7. Rúmmál, massi og massamiðja

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

• Undirstöðuatriði í rúmfræði.

The fact that we live at the bottom of a deep gravity well, on the surface of a gas covered planet going around a nuclear fireball 90 million miles away and think this to be normal is obviously some indication of how skewed our perspective tends to be.

- Douglas Adams, The Salmon of Doubt: Hitchhiking the Galaxy One Last Time

7.1. Rúmmál, lengd og flatarmál

7.1.1. Rúmmál rúmskika

Rúmskiki \(D\) liggur á milli plananna \(x=a\) og \(x=b\). Táknum með \(A(x)\) flatarmál þversniðs \(D\) við plan sem sker \(x\)-ásinn í \(x\) og er hornrétt á \(x\)-ás. Ef fallið \(A(x)\) er heildanlegt yfir bilið \([a, b]\) þá er rúmmál \(D\) jafnt og

\[V=\int_a^b A(x)\,dx.\]

7.1.2. Rúmmál keilu

Látum \(F\) vera takmarkaðan samanhangandi bút af plani og látum \(T\) vera punkt sem liggur ekki í planinu. Látum \(A\) tákna flatarmál \(F\) og \(h\) tákna fjarlægð topppunktsins frá planinu sem grunnflöturinn liggur í. Keila en: cone
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. með grunnflöt \(F\) og topppunkt \(T\) er rúmskiki sem afmarkast af grunnfletinum \(F\) og öllum strikum sem liggja frá punktum á jaðri \(F\) til \(T\). Rúmmál keilunnar er

\[V=\frac{1}{3}hA=\frac{1}{3}(\text{hæð})(\text{flatarmál grunnflatar}).\]

Formúlan gildir óháð lögun grunnflatarins \(F\).

7.1.3. Rúmmál snúðs, snúið um \(x\)-ás

Látum \(f\) vera samfellt fall á bili \([a, b]\). Rúmskikinn sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af \(x\)-ás, grafinu \(y=f(x)\) og línunum \(x=a\) og \(x=b\) er snúið \(360^\circ\) um \(x\)-ás hefur rúmmálið

\[V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.\]

Sjá 3D volume by rotation of a function eftir George Katehos (CC-BY-SA).

7.1.4. Rúmmál snúðs með gati

Látum \(f\) og \(g\) vera tvö samfelld föll skilgreind á bilinu \([a, b]\). Gerum ráð fyrir að um öll \(x\in [a, b]\) gildi að \(0\leq f(x)\leq g(x)\). Þegar svæðinu milli grafa \(f\) og \(g\) er snúið \(360^\circ\) um \(x\)-ás fæst rúmskiki sem hefur rúmmálið

\[V=\pi\int_a^b g(x)^2-f(x)^2\,dx.\]

7.1.5. Rúmmál snúðs, snúið um \(y\)-ás

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á bili \([a, b]\), með \(0\leq a<b\). Gerum ráð fyrir að \(f(x)\geq 0\) fyrir öll \(x\in [a, b]\). Rúmmál rúmskikans sem fæst með að snúa svæðinu sem afmarkast af \(x\)-ás, grafinu \(y=f(x)\) og línunum \(x=a\) og \(x=b\) um \(360^\circ\) um \(y\)-ás er

\[V=2\pi\int_a^b xf(x)\,dx.\]

Sjá Solids and volumes of revolution (rotation about y_axis) eftir Daniel Mentrard.

7.1.6. Lengd grafs

Látum \(f\) vera fall skilgreint á bili \([a, b]\) sem hefur samfellda afleiðu. Lengd grafsins \(y=f(x)\) milli \(x=a\) og \(x=b\) er skilgreind sem

\[s=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.\]

7.1.7. Flatarmál snúðflatar, snúið um \(x\)-ás

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á bili \([a, b]\). Grafinu \(y=f(x)\) er snúið \(360^\circ\) um \(x\)-ás og myndast við það flötur. Flatarmál flatarins er gefið með formúlunni

\[S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.\]

7.1.8. Flatarmál snúðflatar, snúið um \(y\)-ás

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á bili \([a, b]\). Grafinu \(y=f(x)\) er snúið \(360^\circ\) um \(y\)-ás og myndast við það flötur. Flatarmál flatarins er gefið með formúlunni

\[S=2\pi\int_a^b|x|\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.\]

7.2. Massi

7.2.1. Massi vírs

Vír liggur eftir ferli \(y=f(x)\) þar sem \(a\leq x\leq b\). Efnisþéttleiki (eðlisþyngdin) í punkti \((x, f(x))\) er gefinn sem \(\delta(x)\). Massafrymi vírsins (massi örbúts af lengd \(ds\)) er

\[dm = \delta(x)\, ds =\delta(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx,\]

og massi alls vírsins er

\[m=\int_a^b \delta(x)\,ds=\int_a^b \delta(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx.\]

7.2.2. Massi plötu

Plata afmarkast af \(x\)-ás, grafinu \(y=f(x)\) og línunum \(x=a\) og \(x=b\). Á línu sem er hornrétt á \(x\)-ás og sker \(x\)-ásinn í \(x\) er efnisþéttleikinn fastur og gefinn með \(\delta(x)\).

