1. Algebra

1.1. Talnakerfi

1.1.1. Náttúrulegu tölurnar \(\mathbb{N}\)

Tölurnar \(0,1,2,3, \dots\) köllum við náttúrulegu tölurnar en: natural number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Mengi en: point set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. náttúrulegu talnanna er táknað með \(\mathbb{N}.\)

1.1.2. Heiltölurnar \(\mathbb{Z}\)

Heilu tölurnar en: integer, integral number, rational integer, whole number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eru talnakerfi allra heilla talna. Það inniheldur

  • neikvæðu heiltölurnar; \(-1,-2,-3, \dots\)

  • jákvæðu heiltölurnar; \(1,2,3, \dots\)

  • og töluna \(0\).

Mengi heiltalna er táknað með \(\mathbb{Z}\).

1.1.3. Ræðu tölurnar \(\mathbb{Q}\)

Ræðar tölur en: rational number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. samanstanda af öllum brotum \(\frac{p}{q}\) þar sem \(p\) og \(q\) eru heilar tölur og \(q \neq 0\). Talan \(p\) nefnist teljari en: numerator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. brotsins og talan \(q\) nefnari en: denominator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. þess.

Mengi ræðra talna er táknað með \(\mathbb{Q}\).

1.1.4. Rauntölurnar \(\mathbb{R}\)

Ekki eru allar tölur ræðar tölur. Tölur sem ekki er hægt að skrifa sem brot heilla talna köllum við óræðar tölur en: irrational number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Til dæmis er talan \(\pi\) (pí) óræð.

Mengi allra ræðra talna, auk óræðra talna, nefnist rauntölurnar en: real number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Það er táknað með \(\mathbb{R}\).

../_images/mynd-mengi.svg

Hér höfum við mengjamynd af talnamengjunum. Sjáum til dæmis að \(\mathbb{N}\) er hlutmengi en: subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í \(\mathbb{R}\), það er allar náttúrulegar tölur eru rauntölur. (Í kaflanum um mengi má finna skilgreiningu á hlutmengi)

1.2. Forgangsröðun aðgerða

Þegar reiknað er með tölum þarf að framkvæma aðgerðir en: algebraic operation, law of composition, operation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í eftirfarandi röð:

  1. Reikningsaðgerðir innan sviga

  2. Margföldunar- og deilingaraðgerðir (þar með talið veldareikning)

  3. Samlagningar- og frádráttaraðgerðir

Dæmi

Notum forgangsröðun aðgerða:

1. Reiknum \(1+2 \cdot 3\)

\[\begin{split}\begin{aligned} 1+2 \cdot 3&=1+6\\ &=7 \end{aligned}\end{split}\]

2. Reiknum \((1+2)\cdot 3+4\)

\[\begin{split}\begin{aligned} (1+2)\cdot 3+4&= 3 \cdot 3+4\\ &=9+4 \\ &= 13 \end{aligned}\end{split}\]

3. Reiknum \(((1+1) \cdot 5+3 \cdot (2-4))\cdot 2\)

\[\begin{split}\begin{aligned} ((1+1) \cdot 5+3 \cdot (2-4))\cdot 2 &=(2 \cdot 5+3 \cdot (-2)) \cdot 2\\ & = (10-6) \cdot 2\\ &=4 \cdot 2\\ &=8 \end{aligned}\end{split}\]

4. Reiknum \(2 + (1+3)^2 \cdot 2\)

\[\begin{split}\begin{aligned} 2 + (1+3)^2 \cdot 2 &= 2 + 4^2 \cdot 2 \\ &=2 + 4 \cdot 4 \cdot 2 \\ &=2 + 32 \\ &=34 \end{aligned}\end{split}\]

