1. Tvinntölur

There’s something that doesn’t make sense. Let’s go and poke it with a stick.

- The Doctor, Doctor Who

1.1. Tvinntölurnar

1.1.1. Skilgreining

Skilgreinum margföldun á \(\mathbb{R}^2\) þannig að

\[(a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc).\]

Þegar hugsað er um \(\mathbb{R}^2\) með þessari margföldun og venjulegri samlagningu þá eru stökin í \(\mathbb{R}^2\) kallaðar tvinntölur og mengi þeirra er táknað með \({\mathbb{C}}\). Þegar við viljum leggja áherslu á að líta má á tvinntölu sem punkt í planinu \(\mathbb{R}^2\) þá er talað um tvinntalnaplanið.

1.1.2. Ritháttur

Þegar fjallað er um tvinntölur þá er stakið \((a,b)\) venjulega ritað sem \(a+ib\).

Hugsum okkur að \(i^2=-1\). Notum svo venjulega dreifireglu og að \(i\) víxlast við rauntölur til að reikna margfeldið

\[(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac-bd+i(ad+bc).\]

Við höfum nú fengið aftur skilgreininguna á margfölduninni hér að ofan.

1.1.3. Setning

Eftirfarandi reiknireglur gilda um tvinntölur:

\(\big((a+ib)+(c+id)\big)+(e+if)=(a+ib)+\big((c+id)+(e+if)\big)\) (tengiregla fyrir samlagningu)
\(\big((a+ib)(c+id)\big)(e+if)=(a+ib)\big((c+id)(e+if)\big)\) (tengiregla fyrir margföldun)
\((a+ib)+(c+id)=(c+id)+(a+ib)\) (víxlregla fyrir samlagningu)
\((a+ib)(c+id)=(c+id)(a+ib)\) (víxlregla fyrir margföldun)
\((a+ib)\big((c+id)+(e+if)\big)=(a+ib)(c+id)+(a+ib)(e+if)\) (dreifiregla)
Talan \(0=0+i0\) er samlagningarhlutleysa, þ.e.a.s. \((a+ib)+0=a+ib\).
Talan \(1=1+i0\) er margföldunarhlutleysa, þ.e.a.s. \(1(a+ib)=a+ib\).

1.1.4. Ritháttur

Þegar unnið er með tvinntölur þá er ekki gerður greinarmunur á rauntölunni \(a\) og tvinntölunni \(a+i0.\) Því getum við hugsað mengi rauntalna \(\mathbb{R}\) sem hlutmengi í mengi tvinntalna \({\mathbb{C}}\). Sérhver rauntala er þannig líka tvinntala.

1.1.5. Setning

Ef \(z=a+ib\neq 0\) er tvinntala þá á \(z\) sér margföldunarandhverfu sem er

\[z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.\]

1.1.6. Skilgreining og setning

Ef \(z\) er tvinntala þá getum við skilgreint heiltöluveldi \(z^n\) af \(z\) þannig að \(z^0=1\), og ef \(n>0\) þá er \(z^n=z\cdot z\cdot\ldots\cdot z\) (\(n\) sinnum) og \(z^{-n}=\big(z^{-1}\big)^n\). Venjulegar veldareglur gilda um tvinntöluveldi, þ.e.a.s.

\[z^n\cdot z^m=z^{n+m}\qquad z^n/z^m=z^{n-m}\qquad z^n\cdot w^n=(zw)^{n} \qquad (z^n)^m=z^{nm}.\]

1.1.7. Skilgreining

Ritum tvinntölu \(z\) sem \(z=x+iy\) þar sem \(x\) og \(y\) eru rauntölur.

Talan \(x\) kallast raunhluti \(z\) og er táknaður með \(\operatorname{Re\, } z\).

Talan \(y\) kallast þverhluti \(z\) og er táknaður með \(\operatorname{Im\, } z\). (Athugið að þverhlutinn er rauntala.)

Sagt er að \(z\) sé rauntala ef \(\operatorname{Im\, } z=0\) en hrein þvertala ef \(\operatorname{Re\, } z=0\).

Fyrir tvinntölu \(z=x+iy\) skilgreinum við samok \(z\) sem tvinntöluna \(\overline{z}=x-iy\).

