Vigrar
en: vector Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er stærðfræðilegt hugtak fyrir stærð sem hefur bæði lengd og stefnu.
Þeir eru jafnan teiknaðir sem örvar í hnitakerfi og lýst með hnitum.
Hnit vigurs eru venjulegar tölur, líka kallaðar
skalarstærðir
en: scalar Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu., og lýsa staðsetningu endapunkts miðað við upphafspunkt.
Hvert hnit er tengt einum ás í hnitakerfinu sem notað er og stærð hnitsins (tölunnar) lýsir lengd vigursins í þá átt.
Vigrar eru oftast táknaðir með striki eða ör fyrir ofan bókstafinn, \(\overline{a}\) , \(\vec{a}\) , en sumir setja strikið undir, \(\underline{a}\) .
Í kennslubókum eru vigrar stundum feitletraðir: \(\boldsymbol{a}\).
Lengd vigursins sjálfs er reiknuð með jöfnu Pýþagórasar, \(|\overline{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\) .
Vigurinn á myndinni hefur því lengdina \(a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) .
Athugasemd
Stærð og stefna vigurs er óháð því hvar í hnitakerfinu hann er.
Algengt er að láta vigra liggja frá upphafspunkti hnitakerfisins (stöðu- eða staðarvigur) en það er hægt að reikna vigra á milli gefinna upphafs- og endapunkta.
Vigurinn frá punktinum \(A=(x_1,y_1)\) til punktsins \(B=(x_2,y_2)\) er
Vigurinn \(\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\) er sá sami, hvort sem hann liggur á milli \(A\) og \(B\) eða frá upphafspunktinum til punktsins \((6,-5)\) .
Finnið vigur sem er samsíða \(\overline{a}=(-1,6)\) og hefur lengdina 9.
Lausn
Hallatala \(\overline{a}\) er \(h_{\bar{a}}=\frac{a_y}{a_x}=\frac{6}{-1}=-6\) .
Þá vitum við að vigurinn sem við leitum að, \(b\) , uppfyllir það sama:
\[h_{\bar{b}}=\frac{b_y}{b_x}=-6\]
sem er jafngilt því að \(b_y=-6b_x\) .
Skilyrðið að \(\overline{b}\) þurfi að hafa lengdina 9 gefur að:
Vigra er líka hægt að tákna með lengd og stefnuhorni.
Hornið \(\theta\) er skilgreint frá jákvæðum x-ás og að vigrinum.
Með þessum upplýsingum er hægt að liða vigurinn eftir x- og y-ás með því að nota hornaföll.
Þættir vigursins eru föll af stefnuhorninu sem er oft merkt \(\theta\) eða \(\phi\) :
Einingarvigrarnir \(\hat{e}_x, \hat{e}_y\) og \(\hat{e}_z\) eru
línulega óháðir
en: linearly independent Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu., sem þýðir að engan þeirra er hægt að mynda úr hinum tveimur með samlagningu þeirra eða margföldun með tölu.
Hvernig sem þú teygir á og raðar saman \(\hat{\imath}\) og \(\hat{\jmath}\) færðu aldrei út \(\hat{k}\) .
Þessi eiginleiki kemur til vegna þess að einingarvigrarnir eru allir hornréttir á hvorn annan.
Alla vigra má skrifa sem skalarstærðir margfaldaðar við einingarvigrana:
Þegar vigrar eru lagðir saman eru hnit eftir hverjum ás fyrir sig lögð saman.
Summa tveggja vigra \(\overline{a} = (a_x,a_y)\) og \(\overline{b} = (b_x,b_y)\) er:
Myndrænt má ímynda sér að upphafspunktur seinni vigursins sé settur í endapunkt fyrri vigursins,
og summa þeirra er frá upphafspunkti fyrri vigursins til endapunkts þess seinni.
Athugasemd
Þó að \(\overline{c} = \overline{a} + \overline{b}\) þýðir það ekki að \(c = a + b\).
Í dæminu hér á undan er til dæmis
\[\begin{split}c = |\overline{c}| = \sqrt{5^2+6^2} \approx 7,8 \\
a + b = \sqrt{4^2+3^2} + \sqrt{1^2+3^2} \approx 8,2\end{split}\]
Ef hliðar þríhyrnings eru gefnar með vigrunum \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) er hægt að reikna hornið \(\theta\) .
Flatarmálið er þá \(F=\frac{1}{2}|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)\) .
Ef hliðar samsíðungs eru gefnar með vigrunum \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) er hægt að reikna hornið \(\theta\) .
Flatarmálið er þá \(F=|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)\) og ummálið er \(U=2|\overline{a}|+2|\overline{b}|\) .