1.3. Reiknireglur

Nokkrar einfaldar reiknireglur gilda um tölur í talnakerfunum:

\[\begin{split}\begin{aligned} (a+b)+c=a+(b+c) & \qquad \textit{ (tengiregla samlagningar)}\\ (ab)c=a(bc) & \qquad \textit{ (tengiregla margföldunar)}\\ a+b=b+a & \qquad \textit{ (víxlregla samlagningar)}\\ ab=ba & \qquad \textit{ (víxlregla margföldunar)}\\ a(b+c)=ab+ac & \qquad \textit{ (dreifiregla)}\\ 1 \cdot a=a & \qquad \textit{ (1 er margföldunarhlutleysa)}\\ a+0=a & \qquad \textit{ (0 er samlagningarhlutleysa)}\\ 0 \cdot a=0 & \qquad \textit{ (margföldun með núlli gefur núll)}\\ \end{aligned}\end{split}\]

Aðvörun

Athugum að tvær neikvæðar tölur margfaldaðar saman verða að jákvæðri tölu, til dæmis \((-3)\cdot (-4) = 3\cdot 4 =12\) .

Dæmi

Prófum dreifiregluna [\(a(b+c)=ab+ac\)] fyrir tölurnar \(a=3\), \(b=-9\) og \(c=5\).

Vinstra megin jafnaðarmerkisins stendur \(3(-9+5)=3\cdot(-4)=-12\).

Hægra megin jafnaðarmerkisins stendur \(3\cdot(-9)+3\cdot 5=-27+15=-12\).

Við höfum því sömu stærð báðum megin jafnaðarmerkis.

1.4. Frumtölur

1.4.1. Skilgreining: Deilanleiki

Heiltala \(a\) er sögð vera deilanleg með heiltölunni \(b\) ef til er heiltala \(x\) þannig að \(a=bx\).

Dæmi

Talan 14 er deilanleg með 2 því hana má skrifa sem \(14=2\cdot 7\) .

Athugasemd

Allar tölur \(a\) eru deilanlegar með einum og sjálfri sér því \(a= 1 \cdot a\) . Tölur geta haft fleiri deila, til dæmis er \(12\) deilanleg með \(3\) og \(4\) og talan \(15\) er deilanleg með \(3\) og \(5\).

Sumar náttúrulegar tölur eru aðeins deilanlegar með einum og sjálfri sér. Þær eru nefndar frumtölur en: prime number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , en talan \(1\) er ekki skilgreind sem frumtala.

1.4.2. Skilgreining: Frumtölur

Ef náttúruleg tala \(p \geq 2\) er aðeins deilanleg með einum og sjálfri sér þá segjum við að \(p\) sé frumtala.

Dæmi

\(7\) er frumtala, því eina jákvæða heiltölulausninn á \(7=bx\) er \(b=7\) og \(x=1\), þ.e. \(7 = 7 \cdot 1\),

en \(6\) er ekki frumtala því \(6=2 \cdot 3\).

Athugasemd

Nokkrar fyrstu frumtölurnar eru: \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, \dots\)

../_images/frumt%C3%B6lur.png

Hér eru 25 fyrstu frumtölurnar merktar bláar.

Allar heiltölur sem eru ekki frumtölur eru margfeldi frumtalna. Af því leiðir að sérhverja heiltölu megi skrifa sem margfeldi frumtalna.

1.4.3. Frumþáttun

Sérhverja náttúrulega tölu \(a \geq 2\) má skrifa sem margfeldi frumtalna

\[a=p_1 p_2 p_3 \dots p_m\]

þar sem sumar frumtölur geta verið endurteknar.

Dæmi

\[7=7, \qquad 24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3=2^3 \cdot 3, \qquad 250= 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5=2 \cdot 5^3.\]

Engin skilvirk aðferð hefur verið fundin til að frumþátta en: prime decomposition
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. stórar tölur. Eftirfarandi aðferð til að frumþátta byggir á prófun:

  1. Athugum hvort einhver frumtala minni en talan gangi upp í hana. Hér er best að byrja á lægstu frumtölunni, 2, og svo næstu frumtölu, 3, o.s.fr.v.

