2. Markgildi og samfelldni

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

Aðvörun

Þessi kafli fjallar um tvö afskaplega mikilvæg og nátengd hugtök, markgildi og samfelldni. Það er nauðsynlegt fyrir nemendur að ná góðum tökum á þeim því mörg hugtök í stærðfræði og hagnýtingum á stærðfræði sem verða á vegi ykkar í framtíðinni byggja á þessum hugtökum.

I’d take the awe of understanding over the awe of ignorance any day.

- Douglas Adams, The Salmon of Doubt

2.1. Markgildi

2.1.1. Óformleg skilgreining á markgildi

Segjum að fall $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ nógu nálægt $a$.

2.1.2. Skilgreining: Markgildi

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ sem fullnægir eftirfarandi skilyrði:

\[\text{fyrir öll $x$ sem uppfylla} \qquad 0 < |x-a| < \delta \qquad \text{gildir} \qquad |f(x)-L| <\epsilon.\]

Við segjum að talan $L$ sé markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $f(x)$ þegar $x$ stefnir á $a$.

Athugasemd

Þegar athugað er hvort markgildið $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ er til, og þá hvert gildi þess er, þá skiptir ekki máli hvort $f(a)$ er skilgreint eða ekki.

2.1.3. Dæmi um markgildi

Dæmi

Látum $a, c$ vera rauntölur. Sýnið fram á eftirfarandi:

$\lim_{x \to a}\,c = c$,
$\lim_{x \to a}\,x = a$
$\lim_{x \to a} |x| = |a|$

Lausn á lið 2

Hér er fallið sem um ræðir $f(x) = x$ og $L=a$. Látum $\epsilon>0$ vera gefið. Við viljum finna $\delta >0$ þannig að $|x-a|<\delta$ hafi í för með sér $|f(x)-a| < \epsilon$. Þar sem $f(x)=x$ þá er seinni ójafnan jafngild $|x-a|<\epsilon$. Þetta er sama ójafnan og $\delta$ þarf að uppfylla þannig að okkur nægir að velja $\delta = \epsilon$. Þá hefur

\[|x-a| < \delta\]

í för með sér að

\[|f(x) -a| < \epsilon.\]

Ábendingar fyrir liði 1 og 3

Til að sanna þetta þá er best að teikna mynd til að átta sig á því hvernig föllin haga sér. Svo má velja

$\delta$ sem hvað sem er.

$\delta=\epsilon$.

2.2. Markgildi frá hægri og vinstri

2.2.1. Óformleg skilgreining á markgildi frá hægri

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(a,b)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá hægri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x>a$ nógu nálægt $a$.

2.2.2. Skilgreining: Markgildi frá hægri

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(a,b)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá hægri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[a<x<a+\delta,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.3. Óformleg skilgreining á markgildi frá vinstri

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(b,a)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá vinstri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x<a$ nógu nálægt $a$.

2.2.4. Skilgreining: Markgildi frá vinstri

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(b,a)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá vinstri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[a-\delta<x<a,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.5. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\]

ef og aðeins ef

\[\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x).\]

2.2.6. Dæmi: Tölugildisfallið

Dæmi

Tölugildisfallið en: absolute value, length, modulus, norm, numerical value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $|x|$ er skilgreint sem $x$ ef $x\geq 0$ en $-x$ ef $x<0$. Sýnið að um tölugildisfallið gildi

\[\lim_{x\to 0^+} \frac x{|x|} = 1\]
\[\lim_{x\to 0^-} \frac x{|x|} = -1\]
\[\lim_{x\to 0} \frac x{|x|} \quad \text{er ekki til}\]

Lausn

Hér skoðum við eingöngu $x>0$ og þá gildir að $\frac x{|x|} = \frac xx = 1$. Þar sem $\lim_{x \to 0} 1 = 1$ samkvæmt Dæmi 2.1.3 þá gildir einni að $\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$ samkvæmt setningunni hér á undan. Þannig að

\[\lim_{x \to 0^+} \frac x{|x|} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1\]
Eins og liður 1 nema ef $x<0$ þá er $\frac x{|x|} = \frac x{-x} = -1$
Af liðum 1 og 2 sést að hægri og vinstri markgildin eru ekki þau sömu þannig að samkvæmt setningunni hér á undan þá er markgildið ekki til.

