunni

\[\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f_+(x)\,dx-\int_a^b f_-(x)\,dx.\]

Athugasemd

Flatarmálið sem er undir \(x\)-ás reiknast neikvætt.

6.2. Undir- og yfirsummur

6.2.1. Að finna heildi

Hvernig getum við fundið flatarmálið \(\int_a^b f(x)\, dx\)?

Svar: Við þurfum að nálga flatarmálið með formum sem hafa þekkt flatarmál, til dæmis rétthyrningum.

6.2.2. Skilgreining: Undirsumma

Skilgreining

Skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) hlutbil. Á hverju hlutbili komum við fyrir rétthyrningi sem liggur undir grafi fallsins, þ.e. hæðin á honum er lággildi fallsins á þessum tiltekna hlutbili.

Látum \(u_k\) vera flatarmál rétthyrninganna, þar sem \(k=1,\ldots,n\).

Við köllum flatarmál allra rétthyrninganna undirsummu en: lower sum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir heildið og táknum hana með \(U(n)\), það er \(U(n) = \sum_{k=1}^n u_k\).

Þá er augljóslega \(U(n) \leq \int_a^b f(x)\, dx\).

Þegar \(n\) stækkar þá fáum við betri og betri nálgun á heildinu.

6.2.3. Skilgreining: Yfirsumma

Skilgreining

Skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) hlutbil. Á hverju hlutbili komum við fyrir rétthyrning sem er þannig að hæðin á honum er hágildi fallsins á þessum tiltekna hlutbili.

Táknum flatarmál hans með \(y_k\), þar sem \(k=1,\ldots,n\). Við köllum summu flatarmáls allra rétthyrninganna yfirsummu en: upper sum
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir heildið og táknum hana með \(Y(n)\), það er \(Y(n) = \sum_{k=1}^n y_k\).

Þá fæst að \(\int_a^b f(x)\, dx \leq Y(n)\).

Þegar \(n\) stækkar þá fáum við betri og betri nálgun á heildinu.

6.2.4. Skilgreining: Heildi

Skilgreining

Ef til er nákvæmlega ein tala \(I\) þannig að

\[U(n) \leq I \leq Y(n),\]

fyrir allar undirsummur \(U(n)\) og yfirsummur \(Y(n)\) þá er fallið \(f\) heildanlegt á \([a,b]\) og

\[I = \int_a^b f(x)\, dx.\]

Athugasemd

Við sögðum ekkert um það hvernig við skiptum bilinu \([a,b]\) í \(n\) hlutbil. Það má gera hvernig sem er, það er ekki nauðsynlegt að þau séu öll jafn stór. Eina krafan er að stærð allra hlutbila stefni á 0 þegar \(n\to \infty\).

Athugasemd

Við erum ekki bundin af því að skoða rétthyrninga sem með hæð sem er há/lággildi fallsins á hverju hlutbili, t.d. má taka miðgildið á hveru hlutbili, gildið í hægri endapunkti þess eða gildið í vinstri endapunkti þess.

Niðurstaðan þegar \(n\to \infty\) verður hins vegar alltaf sú sama, þ.e. við nálgumst heildið.

Athugasemd

Einnig er mögulegt að nálga heildið með öðrum formum en rétthyrningum, t.d.trapisum, og hentar það hugsanlega betur í tölulegum útreikningum.

6.3. Eiginleikar heildisins

6.3.1. Setning

Setning

Ef fallið \(f\) er samfellt á bilinu \([a, b]\) þá er \(f\) heildanlegt yfir bilið \([a, b]\).
Einhalla fall skilgreint á bili \([a,b]\) er heildanlegt.

