12. Viðauki

12.1. Þrepun

Þrepun er leið til þess að sanna setningar og formúlur. Þá er fyrst sýnt fram á að setningin gildi um grunntilvik (upphafstilvik, núlltilvik). Að því loknu er sýnt fram á að ef setningin gildir um eitthvert ótiltekið tilvik, þá gildir það um það næsta.

Þetta svipar til þess að ganga upp stiga: ef við getum komist upp fyrsta þrepið og frá hverju þrepi í það næsta, þá hljótum við að geta gengið upp allan stigann.

Hér er til dæmis reglan um að summa allra heiltalna frá einum upp í \(n\) er:

\[\sum_{i=1}^n = \frac{n(n+1)}{2}\]

Við ætlum að sýna fram á að þessi formúla gildi um allar jákvæðar heiltölur \(n=1,2,3, \dots\) . Sjáum til dæmis að hún gildir fyrir \(n=4\) því

\[\sum_{i=1}^4 = 1+2+3+4 = 10\]

og

\[\frac{4\cdot(4+1)}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

Sönnum setninguna með þrepun:

Grunntilvik:

Prófum að setja \(n=1\) í setninguna:

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^n &= \frac{n(n+1)}{2}\\ \sum_{i=1}^1 &= \frac{1(1+1)}{2}\\ 1&=\frac{1\cdot2}{2}=1 \end{aligned}\end{split}\]

Formúlan virkar því til þess að reikna summu allra talna frá einum upp í einn.

Þrepun:

Gerum núna ráð fyrir að formúlan virki fyrir eitthvert \(n\) , þ.e. að

\[\sum_{i=1}^n = \frac{n(n+1)}{2}\]

sé sönn staðhæfing.

Þá ætlum við að sýna að hún gildi líka fyrir næsta skref \(n+1\) .

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n+1} &= \sum_{i=1}^n + (n+1) \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} \\ &=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ &= \frac{(n+1)(n+2)}{2} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Í síðustu línunni birtist formúlan eins og hún væri ef \(n+1\) væri sett inn í formúluna og því gildir formúlan líka fyrir \(n+1\) .

Því getum við ályktað að setningin gildi um öll \(n\) .

12.2. Ritháttur

• \(\mathbb{N} \quad\) „Náttúrulegu tölurnar“

  • \(0,1,2,3, \dots\) köllum við náttúrulegu tölurnar

• \(\mathbb{Z} \quad\) „Heiltölur“

  • \(\dots ,-3, -2, -1, 0,1,2,3, \dots\) köllum við heiltölurnar

• \(\mathbb{Q} \quad\) „Ræðu tölurna“

  • \(\frac{p}{q}\) þar sem \(p\) og \(q\) eru heilar tölur og \(q \neq 0\)

• \(\mathbb{R} \quad\) „Rauntölurnar“

  • mengi allra ræðra talna, auk óræðra talna

• \(:= \; \text{eða} \; \equiv \quad\) „skilgreint sem“

  • notað til að skilgreina stærðir

• \(\in \quad\) „stak í“

  • oft erum við að tala um stak í menginu \(x \in A\) \(x\) er stak í menginu \(A\)

• \(\notin \quad\) „ekki stak í“

  • \(x \notin A\) \(x\) er ekki stak í menginu \(A\)

• \(\forall \quad\) „fyrir öll“

  • \(\forall n \in \mathbb{N}\) fyrir öll stök í mengi náttúrulegra talna

• \(\approx \quad\) „um það bil“

  • \(\pi \approx 3.14\)

• \(< \qquad\) „minna en“

  • \(3<4\)

• \(> \qquad\) „stærra en“

  • \(6>2\)

• \(\leq \qquad\) „minna en eða jafnt og“

  • \(a \leq x \leq b\) lokað bil

• \(\geq \qquad\) „stærra en eða jafnt og“

  • \(a \geq x \geq b\) opið bil

• \(\sum_{n}^{m} \quad\) „summa frá n upp í m“

  • við getum haf endanlegar og óendanlegar summur, þ.e.a.s. \(m= \infty\) eða/og \(n= -\infty\)

• \(\prod_{n}^{m} \quad\) „margfeldi frá n upp í m“

  • við getum haft endanleg og óendanleg margfeldi, þ.e.a.s. \(m= \infty\) eða/og \(n= -\infty\)