2.3. Reiknireglur fyrir markgildi

2.3.1. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ og að $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M$. Þá gildir

$\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)+g(x)\Big)=L+M$.
$\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)-g(x)\Big)=L-M$.
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=LM$.
$\lim_{x\rightarrow a}kf(x)=kL$, þar sem $k$ fasti.
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=L/M$, að því gefnu að $M\neq 0$.
Gerum ráð fyrir að $m$ og $n$ séu heiltölur þannig að $f(x)^{m/n}$ sé skilgreint fyrir öll $x$ á bili $(b,c)$ umhverfis $a$ (en ekki endilega fyrir $x=a$) og að $L^{m/n}$ sé skilgreint. Þá er $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{m/n}=L^{m/n}$.
Ef til er bil $(b,c)$ sem inniheldur $a$ þannig að $f(x)\leq g(x)$ fyrir öll $x\in (b,c)$, nema kannski $x=a$, þá er $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leq M=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$.

Sönnun á lið 1

Við viljum sýna að fyrir $\epsilon>0$ þá sé til $\delta>0$ þannig að ef $|x-a|<\delta$ þá sé $|f(x)+g(x) - (L+M)|<\epsilon$. Látum nú $\epsilon>0$ vera gefið, þá fæst af $\lim_{x\to a} f(x) = L$ að til er $\delta_1>0$ þannig að

\[|f(x)-L| < \frac \epsilon 2\]

ef $|x-a|<\delta_1$. Eins fæst af $\lim_{x \to a} g(x)=M$ að til er $\delta_2$ þannig að

\[|g(x)-M| < \frac \epsilon 2\]

ef $|x-a|<\delta_2$.

Ef við setjum $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$ þá þýðir það að öll $x$ sem uppfylla $|x-a|<\delta$ uppfylla einnig $|x-a|<\delta_1$ og $|x-a|<\delta_2$. Þá gefur þríhyrningsójafnan okkur að fyrir slíkt $x$ þá er

\[\begin{split}|f(x)+g(x) - (L+M)| = |f(x)-L + g(x)-M| \\ < |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon,\end{split}\]

sem er það sem við vildum sýna.

Aðvörun

Liður (1) í setningunni á undan segir að ef markgildin $\lim_{x\to a} f(x)$ og $\lim_{x\to a} g(x)$ eru til þá sé markgildið $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))$ einnig til.

En hún segir ekki að ef $f$ og $g$ eru föll þannig að markgildið $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))$ er til, að þá séu markgildin $\lim_{x\to a} f(x)$ og $\lim_{x\to a} g(x)$ einnig til.

2.3.2. Setning: Klemmureglan

Setning

Gerum ráð fyrir að $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ fyrir öll $x$ á bili $(b, c)$ sem inniheldur $a$, nema kannski $x=a$. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L.\]

Þá er $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$.

Sönnun

Látum $\epsilon>0$ vera gefið. Við viljum sýna að þá sé til $\delta>0$ þannig að $|g(x)-L|<\epsilon$ fyrir öll $x$ sem uppfylla $|x-a|<\delta$.

Þetta má líka skrifa svona: Við viljum sýna að þá sé til $\delta>0$ þannig að $L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon$ fyrir öll $x$ sem uppfylla $a-\delta < x<a+\delta$.

Við vitum nú að þar sem $\lim_{x\to a} f(x) = L$ þá er til $\delta_1$ þannig að $L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon$ fyrir öll $x$ sem uppfylla $a-\delta_1 < x<a+\delta_1$.

Eins þá fæst af $\lim_{x\to a} h(x) = L$ að til er $\delta_2$ þannig að $L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon$ fyrir öll $x$ sem uppfylla $a-\delta_2 < x<a+\delta_2$.

Setjum nú $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$ og athugum að það þýðir að fyrir sérhvert $x$ sem uppfyllir $a-\delta < x < a+\delta$ uppfyllir einnig $a-\delta_1 < x<a+\delta_1$ og $a-\delta_2 < x<a+\delta_2$. Þá gefur $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ að

\[L-\epsilon<f(x) \leq g(x) \leq h(x) < L+\epsilon.\]

Þar með er $L-\epsilon < g(x) < L+\epsilon$ og þá höfum við sýnt að $\lim_{x\to a} g(x) = L$.