6.3.2. Setning

Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Þá er

\[\Big|\int_a^b f(x)\,dx\Big|\leq \int_a^b |f(x)|\,dx.\]

6.3.3. Skilgreining: Heildismörkunum snúið við

Skilgreining

Ef fallið \(f\) er heildanlegt yfir bilið \([a,b]\) (hér er \(a<b\)) þá skilgreinum við

\[\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.\]

6.3.4. Setning

Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilin \([a, b]\), \([a, c]\) og \([c, b]\). Þá er

\(\int_a^a f(x)\,dx=0\).
\(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx\)

6.3.5. Setning

Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru heildanleg yfir bilið \([a,b]\) og látum \(A\) og \(B\) vera fasta. Þá er

\[\int_a^b Af(x)+Bg(x)\,dx=A\int_a^b f(x)\,dx+B\int_a^b g(x)\,dx.\]

Með öðrum orðum, heildun er línuleg aðgerð.

6.3.6. Setning

Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Gerum ráð fyrir að um öll \(x\in [a, b]\) gildi að \(f(x)\geq 0\). Þá er

\[\int_a^b f(x)\,dx\geq 0.\]

6.3.7. Fylgisetning

Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru heildanleg yfir bilið \([a, b]\). Gerum ráð fyrir að um öll \(x\in [a, b]\) gildi að \(f(x)\leq g(x)\). Þá er

\[\int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b g(x)\,dx.\]
Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Ef \(m\) og \(M\) eru fastar þannig að um öll \(x\in [a, b]\) gildir að \(m\leq f(x)\leq M\) þá er

\[m(b-a)= \int_a^b m\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b M\,dx =M(b-a).\]

6.3.8. Setning

Setning

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bil \([-a, a]\).

Ef fallið \(f\) er oddstætt þá er

\[\int_{-a}^a f(x)\,dx=0.\]
Ef fallið \(f\) er jafnstætt þá er

\[\int_{-a}^a f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx.\]

6.3.9. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\). Meðalgildi en: average value, expectation, mathematical expectation, mean, mean value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins \(f\) á bilinu \([a, b]\) er skilgreint sem

\[\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\,dx.\]

6.3.10. Setning: Meðalgildissetning fyrir heildi

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\) sé samfellt á bilinu \([a, b]\). Þá er til punktur \(c\) í bilinu \([a, b]\) þannig að

\[\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c).\]

Það er að segja, til er punktur \(c\) í bilinu \([a, b]\) þannig að \(f(c)=\bar{f}\).

6.4. Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

6.4.1. Skilgreining og setning: Fall skilgreint með heildi

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir bil \([a, b]\). Fyrir \(x\in[a, b]\) skilgreinum við \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\).

Setning

Fallið \(F\) er samfellt á \([a, b]\).

Aðvörun

Athugið að \(t\) er breytan sem er heildað með tilliti til, en \(x\) er haldið föstu á meðan. \(t\) hverfur svo þegar búið er að reikna heildið.

6.4.2. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar, fyrri hluti

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\) sé samfellt á bili \(I\) og \(a\) sé punktur í \(I\). Fyrir \(x\) í \(I\) skilgreinum við \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\). Þá er fallið \(F\) diffranlegt og

\[F'(x)=f(x)\]

fyrir öll \(x\in I\).

6.4.3. Æfingadæmi

6.5. Stofnföll

6.5.1. Skilgreining: Stofnfall

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er skilgreint á bili \(I\). Fall \(G\) kallast stofnfall en: antiderivative, primitive
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir \(f\) á bilinu \(I\) ef \(G'(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í \(I\).

6.5.2. Fylgisetning

Setning

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á bili \(I\). Þá er til stofnfall fyrir \(f\) samkvæmt fyrri hluta undirstöðustöðusetningarinnar.

6.5.3. Hjálparsetning

Setning

Ef \(F\) og \(G\) eru hvor tveggja stofnföll fyrir \(f\) á bilinu \(I\), þá er til fasti \(C\) þannig að \(F(x)=G(x)+C\) fyrir öll \(x\) í \(I\).

Sönnun

Þar sem

\[\frac{d}{dx}(G(x) - F(x)) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\]

fyrir öll \(x\in I\) þá er \(G(x)-F(x) = C\) fasti.

