Töluleg greining (STÆ405G)
1. Inngangur
1.1. Hvað er töluleg greining?
1.1.1. Tilraun að svari
1.2. Dæmi: Eldflaug
1.3. Samleitni runa
1.3.1. Nokkur atriði um samleitni runa
1.3.2. Skilgreining: Samleitni
1.3.3. Skilgreining
1.4. Setning Taylors
1.4.1. Ritháttur fyrir diffranleg föll
1.4.2. Nálgun með Taylor-margliðu
1.4.3. Setning Taylors
1.4.4. Viðbót
1.4.5. Sýnidæmi: Nálgun á fallgildum
\(x-\sin x\)
1.5. Skekkjur
1.5.1. Skekkja í nálgun á rauntölu
\(r\)
1.5.2. Fyrirframmat á skekkju
1.5.3. Eftirámat á skekkju
1.5.4. Ofurlínuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
1.5.5. Línuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
1.5.6. Sýnidæmi
1.5.7. Útreikningur á samleitnistigi
1.6. Meira um skekkjur
1.6.1. Skilgreining: Markverðir stafir
1.6.2. Úrlausn annars stigs jöfnu
1.6.3. Áhrif gagnaskekkju
1.6.4. Sýnidæmi
1.6.5.
\(O\)
-ritháttur
1.6.6.
\(O\)
-ritháttur og skekkja í Taylor-nálgnum
1.6.7. Sýnidæmi
1.6.8.
\(O\)
-ritháttur fyrir runur
1.6.9. Tvö sýnidæmi
1.7. Fleytitalnakerfið
1.7.1. Framsetning á tölum
1.7.2. Mantissa
1.7.3. Markverðir
\(\beta\)
-stafir
1.7.4. Afrúningur talna
1.7.5. Fleytitölukerfi
1.7.6. IEEE staðlar
1.7.7. Útreikningur í tugakerfi
2. Núllstöðvar
2.1. Nálgun á núllstöð
2.1.1. Skilgreining
2.1.2. Dæmi
2.1.3. Athugasemd
2.2. Helmingunaraðferð
2.2.1. Milligildissetningin
2.2.2. Afleiðing
2.2.3. Skekkjumat í helmingunaraðferð
2.2.4. Fyrirframmat á skekkju
2.3. Fastapunktsaðferð
2.3.1. Skilgreining
2.3.2. Tenging við núllstöðvar
2.3.3. Reiknirit
2.3.4. Skilgreining: Herping
2.3.5. Setning
2.3.6. Fastapunktssetningin
2.3.7. Fastapunktsaðferð er að minnsta kosti línulega samleitin
2.4. Sniðilsaðferð
2.4.1. Reiknirit
2.4.2. Samleitin runa stefnir á núllstöð
\(f\)
2.4.3. Skekkjumat í nálgun á
\(f(x)\)
með
\(p_n(x)\)
2.4.4. Skekkjumat í sniðilsaðferð
2.4.5. Setning
2.5. Aðferð Newtons
2.5.1. Reiknirit
2.5.2. Upprifjun
2.5.3. Samleitin runa stefnir á núllstöð
\(f\)
2.5.4. Skekkjumat í nálgun á
\(f(x)\)
með
\(p_n(x)\)