2.3.3. Dæmi: Markgildi með sínus

Dæmi

Sýnið fram á eftirfarandi:

\[\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac 1x\right) \quad \text{er ekki til}\]
\[\lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac 1x\right) = 0\]
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\]

Lausn á lið 1

Sönnum þetta með mótsögn. Gerum ráð fyrir að til sé markgildi $L$ þannig að fyrir sérhvert $\epsilon >0$ er til $\delta>0$ þannig að $|x-0|<\delta$ hefur í för með sér að $|\sin(1/x) - L|<\epsilon$. Til þess að þetta leiði til mótsagnar þurfum við að finna $\epsilon>0$ sem er þannig að sama hversu lítið $\delta>0$ er valið þá er alltaf til $x$ þannig að $|x-0|<\delta$ og

\[\left|\sin\left(\frac 1x \right)-L\right| \geq \epsilon.\]

Veljum $\epsilon = 0,5$. Ástæðan fyrir þessu vali er sú að þar sem $\sin(1/x)$ sveiflast á milli $-1$ og $1$ þá er nóg að velja tölu sem er þannig að fallið sveiflist út fyrir bilið $[L-\epsilon,L+\epsilon]$. Í þessu tilviki þýðir það að $\epsilon$ þarf að vera minna en 1.

Ef markgildið er til þá er ætti að vera til $\delta>0$ þannig að $|\sin(1/x)-L|< 0.5$ fyrir $x$ sem uppfylla $|x-0|<\delta$. Byrjum á að skoða tilvikið $L\leq 0$. Finnum nógu stóra náttúrlega tölu $k$ þannig að $\frac 1{2\pi k + \pi/2} < \delta$. Ef við setjum $x=\frac 1{2\pi k + \pi/2}$ þá fæst að $|x-0|<\delta$ en

\[\left|\sin\left(\frac 1x \right) - L\right| = |\sin(2\pi k +\pi/2) - L| = |1-L| > 0,5\]

Tilvikið þegar $L>0$ er eins nema þá veljum við $x=\frac 1{2\pi k - \pi/2}$ sem þýðir að $\sin(x) = -1$.

Mynd af $\sin\left(\frac 1x\right)$:

2.4. Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

2.4.1. Óformleg skilgreining á markgildi þegar $x \to \infty$

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(a, \infty)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ nógu stórt.

2.4.2. Skilgreining: Markgildi þegar $x \to \infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(a,\infty)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $R$ þannig að um öll $x>R$ gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.4.3. Óformleg skilgreining á markgildi þegar $x \to -\infty$

Fyrir $-\infty$ er þetta gert með sama sniði.

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(-\infty, a)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $-\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ sem nógu stóra neikvæða tölu.

2.4.4. Skilgreining: Markgildi þegar $x \to -\infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(-\infty,a)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $-\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $R$ þannig að um öll $x<R$ gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.5. Óendanlegt sem markgildi

2.5.1. Óformleg skilgreining á markgildinu $\infty$

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Segjum að $f(x)$ stefni á $\infty$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé hversu stórt sem við viljum bara með því að velja $x$ nógu nálægt $a$.

2.5.2. Skilgreining: Markgildið $\infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Við segjum að $f(x)$ stefni á $\infty$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $B$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[0 < |x-a| <\delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x) > B.\]

Aðvörun

Athugið að $\infty$ er ekki tala. Þó að $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty$ þá er samt sagt að markgildið $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ sé ekki til.

2.5.3. Óformleg skilgreining á markgildinu $-\infty$

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Segjum að $f(x)$ stefni á $-\infty$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé hversu lítið sem við viljum bara með því að velja $x$ nógu nálægt $a$.

2.5.4. Skilgreining: Markgildið $-\infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Við segjum að $f(x)$ stefni á $-\infty$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $B$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[0 < |x-a| < \delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x)<B.\]

Aðvörun

Athugið að $-\infty$ er ekki tala. Þó að $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty$ þá er samt sagt að markgildið $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ sé ekki til.

