8. Veldaraðalausnir á afleiðujöfnum

Rose: If you are an alien, how come you sound like you’re from the north?

Doctor: Lots of planets have a north!

- Doctor Who

8.1. Veldaraðalausnir

8.1.1. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.1.1)

Fall \(f:X\to {\mathbb{C}}\) skilgreint á opnu mengi \(X\) á raunásnum, er sagt vera raunfágað á \(X\) ef fyrir sérhvern punkt \(a\in X\) er til tala \(\rho>0\) þannig að bilið \(]a-\rho, a+\rho[\subseteq X\) og til er veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\) þannig að fyrir öll \(x\in ]a-\rho, a+\rho[\) er \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\).

8.1.2. Umræða (Sjá §8.1)

Mörg hugtök og skilgreiningar fyrir raunfáguð föll eru eins og fyrir fáguð föll af tvinntölubreytu. Látum nú \(f(x)\) vera raunfágað fall skilgreint á opnu mengi \(X\) í \(\mathbb{R}\).

Gerum ráð fyrir að \(f(a)=0\) og \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\). Ef \(n\) er minnsta tala þannig að \(c_n\neq 0\) þá segjum við að \(f(x)\) hafi núllstöð af stigi \(n\) í \(a\).

Segjum að punktur \(a\) sé einangraður sérstöðupunktur ef til er tala \(\delta>0\) þannig að fallið \(f(x)\) er skilgreint á öllu bilinu \(]a-\delta, a+\delta[\) nema í punktinum \(a\).

Einangraður sérstöðupunktur \(a\) er sagður afmáanlegur ef hægt er að gefa \(f(a)\) gildi þannig að útvíkkaða fallið verði raunfágað á \(X\cup\{a\}\).

8.1.3. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.2.6)

Látum \(a_0(x), a_1(x), a_2(x)\) vera föll sem eru raunfáguð á bili \(I\). Segjum að punktur \(a\in I\) sé venjulegur punktur fyrir afleiðujöfnuna

\[a_2(x)u''+a_1(x)u'+a_0(x)u=0,\]

ef \(a_2(a)\neq 0\) eða ef \(a_2(a)=0\) þá hafi föllin \(P(x)=a_1(x)/a_2(x)\) og \(Q(x)=a_0(x)/a_2(x)\) afmáanlegan sérstöðupunkt í \(a\).

8.1.4. Setning (Samanber Setning 8.2.8)

Gerum ráð fyrir að \(a\) sé venjulegur punktur afleiðujöfnunnar

\[a_2(x)u''+a_1(x)u'+a_0(x)u=0.\]

Þá er sérhver lausn \(u\) á afleiðujöfnunni raunfáguð á bili umhverfis \(a\).

8.1.5. Reikniaðferð (Sjá §8.2)

Gerum ráð fyrir að \(a\) sé venjulegur punktur afleiðujöfnunnar

\[a_2(x)u''+a_1(x)u'+a_0(x)u=0.\]

Skref 0: Setjum \(P(x)=a_1(x)/a_2(x)\) og \(Q(x)=a_0(x)/a_2(x)\) og ritum afleiðujöfnuna sem

\[u''+P(x)u'+Q(x)u=0.\]

Skref 1: Finnum veldaraðir með miðju í \(a\) fyrir föllin \(P(x)\) og \(Q(x)\):

\[P(x)=\sum_{n=0}^\infty P_n(x-a)^n\qquad\mbox{ og }\qquad Q(x)=\sum_{n=0}^\infty Q_n(x-a)^n.\]

Skref 2: Setjum inn í afleiðujöfnuna

\[u(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n,\quad u'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)c_{n+1}(x-a)^n,\quad u''(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}(x-a)^n.\]

Skref 3: Tökum saman í eina veldaröð og fáum að

\[\sum_{n=0}^\infty \bigg((n+2)(n+1)c_{n+2} + \sum_{k=0}^{n} \big((k+1)P_{n-k}c_{k+1}+ Q_{n-k} c_k\big)\bigg)(x-a)^n=0.\]