• \(\parallel \quad\) „samsíða“

  • sjá kafla um samsíða línur

• \(\perp \quad\) „hornrétt“ eða „þverstætt“

  • sjá kafla um þverstæð línur

• \(\subset \quad\) „hlutmengi“

  • t.d. \(A \subset B\) \(B\) er hlutmengi í \(A\)

• \(| \quad \text{eða} \quad ; \quad\) „þar sem“

  • oft þegar við erum að skilgreina mengi þá erum við með skilyrði \(p(x)\), t.d. \(A = \{x \in C \ | \ p(x)\}\). Þetta þýðir að í \(A\) eru öll stök í \(C\) þar sem \(p(x)\) gildir

• \(\cup \quad\) „sammengi“

  • \(A \cup B\) „sammengi \(A\) og \(B\)“

• \(\cap \quad\) „sniðmengi“

  • \(A \cap B\) „sniðmengi \(A\) og \(B\)“

• \(\setminus \quad\) „mengjamismunur“

  • \(A\setminus B\) „\(A\) án \(B\)“

• \(A^c \quad\) „fyllimengi \(A\)“

  • \(A^c \quad\) „allt sem er ekki í \(A\)“

• \((a,b) \quad \text{eða} \quad ]a,b[ \quad\) „opið bil“

  • \((a,b)=\{x\in \mathbb{R}; a<x<b\}\)

• \([a,b] \quad\) „lokað bil“

  • \([a,b]=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x\leq b\}\)

• \(f(x)|_{x=a} \quad\) „stingum in \(x=a\)“

  • \(x^2+3x-1|_{x=3} = (3)^2+3(3)-1 = 17\)

• \(! \qquad\) „aðfeldi“ eða „hrópmerkt“

  • \(6! = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 =720\)

• \(° \qquad\)“gráður“

  • \(30°\)

• \(Rad \quad\) „radian“ eða „bogaeining“

  • \(\frac{\pi}{6} Rad\)

• \(\boldsymbol{a} \quad \vec{a} \quad \bar{a} \quad\) „vigurinn \(a\)“

  • sjá Vigrar

• \(f'(x) \quad f' \quad \frac{df}{dx} \quad \frac{d}{dx} f(x) \quad D_x f \qquad\) „afleiða \(f(x)\)“

  • með tilliti til \(x\)

12.3. Formúlublað

Samantekt af hentugum reglum og formúlum úr köflunum.

12.3.1. Algebra

12.3.1.1. Einfaldar reiknireglur

\[\begin{split}\begin{aligned} &(a+b)+c=a+(b+c) \qquad &\textit{ (tengiregla samlagningar)}\\ \qquad \\ &(ab)c=a(bc) \qquad &\textit{ (tengiregla margföldunar)}\\ \qquad \\ &a+b=b+a \qquad &\textit{ (víxlregla samlagningar)} \\ \qquad \\ &ab=ba \qquad &\textit{ (víxlregla margföldunar)}\\ \qquad \\ &a(b+c)=ab+ac \qquad &\textit{ (dreifiregla)}\\ \qquad \\ &1 \cdot a=a \qquad &\textit{ (1 er margföldunarhlutleysa)}\\ \qquad \\ &a+0=a \qquad &\textit{ (0 er samlagningarhlutleysa)}\\ \qquad \\ &0 \cdot a=0 \qquad &\textit{ (margföldun með núlli gefur núll)}\\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.1.2. Brotareiknireglur

\[\begin{split}\begin{aligned} & \frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps}{qs}+\frac{qr}{qs}=\frac{ps+qr}{qs} \\ \qquad \\ &\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-qr}{qs} \\ \qquad \\ & \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}=\frac{pr}{qs} \\ \qquad \\ &\frac{p/q}{r/s} =\frac{ps}{qr} \\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.1.3. Veldareiknireglur

\[\begin{split} \begin{aligned} &a^0=1\\ \qquad \\ &a^n=a \cdot a \cdot \dots \cdot a \\ \qquad \\ &a^{-n}=\frac{1}{a^n} \\ \qquad \\ &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \qquad \\ &\dfrac {a^n}{a^m}=a^{n-m}\\ \qquad \\ &a^n\cdot b^n=(ab)^n\\ \qquad \\ &(a^n)^m=a^{nm} \qquad \\ (-1)^n &= 1 \qquad \text{þegar } n \text{ er slétt tala} \\ \qquad \\ (-1)^n &= -1 \qquad \text{þegar } n \text{ er oddatala} \\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.1.4. Reiknireglur fyrir rætur

