Töluleg greining (STÆ405G) Logo
  • 1. Inngangur
    • 1.1. Hvað er töluleg greining?
      • 1.1.1. Tilraun að svari
    • 1.2. Dæmi: Eldflaug
    • 1.3. Samleitni runa
      • 1.3.1. Nokkur atriði um samleitni runa
      • 1.3.2. Skilgreining: Samleitni
      • 1.3.3. Skilgreining
    • 1.4. Setning Taylors
      • 1.4.1. Ritháttur fyrir diffranleg föll
      • 1.4.2. Nálgun með Taylor-margliðu
      • 1.4.3. Setning Taylors
      • 1.4.4. Viðbót
      • 1.4.5. Sýnidæmi: Nálgun á fallgildum \(x-\sin x\)
    • 1.5. Skekkjur
      • 1.5.1. Skekkja í nálgun á rauntölu \(r\)
      • 1.5.2. Fyrirframmat á skekkju
      • 1.5.3. Eftirámat á skekkju
      • 1.5.4. Ofurlínuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
      • 1.5.5. Línuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
      • 1.5.6. Sýnidæmi
      • 1.5.7. Útreikningur á samleitnistigi
    • 1.6. Meira um skekkjur
      • 1.6.1. Skilgreining: Markverðir stafir
      • 1.6.2. Úrlausn annars stigs jöfnu
      • 1.6.3. Áhrif gagnaskekkju
      • 1.6.4. Sýnidæmi
      • 1.6.5. \(O\)-ritháttur
      • 1.6.6. \(O\)-ritháttur og skekkja í Taylor-nálgnum
      • 1.6.7. Sýnidæmi
      • 1.6.8. \(O\)-ritháttur fyrir runur
      • 1.6.9. Tvö sýnidæmi
    • 1.7. Fleytitalnakerfið
      • 1.7.1. Framsetning á tölum
      • 1.7.2. Mantissa
      • 1.7.3. Markverðir \(\beta\)-stafir
      • 1.7.4. Afrúningur talna
      • 1.7.5. Fleytitölukerfi
      • 1.7.6. IEEE staðlar
      • 1.7.7. Útreikningur í tugakerfi
  • 2. Núllstöðvar
    • 2.1. Nálgun á núllstöð
      • 2.1.1. Skilgreining
      • 2.1.2. Dæmi
      • 2.1.3. Athugasemd
    • 2.2. Helmingunaraðferð
      • 2.2.1. Milligildissetningin
      • 2.2.2. Afleiðing
      • 2.2.3. Skekkjumat í helmingunaraðferð
      • 2.2.4. Fyrirframmat á skekkju
    • 2.3. Fastapunktsaðferð
      • 2.3.1. Skilgreining
      • 2.3.2. Tenging við núllstöðvar
      • 2.3.3. Reiknirit
      • 2.3.4. Skilgreining: Herping
      • 2.3.5. Setning
      • 2.3.6. Fastapunktssetningin
      • 2.3.7. Fastapunktsaðferð er að minnsta kosti línulega samleitin
    • 2.4. Sniðilsaðferð
      • 2.4.1. Reiknirit
      • 2.4.2. Samleitin runa stefnir á núllstöð \(f\)
      • 2.4.3. Skekkjumat í nálgun á \(f(x)\) með \(p_n(x)\)
      • 2.4.4. Skekkjumat í sniðilsaðferð
      • 2.4.5. Setning
    • 2.5. Aðferð Newtons
      • 2.5.1. Reiknirit
      • 2.5.2. Upprifjun
      • 2.5.3. Samleitin runa stefnir á núllstöð \(f\)
      • 2.5.4. Skekkjumat í nálgun á \(f(x)\) með \(p_n(x)\)
      • 2.5.5. Skekkjumat í aðferð Newtons
      • 2.5.6. Setning
    • 2.6. Samanburður á aðferðum
  • 3. Brúun
    • 3.1. Inngangur
      • 3.1.1. Markmiðið
      • 3.1.2. Brúun
      • 3.1.3. Afhverju margliður?
