5. Könnun falla

Athugasemd

Nauðsynleg undirstaða

• Vaxandi/minnkandi föll. Sjá einnig undirstöðuatriði um einhalla föll.

• Afleiður. Sjá einnig undirstöðuatriði um afleiður.

• Útgildi.

• Ójöfnur.

• Graf vörpunnar.

„The Guide says there is an art to flying“, said Ford, „or rather a knack. The knack lies in learning how to throw yourself at the ground and miss.“

- Douglas Adams, Life, the Universe and Everything

---

5.1. Inngangur

Aðvörun

Frávik frá bókinni

Það sem á eftir kemur er eitt af fáum atriðum þar sem mín nálgun og skilgreiningar eru frábrugðnar þeim í kennslubókinni eftir Adams.

5.1.1. Hver er munurinn?

Skoðum föllin tvö að ofan, þau eru augljóslega ekki eins, þannig að spurningin er hvernig getum við lýst muninum á þeim?

Þau hugtök sem við höfum skoðað hingað til geta ekki greint á milli þessara falla:

1. Þau hafa sama skilgreiningarmengið \([A,B]\)

2. Þau taka sömu gildin í endapunktunum

3. Þau hafa bæði hágildi í \(A\) og lággildi í \(B\)

4. Þau eru bæði samfelld og diffranleg

5. Þau eru bæði minnkandi (neikvæð afleiða)

5.1.2. Drögum sniðil

Ef við veljum nú tvo punkta á \([A,B]\) af handahófi, köllum þá \(x_1\) og \(x_2\), og drögum línu (sniðil) í gegnum punktana á gröfum \(f\) og \(g\) þá sjáum við að sniðillinn lendir fyrir neðan \(g\) en ofan \(f\).

Athugum nú að sérhvern punkt á milli \(x_1\) og \(x_2\) getum við skrifað á forminu \(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\), þar sem \(\alpha \in [0,1]\). En \(\alpha=0\) gefur \(x_2\) og \(\alpha=1\) gefur \(x_1\).

Þá er \(y\)-hnit punktsins á sniðlinum með þetta \(x\)-hnit gefið með

\[\alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2), \qquad \alpha \in [0,1],\]

á fyrri myndinni og

\[\alpha g(x_1) + (1-\alpha) g(x_2), \qquad \alpha \in [0,1],\]

á myndinni fyrir \(g\).

Ef graf \(f\) liggur fyrir neðan sniðilinn þá þýðir það að fallgildi \(f\) í punktunum \(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\) liggur fyrir neðan punktinum á sniðlinum, það er

\[f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).\]

Eins, ef graf \(g\) liggur fyrir ofan sniðilinn þá gildir að

\[g(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\geq \alpha g(x_1)+(1-\alpha)g(x_2).\]

---

5.2. Kúpni

5.2.1. Skilgreining: Kúpt/hvelft

Skilgreining

Látum \(f:[a, b]\rightarrow {\mathbb R}\) vera fall.

1. Segjum að fallið \(f\) sé kúpt en: convex function
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef um alla punkta \(x_1, x_2\in [a, b]\) og sérhverja tölu \(0\leq \alpha\leq 1\) gildir að

   \[f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).\]

2. Segjum að fallið \(f\) sé hvelft en: concave function
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef um alla punkta \(x_1, x_2\in [a, b]\) og sérhverja tölu \(0\leq \alpha\leq 1\) gildir að

   \[f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\geq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).\]

Athugasemd

Hér erum við komin með hugtak sem getur útskýrt muninn á myndunum í byrjun kaflans, \(f\) er kúpt og \(g\) er hvelft.

---

5.3. Auðkenning á kúpni með afleiðum

5.3.1. Athugasemd

Athugasemd

Ef við skoðum afleiður fallanna \(f\) og \(g\) betur þá sjáum við að:

1. Afleiða \(f\) er mjög neikvæð nálægt \(A\) og nálgast svo 0 í \(B\), það er afleiðan er vaxandi.

2. Afleiða \(g\) er u.þ.b. 0 í \(A\) og minnkar svo þegar við nálgumst \(B\), það er afleiðan er minnkandi.

Með öðrum orðum

\[(f')' = f'' \geq 0 \qquad \text{og} \qquad (g')' = g'' \leq 0.\]

5.3.2. Setning

Setning

Fyrir tvídiffranlegt fall \(f\) þá er eftirfarandi jafngilt

1. \(f\) er kúpt

2. \(f'\) er vaxandi

3. \(f'' \geq 0\)

5.3.3. Setning

Setning

Fyrir tvídiffranlegt fall \(g\) þá er eftirfarandi jafngilt

1. \(g\) er hvelft

2. \(g'\) er minnkandi

3. \(g'' \leq 0\)

Aðvörun

Hvort fall er kúpt eða hvelft er algjörlega óháð því hvort það er vaxandi eða minnkandi. Til dæmis er \(f(x) = x^2\) kúpt en það er vaxandi þegar \(x>0\) og minnkandi þegar \(x<0\).