6.5.4. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar, seinni hluti

Setning

Ef \(f\) er samfellt fall á bilinu \(I\) og \(G\) er eitthvert stofnfall fyrir \(f\) þá er

\[\int_a^b f(t)\,dt=G(b)-G(a).\]

Athugasemd

Það skiptir ekki máli hvaða stofnfall er valið í setningunni að ofan, heildið er alltaf það sama.

6.5.5. Ritháttur

Þegar \(F\) er stofnfall fyrir \(f\) þá ritum við

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\,\bigg|_a^b= F(b)-F(a),\]

eða

\[\int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b= F(b)-F(a).\]

6.6. Aðferðir við að reikna stofnföll

Skilgreiningin á heildi með undir- og yfirsummum er gagnleg til að útskýra og sanna eiginleika heilda en hún er ekki mjög góð til þess að reikna heildi. Því er nauðsynlegt að koma sér upp tólum sem henta betur til þess. Ef þau duga ekki þá þurfum við að grípa til tölulegra reikninga.

6.6.1. Verkfærin

Helstu tæknilegu aðferðirnar við að finna stofnföll eru:

6.6.2. Athugasemd

Athugasemd

Gerum ráð fyrir að \(F\) sé stofnfall \(f\), þ.e.

\[F(x)=\int f(t)\,dt.\]

Svo að

\[F'(x)=f(x).\]

Látum nú \(g\) vera fall og skoðum fallið \(F\circ g\). Þá fæst samkvæmt keðjureglunni að

\[\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x),\]

eða, með því að heilda beggja vegna jafnaðarmerkisins,

\[F(g(x))+C = \int f(g(x))g'(x)\,dx.\]

6.6.3. Innsetning

Ef við viljum reikna \(\int f(g(x))g'(x)\, dx\) þá dugar okkur að geta fundið \(\int f(x)\, dx\).

6.6.4. Notkun á innsetningu

Setjum \(u=g(x)\). Þá er

\[\frac{du}{dx}=g'(x)\qquad \text{eða} \qquad du=g'(x)\,dx.\]

Svo

\[\underbrace{\int f(g(x))g'(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = \int f(u)\,du = \underbrace{F(u)+C}_{\text{Getum reiknað}} = \underbrace{F(g(x))+C}_{\text{Svarið}}.\]

Aðvörun

Ef við breytum heildi með tilliti til \(x\) í heildi með tilliti til annarar breytistærðar \(u\) þá verða öll \(x\) að hverfa úr heildinu við breytinguna.

6.6.5. Notkun á innsetningu með mörkum

Með mörkum þá verður innsetningin svona

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = [F(u)]_{x=a}^{x=b} \\ &=& [F(g(x))]_{x=a}^{x=b} = F(g(b)) - F(g(a)).\end{aligned}\end{split}\]

Ef \(A=g(a)\) og \(B=g(b)\) þá getum við eins skrifað þetta svona

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b f(g(x))g'(x)\, dx &=& \int_{x=a}^{x=b} f(u)\, du = \int_{A}^{B} f(u)\, du \\ &=& [F(u)]_A^B = F(B) - F(A).\end{aligned}\end{split}\]

6.6.6. Öfug innsetning

Reiknum \(\int f(x)\, dx\), með því að finna hugsanlega flóknara heildi sem við getum reiknað

\[\int f(g(u))g'(u)\, du.\]

Aðvörun

Athugið að hér þurfum við að finna heppilegt \(g\). Það er ekki alltaf augljóst hvaða \(g\) er hægt að nota.