\[\begin{split} \begin{aligned} \sqrt[q]{ab} &=\sqrt[q]{a}\cdot \sqrt[q]{b} \\ & \qquad \\ \sqrt[q]{\dfrac ab}& =\dfrac{\sqrt[q]{a}}{\sqrt[q] {b}}\\ & \qquad \\ \sqrt[q]{a^p}& =(\sqrt[q]{a})^p\\ & \qquad \\ \sqrt[sq]{a^{sp}} &={\sqrt[q]{a^p}}\\ & \qquad \\ \sqrt[sq]{ a} &=\sqrt[s]{\sqrt[q]{a}}\\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.2. Jöfnur og ójöfnur

12.3.2.1. Lausnarformúla annars stigs jöfnu

Látum \(ax^2+bx+c=0\) vera annars stigs jöfnu.

1. Ef \(d = b^2-4ac<0\) þá hefur jafnan enga rauntölulausn.

2. Ef \(d = b^2-4ac=0\) þá hefur jafnan eina lausn:

\[x=\frac{-b}{2a}\]

3. Ef \(d = b^2-4ac>0\) þá hefur jafnan tvær lausnir:

\[x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad \text{og} \qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

eða

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

12.3.2.2. Reiknireglur fyrir tölugildi

Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur. Þá gildir eftirfarandi:

\[\begin{split}\begin{aligned} & a \leq |a| \qquad &\text{(tölugildi getur aðeins stækkað tölu)}\\ \qquad \\ & |a|=|-a| \qquad &\text{(tölugildi eru óháð formerki)}\\ \qquad \\ & |a|\cdot|b|=|ab| \qquad &\text{(tölugildi varðveitir margföldun)}\\ \qquad \\ & |a|^2=a^2 \qquad &\text{(önnur veldi eyða tölugildi)}\\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.2.3. Regla Pýþagórasar

\[a^2+b^2=c^2\]

12.3.2.4. Fjarlægð milli punkta

Fjarlægðin milli punktanna \(P_1=(x_1,y_1)\) og \(P_2=(x_2,y_2)\) í hnitakerfinu er

\[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

12.3.2.5. Hallatala línu

Ef við höfum tvo punkta \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) fæst með formúlunni

\[h=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

12.3.2.6. Miðpunktsregla

Reikna má miðpunkt striksins á milli \(A(x_1, x_2)\) og \(B(x_2,y_2)\) með:

\[M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)\]

12.3.2.7. Flatarmál

Flatarmál rétthyrnings en: rectangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er \(F=a\cdot b\) og ummálið er \(U=2a+2b\) .

Flatarmál samsíðungs en: parallelogram
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er \(F=g\cdot h\).

Flatarmálið er þá \(F=|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \sin(\theta)\) og ummálið er \(U=2|\bar{a}|+2|\bar{b}|\) .

Flatarmál hrings er \(F=r^2\cdot\pi\) og ummálið er \(U=2r\pi\) .

Flatarmál sporöskju er \(F=a\cdot b\cdot\pi\) .

Flatarmál þríhyrnings en: triangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er \(F=\frac{1}{2}g\cdot h\) .

Flatarmálið er þá \(F=\frac{1}{2}|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \sin(\theta)\) .

12.3.3. Föll

12.3.3.1. Oddstætt og jafnstætt

Látum \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) vera fall.

Jafnstætt en: even
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef \(f(-x)=f(x)\) fyrir öll \(x \in \mathbb{R}\).

Oddstætt en: odd
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef \(f(-x)=-f(x)\) fyrir öll \(x \in \mathbb{R}\).

12.3.3.2. Lograreglur

Fyrir \(a,b,x,y\in \mathbb{R}_+\) og \(r \in \mathbb{R}\) gildir:

1. \(\qquad \log_a(1)=0\)

2. \(\qquad \log_a(1/x)=-\log_a(x)\)

3. \(\qquad \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)

4. \(\qquad \log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)\)

5. \(\qquad \log_a(x^r)=r\log_a(x)\)

6. \(\qquad \log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\).

