7. Línulegar afleiðujöfnur

This,’ whispered the Doctor to Romana, ‘is going to be like trying to find a book about needles in a room full of books about haystacks.

- The Doctor, Doctor Who

7.1. Línulegar afleiðujöfnur

7.1.1. Athugasemd

Umfjöllun á þessu efni verður skýrari ef við leyfum föllunum sem fengist er við að taka ekki bara rauntölugildi heldur líka tvinntölugildi. Fastar og stuðlar sem koma fyrir geta því verið tvinntölur og þurfa ekki að vera rauntölur. Breytistæðirnar i föllunum, oftast táknaðar með \(t\) eða \(x\), eru hinsvegar alltaf rauntölur.

7.1.2. Skilgreining (Sjá §7.1)

Afleiðujafna af gerðinni

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t),\]

þar sem föllin \(a_0,\dots,a_m,f\) eru skilgreind á bili \(I\subset \mathbb{R}\), er sögð vera línuleg afleiðujafna. Við segjum að jafnan sé óhliðruð ef \(f\) er núllfallið, annars er sagt að hún sé hliðruð.

Fyrir sérhvern punkt \(t\in I\) fæst margliða í einni breytistærð \(\lambda\)

\[P(t,\lambda)= a_m(t)\lambda^{m}+a_{m-1}(t)\lambda^{m-1}+ \cdots+a_1(t)\lambda+a_0(t),\]

sem er kölluð kennimargliða jöfnunnar.

7.1.3. Skilgreining og setning (Sjá §7.1)

Látum \(a_0(t), \ldots, a_m(t)\) vera samfelld föll sem eru öll skilgreind á bili \(I\). Rifjum upp að mengi samfelldra falla sem eru skilgreind á \(I\) er táknað \(C(I)\) og mengi falla á \(I\) sem eru \(m\)-sinnum diffranleg með samfellda \(m\)-tu afleiðu er táknað \(C^m(I)\). Skilgreinum afleiðuvirkja \(L:C^m(I)\to C(I)\) þannig að fyrir fall \(u(t)\in C^m(I)\) er

\[Lu(t)=a_m(t)u^{(m)}(t)+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}(t)+\cdots+a_1(t)u'(t)+ a_0(t)u(t).\]

Þegar mengin \(C(I)\) og \(C^m(I)\) eru skoðuð sem vigurrúm yfir \({\mathbb{C}}\) þá er vörpunin \(L\) línuleg.

7.1.4. Skilgreining (Sjá §7.1)

Skilgreinum virkja \(D:C^1(I)\to C(I)\) þar sem \(I\) er bil þannig að \(Du=u'\). Látum \(a_0(t), \ldots, a_m(t)\) vera samfelld föll sem eru öll skilgreind á bili \(I\) og setjum

\[P(t,D)= a_m(t)D^{m}+a_{m-1}(t)D^{m-1}+ \cdots+a_1(t)D+a_0(t).\]

Ef \(L\) er afleiðuvirkinn sem er skilgreindur hér að ofan þá er \(Lu=P(t,D)u\) fyrir öll föll \(u\in C^m(I)\).

7.1.5. Setning (Sjá §7.1)

Kjarni eða núllrúm virkjans \(P(t,D)\) samanstendur af öllum lausnum \(u\) á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\). Fyrst \(P(t,D)\) er línulegur virki, þá er núllrúmið vigurrúm yfir tvinntölurnar. Við táknum það með \({\cal N}(P(t,D))\).

7.1.6. Fylgisetning (Sjá Setningu 7.1.3)

Látum \(a_0(t), \ldots, a_m(t)\) vera samfelld föll sem eru öll skilgreind á bili \(I\). Gerum ráð fyrir að \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Til eru föll \(u_1, \ldots, u_m\) skilgreind á \(I\) þannig að sérhverja lausn á afleiðujöfnunni

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=0,\]

má rita sem \(u=c_1u_1+\cdots+c_mu_m\) þar sem \(c_1, \ldots, c_m\) eru fastar. Föllin \(u_1, \ldots, u_m\) mynda grunn fyrir núllrúm virkjans \(P(t,D)\).