2.5.5. Æfingadæmi

Æfingadæmi: Látum $f(x)$ vera rætt fall, þ.e. hægt er að skrifa $f(x)=p(x)/q(x)$ þar sem $p$ og $q$ eru margliður. Gerum ráð fyrir að $q$ hafi núllstöð í punktinum $a$. Hakið við rétta fullyrðingu.

Markgildið $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ er alltaf til.
Markgildið $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ er stundum til.
Markgildið $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ er aldrei til.
Það er ekki hægt að skoða markgildið $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ því $f(a)$ er ekki skilgreint.

Lausn

Þetta er ekki rétt, t.d. er $\lim_{x \rightarrow 0} \tfrac{1}{x}$ ekki til. Hér er $p(x)=1$, $q(x)=x$ og $a=0$.
Fyrst að markgildið er ekki aldrei til og ekki alltaf til þá hlítur það að vera stundum til.
Þetta er ekki rétt, t.d. er $\lim_{x \rightarrow 0} \tfrac{x}{x} = 1$. Hér er $p(x)=x$, $q(x)=x$, $a=0$ og ef við fullstyttum þá sjáum við að $f(x)=1$.
Vissulega er $f(a)$ ekki skilgreint en það er samt hægt að skoða markgildið þegar $x\to a$ eins og við höfum séð hér að ofan.

2.6. Samfelldni

Hér skilgreinum við og skoðum seinna grundvallarhugtakið í þessum kafla, sem er samfelldni en: continuity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

2.6.1. Skilgreining: Innri punktur

Skilgreining

Látum $A\subseteq {{\mathbb R}}$ og $x\in A$. Við segjum að $x$ sé innri punktur en: inner point, interior point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $A$ ef $A$ inniheldur opið bil umhverfis $x$, það er að segja til er tala $\delta>0$ þannig að $(x-\delta, x+\delta)\subseteq A$.

Ef $x$ er ekki innri punktur $A$ og $x\in A$ þá segjum við að $x$ sé jaðarpunktur en: boundary point, frontier point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $A$.

2.6.2. Skilgreining: Samfelldni í punkti

Skilgreining

Látum $f$ vera fall og $c$ innri punkt skilgreiningarsvæðis $f$. Sagt er að $f$ sé samfellt í punktinum $c$ ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

2.6.3. Setning

Setning

Látum $f$ og $g$ vera föll. Gerum ráð fyrir að $c$ sé innri punktur skilgreiningarsvæðis beggja fallanna og að bæði föllin séu samfelld í punktinum $c$. Þá eru eftirfarandi föll samfelld í $c$:

$f+g$
$f-g$
$fg$
$kf$, þar sem $k$ er fasti
$f/g$, ef $g(c)\neq 0$
$\Big(f(x)\Big)^{1/n}$, að því gefnu að $f(c)>0$ ef $n$ er slétt tala og $f(c)\neq 0$ ef $n<0$.

Þessi setning er bein afleiðing af Setningu 2.3.1.

2.6.4. Setning: Samskeyting samfelldra falla

Setning

Látum $g$ vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis $c$ og samfellt í $c$ og látum $f$ vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis $g(c)$ og samfellt í $g(c)$. Þá er fallið $f\circ g$ skilgreint á opnu bili umhverfis $c$ og er samfellt í $c$.

Athugasemd

Ef fall er skilgreint með formúlu og skilgreingamengið er ekki tilgreint sérstaklega, þá er venjan að líta alla þá punkta þar sem formúlan gildir sem skilgreingarmengi fallsins

2.6.5. Skilgreining: Samfellt fall

Skilgreining

Við segjum að fall $f$ sé samfellt en: continuous function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef það er samfellt í sérhverjum punkti skilgreingarmengisins.

Óformlega þýðir þetta að hægt er að teikna graf $f$ án þess að lyfta pennanum frá blaðinu.

2.6.6. Nokkur dæmi um samfelld föll

Eftirfarandi föll eru samfelld

margliður
ræð föll
ræð veldi
hornaföll; $\sin$, $\cos$, $\tan$
tölugildisfallið $|x|$

2.6.7. Að búa til samfelld föll

Með því að nota föllin úr dæminu á undan sem efnivið þá getum við búið til fjölda samfelldra fall með því að beita aðgerðunum úr Setningu 2.6.4 og Setningu 2.6.3.