12.3.3.3. Stofnbrotaliðun

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{ax+b}{(x-\alpha)(x-\beta)} = \frac{A}{(x-\alpha)}+ \frac{B}{(x-\beta)} \\ &\qquad \text{þar sem} \\ & \alpha \neq \beta, \quad A= \frac{a\alpha + b}{\alpha - \beta} \quad \text{og} \quad B= \frac{a\beta + b}{\beta - \alpha} \end{aligned}\end{split}\]

12.3.4. Margliður

12.3.4.1. Nokkrar liðanir

\[(a + b)^0 = 1\]

\[(a + b)^1 = a + b\]

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3\]

\[(a + b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4\]

\[(a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3b^2 + 10a^2 b^3 + 5 ab^4 +b^5\]

12.3.5. Hornaföll

12.3.5.1. Gráður og bogaeiningar

\[x \text{Rad} = \left(x \cdot \frac{360}{2 \pi}\right)° \qquad og \qquad x°=\left( x \cdot \frac{2 \pi}{360}\right) \text{Rad}\]

12.3.5.2. Hliðar þríhyrnings

\[\begin{split}\begin{aligned} \sin(\alpha) = \frac{b}{c} \\ \qquad \\ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \\ \qquad \\ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \\ \qquad \\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.5.3. Grunnreglan

\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\]

12.3.5.4. Hliðrunarreglur

\[\begin{split}\begin{aligned} & \qquad \cos(-\theta)=\cos \theta\\ \qquad \\ & \qquad \sin(-\theta)=-\sin\theta\\ \qquad \\ & \qquad \cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\\ \qquad \\ & \qquad \sin(\pi-\theta)=\sin \theta\\ \qquad \\ & \qquad \cos(\theta+\pi)=-\cos \theta\\ \qquad \\ & \qquad \sin(\theta+\pi)=-\sin \theta\\ \qquad \\ & \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\\ \qquad \\ & \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta \end{aligned}\end{split}\]

12.3.5.5. Summuformúlur

1.

\[\sin( u + v ) = \sin(u) \cos(v) + \cos(u) \sin(v)\]

2.

\[\sin( u - v ) = \sin(u) \cos(v) - \cos(u) \sin(v)\]

3.

\[\cos( u + v ) = \cos(u) \cos(v) - \sin(u) \sin(v)\]

4.

\[\cos( u - v ) = \cos(u) \cos(v) + \sin(u) \sin(v)\]

5.

\[\tan(u-v) = \frac{\tan(u) - \tan(v)}{1 + \tan(u) \tan(v)}\]

6.

\[\tan(u+v) = \frac{\tan(u) + \tan(v)}{1 - \tan(u) \tan(v)}\]

12.3.5.6. Tvöföldunarformúlur

1.

\[\sin(2u) = 2\sin(u)\cos(u)\]

2.

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos(2x)&= \cos^2(x)-\sin^2(x) \\ &= 2\cos^2(x)-1 \\ &= 1-2 \sin^2(x) \end{aligned}\end{split}\]

3.

\[\tan(2u) = \frac{2\tan(u)}{1-\tan^2(u)}\]

12.3.5.7. Helmingunarformúlur

1.

\[\sin^2(u) = \frac{1- \cos(2u)}{2} \qquad \text{eða} \qquad \sin\left(\frac{u}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1- \cos(u)}{2} }\]

2.

\[\cos^2(u) = \frac{1+ \cos(2u)}{2} \qquad \text{eða} \qquad \cos\left(\frac{u}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+ \cos(u)}{2} }\]

3.

\[\tan^2(u) = \frac{1- \cos(2u)}{1+\cos(2u)} \qquad \text{eða} \qquad \tan\left(\frac{u}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1- \cos(u)}{1+\cos(u)} }\]

12.3.5.8. Summu- og margfeldisformúlur

Margfeldisritháttur í summurithátt

1.

\[\sin(u)\sin(v) = \frac{1}{2}\left(\cos(u-v) - \cos(u+v)\right)\]

2.

\[\cos(u)\cos(v) = \frac{1}{2}\left(\cos(u-v) + \cos(u+v)\right)\]

3.

\[\sin(u)\cos(v) = \frac{1}{2}\left(\sin(u+v) + \sin(u-v)\right)\]

4.

\[\cos(u)\sin(v) = \frac{1}{2}\left(\sin(u+v) - \sin(u-v)\right)\]

Summuritháttur í margfeldisrithátt

1.

\[\sin(u) + \sin(v) = 2\sin\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\left(\frac{u-v}{2}\right)\]

2.

