5. Töluleg heildun

So much universe, and so little time. – Terry Pratchett

Gerum ráð fyrir að \(x_0,x_1, \ldots, x_n\) séu punktar á bilinu \([a,b]\) og að við þekkjum gildi \(f\) í þessum punktum. Þá getum við fundið brúunarmargliðuna \(p_n\) gegnum punktana \((x_k,f(x_k))\) og skrifað

\[f(x) = p_n(x) + r_n(x),\]

þar sem skekkjan \(r_n\) er gefin með

\[r_n(x) = f[x_0,\ldots,x_n,x](x-x_0)\cdots(x-x_n).\]

Nú er auðvelt að reikna heildi margliða, svo við nálgum heildi \(f\) með

\[\int\limits_a^b f(x) dx \approx I_n(f) := \int\limits_a^b p_n(x) dx\]

og skekkjan í þessari nálgun er gefin með

\[e_n = \int\limits_a^b r_n(x) dx.\]

Þessi aðferð er kölluð Newton-Cotes-heildun.

5.1. Aðferðirnar

5.1.1. Newton-Cotes heildun

Hugsum okkur að brúunarpunktarnir \(x_0, \ldots, x_n\) séu ólíkir. Þá getum við skrifað \(p_n\) með Lagrange-margliðum

\[p_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n f(x_k) \ell_k(x), \quad \ell_k(x) = \prod\limits_{\stackrel{j=0}{j \not= k}}^n \frac{(x-x_j)}{(x_k-x_j)},\]

og þá er heildi \(p_n\) jafnt

\[\int\limits_a^b p_n(x) dx = \sum\limits_{k=0}^n f(x_k) A_k, \quad \text{þar sem} \quad A_k = \int\limits_a^b \ell_k(x) dx.\]

Athugið að gildi \(A_k\) veltur aðeins á brúunarpunktunum \(x_0, \ldots, x_n\) en ekki gildum \(f(x_k)\). Ef það á að heilda mörg föll yfir sama bil er því hægt að reikna gildi \(A_k\) í eitt skipti fyrir öll og endurnýta þau svo.

5.1.2. Sýnidæmi

Metum heildi \(f(x) = e^{-x}\cos(x)\) og \(g(x) = \sin (\frac{x^2}{2})\) yfir bilið \([0,2]\) með að nota skiptipunktana \(x_0 = 0\), \(x_1 = 1\) og \(x_2 = 2\). Lagrange-margliðurnar sem við eiga eru

\[\ell_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{2}, \quad \ell_1(x) = -x(x-2), \quad \ell_2(x) = \frac{x(x-1)}{2}\]

svo við fáum að

\[\begin{split}\begin{gathered} A_0 = \frac{1}{2} \int\limits_0^2 (x-1)(x-2) dx = \frac{1}{3}, \qquad A_1 = -\int\limits_0^2 x(x-2) dx = \frac{4}{3}, \\ A_2 = \frac{1}{2} \int\limits_0^2 x(x-1) dx = \frac{1}{3}.\end{gathered}\end{split}\]

Nú eru stuðlarnir fundnir og því fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_0^2 f(x) dx &\approx f(0)\frac{1}{3} + f(1)\frac{4}{3} + f(2)\frac{1}{3}\\ &= \frac{1 + 4e^{-1}\cos(1) + e^{-2}\cos(2)}{3} \approx 0.59581\end{aligned}\end{split}\]

og

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_0^2 g(x) dx &\approx g(0)\frac{1}{3} + g(1)\frac{4}{3} + g(2)\frac{1}{3}\\ & = \frac{4\sin(1/2) + \sin(2)}{3} \approx 0.91972.\end{aligned}\end{split}\]

Gildi heildanna eru \(\int\limits_0^2 f(x) dx \approx 0.58969\) og \(\int\limits_0^2 g(x) dx \approx 0.99762\) með 5 réttum aukastöfum svo nálgunargildin verða að teljast nokkuð góð miðað við hversu lítið fór í þau.

5.1.3. Trapisureglan

Nú ætlum við að leiða út formúlur fyrir helstu reglum fyrir nálgun á heildum. Sú fyrsta er trapisuregla.