      • 3.1.4. Margliður
      • 3.1.5. Mismunandi leiðir á framsetningu
      • 3.1.6. Newton-form margliðu
      • 3.1.7. Reiknirit Horners
    • 3.2. Margliðubrúun: Lagrange-form
      • 3.2.1. Margliðubrúun
      • 3.2.2. Setning: Brúunarmargliðan er ótvírætt ákvörðuð
      • 3.2.3. Setning: Brúunarmargliðan er til
      • 3.2.4. Lagrange-form brúunarmargliðunnar
      • 3.2.5. Lagrange-margliður, tilfellin \(m=0,1,2\)
      • 3.2.6. Lagrange-margliður almenna tilfellið
      • 3.2.7. Sýnidæmi
    • 3.3. Margliðubrúun: Newton-form
      • 3.3.1. Formúla fyrir \(c_0, \ldots, c_m\)
      • 3.3.2. Mismunakvótar
      • 3.3.3. Upprifjun á tilvistarsönnuninni
      • 3.3.4. Mismunakvótatöflur fyrir \(m=0,1,2,3\)
      • 3.3.5. Sýnidæmi
      • 3.3.6. Samantekt
      • 3.3.7. Samantekt – Newton-form
      • 3.3.8. Samantekt – Lagrange-margliður
    • 3.4. Samantekt
      • 3.4.1. Lagrange-margliður
      • 3.4.2. Newton-margliður
    • 3.5. Margliðubrúun: Margfaldir punktar
      • 3.5.1. Margfeldni punktanna
      • 3.5.2. Sértilfelli
      • 3.5.3. Upprifjun
      • 3.5.4. Ótvíræðni lausnarinnar
      • 3.5.5. Tilvist á lausn
      • 3.5.6. Samantekt
      • 3.5.7. Brúunarmargliðan fundin
    • 3.6. Skynsamlegir skiptipunktar og Chebyshev margliður
      • 3.6.1. Um val á brúunarpunktum
      • 3.6.2. Dæmi um óheppilega skiptipunkta
      • 3.6.3. Val á brúunarpunktum
      • 3.6.4. Skilgreining
      • 3.6.5. Verkefnið
      • 3.6.6. Skilgreining: Chebyshev margliður
      • 3.6.7. Setning
      • 3.6.8. Staðlaðar Chebyshev margliður
      • 3.6.9. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bilið \([-1,1]\)
      • 3.6.10. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
      • 3.6.11. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bil \([a,b]\)
      • 3.6.12. Lágmörkun á skekkju með tilliti til \(\ell_2\)
      • 3.6.13. Skilgreining: Legendre margliðurnar
      • 3.6.14. Setning
      • 3.6.15. Setning
      • 3.6.16. Skilgreining: Staðlaðar Legendre margliður
      • 3.6.17. Setning: Lágmörkun með Legendre margliðunum
      • 3.6.18. Núllstöðvar \(P_n\), fyrir \(n=1,\ldots,10\)
      • 3.6.19. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
      • 3.6.20. Athugasemd um \(\ell_\infty\) og \(\ell_2\)
    • 3.7. Skekkjumat
      • 3.7.1. Nálgun á föllum með margliðum
      • 3.7.2. Nálgun á fallgildum
      • 3.7.3. Skekkjumat
      • 3.7.4. Tilfellið þegar við höfum aðeins einn punkt
      • 3.7.5. Margfeldni núllstöðva
      • 3.7.6. Setning: Skekkjumat
      • 3.7.7. Samantekt
      • 3.7.8. Sýnidæmi
    • 3.8. Splæsibrúun
      • 3.8.1. Almennt um splæsibrúun
      • 3.8.2. Fyrsta stigs splæsibrúun:
      • 3.8.3. Þriðja stigs splæsibrúun
      • 3.8.4. Jöfnuhneppið
      • 3.8.5. Tilfelli 1: Ekki-hnúts endaskilyrði
      • 3.8.6. Tilfelli 2: Þvinguð endaskilyrði