2.5.5. Skekkjumat í aðferð Newtons
2.5.6. Setning
2.6. Samanburður á aðferðum
3. Brúun
3.1. Inngangur
3.1.1. Markmiðið
3.1.2. Brúun
3.1.3. Afhverju margliður?
3.1.4. Margliður
3.1.5. Mismunandi leiðir á framsetningu
3.1.6. Newton-form margliðu
3.1.7. Reiknirit Horners
3.2. Margliðubrúun: Lagrange-form
3.2.1. Margliðubrúun
3.2.2. Setning: Brúunarmargliðan er ótvírætt ákvörðuð
3.2.3. Setning: Brúunarmargliðan er til
3.2.4. Lagrange-form brúunarmargliðunnar
3.2.5. Lagrange-margliður, tilfellin
\(m=0,1,2\)
3.2.6. Lagrange-margliður almenna tilfellið
3.2.7. Sýnidæmi
3.3. Margliðubrúun: Newton-form
3.3.1. Formúla fyrir
\(c_0, \ldots, c_m\)
3.3.2. Mismunakvótar
3.3.3. Upprifjun á tilvistarsönnuninni
3.3.4. Mismunakvótatöflur fyrir
\(m=0,1,2,3\)
3.3.5. Sýnidæmi
3.3.6. Samantekt
3.3.7. Samantekt – Newton-form
3.3.8. Samantekt – Lagrange-margliður
3.4. Samantekt
3.4.1. Lagrange-margliður
3.4.2. Newton-margliður
3.5. Margliðubrúun: Margfaldir punktar
3.5.1. Margfeldni punktanna
3.5.2. Sértilfelli
3.5.3. Upprifjun
3.5.4. Ótvíræðni lausnarinnar
3.5.5. Tilvist á lausn
3.5.6. Samantekt
3.5.7. Brúunarmargliðan fundin
3.6. Skynsamlegir skiptipunktar og Chebyshev margliður
3.6.1. Um val á brúunarpunktum
3.6.2. Dæmi um óheppilega skiptipunkta
3.6.3. Val á brúunarpunktum
3.6.4. Skilgreining
3.6.5. Verkefnið
3.6.6. Skilgreining: Chebyshev margliður
3.6.7. Setning
3.6.8. Staðlaðar Chebyshev margliður
3.6.9. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bilið
\([-1,1]\)
3.6.10. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
3.6.11. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bil
\([a,b]\)
3.6.12. Lágmörkun á skekkju með tilliti til
\(\ell_2\)
3.6.13. Skilgreining: Legendre margliðurnar
3.6.14. Setning
3.6.15. Setning
3.6.16. Skilgreining: Staðlaðar Legendre margliður
3.6.17. Setning: Lágmörkun með Legendre margliðunum
3.6.18. Núllstöðvar
\(P_n\)
, fyrir
\(n=1,\ldots,10\)
3.6.19. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
3.6.20. Athugasemd um
\(\ell_\infty\)
og
\(\ell_2\)
3.7. Skekkjumat
3.7.1. Nálgun á föllum með margliðum
3.7.2. Nálgun á fallgildum
3.7.3. Skekkjumat
3.7.4. Tilfellið þegar við höfum aðeins einn punkt
3.7.5. Margfeldni núllstöðva
3.7.6. Setning: Skekkjumat
3.7.7. Samantekt
3.7.8. Sýnidæmi
3.8. Splæsibrúun
3.8.1. Almennt um splæsibrúun
3.8.2. Fyrsta stigs splæsibrúun:
3.8.3. Þriðja stigs splæsibrúun
3.8.4. Jöfnuhneppið
3.8.5. Tilfelli 1: Ekki-hnúts endaskilyrði
3.8.6. Tilfelli 2: Þvinguð endaskilyrði
3.8.7. Tilfelli 3: Náttúrleg endaskilyrði
3.8.8. Tilfelli 4: Lotubundið endaskilyrði
3.8.9. Teikning á ferlum í planinu
3.9. Aðferð minnstu fervika
3.9.1. Jafna bestu línu
3.9.2. Smávegis línuleg algebra
3.9.3. Jafna bestu línu