  2. Ef við finnum slíka frumtölu deilum við með henni og fáum út aðra tölu, og skoðum hana.

  3. Athugum hvort við finnum frumtölu sem gengur upp í nýju töluna og endurtökum þá skref 1 og 2.

  4. Höldum þessu áfram þar til við finnum enga frumtölu sem gengur upp í töluna, þá er talan sjálf frumtala. Frumþáttunin er svo rituð sem margfeldi allra frumtalnanna sem við fundum.

Athugasemd

Ef við leitum að frumtölu sem gengur upp í tölu þá nægir að skoða frumtölur minni en eða jafnar kvaðratrót tölunnar. Þetta getur flýtt fyrir við að frumþátta stórar tölur.

Dæmi

1. Frumþáttum töluna \(273\). Athugum að \(2\) gengur ekki upp í \(273\), en \(3\) gerir það, samkvæmt prófun. Skoðum þá næst \(273/3=91\). Með prófun sést að \(2,3\) og \(5\) ganga ekki upp í \(91\), en \(7\) gerir það. Skoðum þá næst \(91/7=13\). En \(13\) er frumtala. Því höfum við fundið frumþáttunina. Hún er \(273=3 \cdot 7 \cdot 13\). Oft er þægilegt að setja upp frumþáttunina í tré:

../_images/frumthattun.svg

2. Frumþáttum töluna \(101\). Notfærum okkur athugasemd hér að ofan. Við þurfum bara að prófa frumtölur minni en eða jafnar \(\sqrt{101} \approx 10.05\). Með prófun sést að \(2, 3,5\) og \(7\) ganga ekki upp í \(101\). Því er \(101\) frumtala.

Athugasemd

Allar tölur sem hafa þversummu sem er margfeldi af þremur eru deilanlegar með þremur. Til dæmis má sjá í lið 1. hér að ofan að þversumma 273 er \(2+7+3 = 12 =3 \cdot 4\) og því er 273 deilanleg með 3 (\(273=3\cdot 91\) ).

Þessi aðferð frumþáttunar byggir á því að finna frumtölu sem gengur upp í töluna, en oft getur verið þægilegra að finna samsetta tölu og frumþátta hana síðan.

Dæmi

Frumþáttum töluna 270:

../_images/frth270.svg

Frumþáttun 270 er því:

\[270 = 2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 3\]

Dæmi

Ef við skoðum \(36\) þá getum við fundið alla deila hennar með því að skoða allar tölur sem ganga upp í \(36\). Hér eru allar tölurnar sem ganga upp í \(36\)

\[{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}\]

1.4.4. Stærsti samdeilir og minnsta samfeldi

Stærsti samdeilir en: greatest common divisor, greatest element, highest common factor, largest element, maximum element
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. tveggja talna er stærsta talan sem gengur upp í báðar tölurnar. Hann er hægt að finna með því að frumþátta báðar tölurnar og finna hvaða frumþættir eru sameiginlegir.

Dæmi

Finnum stærsta samdeili 792 og 756.

Lausn

Byrjum á því að frumþátta tölurnar:

\[\begin{split}\begin{aligned} 792 &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 11 \\ &= 2^3\cdot 3^2\cdot 11 \\ & \\ 756 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7 \\ &= 2^2\cdot 3^3 \cdot 7 \end{aligned}\end{split}\]

Sjáum því að sameiginlegir frumþættir 792 og 756 eru \(2^2\) og \(3^2\) og því er stærsti samdeilir þeirra:

\[\text{ssd}(792,756) = 2^2 \cdot 3^2 = 36\]

Það þýðir að 36 er stærsta talan sem gengur upp í bæði 792 og 756

\[\begin{split}\begin{aligned} 792&=36\cdot 22 \\ 756&=36\cdot 21 \end{aligned}\end{split}\]

Minnsta samfeldi en: least common multiple, lowest common multiple, smallest common multiple
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. tveggja talna er minnsta talan sem báðar tölurnar ganga upp í. Það er hægt að finna með því að margfalda saman frumþættina í hæsta veldinu sem þeir koma fram í.

