9. Línuleg afleiðujöfnuhneppi

Leela: „To be, or not to be, that is the question.“ That is a very stupid question!

The Doctor: It’s Shakespeare.

Leela: And that is a very stupid name. You do not shake a spear, you throw it! Throwspeare, now that is a name.

9.1. Línuleg afleiðujöfnuhneppi

9.1.1. Skilgreining (Sjá §9.1)

Afleiðujöfnuhneppi af gerðinni

\[\begin{split}\begin{aligned} u_1'&=a_{11}(t)u_1+\cdots+a_{1m}(t)u_m+f_1(t),\\ u_2'&=a_{21}(t)u_1+\cdots+a_{2m}(t)u_m+f_2(t),\\ \vdots&\qquad \qquad \vdots\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots\\ u_m'&=a_{m1}(t)u_1+\cdots+a_{mm}(t)u_m+f_m(t).\end{aligned}\end{split}\]

er kallað línulegt fyrsta stig afleiðujöfnuhneppi. Á fylkjaformi má rita þetta sem

\[\begin{split}\begin{bmatrix}u_1'\\u_2'\\\vdots\\u_m'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1m}(t)\\ a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1m}(t)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}(t)&a_{m2}(t)&\cdots&a_{mm}(t)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_m\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}f_1(t) \\f_2(t) \\\vdots\\f_m(t)\end{bmatrix},\end{split}\]

og ef við notum \(u(t)\) til að tákna vigurinn \((u_1(t), u_2(t), \ldots, u_m(t))\), og svo \(A(t)\) til að tákna fylkið og \(f(t)\) til að tákna vigurinn \((f_1(t), f_2(t), \ldots, f_m(t))\) þá má rita jöfnuna hér að ofan sem \(u'=A(t)u+f(t)\).

Hér er gert ráð fyrir að föllin sem koma fyrir í fylkinu \(A(t)\) og sem hnit í \(f(t)\) séu öll skilgreind á einhverju opnu bili \(I\) í \(\mathbb{R}\) og að þau séu öll samfelld.

Í framhaldinu er gert ráð fyrir að \(u, A, f\) séu á því formi sem lýst er hér að ofan.

9.1.2. Skilgreining (Sjá §9.1)

Afleiðujafna af taginu \(u'=A(t)u+f(t)\) er sögð óhliðruð ef \(f(t)\) er núllfallið (útkoman er alltaf vigurinn sem hefur 0 í öllum hnitum), en hliðruð annars. Talað er um jöfnuhneppi með fastastuðlum ef stuðlarnir í fylkinu \(A\) eru allir fastar.

9.1.3. Setning (Sjá §9.1)

Upphafsgildisverkefnið

\[u'=A(t)u+f(t), \qquad u(a)=b,\label{5.1.2}\]

hefur ótvírætt ákvarðaða lausn, þar sem \(a\) er einhver gefinn punktur í \(I\) og \(b\) er einhver gefinn vigur í \({\mathbb{C}}^m\). Sjá Fylgisetningu 6.3.5

9.1.4. Setning (Sjá §9.1)

Látum \(I\) vera opið bil á rauntalnaásnum. Rifjum upp að \(C(I, {\mathbb{C}}^m)\) er mengi allra samfelldra falla skilgreindra á \(I\) með gildi í \({\mathbb{C}}^m\) og \(C^1(I, {\mathbb{C}}^m)\) er mengi allra falla skilgreindra á \(I\) með gildi í \({\mathbb{C}}^m\) sem hafa samfellda fyrstu afleiðu. Bæði \(C(I, {\mathbb{C}}^m)\) og \(C^1(I, {\mathbb{C}}^m)\) eru vigurrúm.

Vörpunin \(L:C^1(I, {\mathbb{C}}^m)\to C(I, {\mathbb{C}}^m)\) þannig að \(Lu=u'-A(t)u\) er línuleg.