7.1.7. Fylgisetning (Sjá Setningu 7.1.4)

Látum \(a_0(t), \ldots, a_m(t), f(t)\) vera samfelld föll sem eru öll skilgreind á bili \(I\). Ef \(v(t)\) er einhver ein lausn (,,sérlausn‘‘) afleiðujöfnunnar

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t),\]

þá má rita sérhverja lausn sem \(u=c_1u_1+\cdots+c_mu_m+v\) þar sem \(c_1, \ldots, c_m\) eru fastar og föllin \(u_1, \ldots, u_m\) mynda grunn fyrir núllrúm virkjans \(P(t,D)\).

Línulega samantektin \(c_1u_1+\cdots+c_mu_m\) gefur almenna lausnarformúlu fyrir afleiðujöfnuna

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=0.\]

Sérhverja lausn má því rita sem (lausn óhliðraðar)+(ákveðin sérlausn).

7.1.8. Skilgreining (Sjá §7.2)

Afleiðujafna á forminu

\[a_mu^{(m)}+\cdots + a_1u'+a_0u=f(t)\]

þar sem \(a_0, a_1, \ldots, a_m\) eru fastar kallast línuleg \(m\)-ta stigs afleiðujafna með fastastuðla. Kennimargliða hennar er

\[P(\lambda)=a_m\lambda^{m}+\cdots + a_1\lambda+a_0.\]

7.1.9. Setning (Sjá Setningu 7.2.1)

Gerum ráð fyrir að \(P(D)\) sé línulegur afleiðuvirki af \(m\) með fastastuðla og að kennimargliðan \(P(\lambda)\) hafi \(\ell\) ólíkar núllstöðvar \(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell\in {\mathbb{C}}\) með margfeldnina \(m_1,\dots,m_\ell\). Þá mynda föllin

\[\begin{split}\begin{gathered} e^{\lambda_1t}, te^{\lambda_1t},\dots, t^{m_1-1}e^{\lambda_1t},\\ e^{\lambda_2t}, te^{\lambda_2t},\dots, t^{m_2-1}e^{\lambda_2t},\\ \quad \vdots\qquad \vdots \qquad \qquad \vdots\\ e^{\lambda_\ell t}, te^{\lambda_\ell t},\dots, t^{m_\ell-1}e^{\lambda_\ell t},\end{gathered}\end{split}\]

grunn í núllrúmi virkjans \(P(D)\) og sérhvert stak í núllrúminu má rita sem

\[q_1(t)e^{\lambda_1t}+\cdots+q_\ell(t)e^{\lambda_\ell t},\]

þar sem \(q_j\) eru margliður af stigi \(<m_j\), \(1\leq j\leq \ell\).

7.1.10. Athugasemd

Látum \(a_0, \ldots, a_m\) vera rauntölur. Viljum finna raungildar lausnir

\[a_nu^{(n)}+\cdots+a_1u'+a_0u=0.\]

Hugsum okkur að \(\lambda=\alpha+i\beta\) sé \(m\)-föld rót kennimargliðu afleiðujöfnunar. Þá er \(\mu=\overline{\lambda}=\alpha-i\beta\) líka \(m\)-föld rót kennijöfnu. Þegar grunnur fyrir lausnarúmið er skrifaður má í stað

\[e^{\lambda t}, te^{\lambda t},\dots, t^{m-1}e^{\lambda t}, e^{\mu t}, te^{\mu t},\dots, t^{m-1}e^{\mu t}\]

hafa í grunninum raungildu föllin

\[e^{\alpha t}\cos(\beta t), te^{\alpha t}\cos(\beta t), \ldots, t^{m-1}e^{\alpha t}\cos(\beta t), e^{\alpha t}\sin(\beta t), te^{\alpha t}\sin(\beta t), \ldots, t^{m-1}e^{\alpha t}\sin(\beta t).\]

7.1.11. Skilgreining (Sjá §7.3)

Afleiðujafna af gerðinni

\[a_mx^mu^{(m)}+\cdots+a_1xu'+a_0u=0,\]

þar sem stuðlarnir \(a_0,\ldots, a_m\) eru tvinntölur, kallast \(m\)-ta stigs Euler-jafna (sumsstaðar kallaðar Cauchy-Euler jöfnur).