Veljum \(x_0 = a\) og \(x_1 = b\) sem skiptipunktana okkar. Þá er graf \(p_1\) línustrikið gegnum \((a,f(a))\) og \((b,f(b))\),

\[p_1(x) = f(a) \ell_0(x) + f(b) \ell_1(x) = f(a)\frac{b-x}{b-a} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\]

og vigtirnar eru

\[A_0 = \int\limits_a^b \ell_0(x) = \frac{b-a}{2} = A_1,\]

svo

\[\int\limits_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}\left(f(a)+f(b)\right).\]

Trapisureglan er kölluð þessu nafni því með henni nálgum við heildi \(f\) með flatarmáli trapisunnar sem hefur hornpunktana \((a,0)\), \((b,0)\), \((b,f(b))\) og \((a,f(a))\).

5.1.4. Miðpunktsreglan

Enn einfaldari er miðpunktsreglan, þá veljum við aðeins einn skiptipunkt, \(x_0 = \frac{1}{2}(a+b)\), og brúunarmargliðan verður fastamargliðan \(p_0(x) = f(x_0)\). Þá er

\[\int\limits_a^b f(x) dx \approx (b-a)\, f\left(\frac{a+b}{2}\right)\]

5.1.5. Regla Simpsons

Nú veljum við þrjá skiptipunkta, \(x_0 = a\), \(x_1 = b\) og \(x_2 = \frac{1}{2}(a+b)\). Til einföldunar skulum við hliðra fallinu \(f\) um miðpunkt bilsins \(m=\tfrac{1}{2}(a+b)\).

Við skilgreinum \(\alpha=\tfrac 12(b-a)\) og \(g(x) = f\big(x+m\big)\)

Þá hliðrast \(a\), \(m\) og \(b\) yfir í \(-\alpha\), \(0\) og \(\alpha\) og

\[\int\limits_{-\alpha}^{\alpha} g(x) dx = \int\limits_a^b f(x) dx.\]

Lagrange margliðurnar og vigtirnar eru

\[\begin{split}\begin{aligned} l_0(x) &= \frac{(x-\alpha)x}{(-\alpha-\alpha)(-\alpha - 0)} = \frac{(x-\alpha)x}{2\alpha^2} \\ A_0 &= \int_{-\alpha}^{\alpha} l_0(x)\,dx = \frac{\alpha}{3} \\ l_1(x) &= \frac{(x-(-\alpha))(x-0)}{(\alpha - ( -\alpha))(\alpha - 0)} = \frac{(x+\alpha)x}{2\alpha^2}\\ A_1 &= \int_{-\alpha}^{\alpha} l_1(x)\,dx = \frac{\alpha}{3}\\ l_2(x) &= \frac{(x-(\alpha))(x-\alpha)}{0-(-\alpha)(0-\alpha)} = \frac{(x+\alpha)(x-\alpha)}{-\alpha^2}\\ A_2 &= \int_{\alpha}^{\alpha} l_2(x)\,dx = \frac{4\alpha}{3}\end{aligned}\end{split}\]

Nálgunarformúlan verður þá

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b f(x) \, dx = \int\limits_{-\alpha}^{\alpha} g(x) \, dx &\approx \frac{\alpha}{3}g(-\alpha) + \frac{\alpha}{3}g(\alpha) + \frac{4\alpha}{3}g(0)\\ &=(b-a)\left( \frac{1}{6}f(a) + \frac{4}{6}f \left( \frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{6} f(b) \right)\end{aligned}\end{split}\]

Ef við tökum brúunarmargliðu gegnum \(a\), \(b\) og \(\frac{1}{2}(a+b)\) með \(\frac{1}{2}(a+b)\) tvöfaldan þá fáum við 3. stigs brúunarmargliðu

\[p_3(x) = p_2(x) + g[-\alpha, \alpha, 0, 0](x+\alpha)(x-\alpha)x\]

Heildið yfir seinni liðinn hægra megin er 0 því margliðan \((x+a)(x-a)x\) er oddstæð, en heildið yfir fyrri liðinn er

\[\frac \alpha3(g(-\alpha) + 4g(0) + g(\alpha)).\]

Út kemur því Simpson-regla.