Skref 4: Allir stuðlar í þessari síðustu veldaröð eru 0. Stuðlana \(c_0\) og \(c_1\) má velja frjálst og svo fæst rakningarformúla fyrir \(c_n\) þannig að

\[c_{n+2} = \dfrac{-1}{(n+2)(n+1)} \sum_{k=0}^n \big[(k+1)P_{n-k}c_{k+1}+ Q_{n-k}c_k\big].\]

Skref 5: Þegar rakningarformúlan er fengin þá er oft hægt að átta sig á hvaða fall er lausn eða reikna má fyrstu stuðlana í veldaröðinni og fá þannig Taylor-margliðu fallsins \(u\) sem má nota til að reikna nálgunargildi. Athugið einnig að \(c_0=u(a)\) og \(c_1=u'(a)\) þannig að oft ákvarðast því \(c_0\) og \(c_1\) af upphafsgildum.

8.1.6. Skilgreining (Sjá §8.3)

\(\Gamma\)-fallið er skilgreint með formúlunni

\[\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\, dt, \quad z\in {\mathbb{C}}, \quad \operatorname{Re\, } z>0.\]

8.1.7. Nokkrar formúlur (Sjá §8.3)

\[\begin{split}\begin{aligned} \Gamma(z+1)&=z\Gamma(z)\\ \Gamma(z+n)&=z(z+1)\cdots(z+n-1)\Gamma(z)\\ \Gamma(1)&=1\\ \Gamma(n)&=(n-1)!\\ \Gamma(1/2)&=\sqrt{\pi}\\ \Gamma(-1/2)&=2\sqrt{\pi}\\ \Gamma(n+1/2)&=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}.\end{aligned}\end{split}\]

8.2. Aðferð Frobeniusar

8.2.1. Umræða

Afleiðujafnan

\[x^2u''+xu'+(x^2-\alpha^2)u=0\]

kallast jafna Bessel. Besseljafnan og lausnir hennar, sem kallaðar eru Bessel-föll, koma upp í rafsegulfræði, varmafræði, skammtafræði, …

Punkturinn \(a=0\) er ekki venjulegur punktur. Aðeins í undantekningartilfellum fæst lausn með aðferðinni úr síðasta fyrirlestri við að prófa veldaraðarlausn með miðju í \(a=0\) og í engu tilfelli fæst grunnur fyrir lausnarúmið. Samt er hægt að nota aðferð sem er áþekk því sem lýst var í síðasta fyrirlestri.

8.2.2. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.4.1)

Látum \(f\) vera raunfágað fall á opnu mengi \(X\) í \(\mathbb{R}\). Við segjum að einangraður sérstöðupunktur \(a\) raunfágaða fallsins \(f\) sé skaut af stigi \(m>0\), ef til er tala \(\varrho>0\) og raunfágað fall \(g\) skilgreint á bilinu \(\{x\mid |x-a|<\varrho\}\), þannig að \(\{x\mid 0<|x-a|<{\varrho}\}\subseteq X\), \(g(a)\neq 0\) og

\[f(x)=\dfrac {g(x)}{(x-a)^m}\qquad \mbox{ef }0<|x-a|<\varrho.\]

8.2.3. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.4.2)

Við segjum að \(a\) sé reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnunnar

\[a_2(x)u''+a_1(x)u'+a_0(x)u=0\]

ef \(a\) er sérstöðupunktur jöfnunnar, fallið \(P=a_1(x)/a_2(x)\) hefur annað hvort afmáanlegan sérstöðupunkt í \(a\) eða skaut af stigi \(\leq 1\) og \(Q=a_0(x)/a_2(x)\) hefur annað hvort afmáanlegan sérstöðupunkt í \(a\) eða skaut af stigi \(\leq 2\).