7.1.12. Setning (Sjá Setningu 7.3.1)

Gefin er afleiðujafna

\[a_mx^mu^{(m)}+\cdots+a_1xu'+a_0u=0,\]

Skilgreinum margliðu

\[Q(r)=a_m r(r-1)\cdots(r-m+1)+\cdots+a_1r+a_0.\]

Almenn lausn afleiðujöfnunnar á jákvæða raunásnum er línuleg samantekt fallanna

\[\begin{split}\begin{gathered} x^{r_1}, \big(\ln x \big) x^{r_1}, \dots, \big(\ln x\big)^{m_1-1}x^{r_1},\\ x^{r_2}, \big(\ln x\big)x^{r_2}, \dots, \big(\ln x \big)^{m_2-1} x^{r_2},\\ \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots\\ x^{r_\ell}, \big(\ln x \big)x^{r_\ell}, \dots, \big(\ln x\big)^{m_\ell-1} x^{r_\ell},\end{gathered}\end{split}\]

þar sem \(r_1,\dots,r_\ell\) eru ólíkar núllstöðvar margliðunnar \(Q\) með margfeldni \(m_1,\dots,m_\ell\).

7.1.13. Athugasemd

Gerum nú ráð fyrir að \(a_0, \ldots, a_m\) séu rauntölur. Hugsum okkur að \(\lambda=\alpha+i\beta\) sé \(m\)-föld rót margliðunni \(Q(r)\). Þá er \(\mu=\overline{\lambda}=\alpha-i\beta\) líka \(m\)-föld rót \(Q(r)\). Þegar grunnur fyrir lausnarúmið er skrifaður má í stað

\[x^{\lambda}, (\ln x)x^{\lambda},\dots, (ln x)^{m-1}x^{\lambda}, x^{\mu}, (\ln x)x^{\mu},\dots, (\ln x)^{m-1}x^{\mu}\]

hafa í grunninum raungildu föllin

\[x^{\alpha}\cos(\ln(\beta x)), (\ln x)x^{\alpha}\cos(\ln(\beta x)), \ldots, (\ln x)^{m-1}x^{\alpha}\cos(\ln(\beta x)),\]

\[x^{\alpha}\sin(\ln(\beta x)), (\ln x)x^{\alpha t}\sin(\ln(\beta x)), \ldots, (\ln x)^{m-1}x^{\alpha}\sin(\ln(\beta x)).\]

7.2. Sérlausnir og Green-föll

7.2.1. Upprifjun

Viljum leysa afleiðujöfnu af taginu

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t).\]

Fyrst er að finna grunn fyrir lausnarúm óhliðruðu jöfnunnar

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=0.\]

Svo finnum við einhverja eina lausn (,,sérlausn‘‘)

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t).\]

Þá getum við lýst öllum lausnum afleiðujöfnunnar.

Það að finna sérlausnina getur verið erfitt.

7.2.2. Ágiskun (Sjá §7.4)

Giskum á sérlausn sem er fall af ,,sömu gerð‘‘ og fallið \(f(t)\), nema hvað ekki settar inn ákveðnar tölur fyrir stuðla sem koma fyrir. Stungið inn í jöfnu og reynt að ákvarða stuðla.

7.2.3. Góðar ágiskanir

Höfum línulega afleiðujöfnu með fastastuðlum

\[a_mu^{(m)}+a_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+a_1u'+a_0u=f(t).\]

Látum \(P_n(t)\) standa fyrir einhverja \(n\)-ta stigs margliðu og látum \(A_n(t)\) og \(B_n(t)\) tákna \(n\)-ta stigs margliður með óákveðnum stuðlum.

Ef \(f(t)=P_n(t)\) þá giskað á \(u_{\rm p}(t)=t^lA_n(t)\).

Ef \(f(t)=P_n(t)e^{rt}\) þá giskað á \(u_{\rm p}(t)=t^lA_n(t)e^{rt}\).

Ef \(f(t)=P_n(t)e^{rt}\sin(kt)\) þá giskað á \(u_{\rm p}(t)=t^le^{rt}[A_n(t)\cos(kt)+B_n(t)\sin(kt)]\).

Ef \(f(t)=P_n(t)e^{rt}\cos(kt)\) þá giskað á \(u_{\rm p}(t)=t^le^{rt}[A_n(t)\cos(kt)+B_n(t)\sin(kt)]\).