\[\sin(u) - \sin(v) = 2\cos\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\left(\frac{u-v}{2}\right)\]

3.

\[\cos(u) + \cos(v) = 2\cos\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\left(\frac{u-v}{2}\right)\]

4.

\[\cos(u) - \cos(v) = -2\sin\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\left(\frac{u-v}{2}\right)\]

12.3.5.9. Kósínusreglan

Í \(\triangle ABC\) gildir

\[\begin{split}\begin{aligned} a^2 &= b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos(A) \\ b^2 &= a^2+c^2-2\cdot a \cdot c \cdot \cos(B) \\ c^2 &= b^2+a^2-2\cdot b \cdot a \cdot \cos(C) \\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.5.10. Sínusreglan

Í \(\triangle ABC\) gildir

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Þar sem \(A\), \(B\) og \(C\) eru horn þríhyrningsins og \(a\), \(b\) og \(c\) eru lengdir hliðanna

12.3.6. Vigrar

12.3.6.1. Reiknireglur

\[\begin{split}\begin{aligned} & |\bar{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \\ \qquad \\ & \bar{a} + \bar{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z) \\ \qquad \\ & c \cdot \bar{v} = (c \cdot v_x, c \cdot v_y, c \cdot v_z) \\ \qquad \\ & \bar{a} \cdot \bar{b} = a b \cos{\phi} \\ \qquad \\ & \bar{a} \times \bar{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ \qquad \\ & \bar{a} \times \bar{b} = - \bar{b} \times \bar{a} \end{aligned}\end{split}\]

12.3.7. Markgildi

12.3.7.1. Reiknireglur fyrir markgildi

Gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu föll og að \(c\in \mathbb{R} \cup\{-\infty,\infty\}\) Gerum ráð fyrir að bæði markgildin

\[\lim_{x\to c}f(x)\qquad \text{og}\qquad \lim_{x\to c}g(x)\]

séu skilgreind og að hvorugt þeirra sé jafnt plús eða mínus óendanlegu. Gerum ráð fyrir að \(k\in\mathbb{R}\) sé fasti. Þá gildir:

\[\begin{split}\begin{aligned} 1. & \qquad \lim_{x\to c}k=k \\ 2. & \qquad \lim_{x\to c} \left(kf(x) \right)=k \cdot \left(\lim_{x\to c}f(x)\right) \\ 3. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x) \\ 4. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)-g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x) \\ 5. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)\cdot g(x)\right)= \left( \lim_{x\to c}f(x) \right)\cdot \left(\lim_{x\to c}g(x) \right) \\ 6. & \qquad \lim_{x\to c} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \qquad \text{ef} \qquad \lim_{x\to c}g(x)\not=0 \\ \end{aligned}\end{split}\]

12.3.8. Diffrun

12.3.8.1. Reiknireglur

Gerum ráð fyrir að \(f,g\) séu deildanleg föll á \(\mathbb{R}\).

Látum \(a\in \mathbb{R}\) vera fasta.

Þá gildir:

1. \((a\cdot f)'=af'\)

2. \((f+g)'=f'+g'\)

3. \((f-g)'=f'-g'\)

4. \((f\cdot g)'=f'g+fg'\)

5. \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\)

Ef \(g(x)\) er ekki jafnt núlli fyrir öll \(x\in I\), þá gildir einnig:

6. \(\left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{-g'}{g^2}\)

7. \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

Ef \(f\) er andhverfanlegt gildir einnig:

8. Ef \(f(x_0)=y_0\) þá er \((f^{-1})'\circ f=\frac{1}{f'}\)

12.3.8.2. Þekktar afleiður

1. Ef \(a\) er fasti og \(f(x)=a\) þá er

\[f'(x)=0\]

2. Ef \(n\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^n\) þá er

\[f'(x)=nx^{n-1}\]

3. Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=a^x\) þá er

\[f'(x)=\ln(a)a^x\]

4. Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=\log_a(x)\) þá er

\[f'(x)=\frac{1}{\ln(a)x}\]

5. Ef \(f(x) = \ln(x)\) þá er

\[f'(x) = \frac{1}{x}\]

6. Ef \(f(x) = e^x\) þá er

\[f'(x) = e^x\]

7. Ef \(f(x)=\cos(x)\) þá er

\[f'(x)=-\sin(x)\]

8. Ef \(f(x)=\sin(x)\) þá er

\[f'(x)=\cos(x)\]