6.6.7. Notkun á öfugri innsetningu

Setjum \(x=g(u)\). Þá er

\[\frac{dx}{du}=g'(u)\qquad\quad dx=g'(u)\,du.\]

Sem gefur að

\[\underbrace{\int f(x)\,dx}_{\text{Viljum finna}} = \int f(g(u))g'(u)\,du = \underbrace{F(u) + C}_{\text{Getum reiknað}} = \underbrace{F(g^{-1}(x)) + C}_{\text{Svarið}}.\]

6.6.8. Öfug innsetning með mörkum

Við öfuga innsetningu þarf að passa að breyta mörkunum. Það er

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx &= \int_{x=a}^{x=b} f(g(u))g'(u)\,du \\ &= [F(u)]_{x=a}^{x=b} = [F(g^{-1}(x))]_a^b = F(g^{-1}(b)) - F(g^{-1}(a)).\end{aligned}\end{split}\]

Eða ef \(a=g(A)\) og \(b=g(B)\) (það er \(g^{-1}(a) = A\) og \(g^{-1}(b) = B\)),

\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_A^B f(g(u))g'(u)\,du= [F(u)]_A^B = F(B) - F(A).\]

6.6.9. Hlutheildun

Munum að ef \(u\) og \(v\) eru föll þá er \((u\cdot v)' = u'\cdot v + u \cdot v'\).

Notum Undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar og heildum beggja vegna jafnaðarmerkisins, þá fæst

\[u(x)v(x) = \int (u(x)v(x))'\, dx = \int u'(x)v(x)\, dx + \int u(x)v'(x)\, dx.\]

Það er

\[\int u'(x)v(x)\, dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\, dx.\]

6.6.10. Hlutheildun með mörkum

Eða með mörkum

\[\int_a^b u'(x)v(x)\, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\, dx.\]

(Athugið að þá verða engin \(x\) í svarinu.)

6.6.11. Stofnbrotaliðun

Ef við viljum heilda rætt fall \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) þar sem \(P(x)\) og \(Q(x)\) eru margliður, getur það reynst þrautinni þyngra, séu margliðurnar nægilega flóknar. Stofnbrotaliðun gengur út á það að skrifa ræða fallið \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) sem línulega samantekt liða á forminu

\[\frac{1}{ax+b}, \quad \frac{x}{x^2+bx+c} \quad\text{ og }\quad \frac{1}{x^2+bx+c},\]

(það er við liðum fallið í stofnbrot sín) því svona liði getum við heildað hvern fyrir sig.

Erfitt er að setja aðferðina stofnbrotaliðun fram með einföldum hætti og er það líkast til best gert með dæmum. Lítum á nokkrar mismunandi útfærslur af því hvernig hægt er að liða rætt fall í stofnbrot.

Athugum að margliða \(p(x)\) er sögð af stigi \(n \in \mathbb{N}\) ef hana má rita á forminu

\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \dots + a_1 x + a_0.\]

Ef hana má þátta í

\[p(x) = (x-a_1)(x-a_2) \cdot \dots \cdot (x-a_q)\]

er hún sögð hafa einfaldar núllstöðvar ef um sérhverja núllstöð hennar \(a_i\) og \(a_j\) gildir að \(a_i \neq a_j\) fyrir öll \(i \neq j\). Ef, á hinn bóginn, til eru tvær eða fleiri núllstöðvar sem uppfylla að \(a_i = a_j\) þar sem \(i \neq j\) þá eru þær kallaðar margfaldar núllstöðvar.

Sem dæmi má taka að margliðuna \(p(x)=x^2-2x+1\) má þátta með samokareglunni í \(p(x)=(x-1)(x-1)\) og hefur hún því eina, tvöfalda núllstöð í \(x=1\). Hins vegar má þátta margliðuna \(q(x)=x^2+5x+6\) í \(q(x)=(x+2)(x+3)\) og hefur hún því tvær einfaldar núllstöðvar, \(x=-2\) og \(x=-3\).

6.6.12. Dæmi 1 um stofnbrotaliðun

Í þessu dæmi er teljarinn er af stigi \(m\) og nefnarinn af stigi \(n>m\) með \(n\) einfaldar núllstöðvar.

Dæmi

Liðið \(\frac{x+4}{x^2-5x+6}\) í stofnbrot.