Hér táknar \(l\) minnstu töluna af tölunum \(0, 1, \ldots, m-1\) sem tryggir að enginn liður í ágiskuninni sé lausn á óhliðruðu jöfnunni \(a_mu^{(m)}+a_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+a_1u'+a_0u=0\).

7.2.4. Dæmi - Deyfð sveifla með drifkrafti

Lítum á diffurjöfnuna \(mx''+cx'+kx=A\cos(\omega t)\).

7.2.5. Sérlausnir fundnar með virkjareikningi (Sjá §7.4)

Aðferðin snýst um að nýta sér ákveðin mynstur sem koma upp þegar línulegum afleiðuvirkja með fastastuðla er beitt á ákveðnar gerðir falla. Lykilformúlur eru:

\[P(D)e^{\alpha t}=P(\alpha)e^{\alpha t}.\]

\[(D-\alpha)v(t)e^{\alpha t}=v'(t)e^{\alpha t}\quad\mbox{og almennar}\quad (D-\alpha)^kv(t) e^{\alpha t}=v^{(k)}(t)e^{\alpha t},\]

\[\mbox{ef } P(D)=Q(D)(D-\alpha)^k\mbox{ þá } P(D)\frac{t^ke^{\alpha t}}{k!Q(\alpha)}=e^{\alpha t}.\]

7.2.6. Hjálparsetning (Sjá Hjálparsetningu 7.5.1)

Ef \(I\) er bil á raunásnum, \(a\in I\), \(f\in C(I)\) og \(g\in C(I\times I)\), er samfellt deildanlegt fall af fyrri breytistærðinni, þ.e. \({\partial}_tg\in C(I\times I)\), þá er fallið \(h\), sem gefið er með formúlunni

\[h(t)=\int_a^t g(t, \tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I,\]

í \(C^1(I)\) og afleiða þess er

\[h'(t)=g(t,t)f(t)+\int_a^t \partial_tg(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I.\]

7.2.7. Skilgreining og umræða (Sjá §7.5)

Skoðum afleiðujöfnu

\[P(t,D)u=\big(a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\big)u=f(t)\]

þar sem föllin \(a_0(t),\dots,a_m(t),f(t)\) eru í \(C(I)\) og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\).

Samkvæmt Fylgisetningu 6.3.6. gildir fyrir sérhvern punkt \(\tau\in I\) að til er ótvírætt ákvörðuð lausn

\(u_\tau\) á upphafsgildisverkefninu \(P(t,D)u=0\) þannig að

\[u_\tau(\tau)=u_\tau'(\tau)=\cdots=u_\tau^{(m-2)}(\tau)=0\qquad\mbox{og}\qquad u_\tau^{(m-1)}(\tau)=1/a_m(\tau).\]

Skilgreinum Green-fall virkjans \(P(t, D)\) sem fallið \(G(t,\tau)\) þannig að fyrir öll \(t,\tau\in I\) er \(G(t,\tau)=u_\tau(t)\).

7.2.8. Setning (Sjá §7.5)

Um Green-fall línulegs afleiðuvirkja

\[P(t,D)=a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\]

þar sem föllin \(a_0(t),\dots,a_m(t),f(t)\) eru í \(C(I)\) og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\) gildir:

\[P(t,D_t)G(t,\tau)=0, \qquad \mbox{fyrir öll }t,\tau\in I,\label{2.5.2}\]

\[\begin{split}\begin{gathered} G(\tau,\tau)=\partial_tG(\tau,\tau)=\cdots= \partial_t^{(m-2)}G(\tau,\tau)=0,\\ \partial_t^{(m-1)}G(\tau,\tau)=1/a_m({\tau})\label{2.5.3}. \end{gathered}\end{split}\]

Green-fallið ákvarðast ótvírætt af þessum skilyrðum.

Fallið \(G(t,\tau)\) er \(m\)-sinnum samfellt deildanlegt fall af \(t\) fyrir sérhvert \(\tau\in I\) og \(\partial_t^jG\in C(I\times I)\) fyrir \(j=0,\dots,m\).