Dæmi

Finnum minnsta samfeldi 792 og 756.

Lausn

Eins og áður er frumþáttun talnanna:

\[\begin{split}\begin{aligned} 792 &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 11 \\ &= 2^3\cdot 3^2\cdot 11 \\ & \\ 756 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7 \\ &= 2^2\cdot 3^3 \cdot 7 \end{aligned}\end{split}\]

Frumþættirnir sem fram koma eru 2, 3, 7 og 11. Hæsta veldið á 2 er 3 (í frumþáttuninni á 792), hæsta veldið á 3 er 3 (í frumþáttuninni á 756) en 7 og 11 koma aðeins einu sinni fyrir. Því er:

\[\text{msf}(792,756) = 2^3\cdot 3^3 \cdot 7\cdot 11 = 16632\]

Athugasemd

Fyrir sérhvert par talna \(a\) og \(b\) gildir að

\[a \cdot b = \text{ssd}(a,b)\cdot \text{msf}(a,b)\]

1.5. Brotareikningur

Rifjum upp skilgreiningu á ræðum tölum.

1.5.1. Skilgreining: Ræðar tölur

Ræðar tölur samanstanda af öllum brotum \(\frac{p}{q}\) þar sem \(p\) og \(q\) eru heilar tölur og \(q \neq 0\). Talan \(p\) nefnist teljari brotsins en talan \(q\) nefnari þess.

Athugasemd

Allar heilar tölur eru ræðar tölur með nefnarann \(1\), til dæmis er \(3= \frac31\).

1.5.2. Fullstytt brot

Ef \(a\), \(b\) og \(t\) eru heilar tölur gildir

\[\frac{at}{bt}=\frac{a}{b}\]

Þegar við styttum töluna \(t\) út tölum við um að stytta en: reduce, cancel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. brotið og þegar við margföldum með \(t\) fyrir ofan og neðan strik tölum við um að lengja en: extend
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. brotið.

Dæmi

Skoðum brotið \(\frac{9}{21}\). Við getum lengt brotið með \(2\) með því að margfalda með \(2\) fyrir ofan og neðan strik

\[\frac{9}{21}=\frac{9 \cdot 2}{21 \cdot 2}=\frac{18}{42}\]

Við getum einnig stytt brotið \(\frac{9}{21}\) með því að athuga að \(9=3 \cdot 3\) og \(21=3 \cdot 7\). Þá fæst

\[\frac{9}{21}=\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 7}=\frac{3}{7}\]

Athugasemd

Við sjáum að sama brotið er hægt að skrifa á margan hátt. Þess vegna er góð venja að fullstytta brotið. Við segjum að brot sé fullstytt ef við getum ekki stytt það frekar. Til þess að fullstytta brot er hægt að frumþátta bæði nefnara og teljara og stytta út sameiginlega frumþætti.

Dæmi

Fullstyttum brotið \(\frac{525}{980}\).

Frumþáttum tölurnar eins og lýst er í kaflanum á undan. Við fáum \(525=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7\) og \(980=2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7\).

Nú getum við ritað

\[\frac{525}{980}=\frac{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7}\]

og við sjáum því að við gettum stytt út eina fimmu og eina sjöu. Eftir stendur þá brotið

\[\frac{525}{980}=\frac{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 7}\]

sem hefur enga sameiginlega frumtölu fyrir ofan og neðan strik. Margföldum nú tölurnar saman og fáum \(\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 7}=\frac{15}{28}\), sem er því brotið fullstytt.

\[\frac{525}{980}=\frac{15}{28}\]

Aðvörun

Stærð almenns brots breytist ekki við lengingu eða styttingu.