      • 3.8.7. Tilfelli 3: Náttúrleg endaskilyrði
      • 3.8.8. Tilfelli 4: Lotubundið endaskilyrði
      • 3.8.9. Teikning á ferlum í planinu
    • 3.9. Aðferð minnstu fervika
      • 3.9.1. Jafna bestu línu
      • 3.9.2. Smávegis línuleg algebra
      • 3.9.3. Jafna bestu línu
      • 3.9.4. Jafna bestu annars stigs margliðu
      • 3.9.5. Sýnidæmi: besta annars stigs margliða
  • 4. Töluleg diffrun
    • 4.1. Inngangur
      • 4.1.1. Töluleg diffrun og heildun
      • 4.1.2. Meginhugmynd í öllum nálgunaraðferðunum
    • 4.2. Aðferðirnar
      • 4.2.1. Frammismunur
      • 4.2.2. Bakmismunur
      • 4.2.3. Miðsettur mismunakvóti
      • 4.2.4. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
    • 4.3. Skekkjumat
      • 4.3.1. Almennt um nálganir á afleiðum
      • 4.3.2. Skekkjumat
      • 4.3.3. Frammismunur
      • 4.3.4. Miðsettur mismunakvóti
      • 4.3.5. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
    • 4.4. Richardson útgiskun
      • 4.4.1. Útleiðsla á miðsettum mismunakvóta
      • 4.4.2. Helmingun á skrefinu
      • 4.4.3. Fjórða stigs nálgun
      • 4.4.4. Hægt er að halda áfram útgiskun
      • 4.4.5. Sjötta stigs skekkja
      • 4.4.6. Almenn rakningarformúla
      • 4.4.7. Reiknirit
      • 4.4.8. Skekkjumat
      • 4.4.9. Útleiðsla á fyrirframmati
      • 4.4.10. Sýnidæmi
  • 5. Töluleg heildun
    • 5.1. Aðferðirnar
      • 5.1.1. Newton-Cotes heildun
      • 5.1.2. Sýnidæmi
      • 5.1.3. Trapisureglan
      • 5.1.4. Miðpunktsreglan
      • 5.1.5. Regla Simpsons
    • 5.2. Samsettar útgáfur
      • 5.2.1. Inngangur
      • 5.2.2. Samsetta trapisureglan
      • 5.2.3. Samsetta miðpunktsreglan
      • 5.2.4. Samsett regla Simpsons
    • 5.3. Skekkjumat
      • 5.3.1. Inngangur
      • 5.3.2. Meðalgildissetningin fyrir heildi
      • 5.3.3. Trapisureglan
      • 5.3.4. Samsetta trapisureglan
      • 5.3.5. Miðpunktsregla
      • 5.3.6. Samsetta miðpunktsreglan
      • 5.3.7. Regla Simpsons
      • 5.3.8. Samsett regla Simpsons
    • 5.4. Romberg-útgiskun
      • 5.4.1. Euler-Maclauren-formúlan
      • 5.4.2. Afleiðing af Euler-Maclaurin-formúlunni
      • 5.4.3. Ítrekun á samsettu trapisureglunni með helmingun
      • 5.4.4. Reikniritið fyrir Romberg-heildun
      • 5.4.5. Skekkjumat í Romberg heildun
  • 6. Upphafsgildisverkefni
    • 6.1. Inngangur
      • 6.1.1. Fyrsta stigs afleiðujafna með upphafsgildi
      • 6.1.2. Útskýring og dæmi
      • 6.1.3. Tilvist og ótvíræðni lausna
      • 6.1.4. Upphafsgildisverkefni fyrir hneppi
      • 6.1.5. Jöfnur af stigi \(>1\) og jafngild hneppi
      • 6.1.6. Tilvist og ótvíræðni lausna á hneppum
      • 6.1.7. Ritháttur
      • 6.1.8. Grunnhugmyndin í nálgunaraðferðum
      • 6.1.9. Beinar og óbeinar aðferðir
      • 6.1.10. Eins skrefs aðferðir og fjölskrefaaðferðir
    • 6.2. Aðferðir með fasta skrefastærð