7.2.9. Setning (Sjá Setningu 7.5.2)

Látum \(P(t,D)\) vera línulegan afleiðuvirkja á forminu

\[P(t,D)u=(a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t))u\]

þar sem föllin \(a_0(t),\dots,a_m(t),f(t)\) eru í \(C(I)\) og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\).

Ef \(a\) er einhver punktur í \(I\) þá hefur upphafsgildisverkefnið

\[P(t,D)u=f(t),\]

með

\[u(a)=u'(a)=\cdots=u^{(m-1)}(a)=0,\]

ótvírætt ákvarðaða lausn \(u_p\in C^m(I)\) sem gefin er með formúlunni

\[u_p(t) = \int_a^t G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I,\]

og \(G(t,\tau)\) er Green-fall virkjans \(P(t, D)\).

7.2.10. Fylgisetning (Sjá Fylgisetningu 7.5.4)

Gerum ráð fyrir að \(P(D)=a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0\) sé línulegur afleiðuvirki með fastastuðla. Látum \(g\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) vera fallið sem uppfyllir

\[P(D)g=0,\ \text{með } g(0)=g'(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0,\mbox{ og } g^{(m-1)}(0)=1/a_m.\]

Þá er \(G(t,\tau)=g(t-\tau)\) Green-fall virkjans \(P(D)\).

7.3. Green-föll og Wronski-ákveður

7.3.1. Reikniaðferð

Finna skal Green-fall \(G(t,\tau)\) fyrir \(m\)-ta stigs línulegan afleiðuvirkja \(P(t,D)\).

Stuðlar afleiðuvirkjans eru fastar, þ.e.a.s. \(P(D)=a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0\).

Fyrst er fundinn grunnur \(u_1(t), \ldots, u_m(t)\) fyrir lausnarúm jöfnunnar \(P(D)u=0\). Almenna lausnin er á á forminu

\[u=c_1u_1+\cdots+c_mu_m,\]

þar sem \(c_1, \ldots, c_m\) eru fastar.

Næst er fundin ein ákveðin lausn \(g(t)\) á jöfnunni \(P(D)u=0\) sem uppfyllir skilyrðin \(g(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0\) og \(g^{(m-1)}(0)=1/a_m\).

Green-fallið er svo gefið með formúlunni \(G(t,\tau)=g(t-\tau)\).

Stuðlar í \(P(t,D)\) eru föll \(a_0(t), \ldots, a_m(t)\) skilgreind á bili \(I\) þannig að

\[P(t,D)=a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t).\]

Fyrst er fundinn grunnur \(u_1(t), \ldots, u_m(t)\) fyrir lausnarúm \(P(t,D)u=0\). Almenna lausnin er á forminu

\[u=c_1u_1+\cdots+c_mu_m,\]

þar sem \(c_1, \ldots, c_m\) eru fastar.

Svo finnum við fyrir almennan punkt \(\tau\in I\) gildi á fastana \(c_1(\tau), \ldots, c_m(\tau)\) þannig að um lausnina \(u_\tau(t)= c_1(\tau)u_1(t)+\cdots+c_m(\tau)u_m(t)\) á \(P(t,D)u=0\) gildi að

\[u_\tau(\tau)=u_\tau'(\tau)=\cdots=u_\tau^{(m-2)}(\tau)=0\qquad\mbox{og}\qquad u_\tau^{(m-1)}(\tau)=1/a_m(\tau).\]

Green-fallið er þá gefið með formúlunni \(G(t,\tau)=u_\tau(t)\).

7.3.2. Skilgreining (Sjá §7.6)

Látum \(u_1, \ldots, u_m\) vera vera \((m-1)\)-sinni deildanleg föll skilgreind á bili I. Wronski-fylki fallanna \(u_1, u_2, \ldots, u_m\) er skilgreint sem fylkið

\[\begin{split}V(u_1, u_2, \ldots, u_m)=\begin{bmatrix} u_1(t)&u_2(t)&\cdots&u_m(t)\\ u_1'(t)&u_2'(t)&\cdots&u_m'(t)\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ u_1^{(m-1)}(t)&u_2^{(m-1)}(t)&\cdots&u_m^{(m-1)}(t) \end{bmatrix}.\end{split}\]

Ákveða þessa fylkis er kölluð Wronski-ákveða fallanna \(u_1, u_2, \ldots, u_m\).