1.5.3. Röðun ræðra talna

Þegar fjallað er um mengi heilla talna hafa flestir mjög skýra hugmynd um hvað það þýðir að ein tala sé stærri en önnur. Við vitum til dæmis að \(3468\) er stærri en \(2497\) og við skrifum \(3468>2497\).

Í mengi ræðra talna eru hlutir ekki jafn einfaldir. Til dæmis þykir ekki augljóst hvor af tölunum \(\frac{13}{512}\) og \(\frac{26}{1023}\) er stærri. Ein leiðin væri einfaldlega að slá báðar tölurnar inn í vasareikni og sjá að

\[\frac{13}{512}\approx 0,02539 \quad \text{og} \quad \frac{26}{1023}\approx 0,02542.\]

Þá sést að

\[\frac{26}{1023}>\frac{13}{512} \quad \text{því að} \quad 0,02542>0,02539.\]

Við viljum hins vegar geta reiknað hlutina á blaði án vasareiknis.

Ef tvö brot hafa sama nefnara er auðvelt að skera úr um hvort þeirra er stærra. Við vitum að brotið \(\frac{p}{s}\) er stærra en \(\frac{q}{s}\) og skrifum

\[\frac{p}{s}>\frac{q}{s} \quad \text{ef} \quad p>q.\]

Þetta getum við sagt því að brotin hafa sameiginlegan nefnara \(s\). Til dæmis er \(\frac{7}{3}\) stærra en \(\frac{6}{3}\) því bæði brotin hafa nefnarann \(3\). Þessa staðreynd getum við nýtt okkur þegar reynt er að meta flóknari brot.

Til þess að geta lagt tvö brot saman, eða fundið mismun þeirra, þurfum við að gera þau samnefnd, það er, við þurfum þannig að þau hafi sömu tölu í nefnara. Þetta er hægt að gera með því að lengja brotin.

Fyrir tvö brot \(\dfrac{a}{b}\) og \(\dfrac{c}{d}\) getum við til dæmis gert þau samnefnd með því að lengja það fyrra með \(d\) og það seinna með \(b\). Þá hafa þau bæði sama nefnarann, sem er \(b \cdot d\).

Dæmi

Hvort brotið er stærra \(\frac{3}{4}\) eða \(\frac{5}{12}\)?

Lengjum fyrra brotið með \(12\) og það seinna með \(4\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{3}{4} &= \frac{3\cdot 12}{4\cdot 12}=\frac{36}{48} \\ &\text{og} \\ \frac{5}{12} &= \frac{5\cdot 4}{12\cdot 4}=\frac{20}{48} \end{aligned}\end{split}\]

Nú hafa brotin sama jákvæða nefnara, \(36>20\) og því segjum við að \(\frac{3}{4}>\frac{5}{12}\).

1.5.4. Reiknireglur

Í mengi ræðra talna má leggja saman, draga frá, margfalda og deila. Þessar aðgerðir eru framkvæmdar svona:

\[\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps}{qs}+\frac{qr}{qs}=\frac{ps+qr}{qs}\]
\[\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-qr}{qs}\]
\[\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}\]
\[\frac{p/q}{r/s} =\frac{ps}{qr}\]

Aðvörun

Athugið að það má alls ekki stytta út lið! Dæmi:

\[\frac{x+3}{3} \neq x\]

Dæmi

1. Leggjum saman brotin \(\frac{7}{11}\) og \(\frac{10}{13}\).

Gerum brotin fyrst samnefnd með því að lengja fyrra brotið með nefnara seinna brotsins og seinna brotið með nefnara fyrra brotsins. Að því loknu er lítið mál að leggja brotin saman með því að leggja saman teljarana

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{7}{11}+\frac{10}{13}&=\frac{7 \cdot 13}{11 \cdot 13}+ \frac{11 \cdot 10}{13 \cdot 11}\\ &= \frac{91}{143}+\frac{110}{143}\\ &=\frac{91+110}{143}\\ &=\frac{201}{143} \end{aligned}\end{split}\]