Flatarmál örsneiðar milli lína hornréttra á \(x\)-ás sem skera ásinn í \(x\) og \(x+dx\) er \(dA=f(x)\,dx\).

Massafrymi fyrir plötuna (massi örsneiðarinnar) er

\[dm =\delta(x)dA = \delta(x) f(x)\,dx,\]

og massi allrar plötunnar er

\[m=\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx.\]

7.2.3. Massi rúmskika

Rúmskiki \(D\) liggur á milli plananna \(x=a\) og \(x=b\). Táknum með \(A(x)\) flatarmál þversniðs \(D\) við plan sem sker \(x\)-ásinn í \(x\) og er hornrétt á \(x\)-ás. Gerum ráð fyrir að efnisþéttleikinn sé fastur á hverju þversniði, og að á þversniði \(D\) við plan sem sker \(x\)-ásinn í \(x\) og er hornrétt á \(x\)-ás sé efnisþéttleikinn gefinn með \(\delta(x)\).

Rúmmálsfrymi (rúmmál örsneiðar úr \(D\) sem liggur á milli tveggja plana sem eru hornrétt á \(x\)-ásinn og skera \(x\)-ásinn í \(x\) og \(x+dx\)) er \(dV=A(x)\, dx\).

Massafrymi (massi örsneiðarinnar) er

\[dm=\delta(x)\, dV = \delta(x) A(x)\, dx,\]

og massi rúmskikans \(D\) er þá

\[m=\int_a^b \delta(x)A(x)\, dx.\]

7.3. Massamiðja

7.3.1. Skilgreining: Massamiðja punktmassa

Skilgreining

Punktmassar \(m_1, m_2, \ldots, m_n\) eru staðsettir í punktunum \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) á \(x\)-ásnum.

Vægi en: moment, weight
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. kerfisins um punktinn \(x=0\) er skilgreint sem

\[M_{x=0}=\sum_{i=1}^n x_im_i,\]

og massamiðja (e. center of mass) kerfisins er

\[\overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} = \frac{\sum_{i=1}^n x_im_i}{\sum_{i=1}^n m_i}.\]

7.3.2. Skilgreining: Massamiðja

Skilgreining

Ef massi er dreifður samkvæmt þéttleika falli \(\delta(x)\) um bil \([a, b]\) á \(x\)-ásnum þá er massi og vægi um punktinn \(x=0\) gefið með formúlunum

\[m=\int_a^b \delta(x)\,dx \qquad\text{ og }\qquad M_{x=0}= \int_a^b x\delta(x)\,dx.\]

Massamiðjan er gefin með formúlunni

\[\overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} = \frac{\int_a^b x\delta(x)\,dx}{\int_a^b \delta(x)\,dx}.\]

7.3.3. Skilgreining: Massamiðja plötu

Skilgreining

Skoðum plötu af sömu gerð og í 7.2.2.

Vægi plötunnar um \(y\)- og \(x\)-ása eru gefin með formúlunum

\[M_{x=0}=\int_a^b x\delta(x)f(x)\,dx \qquad\text{og}\qquad M_{y=0}=\frac{1}{2}\int_a^b \delta(x)f(x)^2\,dx,\]

og hnit massamiðju plötunnar, \((\overline{x}, \overline{y})\), eru gefin með jöfnunum

\[\overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m}= \frac{\int_a^b x\delta(x)f(x)\,dx}{\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx}\]

og

\[\overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m}= \frac{\frac{1}{2}\int_a^b \delta(x)f(x)^2\,dx}{\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx}.\]

7.3.4. Setning Pappusar, I

Setning

Látum \(R\) vera svæði sem liggur í plani öðrum megin við línu \(L\). Látum \(A\) tákna flatarmál \(R\) og \(\overline{r}\) tákna fjarlægð massamiðju \(R\) frá \(L\).

Þegar svæðinu \(R\) er snúið \(360^\circ\) um \(L\) myndast snúðskiki með rúmmál

\[V=2\pi\overline{r}A.\]

7.3.5. Setning Pappusar, II

Setning

Látum \(C\) vera feril sem liggur í plani og er allur öðrum megin við línu \(L\). Látum \(s\) tákna lengd \(C\) og \(\overline{r}\) tákna fjarlægð massamiðju \(C\) frá \(L\). Þegar ferlinum \(C\) er snúið \(360^\circ\) um \(L\) myndast snúðflötur með flatarmál

\[S=2\pi\overline{r}s.\]

7.3.6. Æfingadæmi

Æfingadæmi

Látum \(f(x)=x^2\) vera gefið fall. Finnið rúmmál snúðsins (\(V\)) sem myndast þegar fallinu \(f\) er snúið um \(x\)-ás og er á milli línanna \(x=-2\) og \(x=1\).

1. \(V= \tfrac{17\pi}{5}\)

2. \(V= \tfrac{33\pi}{5}\)

3. \(V= \tfrac{51\pi}{5}\)

4. \(V= \tfrac{63\pi}{5}\)

Lausn

Setn. 7.1.3 gefur að

\[V= \pi \int_{-2}^1 \left(x^2 \right)^2 dx = \pi\left[ \tfrac{x^5}{5} \right]_{-2}^1 = \tfrac{33\pi}{5}.\]