1.1.8. Reiknireglur.

Um tvinntölu \(z=x+iy\) gildir

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{(\overline{z})}&=z\\ z\overline{z}&=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\\ z+\overline z&=2x=2\operatorname{Re\, } z\\ z-\overline z&=2yi=(2\operatorname{Im\, } z)i\\ \overline{z+w}&=\overline{z}+\overline{w}\\ \overline{zw}&=\overline{z}\,\overline{w}\\ \overline{z/w}&=\overline{z}/\overline{w}\end{aligned}\end{split}\]

1.1.9. Skilgreining

Lengd tvinntölu \(z=x+iy\) er skilgreind sem rauntalan \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}\).

Hugsum nú tvinntöluna \(z=x+iy\) sem punkt \((x,y)\) í planinu. Setjum \(r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|\). Ritum nú punktinn \((x,y)\) sem \((x,y)=r(\cos \theta, \sin\theta)\) (pólhnit). Þá er \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\) og \(\theta\) kallast stefnuhorn tvinntölunnar \(z\). (Athugið að stefnuhorn er ekki ótvírætt ákvarðað því ef \(\theta\) er stefnuhorn þá er \(\theta+k\cdot 2\pi\) líka stefnuhorn.)

1.1.10. Formúla.

Lát \(z=x+iy\neq 0\) vera tvinntölu í \({\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\) (\(\mathbb{R}_-\) er mengi allra neikvæðra rauntalna sem við samsömum við mengi allra tvinntalna á forminu \(a+ib\) með \(b=0\) og \(a<0\)). Stefnuhorn \(z\) er gefið með formúlunni

\[\theta=2\arctan\left(\tfrac{y}{|z|+x}\right).\]

Athugið að þessi formúla gefur gildi á \(\theta\) þannig að \(-\pi<\theta<\pi\).

1.1.11. Skilgreining

Ef \(z\) og \(w\) eru tvær tvinntölur þá er fjarlægðin á milli þeirra skilgreind sem rauntalan \(|z-w|\).

1.1.12. Setning

Fyrir sérhverjar tvinntölur \(z\) og \(w\) gildir að

\[|z+w|\leq |z|+|w|.\]

Athugið að \(|z+w|=|z|+|w|\) ef og aðeins ef til er jákvæð rauntala \(a\) þannig að \(w=az\).

1.1.13. Rúmfræðileg túlkun margföldunar.

Ef \(z\) og \(w\) eru tvær tvinntölur með lengdir \(|z|\) og \(|w|\) og stefnuhornin \(\alpha\) og \(\beta\), þá er

\[zw=|z||w|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big).\]

Það segir okkur að lengd margfeldisins er margfeldi lengda \(z\) og \(w\) (þ.e.a.s. \(|zw|=|z||w|\)) og að stefnuhorn margfeldisins sé summa stefnuhorna \(z\) og \(w\).

Sérstaklega gildir Regla de Moivre sem segir að

\[(\cos \theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).\]

1.1.14. Skilgreining

Lína í tvinntalnaplaninu \({\mathbb{C}}\) er mengi allra tvinntalna \(z=x+iy\) sem uppfylla jöfnu af taginu \(ax+by+c=0\), þar sem \(a,b,c\) eru rauntölur.

Hringur í tvinntalnaplaninu er mengi allra punkta sem er í gefinni fastri fjarlægð (geisli, radíus) frá gefnum föstum punkti \(m\) (miðjunni). Hringur með miðju í \(m\) og geisla \(r\) er mengið \(\{z\mid |z-m|=r\}\).

1.1.15. Skilgreining

Einingarhringurinn \(\mathbb{T}\) í \({\mathbb{C}}\) er mengi allra tvinntalna sem hafa lengd 1. (Einnig má lýsa honum sem mengi allra tvinntalna sem eru í fjarlægð 1 frá \(0\). Einingarhringurinn er hringur með miðju í 0 og geisla 1.)

1.1.16. Setning

Sérhverri línu og sérhverjum hring má lýsa með jöfnu af taginu

\[\alpha|z|^2+\overline{\beta} z+\beta\overline{z}+\gamma=0,\]

þar sem \(\alpha\) og \(\gamma\) eru rauntölur og \(\beta\) er tvinntala.