2. Leggjum saman brotin \(\frac{2}{7}\) og \(\frac{3}{2}\).

Eins og í dæmi 1 gerum við brotin fyrst samnefnd með því að lengja fyrra brotið með nefnara seinna brotsins og seinna brotið með nefnara fyrra brotsins. Teljarar brotanna eru síðan lagðir saman

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{2}{7}+\frac{3}{2}&=\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 2}\\ &=\frac{4}{14}+\frac{21}{14}\\ &=\frac{4+21}{14}\\ &=\frac{25}{14} \end{aligned}\end{split}\]

3. Margföldum saman brotin \(\frac{11}{9}\) og \(\frac{7}{5}\).

Þegar brot eru margfölduð saman eru teljararnir margfaldaðir saman og nefnararnir margfaldaðir saman.

\[\frac{11}{9} \cdot \frac{7}{5}=\frac{11 \cdot 7}{9 \cdot 5}=\frac{77}{45}\]

4. Deilum brotinu \(\frac{11}{45}\) með brotinu \(\frac{1}{2}\).

\[\frac{11/45}{1/2}=\frac{11 \cdot 2}{45 \cdot 1}=\frac{22}{45}\]

Aðvörun

Nefnari í nefnara verður teljari!

Dæmi

Reiknum úr þessu broti og fullstyttum það síðan:

\[\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \right)\cdot\frac{3}{2}}{5/2}\]

Lausn:

Byrjum á að leggja saman brotin í sviganum:

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \right)\cdot\frac{3}{2}}{5/2} &= \frac{\frac{1\cdot 3+4\cdot 2}{4\cdot 3}\cdot\frac{3}{2}}{5/2} \\ &= \frac{\frac{11}{12}\cdot\frac{3}{2}}{5/2} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Margföldum síðan saman brotin í teljaranum:

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\frac{11}{12}\cdot\frac{3}{2}}{5/2}&= \frac{(11\cdot 3)/(12\cdot 2)}{5/2} \\ &= \frac{33/24}{5/2} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Deilum nú brotinu í teljaranum með brotinu í nefnaranum:

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{33/24}{5/2} &= \frac{33\cdot 2}{24\cdot 5} \\ &= \frac{66}{120} \end{aligned}\end{split}\]

Fullstyttum svo brotið:

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{66}{120} &= \frac{2\cdot 3\cdot 11}{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 5} \\ &= \frac{11}{2\cdot 2\cdot 5} \\ &= \frac{11}{20} \end{aligned}\end{split}\]

1.6. Deiling með afgangi

Látum \(a\) og \(b\) vera heiltölur en: integer, integral number, rational integer, whole number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Það er ekki alltaf hægt að deila heilli tölu \(a\) með heilli tölu \(b\) og fá út aðra heila tölu. Við getum hins vegar notað deilingu með afgangi en: remainder, least non-negative residue, principal remainder
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Hún gengur út á að finna tvær heiltölur \(x\) og \(y\) þannig að

\[a=bx+y\]

þar sem \(y\) er jákvæð tala og \(y<b\).

Við segjum að \(b\) gangi \(x\) sinnum upp í \(a\) með afgang \(y\).

Ef afgangurinn er \(0\) þá segjum við að \(b\) gangi upp í \(a\).

Dæmi

1. Deilum tölunni \(a=81\) með tölunni \(b=8\) með afgangi.

Athugum að \(8 \cdot 10=80\) en \(8 \cdot 11=88\). Við leitum að stærstu tölu sem er margfeldi af \(8\) og er minni en eða jöfn 81, þess vegna notum við \(10\) en ekki \(11\). Afgangurinn er síðan \(1\), þ.e.a.s. við getum ritað

\[81=8 \cdot 10 + 1\]

Því er \(x=10\) og \(y=1\). Við getum nú sagt að \(8\) gangi \(10\) sinnum upp í \(81\) með afgang \(1\).