9.1.5. Fylgisetning (Sjá Setningu 9.1.3)

Lausnamengi óhliðraðar jöfnu \(u'=A(t)u\) er hlutrúm í \(C^1(I, {\mathbb{C}}^m)\) af vídd \(m\). Lausnamengið, eða núllrúm A, er táknað með \({\cal N}(A)\).
Sérhver lausn á \(u'=A(t)u+f(t)\) er af gerðinni

\[u(t)=c_1u_1(t)+\cdots+c_mu_m(t)+u_p(t),\]

þar sem \(u_1,\dots,u_m\) er einhver grunnur \({\cal N}(A)\), \(c_1,\dots,c_m\in{\mathbb{C}}\) og \(u_p\) er einhver lausn á hliðruðu jöfnunni.

9.1.6. Setning (Sjá Hjálparsetningu 9.3.1)

Látum \(u_1,\dots,u_m\) vera föll í \({\cal N}(A)\). Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild:

Vigurföllin \(u_1,\dots,u_m\) eru línulega óháð á bilinu \(I\).
Vigrarnir \(u_1(t),\dots,u_m(t)\) eru línulega óháðir í \(\mathbb{R}^ m\) (eða \({\mathbb{C}}^ m\)) fyrir sérhvert \(t\in I\).
Vigrarnir \(u_1(a),\dots,u_m(a)\) eru línulega óháðir í \(\mathbb{R}^ m\) (eða \({\mathbb{C}}^ m\)) fyrir eitthvert \(a\in I\).

9.1.7. Setning (Sjá §9.1)

Línuleg afleiðujafna af taginu

\[P(t,D)v= v^{(m)}+a_{m-1}(t)v^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)v' +a_0(t)=g(t)\]

er jafngild afleiðujöfnuhneppinu

\[u_1'=u_2,\quad u_2'=u_3,\quad \ldots,\quad u_{m-1}'=u_m\]

\[u_m' =-a_0(t)u_1-a_1(t)u_2-\cdots-a_{m-1}(t)u_m+g(t).\]

Þegar jöfnuhneppið ritað á fylkjaformi fæst

\[\begin{split}\begin{bmatrix}u_1'\\u_2'\\\vdots\\u_{m-1}'\\u_m'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1\\ -a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\dots&-a_{m-1}(t) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_{m-1}\\u_m\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots\\0\\g(t)\end{bmatrix}.\end{split}\]

Ef við ritum \(P(t,D)=D^ m+a_{m-1}(t)D^{m-1}+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) og fylkið \(A(t)\) er skilgreint eins og hér að ofan þá er

\[\det(\lambda I-A(t))=P(t,\lambda).\]

9.1.8. Setning (Sjá Hjálparsetningu 9.2.1)

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki og \(\varepsilon\) vera eiginvigur þess með tilliti til eigingildisins \(\lambda\). Þá uppfyllir vigurfallið \(u(t)=e^{\lambda t}\varepsilon\) jöfnuna \(u'=Au\).

9.1.9. Setning (Sjá Setningu 9.2.2)

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki og gerum ráð fyrir að \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\ell\) séu eiginvigrar þess með tilliti til eigingildanna \(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell\). Ef \(a \in I\), \(b\in {\mathbb{C}}^m\) og unnt er að skrifa \(b=\beta_1\varepsilon_1+\cdots+\beta_\ell\varepsilon_\ell\) og \(f(t)=g_1(t)\varepsilon_1+\cdots+g_\ell(t)\varepsilon_\ell\), þá er lausnin á upphafsgildisverkefninu

\[u'=Au+f(t), \qquad \qquad u(a)=b,\]

gefin með \(u(t)=v_1(t)\varepsilon_1+\cdots+v_\ell(t)\varepsilon_\ell\), þar sem stuðullinn \(v_j\) uppfyllir

\[v_j'(t)=\lambda_jv_j(t)+g_j(t), \qquad v_j(a)=\beta_j,\]

og er þar með

\[v_j(t)=\beta_je^{\lambda_j(t-a)}+e^{\lambda_jt}\int_a^t e^{-\lambda_j \tau}g_j(\tau) \, d\tau.\]

9.1.10. Skilgreining (Sjá §9.2)

Fyrir tölur \(t_1, t_2, \ldots, t_m\) er \({\operatorname{diag}}(t_1, t_2, \ldots, t_m)\) skilgreint sem \(m\times m\) hornalínufylkið sem hefur tölurnar \(t_1, t_2, \ldots, t_m\) á hornalínunni.