Lausn

Sjá má að teljarinn er margliða af fyrsta stigi en nefnarinn margliða af öðru stigi. Jafnframt má þátta nefnarann í \((x-2)(x-3)\) sem segir okkur að nefnarinn hefur tvær einfaldar núllstöðvar í \(x=2\) og \(x=3\). Þá gildir að

\[\frac{x+4}{x^2-5x+6} = \frac{x+4}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3},\]

þar sem sem \(A\) og \(B\) eru einhverjar rauntölur. Tökum sérstaklega eftir því að fjöldi liða í stofnbrotaliðuninni er jafn stigi nefnarans. Ef \(P(x)\) er margliða af stigi \(m\) og \(Q(x)\) er margliða af stigi stigi \(n>m\) sem hefur \(n\) mismunandi (raungildar) núllstöðvar, sem og að stuðullinn fyrir framan \(x^n\) er \(1\), þá gildir almennt fyrir ræða fallið \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) að stofnbrotaliðun þess verður

\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\dots +\frac{A_n}{x-a_n}.\]

Ákvörðum nú gildi fastanna \(A\) og \(B\). Samnefnum brotin í hægri hlið jöfnunnar

\[\frac{x+4}{x^2-5x+6} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{Ax-3A+Bx-2B}{(x-2)(x-3)}.\]

Með því að bera saman teljara brotanna, sem staðsett eru sitt hvoru megin jafnaðarmerkisins, sjáum við að

\[x+4 = Ax-3A+Bx-2B.\]

Athugum að til þess að þetta sé jafngilt verður að gilda að \(Ax+Bx = x\) og \(-3A-2B=4\). Með því að deila í gegnum fyrri jöfnuna með \(x\) fæst jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{align*} A+B&=1\\ -3A-2B&=4\\ \end{align*}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=-6\) og \(B=7\). Af þessu sést að

\[\frac{x+4}{x^2-5x+6} = -\frac{6}{x-2}+\frac{7}{x-3}.\]

6.6.13. Dæmi 2 um stofnbrotaliðun

Í þessu dæmi eru teljarinn og nefnarinn af stigi \(n\) og nefnarinn með \(n\) einfaldar núllstöðvar.

Dæmi

Liðið \(\frac{x^3+2}{x^3-x}\) í stofnbrot.

Lausn

Sjá má að bæði teljari og nefnari eru margliður af þriðja stigi. Athugum að með því að bæta núlllið á forminu \(+x-x\) við teljarann fæst

\[\frac{x^3-x+x+2}{x^3-x} = \frac{x^3-x}{x^3-x} + \frac{x+2}{x^3-x} = 1 + \frac{x+2}{x^3-x}.\]

Fastann 1 þarf ekki að liða frekar. Þar sem að brotið \(\frac{x+2}{x^3-x}\) hefur teljara af lægra stigi en nefnarinn (tveimur lægra nánar til tekið) sem og að nefnarinn hefur þrjár, einfaldar núllstöðvar, getum við stofbrotaliðað það með eftirfarandi hætti.

\[\frac{x+2}{x^3-x} = \frac{x+2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} = \frac{A(x^2-1)+B(x^2+x)+C(x^2-x)}{x(x-1)(x+1)}\]

þar sem síðasti liður jöfnunnar fæst með því að samnefna brot þess næstseinasta. Með því að bera saman teljara fyrsta og síðasta liðs jöfnunnar sést að

\[x+2 = A(x^2-1) + B(x^2+x)+C(x^2-x).\]

Ef við margföldum upp úr svigum og drögum saman líka liði fæst að

\[x+2 = (A+B+C)x^2 +(B-C)x - A.\]

Þetta gefur okkur jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{align*} A+B+C &= 0\\ B-C &=1\\ -A &= 2\\ \end{align*}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=-2\), \(B=\frac{3}{2}\) og \(C=\frac{1}{2}\). Af þessu sést að

\[\frac{x^3+2}{x^3-x} = 1 - \frac{2}{x}+\frac{3}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x-1)}.\]

6.6.14. Dæmi 3 um stofnbrotaliðun

Í þessu dæmi er teljarinn af stigi \(m\) og nefnarinn af stigi \(n>m\) stigi með \(r<n\) einfaldar núllstöðvar.