2. Deilum tölunni \(a=79\) með tölunni \(b=8\) með afgangi.

Athugum að \(8 \cdot 9=72\) en \(8 \cdot 10=80\). Afgangurinn er nú \(79-72=7\). Því getum við ritað

\[79=8 \cdot 9 + 7\]

en hér er \(x=9\) og \(y=7\). Við getum nú sagt að \(8\) gangi \(9\) sinnum upp í \(79\) með afgang \(7\).

Athugasemd

Afgangurinn er alltaf minni en \(b\). Ef afgangurinn er stærri en (eða jafn) \(b\) þá getum við notað stærra \(x\).

Stundum, til dæmis í forritun, þurfum við að reikna með afgangi. Þá tölum við um módulus en: modulus
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða leifastofn (“\(a\) módulus \(b\) er \(y\)“ ) og táknum það með

\[a\mod b = y.\]

Þegar talan \(b\) gengur upp í \(a\) þá er módulus þeirra núll.

Dæmi

\[\begin{split}\begin{aligned} 6 \mod \; 3 &=0 \quad & \text{ því } \quad 6 = 3\cdot 2 + 0\\ 5 \mod \; 3 &=2 \quad & \text{ því } \quad 5 = 3\cdot 1 + 2\\ 4 \mod \; 3 &=1 \quad & \text{ því } \quad 4 = 3\cdot 1 + 1 \\ 3 \mod \; 3 &=0 \quad & \text{ því } \quad 3 = 3\cdot 1 + 0 \\ \end{aligned}\end{split}\]

1.7. Veldi og rætur

1.7.1. Veldi

Veldi en: power
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er þegar tala er margfölduð með sjálfri sér. Látum \(a\) vera tölu og \(n>0\) vera heiltölu. Við skilgreinum

\[\begin{split}\begin{aligned} a^0&=1 \\ a^n&=a \cdot a \cdot \dots \cdot a \qquad (n\text{-sinnum}) \\ a^{-n}&=\frac{1}{a^n} \end{aligned}\end{split}\]

Talan \(a\) í rithættinum \(a^n\) nefnist veldisstofn en: base, radix
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og talan \(n\) nefnist veldisvísir en: exponent, power exponent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

Athugasemd

Við segjum að \(a\) sé í \(n\)-ta veldi þegar \(a^n\).

Dæmi

1.

\[a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a=a^5\]

2.

\[4^3=4 \cdot 4 \cdot 4=64\]

3.

\[4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\]

1.7.2. Reiknireglur fyrir veldi

Höfum eftirfarandi reiknireglur fyrir veldi:

\[\begin{split}\begin{aligned} a^n\cdot a^m&=a^{n+m} &\\ \dfrac {a^n}{a^m}&=a^{n-m}&\\ a^n\cdot b^n&=(ab)^n&\\ (a^n)^m&=a^{nm} &\\ (-1)^n &= 1 &\quad \text{þegar } n \text{ er slétt tala} \\ (-1)^n &= -1& \quad \text{þegar } n \text{ er oddatala} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

1.

\[2^2 \cdot 2^3=2^{2+3}=2^5\]

2.

\[\frac{2^{62}}{2^{60}}=2^{62-60}=2^{2}=4\]

3.

\[2^5 \cdot 36^5=(2 \cdot 36)^5=72^5\]

4.

\[(2^2)^3=2^{2 \cdot 3}=2^6=64\]

5.

\[2^2\cdot 2^3\cdot 5^5=2^{(2+3)}\cdot 5^5=2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5=10^5=100000.\]

6. Einföldum

\[(a^{x+y})^z (a^{x-z})^y.\]

Við beitum veldareglunum og fáum:

\[(a^{x+y})^z (a^{x-z})^y = a^{zx + zy}a^{yx - zy} = a^{zx + zy + yx - zy} = a^{zx + yx} = (a^{z+y})^x.\]

1.7.3. Rætur

Látum \(q\) vera jákvæða heiltölu og \(a\) vera jákvæða tölu. Þá er til nákvæmlega ein tala \(x \geq 0\) þannig að \(x^q=a\). Þessi tala nefnist \(q\)-ta rótin en: root, radix, radical, solution
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. af \(a\) og er táknuð með

\[\sqrt[q]{a}\]

Við skrifum þó yfirleitt ekki \(\sqrt[2]{a}\) heldur \(\sqrt{a}\) og nefnum þessa stærð kvaðratrót en: square root, second root
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , oft kölluð ferningsrót.