5.2. Samsettar útgáfur

Sometimes the truth is arrived at by adding all the little lies together and deducting them from the totality of what is known. – Terry Pratchett, Going Postal

5.2.1. Inngangur

Þar sem Newton-Cotes heildun notar brúunarmargliður fylgja henni nokkur vandamál.

Ef okkur finnst nákvæmnin í nálguninni vera of lítil getum við ekki búist við að hún batni við að fjölga skiptipunktum; þá hækkar stig margliðunnar líklega sem orsakar sveiflukenndari hegðun.

Eins er ekki gott að halda sig við margliður af lægra stigi; ef bilið sem á að heilda yfir er stórt væri mikil tilviljun að 1., 2. eða 3. stigs brúunarmargliða nálgaði fallið vel á öllu bilinu.

Lausnin á þessu vandamáli er í sama anda og fyrir splæsibrúun. Við veljum skiptingu

\[\begin{split}a =x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b\end{split}\]

á bilinu \([a,b]\).

Um heildi gildir að

\[\int\limits_a^bf(x)\, dx = \sum\limits_{k=1}^n \ \ \int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) \, dx\]

svo við getum nálgað heildi \(f\) á sérhverju litlu hlutbili \([x_{k-1},x_k]\) með að heilda brúunarmargliðu af lágu stigi og lagt öll gildin saman til að fá nálgun á heildi \(f\) yfir allt bilið.

Þegar ákveðin regla er notuð til að nálga heildi \(f\) á sérhverju hlutbili er þetta kölluð samsetta útgáfa reglunnar. Einfalt er að leiða út samsettar útgáfur reglanna að ofan.

5.2.2. Samsetta trapisureglan

Á sérhverju hlutbili er

\[\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) \, dx \approx \frac{x_k-x_{k-1}}{2}(f(x_{k-1}) + f(x_k))\]

svo

\[\int\limits_a^b f(x) \, dx \approx \sum\limits_{k=1}^n \frac{x_k-x_{k-1}}{2}(f(x_{k-1}) + f(x_k)).\]

Ef öll hlutbilin eru jafn löng og \(h = x_k-x_{k-1}\), þá fæst

\[\begin{split}\begin{gathered} \int\limits_a^b f(x) \, dx \\ \approx h\left( \frac{1}{2}f(a) + f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h) + \frac{1}{2}f(b) \right).\end{gathered}\end{split}\]

5.2.3. Samsetta miðpunktsreglan

Fljótséð er að

\[\int\limits_a^b f(x) \, dx \approx \sum\limits_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})f \left( \frac{x_{k-1}+x_k}{2} \right)\]

Ef öll hlutbilin eru jafn löng verður formúlan

\[\int\limits_a^b f(x) \, dx \approx h \sum\limits_{k=1}^n f \left(\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\right)\]

5.2.4. Samsett regla Simpsons

Hér er venjan að velja \(2n+1\) jafndreifða skiptipunkta og fá \(n\) jafn stór hlutbil. Þá er \(h = \frac{b-a}{2n}\), \(x_k = a + kh\) fyrir \(k = 0,\ldots,2n\) og hlutbilin eru \([x_{2k-2},x_{2k}]\) fyrir \(k = 1, \ldots, n\).

Á hverju hlutbili er

\[\int\limits_{x_{2k-2}}^{x_{2k}} f(x) \, dx \approx 2h \left( \frac{1}{6} f(x_{2k-2}) + \frac{4}{6} f(x_{2k-1}) + \frac{1}{6} f(x_{2k}) \right)\]

svo að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x) \, dx \approx & \sum\limits_{k=1}^n \bigg( \frac{h}{3} \Big( f(x_{2k-2}) + 4f(x_{2k-1}) + f(x_{2k}) \Big) \bigg) \\ = & \frac{h}{3} \Big( f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h)+ 4f(a+3h) + 2f(a+4h) \\ &+ \cdots + 2f(a+(2n-2)h) + 4f(a+(2n-1)h) + f(b). \Big)\end{aligned}\end{split}\]