Dæmi

Liðið \(\frac{x^2+3x+2}{x(x^2+1)}\) í stofnbrot.

Lausn

Athugum að teljarinn er annars stigs margliða en nefnarinn margliða af þriðja stigi. Hér þarf að gæta sérstaklega að því að nefnarinn hefur þó einungis eina, einfalda núllstöð í \(x=0\) þar sem að þátturinn \(x^2+1\) hefur engar (raungildar) núllstöðvar. Af þessu leiðir að \(\frac{x^2+3x+2}{x(x^2+1)}\) má liða í stofnbrot á eftirfarandi vegu.

\[\frac{x^2+3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} = \frac{A(x^2+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}\]

Með svipuðum hætti og áður berum við saman teljara fyrsta brots og síðasta brots jöfnunnar. Sjáum að

\[x^2+3x+2 = A(x^2+1)+Bx^2+Cx.\]

Með því að leysa upp úr svigum og draga saman líka liði fæst að

\[x^2+3x+2 = (A+B)x^2+Cx+A.\]

Þetta gefur okkur jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{align*} A+B &= 1\\ C &=3\\ A &= 2\\ \end{align*}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=2\), \(B=-1\) og \(C=3\). Af þessu sést að

\[\frac{x^2+3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{2}{x} + \frac{-x+3}{x^2+1}.\]

6.6.15. Dæmi 4 um stofnbrotaliðun

Í þessu dæmi er teljarinn af stigi \(m\) og nefnari af stigi \(n>m\) stigi með \(n\) núllstöðvar, þar af einhverjar fjölfaldar.

Dæmi

Liðið \(\frac{1}{x(x-1)^2}\) í stofnbrot.

Lausn

Ljóst er að teljari er af hærra stigi en nefnarinn og nefnarinn hefur einfalda núllstöð í \(x=0\) og tvöfalda núllstöð í \(x=1\). Þá má liða fallið í stofnbrot með eftirfarandi hætti.

\[\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}.\]

Tökum sérstaklega eftir því að núllstöðin \(x=1\) er tvöföld og því inniheldur stofnbrotaliðunin tvo liði með þáttinn \((x-1)\) í nefnara, annars vegar í fyrsta veldi og hins vegar í öðru veldi. Almennt gildir, fyrir sérhverja \(r\)-falda núllstöð \(a\) nefnara ræða fallsins \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), að stofnbrotaliðun fallsins mun innihalda

\[\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots + \frac{A_r}{(x-a)^r}\]

Með því að samnefna fáum við að

\[\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} = \frac{A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx}{x(x-1)^2}.\]

Með sambærilegum hætti og áður fæst að

\[1 = A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx\]

og með því að leysa upp úr svigum og draga saman líka liði fæst

\[1 = (A+B) x^2 + (-2A-B+C)x + A.\]

Því fæst loks jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{align*} A+B &= 0\\ -2A-B+C &=0\\ A &= 1\\ \end{align*}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=1\), \(B=-1\) og \(C=1\). Af þessu sést að

\[\frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\]

6.6.16. Dæmi 5 um stofnbrotaliðun

Í þessu dæmi er teljarinn af stigi \(m\) og nefnarinn af stigi \(n>m\) stigi með \(r<n\) núllstöðvar og núllstöðvalausan þátt í veldinu \(q>1\).

Dæmi

Liðið í \(\frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x}\) stofnbrot.