Dæmi

1. \(\sqrt{4}=2 \quad\) því \(\quad 2^2=4\)

2. \(\sqrt{64}=8 \quad\) því \(\quad 8^2=64\)

3. \(\sqrt[3]{27}=3 \quad\) því \(\quad 3^3=27\)

4. \(\sqrt[4]{16}=2 \quad\) því \(\quad 2^4=16\).

1.7.4. Reiknireglur fyrir rætur

Höfum eftirfarandi reiknireglur fyrir rætur:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sqrt[q]{ab} &=\sqrt[q]{a}\cdot \sqrt[q]{b} \\ & \qquad \\ \sqrt[q]{\dfrac ab}& =\dfrac{\sqrt[q]{a}}{\sqrt[q] {b}}\\ & \qquad \\ \sqrt[q]{a^p}& =(\sqrt[q]{a})^p\\ & \qquad \\ \sqrt[sq]{a^{sp}} &={\sqrt[q]{a^p}}\\ & \qquad \\ \sqrt[sq]{ a} &=\sqrt[s]{\sqrt[q]{a}}\\ \end{aligned}\end{split}\]

Athugasemd

Rætur virða ekki samlagningu, þ.e.a.s. almennt er \(\sqrt[q]{a+b} \neq \sqrt[q]{a}+ \sqrt[q]{b}\).

Dæmi

1. \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}= \sqrt[4]{2 \cdot 8}= \sqrt[4]{16}=2\)

2. \(\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[3]{\frac{135}{5}}=\sqrt[3]{27}=3\)

3. \(\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{16^2}=\left(\sqrt[4]16\right)^2=2^2=4\)

1.7.5. Brotin veldi

Þegar tala hefur ræða tölu í veldisvísi sem er ekki heiltala tölum við um brotið veldi. Látum \(r\) vera ræða tölu og skrifum hana \(r=\frac{p}{q}\) þar sem \(p\) og \(q\) eru heilar tölur, \(q>0\). Þá er

\[a^r=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\]

Það er, við skilgreinum \(a^{\frac{p}{q}}\) þannig að

\[a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\]

Veldareglurnar gilda einnig fyrir ræða veldisvísa. Athugum að þriðja veldareglan segir að

\[a^r=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a})^p.\]

Einnig er

\[a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}\]

fyrir allar heiltölur \(q\).

Dæmi

1. \(\sqrt{a}=a^{\frac12}\)

2. \(9^{\frac12}=\sqrt{9}=3\)

3. \(32^{\frac25}=\sqrt[5]{32^2}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^2=2^2=4\)

4. \(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]8 = 2\)

5. \(16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{(16^3)}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8\)

6. Látum \(a,b > 0\). Einföldum

\[\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}\right)^3 \left(\sqrt[4]{b}\right)^6 }\]

Hér beitum við reiknireglum fyrir rætur:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{aligned}\\\begin{split}\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}\right)^3 \left(\sqrt[4]{b}\right)^6 } &= \sqrt[3]{\left(\sqrt{a}\right)^3 } \sqrt[3]{ \left(\sqrt[4]{b}\right)^6 } \\ &= \sqrt{a} \left(\sqrt[4]{b}\right)^2 \\ &= \sqrt{a} \cdot b^{\frac24} \\ &=\sqrt{a} \cdot b^{\frac12} \\ &=\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\\\end{split}\\\end{aligned}\end{aligned}\end{align} \]