9.1.11. Setning (Sjá §9.2.2)

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki. Gerum ráð fyrir að \(T\) sé \(m\times m\) fylki þannig að \(T^{-1}AT=\Lambda\) þar sem \(\Lambda\) er hornalínufylki með stökin \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m\) á hornalínunni. (Athugið að \(A=T\Lambda T^{-1}\).)

Látum \(I\) vera bil á \(\mathbb{R}\), \(a\in I\), \(f\in C(I,{\mathbb{C}}^m)\) og \(b\in {\mathbb{C}}^m\). Þá hefur upphafsgildisverkefnið

\[u'=Au+f(t), \qquad u(a)=b\]

ótvírætt ákvarðaða lausn á \(I\), sem gefin er með formúlunni

\[\begin{split}\begin{aligned} u(t)&=T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1(t-a)},\dots,e^{\lambda_m(t-a)})T^{-1}b\\ &+\int_a^t T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1(t-\tau)},\dots,e^{\lambda_m(t-\tau)}) T^{-1}f(\tau)\, d\tau.\end{aligned}\end{split}\]

9.2. Veldisvísisfylkið

9.2.1. Skilgreining (Sjá Skilgreining 9.3.2)

Fylki af gerðinni

\[\Phi(t)=[u_1(t),\dots,u_m(t)], \qquad t\in I,\]

þar sem dálkavigrarnir \(u_1,\dots,u_m\) mynda grunn í núllrúminu \({\cal N}(A)\) fyrir afleiðujöfnuhneppið \(u'=A(t)u\), kallast grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið.

9.2.2. Setning (Sjá Setningu 9.3.3)

Lát \(\Phi\) og \(\Psi\) vera tvö grunnfylki fyrir jöfnuhneppið \(u'=A(t)u\). Þá er til andhverfanlegt fylki \(B\) þannig að

\[\Psi(t)=\Phi(t)B.\label{5.3.2}\]

9.2.3. Setning (Sjá Setningu 9.3.4)

Lát \(\Phi(t)\) vera grunnfylki fyrir jöfnuhneppið \(u' =A(t)u\).

Sérhvert stak í \({\cal N}(A)\) er af gerðinni \(u(t)=\Phi(t)c\), þar sem \(c\) er vigur í \({\mathbb{C}}^ m\).
Vigurfallið \(u_p\), sem gefið er með formúlunni

\[u_p(t)=\Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau,\]

uppfyllir \(u'=A(t)u+f(t)\) og \(u(a)=0\).

Lausnin á upphafsgildisverkefninu \(u'=A(t)u+f(t)\), \(u(a)=b\) er gefin með formúlunni

\[u(t)=\Phi(t)\Phi(a)^{-1}b+ \Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau.\]

9.2.4. Skilgreining (Sjá §9.4)

Runa \(\{C_n\}_{n=0}^\infty\), af \(\ell\times m\) fylkjum \(C_n=\big(c_{jkn}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}\) er sögð vera samleitin með markgildi \(C=\big(c_{jk}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}\) ef fyrir öll gildi á \(j, k\) gildir að

\[\lim\limits_{n\to\infty}c_{jkn}=c_{jk}.\]

Óendanleg summa \(\sum_{n=0}^\infty C_n\) af \(\ell\times m\) fylkjum er sögð vera samleitin, ef runan af hlutsummum \(\{\sum_{n=0}^N C_n\}_{N=0}^\infty\) er samleitin.