Aðvörun

Föll eru ekki alltaf annað hvort kúpt eða hvelft alls staðar. Alveg eins og það eru til föll sem eru sums staðar vaxandi og sums staðar minnkandi, þá eru mörg föll sums staðar kúpt og sums staðar hveld. Þetta á til dæmis við um hornaföllin.

---

5.4. Beygjuskilapunktar

5.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Punktur \((x_0, f(x_0))\) er sagður vera beygjuskilapunktur en: flex point, inflection point, point of inflection
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. grafsins \(y=f(x)\) ef

1. grafið hefur snertilínu í \(x_0\), og

2. grafið er kúpt öðru megin við \(x_0\) og hvelft hinum megin við \(x_0\).

5.4.2. Setning

Setning

Ef fallið \(f\) er tvídiffranlegt þá er punkturinn \(x_0\) beygjuskilapunktur fallsins \(f\) ef og aðeins ef \(f''(x_0) =0\) og \(f''\) skiptir um formerki í \(x_0\).

5.5. Útgildi

5.5.1. Hvar á að leita útgilda

Útgildi skoðuðum við í kafla 3.5, en nú ætlum við að skoða hvernig önnur afleiðan nýtist til að finna og flokka útgildi.

Punktar sem koma til greina fyrir staðbundin útgildi falls \(f\) eru

1. punktar \(x_0\) þar sem \(f'(x_0)=0\),

2. punktar \(x_0\) þar sem \(f'(x_0)\) er ekki skilgreint,

3. þeir endapunktar skilgreiningarmengisins þar sem fallið er skilgreint.

5.5.2. Hágildi/lágildi út frá formerki afleiðu

Látum \(x_0\) vera innri punkt á skilgreiningarsvæði \(f\). Gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í öllum punktum í einhverju bili utan um \(x_0\) og að \(f'(x_0)=0\).

1. Ef formerki \(f'\) breytist úr plús í mínus í \(x_0\) (farið frá vinstri til hægri eftir rauntalnaásnum) þá er staðbundið hágildi í \(x_0\).

2. Ef formerki \(f'\) breytist úr mínus í plús í \(x_0\) þá er staðbundið lággildi í \(x_0\).

3. Ef formerki \(f'\) breytist ekki í \(x_0\) þá er hvorki há- né lággildi í \(x_0\).

5.5.3. Útgildi og önnur afleiðan

1. Ef \(f'(x_0)=0\) og \(f''(x_0)<0\) þá er \(x_0\) staðbundið hágildi.

2. Ef \(f'(x_0)=0\) og \(f''(x_0)>0\) þá er \(x_0\) staðbundið lággildi.

Aðvörun

Athugið að ef \(f''(x_0)=0\) þá getur \(x_0\) verið hvort sem er staðbundið hágildi, staðbundið lággildi eða beygjuskilapunktur.

5.6. Aðfellur

5.6.1. Skilgreining: Lóðrétt aðfella

Skilgreining

Fallið \(f\) hefur lóðrétta aðfellu í punktinum \(a\) ef \(\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm \infty\) og/eða \(\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty\). Aðfellan er þá línan \(x=a\).

Fallið \(\frac{1}{\sin(x)}\) hefur lóðréttar aðfellur í öllum punktum þar sem \(\sin(x)=0\).

5.6.2. Skilgreining: Lárétt aðfella

Skilgreining

Fallið \(f\) hefur lárétta aðfellu ef \(\lim_{x\to \infty} f(x) = L\) og/eða \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = L\). Aðfellan er þá línan \(y=L\).

Fallið \(\arctan(x)\) hefur tvær láréttar aðfellur, \(y=\frac{\pi}{2}\) og \(y=\frac{-\pi}{2}\).

5.6.3. Skáfella

Skilgreining

Fallið \(f\) hefur skáfellu ef til eru \(a\) og \(b\) þannig að \(\lim_{x\to \infty} f(x) -ax-b = 0\) og/eða \(\lim_{x\to -\infty} f(x) -ax-b= 0\).

Skáfellan er þá línan \(y=ax+b\).

Fallið \(\frac{x^2}{2x-4}\) hefur skáfelluna \(y=\frac{1}{2}x+1\) auk lóðréttu aðfellunnar \(x=2\).

---

5.7. Að teikna graf falls

Þegar teikna á graf fallsins \(f\) er gagnlegt að fara í gegnum atriðin á eftirfarandi lista:

1. Ákvarðið \(f'\) og \(f''\) og þáttið útkomurnar ef hægt er.