      • 6.2.1. Aðferð Eulers
      • 6.2.2. Aðferð Eulers: Matlab-forrit
      • 6.2.3. Aðferð Eulers: Dæmi
      • 6.2.4. Endurbætt aðferð Eulers
      • 6.2.5. Aðferð Heun
      • 6.2.6. Forsagnar- og leiðréttingarskref
      • 6.2.7. Annars stigs Runge-Kutta-aðferð
      • 6.2.8. Klassíska (fjórða stigs) Runge-Kutta aðferðin
      • 6.2.9. Klassíska Runge-Kutta aðferðin: Dæmi
    • 6.3. Skekkjumat, samleitni og stöðugleiki
      • 6.3.1. Skekkja
      • 6.3.2. Staðarskekkja í aðferð Eulers
      • 6.3.3. Stýring á staðarskekkju og breytileg skrefastærð
      • 6.3.4. Mat á skrefastærð
    • 6.4. Aðferðir með breytilega skrefastærð
      • 6.4.1. Reiknirit fyrir Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
      • 6.4.2. Runge-Kutte-Fehlberg (RKF45) prófuð
    • 6.5. Fjölskrefaaðferðir
      • 6.5.1. \(k\)-skrefa Adams-Bashforth aðferð
      • 6.5.2. Tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
      • 6.5.3. Forrit fyrir tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
      • 6.5.4. Þriggja skrefa Adams-Bashforth
      • 6.5.5. Fjögurra skrefa Adams-Bashforth
    • 6.6. Greining á samleitni og stöðugleika
      • 6.6.1. Skekkja
      • 6.6.2. Samleitni
      • 6.6.3. Samræmi
      • 6.6.4. Samræmi endurbættu Euler-aðferðarinnar
      • 6.6.5. Samræmi beinna eins skrefs aðferða
      • 6.6.6. Stöðugleiki
      • 6.6.7. Lipschitz-samfelldni
      • 6.6.8. Setning um stöðugleika og samleitni
  • 7. Jaðargildisverkefni
    • 7.1. Inngangur
      • 7.1.1. Jaðargildisverkefni
      • 7.1.2. Þrjár tegundir jaðarskilyrða
    • 7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði
      • 7.2.1. Skiptipunktar
      • 7.2.2. Línulegar afleiðujöfnur
      • 7.2.3. Dirichlet-jaðarskilyrði
      • 7.2.4. Jafngild framsetning á hneppinu
      • 7.2.5. Línulega jöfnuhneppið á fylkjaformi
    • 7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði
      • 7.3.1. Felugildi
      • 7.3.2. Jafna fyrir felugildið
      • 7.3.3. Hneppið á fylkjaformi
      • 7.3.4. Fyrsta og síðasta lína hneppisins
      • 7.3.5. Hægri hlið hneppisins
      • 7.3.6. Samantekt
  • 8. Jöfnuhneppi
    • 8.1. Línuleg jöfnuhneppi
      • 8.1.1. Verkefnið
      • 8.1.2. Lausnir
      • 8.1.3. Fjöldi aðgerða
      • 8.1.4. Vandamál með stöðugleika
    • 8.2. Vending (e. pivoting)
      • 8.2.1. Inngangur
      • 8.2.2. Hlutvending (e. partial pivoting)
      • 8.2.3. Vankantar
      • 8.2.4. Sköluð hlutvending (e. scaled partial pivoting)
      • 8.2.5. Athugasemd
    • 8.3. Fylkjastaðall
      • 8.3.1. Að mæla fjarlægð milli hluta
      • 8.3.2. Vigurstaðall
      • 8.3.3. Dæmi um staðla
      • 8.3.4. Fylkjastaðall
      • 8.3.5. Fylkjastaðall skilgreindur út frá vigurstaðli
      • 8.3.6. Dæmi um fylkjastaðal
      • 8.3.7. Eigingildi
      • 8.3.8. Róf og rófgeisli
      • 8.3.9. Setning um rófgeisla