Lausn

Hér er stig nefnara hærra en stig teljara og má þátta hann í \(x(2x^2+1)^2\). Nú er margliðan \(2x^2+1\) núllstöðvalaus. Því má stofnbrotaliða fallið á eftirfarandi vegu.

\[\frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{2x^2+1}+\frac{Dx+E}{(2x^2+1)^2}\]

Líkt og áður skulum við veita því sérstakan gaum að þátturinn \((2x^2+1)^2\) er í öðru veldi og því hefur stofnbrotaliðunin tvo liði þar sem nefnarinn inniheldur margliðuna \(2x^2+1\), annars vegar í fyrsta veldi og svo hins vegar í öðru veldi. Sama almenna regla og áður gildir, ef nefnari fallsins inniheldur núllstöðvalausa margliðu \(p(x)^n\) í nefnara, þar sem \(n\) er einhver náttúruleg tala, þá mun stofnbrotaliðun fallsins innihalda liðina

\[\frac{A_k}{p(x)^k}, \qquad k=1,2,\dots,n.\]

Ef við samnefnum brotin í hægri hlið jöfnunnar fæst

\[\frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{A(4x^4+4x^2+1)+B(2x^4+x^2)+C(2x^3+x)+Dx^2+Ex}{x(2x^2+1)^2}.\]

Við getum nú borið saman teljarana og með því að leysa upp úr svigum og draga saman líka liði fæst

\[x^2+2 = (4A+2B)x^4 + 2Cx^3 + (4A+2B+D)x^2 + (C+E)x+A.\]

Því fæst loks jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{align*} 4A+2B &= 0\\ 2C &=0\\ 4A+B+D &= 1\\ C+E &= 0\\ A &= 2\\ \end{align*}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=2\), \(B=-4\), \(C=0\), \(D=-3\) og \(E=0\). Af þessu sést að

\[\frac{x^2+2}{4x^5+4x^3+x} = \frac{2}{x}-\frac{4x}{2x^2+1}-\frac{3x}{(2x^2+1)^2}.\]

6.6.17. Samantekt

Líkt og áður segir þá er stofnbrotaliðun notuð fyrir ræð föll sem erfitt getur reynst að heilda í sínu upprunalega formi. Við stofnbrotaliðun er fallið liðað í summu minni þátta og má þá heilda hvern þátt fyrir sig og leysa dæmið þannig í fleiri en einfaldari skrefum.

Nánar er fjallað um stofnbrotaliðun í kafla 6.2 í kennslubókinni.

Sjá einnig wikipedia síðuna um stofnbrotaliðun. Þar má t.a.m. sjá allar aðferðirnar, úr dæmunum hér að ofan, notaðar í einu og sama dæminu.

6.6.18. Æfingadæmi

Æfingadæmi: Gefið er ræða fallið \(f(x) = \frac{3x+11}{x^2-x-6}\). Stofbrotaliðun gefur að:

\(f(x)=\frac{3}{3x-2} - \frac{3}{x+2}\)
\(f(x)=\frac{3+x}{x-3} - \frac{4}{x+2}\)
\(f(x)=\frac{3}{x-3} - \frac{2x+4}{x+2}\)
\(f(x) = \frac{4}{x-3} - \frac{1}{x+2}\)

Lausn

Fylgjum dæmi 6.6.12. (Dæmi 1 um stofnbrotaliðun). Við getum þáttað nefnara fallsins í \((x-3)(x+2)\). Þá fæst að

\[\frac{3x+11}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}\]

þar sem \(A,B \in \mathbb{R}\). Ef við samnefnum nú brotið hægra megin jafnaðarmerkisins fæst að

\[\frac{3x+11}{(x-3)(x+2)} = \frac{A(x+2)+B(x-3)}{(x+2)(x-3)}.\]

Af þessu sést að

\[3x + 11 = A(x+2)+B(x-3) \iff 3x + 11 = (A+B)x + 2A - 3B.\]