2. Kannið \(f\) til að ákvarða skilgreiningarmengi þess auk eftirfarandi eiginleika:

   1. Lóðréttar aðfellur. (Leitið að rótum nefnara)

   2. Láréttar aðfellur og skáfellur. (Finnið \(\lim_{x \to \pm\infty}f(x)\).)

   3. Samhverfa (er \(f\) jafnstætt eða oddstætt?)

   4. Skurðpunktar við ása (punktar með hnit \((x,0)\) eða \((0,y)\)), endapunktar skilgreiningamengisins eða aðrir punktar á grafinu þar sem einfalt er að reikna út bæði hnitin.

3. Kannið \(f'\) til að ákvarða eftirfarandi:

   1. Útgildispunkta.

   2. Punktar þar sem \(f'\) er ekki skilgreint (sérstöðupunktar, endapunktar skilgreiningarmengis \(f\) og lóðréttar aðfellur)

   3. Bilin þar sem \(f'\) er jákvætt og neikvætt. Það er góð hugmynd að setja þessar upplýsingar fram í töflu. Á töfluna má svo líka merkja inn niðurstöður um hvar \(f\) er vaxandi og minnkandi og hvort útgildispunktar séu staðbundin hágildi eða lággildi.

4. Kannið \(f''\) til að ákvarða eftirfarandi:

   1. Punktar þar sem \(f''(x)=0\).

   2. Punktar þar sem \(f''\) er ekki skilgreint (sérstöðupunktar, endapunktar skilgreiningarmengis \(f\) og lóðréttar aðfellur, e.t.v. auk fleiri punkta þar sem \(f'\) er skilgreint en ekki \(f''\).)

   3. Bilin þar sem \(f''\) er jákvætt og neikvætt og \(f\) þar af leiðandi kúpt og hvelft. Hér er gagnlegt að útbúa töflu.

   4. Beygjuskilapunktar.

---

5.8. Útgildisverkefni

5.8.1. Markmiðið

Útgildisverkefni snúast um það að hámarka eða lágmarka tiltekna stærð, t.d. verð, rúmmál, lengd, … . Þá þarf að finna (helst diffranlegt) fall fyrir stærðina sem við höfum áhuga á hámarka/lágmarka en þó með þeim skorðum sem vandamálið setur okkur.

Til þess að þetta sé mögulegt má fallið bara vera háð einni breytu og það þarf helst að vera diffranlegt.

Þá getum við fundið útgildi með þeim aðferðum sem við erum búin að koma okkur upp.

5.8.2. Að leysa útgildisvandamál

1. Lesið vandamálið vandlega og áttið ykkur á því hvert það er og hvað á að finna.

2. Teiknið mynd ef mögulegt er, hún gefur oft upplýsingar um skorður sem hjálpa okkur að útbúa fallið.

3. Skilgreinið aukabreytur.

4. Skilgreinið fallið, sem fall af einni eða fleiri breytum.

5. Finnið skorður (jöfnur) sem hægt er að stinga inn í fallið

6. Skrifið fallið sem fall af einni breytu.

7. Finnið útgildi

8. Dragið ályktanir af niðurstöðunni, og athugið hvort hún sé raunhæf miðað við verkefnið (rúmmál á ekki að vera neikvætt og þess háttar).

5.8.3. Dæmi: Gosdós

Hvert er hagkvæmasta formið á sívalningslaga gosdós?

5.8.4. Dæmi: Kassi

Hvernig er stærsti (mesta rúmmálið) loklausi kassinn sem hægt er búa til úr örk sem er \(12 \times 12\)?

5.8.5. Æfingadæmi

Æfingadæmi

Látum \(f(x)=x^3-2x^2-x+2\) vera gefið fall. Hakið við þann kross sem á við um fallið.

1. Fallið hefur staðbundið hágildi í \(x \approx 1,55\) og er hvelft á bilinu \((-\infty,\tfrac{2}{3})\).

2. Fallið hefur núllstöðvar í \(x=\pm 1\) og \(x=2\) og er kúpt á bilinu \((-\infty,\tfrac{2}{3})\).

3. Fallið hvelft á bilinu \((-\infty,\tfrac{2}{3})\) og vaxandi á bilinu \((-\infty , \tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)\).

4. Fallið hefur núllstöðvar í \(x=\pm 1\) og \(x=2\) og er minnkandi á bilinu \((-\infty , \tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)\).

Lausn

Reiknum fyrstu og aðra afleiðu fallsins. Fáum

\[f'(x) = 3x^2 - 4x - 1\]

og

\[f''(x) = 6x - 4.\]

Fáum að

\[3x^2 - 4x - 1 = 0 \iff x = \tfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\]

og

\[6x - 4 = 0 \iff x = \tfrac{2}{3}.\]

Auðvelt er að sýna að \(f'(x)>0\) ef \(x \in (-\infty;\tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)\) og er því fallið vaxandi á því bili sem og að \(f''(x)<0\) ef \(x \in (-\infty,\tfrac{2}{3})\) og gefur setning 5.3.3 að fallið sé hvelft á því bili.