3.9.4. Jafna bestu annars stigs margliðu
3.9.5. Sýnidæmi: besta annars stigs margliða
4. Töluleg diffrun
4.1. Inngangur
4.1.1. Töluleg diffrun og heildun
4.1.2. Meginhugmynd í öllum nálgunaraðferðunum
4.2. Aðferðirnar
4.2.1. Frammismunur
4.2.2. Bakmismunur
4.2.3. Miðsettur mismunakvóti
4.2.4. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
4.3. Skekkjumat
4.3.1. Almennt um nálganir á afleiðum
4.3.2. Skekkjumat
4.3.3. Frammismunur
4.3.4. Miðsettur mismunakvóti
4.3.5. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
4.4. Richardson útgiskun
4.4.1. Útleiðsla á miðsettum mismunakvóta
4.4.2. Helmingun á skrefinu
4.4.3. Fjórða stigs nálgun
4.4.4. Hægt er að halda áfram útgiskun
4.4.5. Sjötta stigs skekkja
4.4.6. Almenn rakningarformúla
4.4.7. Reiknirit
4.4.8. Skekkjumat
4.4.9. Útleiðsla á fyrirframmati
4.4.10. Sýnidæmi
5. Töluleg heildun
5.1. Aðferðirnar
5.1.1. Newton-Cotes heildun
5.1.2. Sýnidæmi
5.1.3. Trapisureglan
5.1.4. Miðpunktsreglan
5.1.5. Regla Simpsons
5.2. Samsettar útgáfur
5.2.1. Inngangur
5.2.2. Samsetta trapisureglan
5.2.3. Samsetta miðpunktsreglan
5.2.4. Samsett regla Simpsons
5.3. Skekkjumat
5.3.1. Inngangur
5.3.2. Meðalgildissetningin fyrir heildi
5.3.3. Trapisureglan
5.3.4. Samsetta trapisureglan
5.3.5. Miðpunktsregla
5.3.6. Samsetta miðpunktsreglan
5.3.7. Regla Simpsons
5.3.8. Samsett regla Simpsons
5.4. Romberg-útgiskun
5.4.1. Euler-Maclauren-formúlan
5.4.2. Afleiðing af Euler-Maclaurin-formúlunni
5.4.3. Ítrekun á samsettu trapisureglunni með helmingun
5.4.4. Reikniritið fyrir Romberg-heildun
5.4.5. Skekkjumat í Romberg heildun
6. Upphafsgildisverkefni
6.1. Inngangur
6.1.1. Fyrsta stigs afleiðujafna með upphafsgildi
6.1.2. Útskýring og dæmi
6.1.3. Tilvist og ótvíræðni lausna
6.1.4. Upphafsgildisverkefni fyrir hneppi
6.1.5. Jöfnur af stigi
\(>1\)
og jafngild hneppi
6.1.6. Tilvist og ótvíræðni lausna á hneppum
6.1.7. Ritháttur
6.1.8. Grunnhugmyndin í nálgunaraðferðum
6.1.9. Beinar og óbeinar aðferðir
6.1.10. Eins skrefs aðferðir og fjölskrefaaðferðir
6.2. Aðferðir með fasta skrefastærð
6.2.1. Aðferð Eulers
6.2.2. Aðferð Eulers: Matlab-forrit
6.2.3. Aðferð Eulers: Dæmi
6.2.4. Endurbætt aðferð Eulers
6.2.5. Aðferð Heun
6.2.6. Forsagnar- og leiðréttingarskref
6.2.7. Annars stigs Runge-Kutta-aðferð
6.2.8. Klassíska (fjórða stigs) Runge-Kutta aðferðin
6.2.9. Klassíska Runge-Kutta aðferðin: Dæmi
6.3. Skekkjumat, samleitni og stöðugleiki
6.3.1. Skekkja
6.3.2. Staðarskekkja í aðferð Eulers
6.3.3. Stýring á staðarskekkju og breytileg skrefastærð
6.3.4. Mat á skrefastærð
6.4. Aðferðir með breytilega skrefastærð
6.4.1. Reiknirit fyrir Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
6.4.2. Runge-Kutte-Fehlberg (RKF45) prófuð
6.5. Fjölskrefaaðferðir
6.5.1.