    • 8.4. Skekkjumat og ástandstala
      • 8.4.1. Hvernig á að mæla skekkju
      • 8.4.2. Skekkjumat
      • 8.4.3. Ástandstala fylkis og mat á hlutfallslegri skekkju
      • 8.4.4. Áhrif gagnaskekkju
    • 8.5. LU-þáttun
      • 8.5.1. Nokkrar skilgreiningar
      • 8.5.2. Úrlausn á jöfnuhneppi með neðra þríhyrningsfylki
      • 8.5.3. Fjöldi aðgerða
      • 8.5.4. Úrlausn á jöfnuhneppi með efra þríhyrningsfylki
      • 8.5.5. Línuaðgerðir
      • 8.5.6. Ný sýn á Gauss-eyðingu
      • 8.5.7. Nánar um \(M_i\)
      • 8.5.8. LU-þáttun
      • 8.5.9. \(LU\)-þáttun og sköluð hlutvending
      • 8.5.10. Jöfnuhneppi leyst með LU-þáttun
      • 8.5.11. Fjöldi reikniaðgerða fyrir \(LU\)-þáttun
      • 8.5.12. Mörg jöfnuhneppi
    • 8.6. Fastapunktsaðferðir fyrir línuleg jöfnuhneppi
      • 8.6.1. Ítrekunaraðferðir til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
      • 8.6.2. Fastapunktsítrekun til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
      • 8.6.3. Fastapunktsítrekun - skekkjumat
      • 8.6.4. Skilyrði fyrir samleitni
      • 8.6.5. Skiptingaraðferð (e. splitting method)
      • 8.6.6. Jacobi-aðferð
      • 8.6.7. Gauss-Seidel-aðferð
      • 8.6.8. SOR-aðferð (e. successive over-relaxation)
      • 8.6.9. Setning um samleitni Gauss-Seidel-aðferðarinnar
    • 8.7. Newton-aðferð fyrir jöfnuhneppi
      • 8.7.1. Jacobi-fylki
      • 8.7.2. Aðferð Newtons fyrir hneppi
      • 8.7.3. Matlab-forrit fyrir hneppi
  • 9. Eigingildisverkefni
    • 9.1. Eigingildi og eiginvigrar
      • 9.1.1. Nálgun á eigingildum og eiginvigrum
      • 9.1.2. Gróf staðsetning á eigingildum: Skífusetning Gerschgorins
      • 9.1.3. Fylgisetning
      • 9.1.4. Eiginvigragrunnar
    • 9.2. Veldaaðferð
      • 9.2.1. Veldaaðferð
      • 9.2.2. Reiknirit til þess að ákvarða stærsta eigingildi fylkis
      • 9.2.3. Samleitni
      • 9.2.4. Samhverf fylki
      • 9.2.5. Setning um eigingildi og eiginvigra
      • 9.2.6. Dæmi um veldaaðferð
    • 9.3. Andhverf veldaaðferð
      • 9.3.1. Reiknirit til þess að nálga eigingildi og eiginvigra
      • 9.3.2. Dæmi um öfuga veldaaðferð
  • 10. Monte Carlo hermanir
    • 10.1. Inngangur
      • 10.1.1. Nálgun á pi
    • 10.2. Heildi í einni breytistærð
      • 10.2.1. Nálgun á heildi
    • 10.3. Margföld heildi og rúmmál
      • 10.3.1. Margföld heildi
      • 10.3.2. Margföld heildi: Dæmi
    • 10.4. Hermun
      • 10.4.1. Nál Buffons
  • Viðauki
    • Kennsluáætlun
    • Skipulag námskeiðsins
      • Kennsla
      • Kennsluefni
      • Matlab/Octave
      • Heimadæmi og dæmatímar
      • Verkefni
      • Lokapróf
      • Námsmat
    • Frágangur heimadæma
    • Gagnlegir tenglar
Töluleg greining (STÆ405G)
  • Leit

© Copyright 2026, Töluleg greining (STÆ405G) | Version 26.03.02.0+8ce624d. Síðast uppfært 2026-03-02 11:46.

Built with Sphinx using a theme provided by Read the Docs.