7. Jaðargildisverkefni

The pen is mightier than the sword if the sword is very short, and the pen is very sharp. – Terry Pratchett

7.1. Inngangur

7.1.1. Jaðargildisverkefni

Við ætlum að finna nálgunarlausnir á verkefnum af gerðinni

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=f(x,y,y'), \qquad a\leq x\leq b,\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3,\\ \beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3. \end{gathered}\end{split}\]

Lausn á verkefninu er þá fall \(y(x):[a,b]\to \mathbb R\) sem er þannig að \(y\) uppfyllir

  • afleiðujöfnuna \(y''(x) = f(x,y(x),y'(x))\),
  • jaðarskilyrðin \(\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3\) í \(x=a\) og
  • jaðarskilyrðin \(\beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3\) í \(x=b\).

Afleiðujafnan er sögð vera línuleg ef \(f\) er á forminu

\[y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad x\in [a,b].\]

7.1.2. Þrjár tegundir jaðarskilyrða

Venjulega eru jaðarskilyrðin flokkuð í þrjá flokka.

Dirichlet-jaðarskilyrði:

(Fallsjaðarskilyrði:)

\(y(a)=\alpha\),    \(y(b)=\beta\)

Neumann-jaðarskilyrði:

(Afleiðujaðarskilyrði:)

(Flæðisjaðarskilyrði:)

\(y'(a)=\alpha\),    \(y'(b)=\beta\)

Robin-jaðarskilyrði:

(Blandað jaðarskilyrði:)

\(\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3\)

\(\beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3\)

\((\alpha_1,\alpha_2)\neq (0,0)\)

Athugasemd

Athugið að Robin jaðarskilyrði með \(\alpha_2=0\) (eða \(\beta_2=0\)) er Dirichlet skilyrði með \(\alpha=\alpha_3/\alpha_1\) (eða \(\beta=\beta_3/\beta_1\)).

Athugið að Robin jaðarskilyrði með \(\alpha_1=0\) (eða \(\beta_1=0\)) er Neumann skilyrði með \(\alpha=\alpha_3/\alpha_2\) (eða \(\beta=\beta_3/\beta_2\)).

7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði

7.2.1. Skiptipunktar

Gefum okkur jafna skiptingu á bilinu \([a,b]\), \(x_j=a+hj\), \(j=0,\ldots,N\) þar sem \(h=(b-a)/N\). Þá er

\[\begin{split}a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_N=b.\end{split}\]

Við nefnum \(x_j\) skiptipunkta skiptingarinnar.

Punktarnir \(a=x_0\) og \(b=x_N\) nefnast endapunktar skiptingarinnar og \(x_j\), með \(j=1,\dots,N-1\), nefnast innri punktar skiptingarinnar.

Við ætlum aðeins að nálga lausnir á línulegum jöfnum

\[y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad x\in [a,b],\]

Við munum reiknum út nálgun á réttu lausninni \(y(x)\) í skiptipunktunum \(x_j\). Rétta gildið í punktinum \(x_j\) táknum við með \(y_j\) og nálgunargildið með \(w_j\),

\[y_j=y(x_j)\approx w_j.\]

Eins skrifum við

\[p_j=p(x_j), \qquad q_j=q(x_j), \qquad r_j=r(x_j).\]

Aðvörun

Ólíkt upphafsgildisverkefnunum í kaflanum á undan þá táknum við breytuna hér með \(x\) og fallgildið með \(y\). Þetta er eðlilegur ritháttur hér því í jaðargildisverkefnum þá er \(y\) oftast fall af staðsetningu en ekki tíma, t.d. hiti í röri, sveigja burðarbita, o.s.fr.

7.2.2. Línulegar afleiðujöfnur

Nú leiðum við út nálgunarjöfnur, eina fyrir hvern innri skiptipunkt. Við byrjum á því að stinga punkti \(x_j\) inn í afleiðujöfnuna

\[\big\{ y''(x)= p(x)y'(x)+q(x)y(x) + r(x)\big\}_{x=x_j}.\]

Næst skiptum við afleiðunum \(y''\) og \(y'\) út fyrir miðsettan mismunakvóta fyrir aðra afleiðuna og miðsettan mismunakvóta fyrir fyrstu afleiðuna. Þá fæst

\[\dfrac{y_{j+1}-2y_j+y_{j-1}}{h^2} +O(h^2) =p_j\dfrac{y_{j+1}-y_{j-1}}{2h}+q_jy_j+r_j+ O(h^2).\]

Nú fellum við niður leifaliðina og setjum nálgunargildin í stað réttu gildanna

\[\dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} =p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j\]

Hér fáum við eina jöfnu fyrir sérhvern innri skiptipunkt \(j=1,\dots,N-1\).