9.2.5. Skilgreining (Sjá §9.4)

Fyrir \(m\times m\)-fylki \(A\) skilgreinum við

\[e^A=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}A^n=I+A+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\cdots.\]

Athugið

Með tiltölulega lítilli fyrirhöfn (gert í hefti Ragnars) má sýna að röðin hér að ofan er samleitin fyrir öll \(m\times m\) fylki \(A\). Einnig má skilgreina á sama hátt \(\sin A, \cos A, \ldots\).

9.2.6. Setning (Sjá §9.5)

Fyrir rauntölu \(t\) er

\[\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}.\]

(Sjá Setningu 9.5.1) Fylkjafallið \(\Phi(t)= e^{tA}\) er hin ótvírætt ákvarðaða lausn upphafsgildisverkefnisins

\[\Phi'(t) = A\Phi(t), \qquad t\in \mathbb{R}, \qquad \Phi(0)=I.\]

9.2.7. Fylgisetning

Fylkið \(e^{tA}\) er grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið \(u'=Au\).

9.2.8. Setning (Sjá Setningu 9.5.2)

Ef \(A\) og \(B\) eru \(m\times m\) fylki og \(AB=BA\), þá er

\[e^{A+B}=e^ Ae^ B=e^Be^A.\label{5.5.1}\]

Fylkið \(e^ {tA}\) hefur andhverfuna \(e^{-tA}\).

9.2.9. Setning

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki. Gerum ráð fyrir að að \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\) séu eiginvigrar tilheyrandi eigingildum \(\lambda_1, \dots \lambda_m\) og að þessir vigrar myndi grunn. Látum \(T\) vera fylkið sem hefur vigrana \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\) sem dálkvigra í þessari röð. Þá er

\[e^{tA}=T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1t}, \ldots, e^{\lambda_mt})T^{-1}.\]

9.3. Útreikningur lausna

9.3.1. Verkefni (Sjá §9.6)

Fyrir gefið \(m\times m\) fylki \(A\) skal reikna \(e^{tA}\).

9.3.2. Setning Cayley-Hamilton (Sjá §9.6)

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki. Kennimargliða \(A\) er margliðan \(p(\lambda)=p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\). Þá er \(p_A(A)=0\).

9.3.3. Afleiðing Setningar Cayley-Hamilton

Hægt er að finna föll \(f_0(t), f_1(t), \ldots, f_{m-1}(t)\) þannig að

\[e^{tA}= f_0(t)I+f_1(t)A+\cdots+f_{m-1}(t)A^{m-1}.\]

9.3.4. Brúunarverkefni (Sjá §9.7)

Látum \(f\in {\cal O}({\mathbb{C}})\) vera gefið fall, látum \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) vera ólíka punkta í \({\mathbb{C}}\), látum \(m_1,\dots,m_\ell\) vera jákvæðar heiltölur og setjum \(m=m_1+\cdots+m_\ell\). Viljum finna margliðu \(r\) af stigi \(<m\), sem uppfyllir

\[f^{(j)}(\alpha_k) = r^{(j)}(\alpha_k), \qquad j=0,\dots,m_k-1, \quad k=1,\dots, \ell.\]

Þetta er alltaf hægt. Margliðan \(r\) er ótvírætt ákvörðuð.

9.3.5. Skilgreining (Sjá §9.7)

Við skilgreinum rununa \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) með því að telja \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) með margfeldni, þannig að fyrstu \(m_1\) gildin á \(\lambda_j\) séu \(\alpha_1\), næstu \(m_2\) gildin á \(\lambda_j\) séu \(\alpha_2\) o.s.frv. Svo er

\[p(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\cdots(z-\alpha_\ell)^{m_\ell} =(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m).\]

9.3.6. Skilgreining (Sjá §9.7)

Látum \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) vera talnarunu eins og hér að ofan.