\(k\)
-skrefa Adams-Bashforth aðferð
6.5.2. Tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
6.5.3. Forrit fyrir tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
6.5.4. Þriggja skrefa Adams-Bashforth
6.5.5. Fjögurra skrefa Adams-Bashforth
6.6. Greining á samleitni og stöðugleika
6.6.1. Skekkja
6.6.2. Samleitni
6.6.3. Samræmi
6.6.4. Samræmi endurbættu Euler-aðferðarinnar
6.6.5. Samræmi beinna eins skrefs aðferða
6.6.6. Stöðugleiki
6.6.7. Lipschitz-samfelldni
6.6.8. Setning um stöðugleika og samleitni
7. Jaðargildisverkefni
7.1. Inngangur
7.1.1. Jaðargildisverkefni
7.1.2. Þrjár tegundir jaðarskilyrða
7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði
7.2.1. Skiptipunktar
7.2.2. Línulegar afleiðujöfnur
7.2.3. Dirichlet-jaðarskilyrði
7.2.4. Jafngild framsetning á hneppinu
7.2.5. Línulega jöfnuhneppið á fylkjaformi
7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði
7.3.1. Felugildi
7.3.2. Jafna fyrir felugildið
7.3.3. Hneppið á fylkjaformi
7.3.4. Fyrsta og síðasta lína hneppisins
7.3.5. Hægri hlið hneppisins
7.3.6. Samantekt
8. Jöfnuhneppi
8.1. Línuleg jöfnuhneppi
8.1.1. Verkefnið
8.1.2. Lausnir
8.1.3. Fjöldi aðgerða
8.1.4. Vandamál með stöðugleika
8.2. Vending (e. pivoting)
8.2.1. Inngangur
8.2.2. Hlutvending (e. partial pivoting)
8.2.3. Vankantar
8.2.4. Sköluð hlutvending (e. scaled partial pivoting)
8.2.5. Athugasemd
8.3. Fylkjastaðall
8.3.1. Að mæla fjarlægð milli hluta
8.3.2. Vigurstaðall
8.3.3. Dæmi um staðla
8.3.4. Fylkjastaðall
8.3.5. Fylkjastaðall skilgreindur út frá vigurstaðli
8.3.6. Dæmi um fylkjastaðal
8.3.7. Eigingildi
8.3.8. Róf og rófgeisli
8.3.9. Setning um rófgeisla
8.4. Skekkjumat og ástandstala
8.4.1. Hvernig á að mæla skekkju
8.4.2. Skekkjumat
8.4.3. Ástandstala fylkis og mat á hlutfallslegri skekkju
8.4.4. Áhrif gagnaskekkju
8.5. LU-þáttun
8.5.1. Nokkrar skilgreiningar
8.5.2. Úrlausn á jöfnuhneppi með neðra þríhyrningsfylki
8.5.3. Fjöldi aðgerða
8.5.4. Úrlausn á jöfnuhneppi með efra þríhyrningsfylki
8.5.5. Línuaðgerðir
8.5.6. Ný sýn á Gauss-eyðingu
8.5.7. Nánar um
\(M_i\)
8.5.8. LU-þáttun
8.5.9.
\(LU\)
-þáttun og sköluð hlutvending
8.5.10. Jöfnuhneppi leyst með LU-þáttun
8.5.11. Fjöldi reikniaðgerða fyrir
\(LU\)
-þáttun
8.5.12. Mörg jöfnuhneppi
8.6. Fastapunktsaðferðir fyrir línuleg jöfnuhneppi
8.6.1. Ítrekunaraðferðir til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
8.6.2. Fastapunktsítrekun til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
8.6.3. Fastapunktsítrekun - skekkjumat
8.6.4. Skilyrði fyrir samleitni
8.6.5. Skiptingaraðferð (e. splitting method)
8.6.6. Jacobi-aðferð
8.6.7. Gauss-Seidel-aðferð
8.6.8. SOR-aðferð (e. successive over-relaxation)
8.6.9. Setning um samleitni Gauss-Seidel-aðferðarinnar
8.7. Newton-aðferð fyrir jöfnuhneppi
8.7.1. Jacobi-fylki
8.7.2. Aðferð Newtons fyrir hneppi
8.7.3. Matlab-forrit fyrir hneppi
9. Eigingildisverkefni
9.1. Eigingildi og eiginvigrar
9.1.1. Nálgun á eigingildum og eiginvigrum
9.1.2. Gróf staðsetning á eigingildum: Skífusetning Gerschgorins
9.1.3. Fylgisetning
9.1.4. Eiginvigragrunnar
9.2. Veldaaðferð
9.2.1. Veldaaðferð
9.2.2. Reiknirit til þess að ákvarða stærsta eigingildi fylkis
9.2.3. Samleitni
9.2.4. Samhverf fylki
9.2.5. Setning um eigingildi og eiginvigra