7.2.3. Dirichlet-jaðarskilyrði

Við erum komin með \(N-1\) nálgunarjöfnu til þess að finna \(N+1\) nálgunargildi \(w_0,\dots,w_N\) fyrir \(y_0,\dots,y_N\).

Ef við erum að leysa línulegt jaðargildisverkefni með Dirichlet-jaðarskilyrðum,

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad a\leq x\leq b,\\ y(a)=\alpha \quad \text{ og } \quad y(b)=\beta, \end{gathered}\end{split}\]

þá fæst nálgunin með því að leysa línulega jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{aligned} w_0&=\alpha,\\ \dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} &=p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j, \qquad j=1,\dots,N-1,\\ w_N&=\beta. \end{aligned}\end{split}\]

7.2.4. Jafngild framsetning á hneppinu

Við lítum aftur á línulegu nálgunarjöfnurnar

\[\dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} =p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j.\]

Margföldum alla liði með \(-h^2\) og röðum síðan óþekktu stærðunum vinstra mengin jafnaðarmerkisins. Þá fæst línulega jöfnuhneppið

\[\big(-1-\tfrac 12 h p_j\big)w_{j-1} +\big(2+h^2q_j\big) w_j +\big(-1+\tfrac 12 h p_j\big)w_{j+1} =-h^2\, r_j\]

fyrir \(j=1,2,3,\dots,N-1\).

7.2.5. Línulega jöfnuhneppið á fylkjaformi

Nú er hægt að skrifa jöfnuhneppið á fylkjaformi

\[A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}\]

Hér er

\[\begin{split}A=\left[\begin{matrix} 1&0\\ l_1&d_1&u_1\\ &l_2&d_2&u_2\\ &&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&&l_{N-2}&d_{N-2}&u_{N-2} \\ &&&&&&l_{N-1}&d_{N-1}&u_{N-1} \\ &&&&&&&0&1 \end{matrix}\right]\end{split}\]

þar sem stuðlarnir \(l_j\), \(d_j\) og \(u_j\) eru gefnir með

\[\begin{split}\begin{aligned} l_j&=-1-\tfrac 12 hp_j\\ d_j&=2+h^2q_j\\ u_j&=-1+\tfrac 12 hp_j\end{aligned}\end{split}\]

og vigrarnir eru

\[\begin{split}{\mbox{${\bf w}$}}=\left[ \begin{matrix} w_0\\ w_1\\ w_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ w_{N-2}\\ w_{N-1}\\ w_N \end{matrix}\right] \qquad \text{ og } \qquad {\mbox{${\bf b}$}}=\left[ \begin{matrix} \alpha \\ -h^2r_1\\ -h^2r_2\\ \cdot \\ \cdot\\ \cdot\\ -h^2r_{N-2}\\ -h^2r_{N-1}\\ \beta \end{matrix}\right]\end{split}\]

Við þekkjum allar tölurnar í \(A\) og \(\bf b\), þannig að við getum leyst jöfnuhneppið og með því fundið nálgunargildin \(\bf w\).

7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði

7.3.1. Felugildi

Við skulum gera ráð fyrir að rétta lausnin \(y(x)\) uppfylli blandað jaðarskilyrði í \(x=a\),

\[\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3.\]

Til þess að líkja eftir afleiðujöfnunni í punktinum \(x=a\) þá hugsum við okkur að við bætum við einum skiptipunkti \(x_{-1}=a-h\) og látum \(w_f\) tákna ímyndað gildi lausnarinnar í \(x_{-1}\).

Svona punktur \(x_{-1}\) utan við skiptinguna er kallaður felupunktur við skiptinguna og ímyndað gildi \(w_f\) í felupunkti er kallað felugildi.

Takið eftir því að lausnin er ekki til í felupunktinum, en við reiknum eins og \(w_f\) sé gildi hennar þar.

Mismunajafnan sem líkir eftir afleiðujöfnunni í punktinum \(x_0\) er

\[\big(-1-\tfrac 12 hp_0\big)w_f+\big(2+h^2 q_0\big)w_0 +\big(-1+\tfrac 12 hp_0\big)w_1=-h^2r_0\]

Mismunajafnan sem líkir eftir jaðarskilyrðinu er

\[\alpha_1w_0+\alpha_2 \dfrac{w_1-w_f}{2h}=\alpha_3.\]

7.3.2. Jafna fyrir felugildið

Jafnan sem líkir eftir jaðarskilyrðinu er:

\[\alpha_1w_0+\alpha_2 \dfrac{w_1-w_f}{2h}=\alpha_3.\]

Út úr henni leysum við

\[w_f=w_1-\dfrac{2h}{\alpha_2}\big(\alpha_3-\alpha_1w_0\big)\]

Við stingum síðan þessu gildi inn í jöfnuna sem líkir eftir afleiðujöfnunni

\[\big(-1-\tfrac 12 hp_0\big)w_f+\big(2+h^2 q_0\big)w_0 +\big(-1+\tfrac 12 hp_0\big)w_1=-h^2r_0\]