5.3. Skekkjumat

5.3.1. Inngangur

Rifjum upp grunnhugmyndina að baki nálgunarformúlunum. Við veljum brúunarpunkta \(x_0, \ldots, x_n\) í \([a,b]\), látum \(p_n\) vera tilsvarandi brúunarmargliðu og skrifum

\[f(x) = p_n(x) + r_n(x)\]

þar sem \(r_n(x) = f[x_0, \ldots , x_n, x](x-x_0) \cdots (x-x_n)\). Þá er nálgunin

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \int_a^b p_n(x)\,dx\]

með skekkjuna

\[\int_a^b r_n(x)\,dx\]

Nú viljum við meta skekkjuheildið.

5.3.2. Meðalgildissetningin fyrir heildi

Við skekkjumatið í þessum kafla munum við þurfa að nota eftirafarandi setningu nokkrum sinnum.

Ef \(G:[a,b] \to {{\mathbb R}}\) er samfellt fall og \({\varphi}\) er heildanlegt fall sem skiptir ekki um formerki á bilinu \([a,b]\) þá er til tala \(\eta \in [a,b]\) þannig að

\[\int_a^b G(x){\varphi}(x)\, dx = G(\eta) \int_a^b {\varphi}(x)\, dx.\]

5.3.3. Trapisureglan

Við getum hliðrar sérhverju bili \([a,b]\) yfir í \([-\alpha,\alpha]\) þar sem \(\alpha = (b-a)/2\), því er nóg fyrir okkur að skoða samhverf bil af gerðinni \([-\alpha,\alpha]\). Þetta er það sama og við gerðum þegar regla Simpsons var leidd út.

Samkvæmt 3.7.7 þá er

\[r_1(x) = f[-\alpha, \alpha, x](x+\alpha)(x-\alpha)\]

Athugum að

\[(x+\alpha)(x-\alpha) = (x^2 - \alpha^2)\]

skiptir ekki um formerki á bilinu \(]-\alpha, \alpha[\). Þá gefur meðalgildissetningin fyrir heildi að til er \(\eta \in [a,b]\) þannig að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b r_1(x)\,dx &= f[-\alpha, \alpha, \eta] \int_{-\alpha}^{\alpha}(x^2 - \alpha^2)\,dx\\ &= \frac{f''(\xi)}{2!} \left( - \frac{4}{3}\alpha^3 \right)\\ &= \frac{-f''(\xi)}{2!}\frac{(b-a)^3}{6}, \qquad \xi \in [a,b]\end{aligned}\end{split}\]

Niðurstaða:

\[\int_a^b f(x)\,dx = (b-a) \left( \frac{1}{2} f(a) + \frac{1}{2}f(b) \right) - \frac{1}{12} f''(\xi)(b-a)^3\]

5.3.4. Samsetta trapisureglan

Ef við lítum á samsettu trapisuregluna með jafna skiptingu þar sem hlutbilin eru \([x_i, x_{i+1}]\), þá fáum við fyrir hvert hlutbil skekkjuna

\[- \frac{h^3}{12}f''(\xi_i), \qquad \xi_i \in [x_i, x_{i+1}]\]

Ef við leggjum skekkjurnar saman og beitum milligildissetningunni á \(f''\) þá fæst að til er \(\xi \in [a,b]\) þannig að \(f''(\xi) = \sum_{i=1}^n f''(\xi_i)/n\). Þá fáum við a’

\[\int_a^b f(x)\,dx = T(h) - \frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi), \qquad \xi \in [a,b]\]

að því gefnu að \(f\in C^2 [a,b]\).

Athugið að hér er \(T(h)\) útkoman úr samsettu Trapisureglunni með jafna skiptingu \(h = \frac{b-a}n\).