2.6.8. Dæmi

Fallið $\cos(3x+5)$ er samfellt. Margliðan $g(x) =3x+5$ og $f(x) = \cos(x)$ eru samfelld föll og þá er samskeytingin $f\circ g(x) = \cos(3x+5)$ einnig samfellt fall.

2.7. Hægri/vinstri samfelldni

Rifjum upp skilgreininguna á samfelldni.

2.7.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $f$ vera fall og $c$ innri punkt skilgreiningarsvæðis $f$. Sagt er að $f$ sé samfellt í punktinum $c$ ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

Athugasemd

Þessi skilgreining virkar aðeins fyrir innri punkta skilgreiningarsvæðisins. Þannig að ef ætlunin er að rannsaka samfelldni í jaðarpunktum þá gengur þessi skilgreining ekki. Hins vegar getum við útvíkkað skilgreininguna á samfelldni fyrir hægri og vinstri endapunkta bila með því að einskorða okkur við markgildi frá vinstri og hægri.

2.7.2. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni

Skilgreining

Fall $f$ er samfellt frá hægri í punkti $c$ ef $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=f(c)$.

Hér er gert ráð fyrir að fallið $f$ sé amk. skilgreint á bili $[c, a)$.
Fall $f$ er samfellt frá vinstri í punkti $c$ ef $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=f(c)$.

Hér er gert ráð fyrir að fallið $f$ sé amk. skilgreint á bili $(a, c]$.

Uppfærum nú skilgreininguna á samfelldu falli.

2.7.3. Uppfærð skilgreining: Samfellt fall

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að $f$ sé fall sem er skilgreint á mengi $A$, þar sem $A$ er sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið $f$ sé samfellt ef það er samfellt í öllum innri punktum skilgreingarmengisins og ef það er samfellt frá hægri/vinstri í jaðarpunktum skilgreingarmengisins, eftir því sem við á.

Athugasemd

Ef fall er samfellt á opnu bili $(a,b)$, og ef $a<c<d<b$, þá er fallið einnig samfellt á bilinu $[c,d]$.

2.8. Eiginleikar samfelldra falla

2.8.1. Setning: Há- og lággildislögmálið

Há- og lággildislögmálið

Látum $f$ vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili $[a,b]$. Þá eru til tölur $x_1$ og $x_2$ í $[a,b]$ þannig að fyrir allar tölur $x$ í $[a,b]$ er

\[f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2).\]

Þetta þýðir að samfellt fall $f$ á lokuðu og takmörkuðu bili $[a,b]$ tekur bæði hæsta og lægsta gildi á bilinu. Hæsta gildið er þá $f(x_2)$ og lægsta gildið er $f(x_1)$.

Athugasemd

Það er mögulegt að fallið taki há/lággildi sitt í fleiri en einum punkti.

2.8.2. Setning: Milligildissetningin

Milligildissetningin

Látum $f$ vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili $[a,b]$. Gerum ráð fyrir að $s$ sé tala sem liggur á milli $f(a)$ og $f(b)$. Þá er til tala $c$ sem liggur á milli $a$ og $b$ þannig að $f(c)=s$.

Sönnun

Í setningunni þá gerum við ráð fyrir að $s$ liggi á milli $f(a)$ og $f(b)$. Til að svona $s$ sé til þá þarf $f(a) \neq f(b)$.

Skoðum tilvikið þegar $f(a) < f(b)$, en þá er $f(a) < s < f(b)$. Tilvikið $f(a)>f(b)$ er nánast eins.

Skilgreinum mengið $S = \{ x \in [a,b] ; f(x) < s\}$. Þetta mengi er ekki tómt því $a$ er í því og það er takmarkað að ofan af $b$. Samkvæmt Frumsendunni um efra mark þá er til efra mark $c \in[a,b]$ fyrir $S$. Við viljum sýna að $f(c)=s$.

Ef $f(c)>s$ þá segir samfelldni $f$ okkur að til sé lítið bil kringum $c$ þar sem fallið er stærra en $s$. Sér í lagi er til tala minni en $c$ sem er ekki í menginu $S$. Þetta þýðir að $c$ er ekki efra mark $S$. Orðum þetta aðeins nákvæmar.