Mismunakvótar eru skilgreindir með formúlum

\[f[\lambda_i,\dots,\lambda_{i+j}]=\dfrac{f^{(j)}(\lambda_i)}{j!},\]

ef \(\lambda_i=\cdots=\lambda_{i+j}\), og

\[f[\lambda_i,\dots,\lambda_{i+j}]= \dfrac{f[\lambda_i,\dots,\lambda_{i+j-1}]-f[\lambda_{i+1},\dots,\lambda_{i+j}]} {\lambda_i-\lambda_{i+j}},\]

ef \(\lambda_i\neq \lambda_{i+j}\), fyrir \(i=1,\dots,m\) og \(j=0,\dots,m-i\) .

9.3.7. Setning (Sjá §9.7)

Látum \(f\in {\cal O}({\mathbb{C}})\), \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) vera ólíka punkta í \({\mathbb{C}}\), \(m_1,\dots,m_\ell\) vera jákvæðar heiltölur, setjum \(m=m_1+\cdots+m_\ell\) og skilgreinum \(p(z)\) eins og hér að ofan. Þá er til margliða \(r\) af stigi \(<m\) og \(g\in {\cal O}({\mathbb{C}})\) þannig að

\[f(z)=r(z)+p(z)g(z), \qquad z\in {\mathbb{C}}.\]

Margliðan \(r\) er lausn á brúunarverkefninu. Bæði \(r\) og \(g\) eru ótvírætt ákvörðuð og

\[\begin{split}\begin{aligned} r(z)=f[\lambda_1]&+f[\lambda_1,\lambda_2](z-\lambda_1)+\cdots\\ &+ f[\lambda_1,\dots,\lambda_m](z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_{m-1})\end{aligned}\end{split}\]

og

\[g(z)=f[\lambda_1,\dots,\lambda_m,z](z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m).\]

9.3.8. Reikniaðferð

Þegar reikna þarf mismunakvóta þá er gott að fylgja sama skema og hér á eftir:

\[\begin{split}\begin{matrix} f[\lambda_1]\\ &f[\lambda_1,\lambda_2]\\ f[\lambda_2]& &f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3]\\ &f[\lambda_2,\lambda_3]& &f[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4]\\ f[\lambda_3]& &f[\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4]\\ &f[\lambda_3,\lambda_4]\\ f[\lambda_4] \end{matrix}\end{split}\]

Þegar \(\lambda_1=1=\lambda_2\) og \(\lambda_3=-1=\lambda_4\) og \(f(z)=e^{tz}\):

\[\begin{split}\begin{matrix} \lambda_1=1 & e^t \\ & & te^t& \\ \lambda_2=1 & e^t & & \tfrac 12(te^t-\sinh t)\\ & & \sinh t & & \tfrac 12(t\cosh t-\sinh t) \\ \lambda_3=-1 & e^{-t} & & \tfrac 12(\sinh t -te^{-t})\\ & & te^{-t}& \\ \lambda_4=-1 & e^{-t} \end{matrix}\end{split}\]

9.3.9. Reikniaðferð (Sjá §9.7)

Reikna á \(e^{tA}\) fyrir \(m\times m\) fylki \(A\) og/eða lausn \(u'=Au\) með ákveðið upphafsgildi \(u(0)=b\).

Skref 1: Reiknið eigingildi \(A\) með margfeldni.

Skref 2: Setjið upp mismunatöflu líkt og sýnt er hér að ofan.

Skref 3: Setjið upp formúlu \(e^{tA}\) með því að nota brúunarmargliðuna \(r(z)\).

Skref 3: Ef beðið er um \(e^{tA}\) þá reiknið þið upp úr formúlunni, en ef bara þarf að finna lausnina \(u\) þá þarf ekki að reikna upp úr formúlunni fyrir \(e^{tA}\) heldur er nóg að stilla upp formúlunni með fylkjum og svo margfalda í gegn með vigrinum þannig að maður margfaldar aldrei saman tvö fylki heldur er alltaf að margfalda fylki og vigur.