5.3.5. Miðpunktsregla

Til einföldunar skoðum við áfram bilið \([-\alpha,\alpha]\). Veljum miðpunktinn sem tvöfaldan brúunarpunkt

\[\begin{split}\begin{aligned} &p_1(x) = f(0) + f'(0)x\\ &r_1(x) = f[0,0,x]x^2\end{aligned}\end{split}\]

Athugum að heildið af \(f'(0)x\) yfir \([-\alpha,\alpha]\) er 0. Nú skiptir \(x^2\) ekki um formerki og því gefur meðalgildisreglan fyrir heildi að til er \(\eta \in [-\alpha,\alpha]\) þannig að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b r_1(x)\,dx &= \int_{-\alpha}^{\alpha} f[0,0,x]x^2 \,dx\\ &= f[0,0,\eta]\int_{-\alpha}^\alpha x^2\,dx\\ &= \frac{f''(\xi)}{2!}2\frac{\alpha^3}{3}\\ &= \frac{(b-a)^3}{24}\cdot f''(\xi)\end{aligned}\end{split}\]

Þar sem \(\xi\) fæst úr skekkjumatinu fyrir brúunarmargliður.

5.3.6. Samsetta miðpunktsreglan

Fyrir hvert bil fáum við skekkjulið:

\[\frac{h^3}{24}\cdot f''(\xi_i)\]

Leggjum saman skekkjuliðina og beitum milligildissetningunni, þá fæst að til er \(\xi\) þannig að:

\[\int_a^b f(x)\,dx = h \sum_{i=1}^n f\left(a+ (i - \frac{1}{2})h\right) + \frac{b-a}{24}f''(\xi)h^2\]

5.3.7. Regla Simpsons

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a) \left( \frac{1}{6}f(a) + \frac{4}{6}f \left( \frac{1}{2}(a+b) \right) + \frac{1}{6}f(b) \right)\]

Leiddum út þessa formúlu með því að taka brúunarmargliðu \(p_3(x)\) með punktana \(-\alpha, \alpha, 0, 0\). Skekkjan er

\[f(x) - p_3(x) = f[-\alpha, \alpha, 0, 0, x] (x+\alpha)(x-\alpha)x^2\]

þar með er skekkjan í formúlu Simpsons:

\[\int_{-\alpha}^{\alpha}f[-\alpha, \alpha, 0, 0, x] (x+\alpha)(x-\alpha)x^2 \,dx\]

Fallið \(x\mapsto (x+\alpha)(x-\alpha)x^2 = (x^2 - \alpha^2)x^2\) er \(\leq 0\) á \([-\alpha, \alpha]\). Þar með gefur meðalgildissetningin fyrir heildi að til er \(\eta \in [-\alpha, \alpha]\) þannig að skekkjan er

\[\begin{split}\begin{gathered} f[-\alpha, \alpha, 0, 0, \eta] \int_{-\alpha}^{\alpha}(x^2 - \alpha^2)x^2 \,dx \\ = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\cdot \frac{(-4)}{15}\cdot \alpha^5 = \frac{-f^{(4)}(\xi)}{90}\left(\frac{b-a}{2}\right)^5, \qquad \xi \in [a,b]\end{gathered}\end{split}\]

Þar sem \(\xi\) fæst úr skekkjumatinu fyrir brúunarmargliður.

5.3.8. Samsett regla Simpsons

Skiptum \([a,b]\) í \(n\) jafnlöng bil og látum \(h\) vera helming hlutbillengdarinnar,

\[h = \frac{(b-a)}{2n}.\]

Þá er

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x) \, dx \approx & \sum\limits_{k=1}^n \bigg( \frac{h}{3} \Big( f(x_{2k-2}) + 4f(x_{2k-1}) + f(x_{2k}) \Big) \bigg) \\ = & \frac{h}{3} \Big( f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h)+ 4f(a+3h) + 2f(a+4h) \\ &+ \cdots + 2f(a+(2n-2)h) + 4f(a+(2n-1)h) + f(b) \Big)\end{aligned}\end{split}\]