9.2.6. Dæmi um veldaaðferð
9.3. Andhverf veldaaðferð
9.3.1. Reiknirit til þess að nálga eigingildi og eiginvigra
9.3.2. Dæmi um öfuga veldaaðferð
10. Monte Carlo hermanir
10.1. Inngangur
10.1.1. Nálgun á pi
10.2. Heildi í einni breytistærð
10.2.1. Nálgun á heildi
10.3. Margföld heildi og rúmmál
10.3.1. Margföld heildi
10.3.2. Margföld heildi: Dæmi
10.4. Hermun
10.4.1. Nál Buffons
Viðauki
Kennsluáætlun
Skipulag námskeiðsins
Kennsla
Kennsluefni
Matlab/Octave
Heimadæmi og dæmatímar
Verkefni
Lokapróf
Námsmat
Frágangur heimadæma
Gagnlegir tenglar
Töluleg greining (STÆ405G)
Atriðaskrá
Edit on GitHub
Atriðaskrá
A
|
B
|
E
|
F
|
H
|
J
|
L
|
M
|
N
|
O
|
R
|
S
|
T
|
U
|
V
|
Þ
A
afleiður
afrúningur
afskurður
annars stigs jafna
aðferð minnstu fervika
aðferð Newtons
B
bandfylki
brúun
brúunarmargliða
brúunarverkefni
ferlar
margfaldir punktar
mismunakvótatafla
Newton-form
skekkjumat
splæsibrúun
brúunarmargliða
brúunarpunktur
einfaldur
stig
tvöfaldur
E
eigingildi
,
[1]
andhverf veldaaðferð
skífusetning Gerschgorins
veldaaðferð
veldaaðferð fyrir samhverf fylki
eiginvigur
F
fastapunktsaðferð
fastapunktssetningin
fyrir línuleg jöfnuhneppi
Gauss-Seidel-aðferð
Jacobi-aðferð
skiptingaraðferð
SOR-aðferð
fastapunktur
fleytitölur
mantissa
markverðir stafir
föll
afleiða
diffranlegt
rúm diffranlegra falla
rúm samfelldra falla
fylkjastaðall
,
[1]
út frá vigurstaðli
H
helmingunaraðferð
herping
J
Jacobi-fylki
jafna besta fleygboga
jafna bestu línu
,
[1]
jaðargildisverkefni
Dirichlet-jaðarskilyrði
felugildi
felupunktar
línulegar afleiðujöfnur
Neumann-jaðarskilyrði
Robin-jaðarskilyrði
samantekt
skiptipunktar
jöfnuhneppi
ástandstala
fjöldi aðgerða
gagnaskekkja
hlutvending
lausn með LU-þáttun
Newton-aðferð
skekkjumat
sköluð hlutvending
vending
L
Lipschitz-samfelldni
LU-þáttun
lu-þáttun
M
margliður
Chebyshev
Lagrange-form
Legendre
Newton-form
staðalform
staðlaðar
stig
markgildi
markverðir stafir
Meðalgildissetningin fyrir heildi
mismunakvóti
N
núllstöð
O
O-ritháttur
,
[1]
R
reiknirit Horners
rófgeisli
runa
S
samleitni
af stigi α
ferningssamleitni
línuleg
,
[1]
ofurlínuleg
,
[1]
setning Taylors
setning Weierstrass
skekkja
,
[1]
algildi
aðferðarskekkja
eftirámat
fyrirframmat
gagnaskekkja
hlutfallsleg
mannlegar villur
mæliskekkja
reikningsskekkja
styttingarskekkja
skekkjumat
skífusetning Gerschgorins
snertill
sniðilsaðferð
splæsibrúun
fyrsta stigs
þriðja stigs
staðall
ℓ2
ℓ∞
T
Taylor-margliða
tímaskref
töluleg diffrun
bakmismunur
frammismunur
miðsetttur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
miðsettur mismunakvóti
Richardson útgiskun
skekkjumat
töluleg heildun
,
[1]
miðpunktsreglan
Newton-Cotes
regla Simpsons
samsett
samsett regla Simpsons
samsetta miðpunktsreglan
samsetta trapisureglan
skekkjumat
trapisureglan
U
upphafsgildisverkefni
Adams-Bashforth
annars stigs Runge-Kutta
aðferð Eulers
aðferð Heun
beinar/óbeinar aðferðir
breytileg skrefastærð
endurbætt aðferð Eulers
fjölskrefaaðferðir
forsagnar- og leiðréttingarskref
fyrsta stigs
heildarskekkja
jafngild hneppi
klassíska Runge-Kutta
nálgunargildi
Runge-Kutta aðferðir
Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
samleitni
samræmi
skref
staðarskekkja
stöðugleiki
tilvist og ótvíræðni
V
vigurstaðall
Þ
þríhyrningsfylki