Þetta gefur okkur jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{aligned} A + B = 3\\ 2A - 3B = 11\\ \end{aligned}\end{split}\]

sem hefur lausnina \(A=4\) og \(B=-1\). Því fæst að stofnbrot þessa falls séu

\[f(x) = \frac{4}{x-3} - \frac{1}{x+2}.\]

6.7. Óeiginleg heildi

6.7.1. Skilgreining: Óeiginleg heildi I

Skilgreining

Látum \(f\) vera samfellt fall á bilinu \([a, \infty)\). Skilgreinum

\[\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_a^R f(x)\,dx.\]

Fyrir fall \(f\) sem er samfellt á bili \((-\infty, b]\) skilgreinum við

\[\int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{R\rightarrow-\infty} \int_R^b f(x)\,dx.\]

Heildi eins og þau hér að ofan kallast óeiginlegt heildi en: improper integral
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef markgildið er til, en ósamleitið ef markgildið er ekki til.

Aðvörun

Ef \(f\) stefnir ekki á 0 þegar \(x\to \infty\) þá er heildið ekki samleitið. En jafnvel þó fallið stefni á 0 þá er ekki víst að heildið sé samleitið, samanber eftirfarandi dæmi.

6.7.2. Dæmi

Dæmi

Heildið \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\) er samleitið ef \(p>1\) en ósamleitið ef \(p\leq 1\).

Ef \(p>1\) þá er

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{p-1}.\]

6.7.3. Skilgreining: Óeiginleg heildi I, framhald

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er samfellt á öllum rauntalnaásnum.

Heildi af gerðinni \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx\) er sagt samleitið ef bæði heildin \(\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx\) og \(\int_0^\infty f(x)\,dx\) eru samleitin og þá er

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^\infty f(x)\,dx.\]

Athugasemd

Það skiptir ekki máli í hvaða punkti heildinu er skipt í tvennt, það má velja aðra tölu heldur en 0, útkoman verður alltaf sú sama.

6.7.4. Skilgreining: Óeiginleg heildi II

Skilgreining

Látum \(f\) vera samfellt fall á bilinu \((a, b]\) og hugsanlega ótakmarkað í grennd við \(a\). Skilgreinum

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow a^+} \int_c^b f(x)\,dx.\]

Fyrir fall \(f\) sem er samfellt á bili \([a, b)\) og hugsanlega ótakmarkað í grennd við \(b\) þá skilgreinum við

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{c\rightarrow b^-} \int_a^c f(x)\,dx.\]

Í báðum tilvikum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef markgildið er til en ósamleitið ef markgildið er ekki til.

6.7.5. Dæmi

Dæmi

Heildið \(\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\) er samleitið ef \(p<1\) en ósamleitið ef \(p\geq 1\). Ef \(p<1\) þá er

\[\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx=\frac{1}{1-p}.\]

6.7.6. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera samfellt fall á bili \((a,\infty)\) og ótakmarkað í grennd við \(a\). Látum \(c\) vera einhverja tölu þannig að \(a<c<\infty\).

Heildið \(\int_a^\infty f(x)\,dx\) er sagt vera samleitið ef bæði heildin \(\int_a^c f(x)\,dx\) og \(\int_c^\infty f(x)\,dx\) eru samleitin og þá er

\[\int_{a}^\infty f(x)\,dx=\int_{a}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx.\]

Athugasemd

Það er sama hvað tala \(c\) er valin hér að ofan, útkoman verður alltaf sú sama.

6.7.7. Setning

Setning

Látum \(-\infty\leq a<b\leq \infty\). Gerum ráð fyrir að föllin \(f\) og \(g\) séu samfelld á \((a, b)\) og að um öll \(x\in (a, b)\) gildi að \(0\leq f(x)\leq g(x)\).

Ef heildið \(\int_a^b g(x)\,dx\) er samleitið þá er heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) líka samleitið og

\[\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx.\]
Ef heildið \(\int_a^b f(x)\,dx\) er ósamleitið þá er heildið \(\int_a^b g(x)\,dx\) líka ósamleitið.