Athugið

Stuðlarnir í Wronski-fylkinu eru föll af breytunni \(t\) og sömuleiðis er Wronski-ákveðan fall af breytunni \(t\).

7.3.3. Setning (Sjá Setningu 7.6.3)

Látum \(P(t,D)=a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) vera afleiðuvirkja með samfellda stuðla, \(u_1,\dots,u_m\) vera lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\) og táknum Wronski-ákveðu þeirra með \(W(t)\). Þá uppfyllir \(W\) fyrsta stigs afleiðujöfnuna

\[a_m(t) W'+a_{m-1}(t)W=0\]

og þar með gildir formúlan

\[W(t)=W(a)\exp\bigg(-\int_a^t\dfrac{a_{m-1}(\tau)}{a_m(\tau)}\, d\tau\bigg)\]

fyrir öll \(a\) og \(t\) á bili \(J\) þar sem \(a_m\) er núllstöðvalaust.

7.3.4. Setning (Sjá Setningu 7.6.3)

Látum \(u_1,\dots,u_m\) vera lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\), þar sem

\[P(t,D)=a_m(t)D^m \cdots+a_1(t)D+a_0(t)\]

og föllin \(a_0(t), \ldots, a_m(t)\) eru skilgreind og samfelld á bili \(I\) og við gerum ráð fyrir að \(a_m\) sé núllstöðvalaust á opnu bili \(J\subseteq I\). Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild:

Föllin \(u_1,\dots,u_m\) eru línulega óháð á bilinu \(J\).
\(W(u_1,\dots,u_m)(t)\neq 0\) fyrir sérhvert \(t\in J\).
\(W(u_1,\dots,u_m)(a)\neq 0\) fyrir eitthvert \(a\in J\).

7.3.5. Setning (Sjá Setningu 7.6.4)

Látum \(P(t,D)=a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) vera afleiðuvirkja með stuðla sem eru samfelld föll skilgreind á bili \(I\) og \(u_1,\dots,u_m\) vera grunn í \({\cal N}(P(t,D))\). Green-fall virkjans er gefið með formúlunni

\[G(t,\tau)=c_1(\tau)u_1(t)+\cdots+c_m(\tau)u_m(t), \qquad t,\tau\in I,\]

þar sem vigurinn \(a_m({\tau})(c_1(\tau),\dots,c_m(\tau))\) myndar aftasta dálkinn í andhverfu Wronski-fylkisins \(V(u_1,\dots,u_m)(\tau)\),

\[c_j(\tau)=(-1)^{m+j} \dfrac{\det V_{mj}(u_1,\dots,u_m)(\tau)} {a_m({\tau})W(u_1,\dots, u_m)(\tau)},\]

þar sem \(V_{mj}(u_1,\dots,u_m)(\tau)\) táknar \((m-1)\times (m-1)\) fylkið sem fæst með því að fella niður neðstu línuna og dálk númer \(j\) í \(V(u_1,\dots,u_m)(\tau)\).

7.3.6. Fylgisetning (Er hluti af Setningu 7.6.4)

Sérlausn á afleiðujöfnunni \(P(t,D)u=f(t)\) er gefin með formúlunni

\[u_p(t)=v_1(t)u_1(t)+\cdots+v_m(t)u_m(t), \qquad t\in I,\]

þar sem stuðlaföllin \(v_j\) eru gefin með formúlunni

\[v_j(t)=\int_a^t c_j(\tau)f(\tau) \, d\tau.\]

7.3.7. Fylgisetning (Sjá Fylgisetning 7.6.5)

Látum \(P(t,D)=a_2(t)D^2+a_1(t)D+a_0(t)\) vera annars stigs afleiðuvirkja á bilinu \(I\) með samfellda stuðla og \(a_2(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Gerum nú ráð fyrir að \(u_1\) og \(u_2\) séu línulega óháðar lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\). Þá er

\[\begin{split}G(t,\tau) =a_2(\tau)^{-1} \left|\begin{matrix} u_1(\tau) & u_1(t)\\ u_2(\tau) & u_2(t) \end{matrix}\right|\bigg / \left|\begin{matrix} u_1(\tau) & u_2({\tau})\\ u_1'(\tau) & u_2'({\tau}) \end{matrix}\right|.\end{split}\]