Út fæst fyrsta jafna hneppisins

\[\bigg(2+h^2q_0-\big(2+hp_0\big)h\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\bigg)w_0 -2w_1=-h^2r_0-\big(2+hp_0\big)h\dfrac{\alpha_3}{\alpha_2}.\]

Með því að innleiða felupunkt \(x_{N+1}=b+h\) hægra megin við skiptinguna, tilsvarandi felugildi \(w_f\) og leysa saman tvær jöfnur þá fáum við síðustu jöfnu hneppisins

\[-2w_{N-1} +\bigg(2+h^2q_N+\big(2-hp_N\big)h\dfrac{\beta_1}{\beta_2}\bigg)w_N =-h^2r_N-\big(2-hp_N\big)h\dfrac{\beta_3}{\beta_2}\]

Við erum því aftur komin með \((N+1)\times (N+1)\)-jöfnuhneppi.

7.3.3. Hneppið á fylkjaformi

\[A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}\]
\[\begin{split}A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ l_1&d_1&u_1\\ &l_2&d_2&u_2\\ &&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&&l_{N-2}&d_{N-2}&u_{N-2} \\ &&&&&&l_{N-1}&d_{N-1}&u_{N-1} \\ &&&&&&&a_{N+1,N}&a_{N+1,N+1} \end{matrix}\right]\end{split}\]

Þar sem stuðlarnir \(l_j\), \(d_j\) og \(u_j\) fyrir \(j=1,2,3\dots,N-1\) eru þeir sömu og áður.

\[\begin{split}\begin{aligned} l_j&=-1-\tfrac 12 hp_j\\ d_j&=2+h^2q_j\\ u_j&=-1+\tfrac 12 hp_j\end{aligned}\end{split}\]

7.3.4. Fyrsta og síðasta lína hneppisins

\[\begin{split}\begin{aligned} a_{11}&= \begin{cases} 1,&\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ d_0&\text{Neumann í } x=a: \alpha_1=0, \alpha_2\neq 0,\\ d_0+2hl_0\alpha_1/\alpha_2&\text{Robin í } x=a: \alpha_2\neq 0. \end{cases} \\ a_{12}&= \begin{cases} 0,&\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ -2,&\text{annars}. \end{cases} \\ a_{N+1,N+1}&= \begin{cases} 1,&\text{Dirichlet í } x=b: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ d_N&\text{Neumann í } x=b: \beta_1=0, \beta_2\neq 0,\\ d_N-2hu_N\beta_1/\beta_2&\text{Robin í } x=a: \beta_2\neq 0. \end{cases} \\ a_{N+1,N}&= \begin{cases} 0,&\text{Dirichlet í } x=b: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ -2&\text{annars}. \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

7.3.5. Hægri hlið hneppisins

\[\begin{split}{\mbox{${\bf b}$}}=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ -h^2r_1\\ -h^2r_2\\ \cdot \\ \cdot\\ \cdot\\ -h^2r_{N-2}\\ -h^2r_{N-1}\\ b_{N+1} \end{matrix}\right]\end{split}\]
\[\begin{split}b_{1}= \begin{cases} \alpha=\alpha_3/\alpha_1, &\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ -h^2r_0+2hl_0\alpha_3/\alpha_2 &\text{Neumann í } x=a: \alpha_1=0, \alpha_2\neq 0,\\ -h^2r_0+2hl_0\alpha_3/\alpha_2&\text{Robin í } x=a: \alpha_2\neq 0. \end{cases}\end{split}\]
\[\begin{split}b_{N+1}= \begin{cases} \beta=\beta_3/\beta_1, &\text{Dirichlet í } x=a: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ -h^2r_N-2hu_N\beta_3/\beta_2&\text{Neumann í } x=a: \beta_1=0, \beta_2\neq 0,\\ -h^2r_N-2hu_N\beta_3/\beta_2&\text{Robin í } x=a: \beta_2\neq 0. \end{cases}\end{split}\]

7.3.6. Samantekt

Gildi lausnarinnar \(y(x)\) á línulega jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad a\leq x\leq b,\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3,\\ \beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3 \end{gathered}\end{split}\]

í punktunum \(x_j=a+jh\), þar sem \(h=(b-a)/N\) og \(j=0,\dots,N\), eru nálguð með

\[w_j\approx y(x_j)=y_j\]

Dálkvigurinn

\[{\mbox{${\bf w}$}}=[w_0,w_1,\dots,w_N]^T\]

er lausn á línulegu jöfnuhneppi \(A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}\).

Stuðlum \((N+1)\times(N+1)\) fylkisins \(A\) og \((N+1)\)-dálkvigursins \({\mbox{${\bf b}$}}\) hefur verið lýst hér að framan.