Öfugt, ef við fáum slíka jöfnu þá lýsir hún:

línu ef \(\alpha=0\) og \(\beta \neq 0\)
hring ef \(\alpha\neq 0\) og \(|\beta|^2-\alpha\gamma>0\) (og miðjan er \(m=-\beta/\alpha\) og geislinn er \(r=\sqrt{|\beta|^2-\alpha\gamma}/|\alpha|\));
stökum punkti ef \(\alpha\neq 0\) og \(|\beta|^2-\alpha\gamma=0\) (punkturinn er \(m=-\beta/\alpha\))
tóma menginu ef \(\alpha\neq 0\) og \(|\beta|^2-\alpha\gamma<0\);
öllu planinu \({\mathbb{C}}\) ef \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

1.2. Margliður, ræð föll og veldisvísisföll

1.2.1. Skilgreining (Sjá §1.4)

Getum skilgreint margliður með tvinntölustuðlum á sama hátt og margliður með rauntölustuðlum. Margliða með tvinntölustuðlum er stærðtákn á forminu

\[P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0,\]

þar sem stuðlarnir \(a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, a_n\) eru tvinntölur.

Þegar sett er inn ákveðin tvinntala í stað \(z\) í þessari stæðu og reiknað þá fæst út tvinntala. Margliðan gefur því fall \(P:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}\).

1.2.2. Margliður. (Sjá §1.4)

Tvinntölumargliður hegða sér um flest eins og rauntölumargliður. Sérstaklega þá virkar deiling tvinntölumargliða eins og deiling rauntölumargliða.

Fáum að ef \(P\) er margliða af stigi \(n\) og \(Q\) er margliða af stigi \(m\) þá eru til ótvírætt ákvarðaðar margliður \(S\) og \(R\) þannig að stig \(R(z)\) er minna en \(m\) og

\[P(z)=Q(z)S(z)+R(z).\]

Sagt er að \(Q\) gangi upp í \(P\) ef \(R\) er núllmargliðan.

Sérstaklega gildir að \(\alpha\) er núllstöð eða rót margliðunnar \(P\) (þ.e.a.s. \(P(\alpha)=0\)) ef og aðeins ef \(z-\alpha\) gengur upp í \(P\).

1.2.3. Setning (Undirstöðusetning algebrunnar)

Sérhver margliða af stigi \(\geq 1\) með tvinntölustuðla hefur núllstöð í \({\mathbb{C}}\).

1.2.4. Skilgreining og setning (Sjá §1.4)

Hugsum okkur að \(\alpha\) sé núllstöð margliðu \(P\) og \(j\) sé hæsta talan þannig að \((z-\alpha)^j\) gengur upp í \(P\), þ.e.a.s. \(P(z)=(z-\alpha)^jQ(z)\) þar sem \(Q(\alpha)\neq 0\). Þá segjum við að \(\alpha\) sé \(j\)-föld núllstöð og köllum \(j\) margfeldni núllstöðvarinnar \(\alpha\).

Það er afleiðing af Undirstöðusetningu algebrunnar að ef \(P\) er margliða af stigi \(m\geq 1\) með núllstöðvar \(\beta_1, \ldots, \beta_k\) sem hafa margfeldni \(m_1,\ldots, m_k\) þá er \(m=m_1+\cdots+m_k\) og

\[P(z)=A(z-\beta_1)^{m_1}\cdots(z-\beta_k)^{m_k},\]

þar sem \(A\) er fasti.

1.2.5. Skilgreining og setning (Sjá §1.3)

Jafnan \(z^n=1\) hefur \(n\) ólíkar lausnir sem kallast \(n\)-tu einingarrætur og þær eru

\[z_k=\cos (k\cdot 2\pi/n)+i\sin (k\cdot 2\pi/n),\qquad k=0, 1, \ldots, n-1.\]

Jafna af taginu \(z^n=\alpha=|\alpha|(\cos\phi+i\sin\phi)\) hefur \(n\) ólíkar lausnir og þær eru

\[z_k=|\alpha|^{1/n}\big(\cos (\phi/n+k\cdot 2\pi/n)+ i\sin (\phi/n+k\cdot 2\pi/n)\big),\qquad k=0, 1, \ldots, n-1.\]

Jafna af taginu \(z^2=w=u+iv\) hefur tvær lausnir sem við köllum kvaðratrætur \(w\). Ef \(v\neq 0\) má rita þær:

\[z= \pm\left(\sqrt{\tfrac{1}{2}(|w|+u)}+i\;\mathrm{sign}(v)\sqrt{\tfrac{1}{2}(|w|-u)}\right).\]

þar sem

\[\begin{split}{{\operatorname{sign}}}(t)= \begin{cases} 1, &t\geq 0,\\ -1,&t<0. \end{cases}\end{split}\]

Ef \(v=0\) fæst tilfellið í liðnum á undan.