Ef við beitum skekkjumatinu á sérhvert bilanna þá fáum við

\[\frac{-f^{(4)}(\xi_i)}{90}h^5\]

sem skekkju með \(\xi_i \in [x_i, x_i+1]\). Heildarskekkjan verður

\[-\sum_{i=1}^n \frac{f^{(4)}(\xi_i)}{90}h^5 = \frac{-h^5}{90}\cdot \sum_{i=1}^n f^{(4)}(\xi_i)\]

Nú gefur meðalgildisreglan að til er \(\xi \in [a,b]\) þannig að

\[f^{(4)}(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{(4)}(\xi_i)\]

Nú er \(nh = \frac{(b-a)}{2}\) þar með er skekkjan:

\[\frac{-h^5}{90}\cdot nf^{(4)}(\xi) = \frac{-(b-a)}{180}f^{(4)}(\xi)\cdot h^4\]

Ef við táknum útkomuna úr samsettu Simpsonsreglunni fyrir \(h=\frac{b-a}{2n}\) með \(S(h)\) þá fæst að til er \(\xi \in [a,b]\) þannig að

\[\int_a^b f(x)\,dx = S(h) - \frac{(b-a)}{180}f^{(4)}(\xi)h^4\]

5.4. Romberg-útgiskun

Á sama hátt og við gátum bætt nálgun okkar á afleiðu falls með að nota Richardson útgiskun getum við bætt nálgun á heildi.

Aðferðin virkar í aðalatriðum eins fyrir heildi og afleiður, en til að fá sem bestar upplýsingar um samleitni hennar skulum við leiða út formúluna fyrir trapisureglunni aftur.

5.4.1. Euler-Maclauren-formúlan

Fyrir samfellt fall \(f : [0,1] \to \mathbb R\) sem er \(2n\)-sinnum samfellt deildanlegt gildir Euler-Maclauren formúlan

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_0^1 f(t) \, dt =& \frac{1}{2}\left( f(0) + f(1) \right) + \sum\limits_{k=1}^{n-1} A_{2k} \left( f^{(2k-1)}(0) - f^{(2k-1)}(1)\right) \\ & - A_{2n}f^{(2n)}(\xi), \qquad \xi \in [0,1]\end{aligned}\end{split}\]

Hér eru stuðlarnir \(A_k\) þannig að \(k!A_k\) verði Bernoulli-talan númer \(k\). Þessar tölur eru stuðlar í veldaröðinni

\[\frac{x}{e^x -1} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}A_kx^k\]

Athugasemd

Það þarf að hafa töluvert fyrir því að sanna þessa formúlu og því sleppum við því hér.

5.4.2. Afleiðing af Euler-Maclaurin-formúlunni

Látum nú \(f : [a,b] \to \mathbb R\) vera \(2n\)-sinnum samfellt deildanlegt fall. Ef við búum til skiptingu \(a= x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\) með jöfn hlutbil \(h = x_{i+1} - x_i\) og beitum síðan Euler-Maclauren formúlunni á \(g(t) = f(x_i + ht)\) fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx = & h\int_0^1 \underbrace{f(x_i + ht)}_{g(t)}\,dt \\ = & h \left( \frac{1}{2}f(x_i) + \frac{1}{2}f(x_{i+1})\right) \\ & + \sum_{k=1}^{n-1}A_{2k}h^{2k}\left( f^{(2k-1)}(x_i) - f^{(2k-1)}(x_{i+1}) \right) - A_{2n}h^{2n+1}f^{(2n)}(\xi_i), \end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]\).

Nú innleiðum við

\[\begin{split}\begin{aligned} T(h) &:= \sum_{i=0}^{n-1} h \left( \frac{1}{2} f(x_i) + \frac{1}{2}f(x_{i+1}) \right)\\ &= h\left( \frac{1}{2}f(a) + f(a+h) + \cdots + f(a+(n-1)h) + \frac{1}{2}f(a+nh)\right)\end{aligned}\end{split}\]

og fáum síðan:

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\, dx = & T(h) + \sum_{k=1}^{n-1}A_{2k}h^{2k} \left( f^{(2k-1)}(a) - f^{(2k-1)}(b) \right) \\ & - A_{2n}h^{2n+1} \sum_{i=0}^{n-1} f^{(2n)}(\xi_i)\end{aligned}\end{split}\]