8.2.4. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.4.4)

Gerum ráð fyrir að \(a\) sé reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnu sem rituð er á forminu

\[(x-a)^2u''+(x-a)p(x)u'+q(x)u=0.\label{3.4.7}\]

Þá kallast margliðan

\[\varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+p(a)\lambda+q(a)\]

vísamargliða afleiðujöfnunnar í punktinum \(a\), og jafnan \(\varphi(\lambda)=0\) kallast vísajafna afleiðujöfnunnar í punktinum \(a\). Núllstöðvarnar kallast vísar jöfnunnar í punkti \(a\).

8.2.5. Setning Frobeniusar (Sjá Setningu 8.4.5)

Gerum ráð fyrir því að \(a\) sé reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnunnar

\[(x-a)^2u''+ (x-a)p(x)u'+q(x)u=0\]

og gerum ráð fyrir að föllin \(p\) og \(q\) séu sett fram með veldaröðunum

\[p(x)=\sum_{n=0}^\infty p_n(x-a)^n, \qquad\quad q(x)=\sum_{n=0}^\infty q_n(x-a)^n,\]

og að þær séu samleitnar ef \(|x-a|<\varrho\). Látum \(r_1\) og \(r_2\) vera núllstöðvar vísajöfnunnar

\[\varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+p(a)\lambda+q(a)=0\]

og gerum ráð fyrir að \(\operatorname{Re\, } r_1\geq \operatorname{Re\, } r_2\). Þá gildir:

Til er lausn \(u_1\) á jöfnunni sem gefin er með

\[u_1(x)=|x-a|^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Valið á \(a_0\) er frjálst, en hinir stuðlar raðarinnar fást með rakningarformúlunni

\[a_n=\dfrac{-1}{\varphi(n+r_1)} \sum_{k=0}^{n-1}((k+r_1)p_{n-k}+q_{n-k})a_k, \qquad n=1,2,3,\dots.\]

Ef \(r_1-r_2\neq 0,1,2,\dots\), þá er til önnur línulega óháð lausn \(u_2\) á jöfnunni sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Valið á \(b_0\) er frjálst, en hinir stuðlar raðarinnar fást með rakningarformúlunni

\[b_n=\dfrac{-1}{\varphi(n+r_2)} \sum_{k=0}^{n-1}((k+r_2)p_{n-k}+q_{n-k})b_k, \qquad n=1,2,3,\dots.\]

Ef \(r_1-r_2=0\), þá er til önnur línulega óháð lausn \(u_2\) á jöfnunni sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_1+1}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n+ u_1(x)\ln|x-a|.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\) og stuðlar raðarinnar fást með innsetningu í jöfnuna.

Ef \(r_1-r_2=N\), þar sem \(N\) er jákvæð heiltala, þá er til önnur línulega óháð lausn \(u_2\) á upphaflegu jöfnunni sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n+ \gamma u_1(x)\ln|x-a|.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Stuðlar raðarinnar og \(\gamma\) fást með innsetningu í jöfnuna.

8.2.6. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.5.1)

Lausn á Bessel-jöfnunni \(x^2u''+xu'+(x^2-\alpha^2)u=0\), sem gefin er með formúlunni

\[J_\alpha(x)=\left|\dfrac x2\right|^\alpha\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!\Gamma(\alpha+k+1)}\left( \dfrac x2\right)^{2k}\]

er kölluð Bessel-fall af fyrstu gerð með vísi \(\alpha\).

8.2.7. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 8.5.2)

Fallið \(Y_{\alpha}\), \({\alpha}=1,2,3,\dots\) sem skilgreint er með

\[\begin{split}\begin{aligned} Y_{\alpha}(x)=\dfrac 2{\pi}\bigg[& J_{\alpha}(x)\bigg(\ln \dfrac {|x|}2+{\gamma}\bigg)\\ &+x^{\alpha}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}\big(h_k+h_{k+\alpha}\big)} {2^{2k+\alpha+1}k!(k+{\alpha})!} x^{2k}\\ &-x^{-\alpha}\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\alpha-k-1)!}{2^{2k-\alpha+1}k!}x^{2k}\bigg],\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(h_k=1+1/2+1/3+\cdots+1/k\) og \({\gamma}\) táknar fasta Eulers, nefnist Bessel-fall af annarri gerð með vísi \({\alpha}\).