Veljum $0<\epsilon < f(c)-s$ þá er til $\delta>0$ þannig að ef $x\in ]c-\delta,c+\delta[$ þá er $|f(c)-f(x)|<\epsilon < f(c) -s$. Þetta hefur í för með sér að $f(c) - f(x) < f(c) -s$, það er $f(x)>s$. Þetta þýðir að öll $x\in]c-\delta,c[$ eru „minni“ efri mörk fyrir $S$ en $c$ sem gengur ekki og er því mótsögn.

Ef $f(c)<s$ þá segir samfelldni $f$ okkur að til sé lítið bil kringum $c$ þar sem fallið er minna en $s$. Sér í lagi er til tala stærri en $c$ sem er í menginu $S$. Þetta þýðir að $c$ er ekki efra mark, því efra mark á að vera stærra eða jafnt og öll stök í $S$. Þetta er einnig mótsögn.

Þá er bara eftir möguleikinn $f(c)=s$, sem er nákvæmlega það sem við vildum.

Athugasemd

Það er möguleiki að það séu fleiri en einn punktur á bilinu þar sem fallið tekur gildið $s$. Sönnunin hér á undan finnur þann stærsta.

2.8.3. Fylgisetning

Fylgisetning

Ef $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ er margliða af oddatölu stigi $n$, þá er til rauntala $c$ þannig að $P(c)=0$.

Sönnun

Gerum ráð fyrir að $a_n>0$. Þá er $\lim_{x\to -\infty} P(x) = -\infty$ og $\lim_{x\to \infty} P(x) = \infty$. Það þýðir að til eru tölur $a$ og $b$ þannig að $P(a)<0$ og $P(b)>0$. Með því að beita Milligildissetningunni á fallið $P$ á bilinu $[a,b]$ og með $s=0$ þá fæst að til er núllstöð á bilinu $[a,b]$.

Ef $a_n < 0$ þá víxlast formerkin á markgildunum hér að ofan en röksemdafærslan er að öðru leyti eins.

2. Markgildi og samfelldni

2.1. Markgildi

2.1.1. Óformleg skilgreining á markgildi

2.1.2. Skilgreining: Markgildi

2.1.3. Dæmi um markgildi

2.2. Markgildi frá hægri og vinstri

2.2.1. Óformleg skilgreining á markgildi frá hægri

2.2.2. Skilgreining: Markgildi frá hægri

2.2.3. Óformleg skilgreining á markgildi frá vinstri

2.2.4. Skilgreining: Markgildi frá vinstri

2.2.5. Setning

2.2.6. Dæmi: Tölugildisfallið

2.3. Reiknireglur fyrir markgildi

2.3.1. Setning

2.3.2. Setning: Klemmureglan

2.3.3. Dæmi: Markgildi með sínus

2.4. Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

2.4.1. Óformleg skilgreining á markgildi þegar \(x \to \infty\)

2.4.2. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to \infty\)

2.4.3. Óformleg skilgreining á markgildi þegar \(x \to -\infty\)

2.4.4. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to -\infty\)

2.5. Óendanlegt sem markgildi

2.5.1. Óformleg skilgreining á markgildinu \(\infty\)

2.5.2. Skilgreining: Markgildið \(\infty\)

2.5.3. Óformleg skilgreining á markgildinu \(-\infty\)

2.5.4. Skilgreining: Markgildið \(-\infty\)

2.5.5. Æfingadæmi

2.6. Samfelldni

2.6.1. Skilgreining: Innri punktur

2.6.2. Skilgreining: Samfelldni í punkti

2.6.3. Setning

2.6.4. Setning: Samskeyting samfelldra falla

2.6.5. Skilgreining: Samfellt fall

2.6.6. Nokkur dæmi um samfelld föll

2.6.7. Að búa til samfelld föll

2.6.8. Dæmi

2.7. Hægri/vinstri samfelldni

2.7.1. Skilgreining

2.7.2. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni

2.7.3. Uppfærð skilgreining: Samfellt fall

2.8. Eiginleikar samfelldra falla

2.8.1. Setning: Há- og lággildislögmálið

2.8.2. Setning: Milligildissetningin

2.8.3. Fylgisetning