Nú gefur milligildissetningin að til er \(\xi \in [a,b]\) þannig að

\[\frac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} f^{(2n)}(\xi_i) = f^{(2n)}(\xi)\]

Notum okkur nú að \(nh = b-a\) og fáum að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x) \, dx = & T(h) + \sum_{k=1}^{n-1}A_{2k}h^{2k} \left( f^{(2k-1)}(a) - f^{(2k-1)}(b) \right) \\ & - A_{2n} h^{2n}(b-a)f^{(2n)}(\xi).\end{aligned}\end{split}\]

Niðurstaðan er að samsetta trapisureglan er

\[\int\limits_a^b f(x) \, dx = T(h) + c_2h^2 + c_4h^4 + \cdots + c_{2m-2}h^{2m-2} + c_{2n}h^{2m}f^{(2m)}(\xi)\]

5.4.3. Ítrekun á samsettu trapisureglunni með helmingun

Hugsum okkur nú að við viljum reikna út \(T(h_j)\) fyrir \(h_j =(b-a)/ 2^j\), \(j = 1,2,\ldots\) og að við viljum nýta öll fallgildi í \(T(h_{j-1})\) til að reikna út \(T(h_j)\). Rakningarformúlan er

\[T(h_j) = \frac{1}{2} T(h_{j-1}) + h_j \sum_{k=1}^{2^{j-1}} f(a+(2k-1)h_j)\]

Athugið að hér er bilinu \([a,b]\) skipt í \(2^j\) hlutbil.

Aðvörun

Þetta er gott að nota ef forrita á Romberg-heildun til þess að spara útreikninga þegar fyrsti dálkurinn er reiknaður. Það er hins vegar ekki nauðsynlegt að nota þetta og þetta tengist ekki beint Romberg aðferðinni.

5.4.4. Reikniritið fyrir Romberg-heildun

Romberg-heildun er hugsuð nákvæmlega eins og Richardson-útgiskunin: Við reiknum út línu fyrir línu í töflunni:

\[\begin{split}\begin{array}{cccccc} i\\ 1 & R(1,1)\\ 2 & R(2,1) & R(2,2)\\ 3 & R(3,1) & R(3,2) & R(3,3)\\ 4 & R(4,1) & R(4,2) & R(4,3) & R(4,4)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\end{split}\]

þar sem

\[\begin{split}\begin{aligned} &R(i,1) = T(h_i) \qquad i = 1,2,\ldots\\ &R(i,j) = \frac{4^{j-1} R(i,j-1) - R(i-1,j-1)}{4^{j-1} - 1}.\end{aligned}\end{split}\]

Með þessu fæst \(\int\limits_a^b f(x)\, dx = R(k,k) + O(h_k^{2k})\), þar sem \(k\) er síðasta línan sem við reiknum í töflunni að ofan.

5.4.5. Skekkjumat í Romberg heildun

Skekkjumatið er hægt að finna með nákvæmlega sama hætti í fyrir Richardson útgiskuna. Þ.e. við getum notað síðustu viðbót sem eftirámat fyrir skekkjuna, þetta mat er

\[e \approx \frac{1}{4^{j-1}-1}\left( R(i,j-1) - R(i-1,j-1)\right)\]

þegar þessi stærð er komin niður fyrir fyrirfram gefin skekkjumörk er hætt.

Einnig er hægt að nota

\[e \approx \frac{1}{2^{j-1}}\left( R(i,j-1) - R(i-1,j-1)\right),\]

sem gefur heldur varfærnislegra mat.

Athugasemd

Athugið að það er ekki nauðsynlegt að hafa \(h_1\) sem allt bilið \([a,b]\), það er ekkert sem kemur í veg fyrir það að við byrjum með \(h_1 = \frac{b-a}{m}\), og helmingum svo; \(h_2 = \frac{b-a}{2m}\), \(h_3 = \frac{b-a}{4m}\), \(\ldots\). Þannig að almennt þá er \(h_j=\frac{b-a}{2^{j-1}m}\).