(Sjá §1.4) Jafnan \(az^2+bz+c=0\) með \(a\neq 0\) (og \(a, b, c\) tvinntölur) hefur lausnir

\[z_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\qquad\mbox{ og }\qquad z_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

þar sem \(D=b^2-4ac\) og \(\sqrt{D}\) táknar aðra lausn jöfnunnar \(z^2=D\) (sjá aðvörun fyrir neðan). Ef \(D\) er rauntala og \(D\geq 0\) tökum við kvaðratrót eins og við erum vön en ef \(D<0\) má rita lausnirnar

\[z_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}\qquad\mbox{ og }\qquad z_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\]

Aðvörun

Ef \(z\) er tvinntala hefur táknmálið \(\sqrt{z}\) almennt ekki merkingu. Ef það er notað þarf ávallt að tilgreina fyrir hvað það stendur.

1.2.6. Skilgreining

Rætt fall er kvóti tveggja margliða, \(R(z)=P(z)/Q(z)\).

1.2.7. Stofnbrotaliðun. (Sjá §1 1.5)

Látum \(R(z)=P(z)/Q(z)\) vera rætt fall þar sem stig \(P(z)\) er lægra en stig \(Q(z)\).

Ef \(Q(z)=a(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_m)\) þar sem \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k\) eru ólíkar tvinntölur þá eru til fastar \(A_1, \ldots, A_k\) þannig að

\[R(z)=\frac{A_1}{z-\alpha_1}+\cdots+\frac{A_k}{z-\alpha_k}.\]

Stuðlarnir eru gefnir með

\[A_j = \frac{P(\alpha_j)}{Q'(\alpha_j)},\]

\(j=1,..k\).

Mikilvægt

Við getum diffrað tvinngildar margliður líkt og raungildar margliður með því að nota

\[\frac{dz^n}{dz} = n z^{n-1}\]

ásamt því að diffrun er línuleg. Réttlæting kemur síðar.

Ef \(Q(z)=a(z-\alpha_1)^{m_1}\cdots(z-\alpha_k)^{m_k}\) og \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k\) eru ólíkar tvinntölur þá eru til fastar \(A_{11},\ldots, ,A_{m_11}, A_{12},\ldots, ,A_{m_12}, \ldots, A_{1k},\ldots, ,A_{m_1k}\) þannig að

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{P(z)}{Q(z)}&= \dfrac{A_{1,0}}{(z-\alpha_1)^{m_1}}+\cdots+\dfrac{A_{1,m_1-1}}{(z-\alpha_1)}\\ &+\dfrac{A_{2,0}}{(z-\alpha_2)^{m_2}}+\cdots+\dfrac{A_{2,m_2-1}}{(z-\alpha_2)} \\ &\qquad \vdots\qquad\qquad\vdots\qquad \qquad \vdots\\ &+\dfrac{A_{k,0}}{(z-\alpha_k)^{m_k}}+\cdots+\dfrac{A_{k,m_k-1}}{(z-\alpha_k)}\end{aligned}\end{split}\]

Stuðlarnir eru gefnir með

\[A_{j,\ell}=\left.\dfrac 1{\ell!} \bigg(\dfrac {d}{dz}\bigg)^{\ell}\bigg( \dfrac{P(z)}{q_j(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha_j},\]

\(j=1,\dots,k, \ell=0,\dots,m_k-1\) þar sem \(q_j(z) = Q(z)/(z-\alpha_j)^{m_j}\).

1.2.8. Skilgreining (Sjá §1.6)

Ritum tvinntölu \(z\) sem \(z=x+iy\) þar sem \(x\) og \(y\) eru rauntölur. Skilgreinum veldisvísisfallið

\[e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).\]

1.2.9. Reiknireglur. (Sjá §1.6)

Látum \(z\) og \(w\) vera tvinntölur. Þá gildir að

\[e^ze^w=e^{z+w}.\]

Ef \(k\) er heiltala þá er \(e^{z+k\cdot(2\pi i)}=e^z\), þanng að \(e^z\) er lotubundið fall með lotu \(2\pi i\). Ennfremur gildir að

\[\overline{e^z}=e^{\overline{z}}\qquad |e^z|=e^{\operatorname{Re\, } z}\qquad |e^{iy}|=1.\]

1.2.10. Fallegasta jafna stærðfræðinnar.

Mikilvægt

\[e^{i\pi}+1=0\]

1.2.11. Jöfnur Eulers. (Sjá §1.6)

Fyrir rauntölu \(\theta\) er

\[\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\]

1.2.12. Skilgreining (Sjá §1.6)

Hægt er að útvíkka hornaföllin og breiðbogaföllin yfir á allt tvinntalnaplanið með formúlunum

\[ \begin{align}\begin{aligned} \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\\og\end{aligned}\end{align} \]

\[\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\]

og síðan eru \(\tan z, \cot z, \tanh z\) og \(\coth z\) skilgreind á augljósan hátt. (Ef \(z\) er rauntala þá fást sömu gildi og við þekkjum.)

1.3. \(\mathbb{R}\)- og \({\mathbb{C}}\)-línulegar varpanir

1.3.1. Skilgreining og setning (Sjá §1.7)

Vörpun \(L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}\) er sögð línuleg (nákvæmar, \(\mathbb{R}\)-línuleg) ef um sérhverjar tvinntölur \(z\) og \(w\) og sérhverja rauntölu \(c\) gildir að

\[L(z+w)=L(z)+L(w)\qquad \mbox{ og }\qquad L(cz)=cL(z).\]

1.3.2. Setning

Látum \(L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}\) vera línulega vörpun. Samsömum tvinntölu \(x+iy\) við vigur \((x,y)\in \mathbb{R}^2\). Nú má hugsa \(L\) sem vörpun \(\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\). Þá er \(L\) línuleg vörpun og til eru rauntölur \(a, b, c, d\) þannig að fyrir allar rauntölur \(x\) og \(y\) er (ef ekki er gerður munur á dálkvigrum og línuvigrum)

\[\begin{split}L(x,y)=(ax+by, cx+dy)=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}.\end{split}\]

Ef við ritum \(A=\frac{1}{2}\big((a+d)+i(c-b)\big)\) og \(B=\frac{1}{2}\big((a-d)+i(c+b)\big)\) þá gildir fyrir sérhverja tvinntölu \(z=x+iy\) að

\[L(z)=Az+B\overline{z}.\]

1.3.3. Skilgreining

Vörpun \(L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}\) er sögð \({\mathbb{C}}\)-línuleg ef um sérhverjar tvinntölur \(z\) og \(w\) og sérhverja tvinntölu \(c\) gildir að

\[L(z+w)=L(z)+L(w)\qquad \mbox{ og }\qquad L(cz)=cL(z).\]

(Athugið að sérhver \({\mathbb{C}}\)-línuleg vörpun er líka \(\mathbb{R}\)-línuleg, en ekki öfugt.)

1.3.4. Setning

Sérhverja \({\mathbb{C}}\)-línulega vörpun má rita sem \(L(z)=Az\) þar sem \(A\) er tvinntala.

1.3.5. Skilgreining

Vörpun \({\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}\) af gerðinni \(z\mapsto z+a\), þar sem \(a\in {\mathbb{C}}\) nefnist hliðrun.

Vörpun af gerðinni \(z\mapsto az\), nefnist snúningur, ef \(a\in {\mathbb{C}}\) og \(|a|=1\), hún nefnist stríkkun ef \(a\in \mathbb{R}\) og \(|a|>1\) og herping, ef \(a\in \mathbb{R}\) og \(|a|<1\), en almennt nefnist hún snústríkkun ef \(a\in {\mathbb{C}}\setminus \{0\}\).

Vörpunin \({\mathbb{C}}\setminus \{0\} \to {\mathbb{C}}\setminus \{0\}\), \(z\mapsto 1/z\) nefnist umhverfing.

1.3.6. Skilgreining

Vörpun \(f:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}}\) af gerðinni

\[f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\neq 0, \quad a,b,c,d\in {\mathbb{C}},\]

kallast brotin línuleg vörpun (eða brotin línuleg færsla eða Möbiusarvörpun). Við sjáum að \(f(z)\) er skilgreint fyrir öll \(z\in {\mathbb{C}}\), ef \(c=0\), en fyrir öll \(z\neq -d/c\), ef \(c\neq 0\).

1.3.7. Setning

Sérhver brotin línuleg vörpun er samskeyting af hliðrunum, snústríkunum og umhverfingum.

1.3.8. Setning

Sérhver brotin línuleg vörpun varpar hring í \({\mathbb{C}}\) á hring eða línu og hún varpar línu á hring eða línu.

Hér má sjá hvert brotin línuleg vörpun \(f\) með stika \(a,b,c,d\) líkt og að ofan, varpar línunni Form1 og hringnum Form2 í tvinntalaplaninu. Hægt er að breyta gildum stikanna með því að draga þá til með músinni.