1. Ferlar

Winter is coming.

- George R.R. Martin, A Game of Thrones

1.1. Inngangur

Viðfangsefni námskeiðsins er varpanir sem skilgreindar eru á hlutmengi í $\mbox{${\bf R}^n$}$ og taka gildi í $\mbox{${\bf R}^m$}$.
Fáumst við stærðfræðigreiningu í mörgum breytistærðum.
Sambærileg verkefni og í stærðfræðigreiningu í einni breytistærð: Samfelldni, diffrun, heildun. Rúmfræðileg túlkun skiptir nú miklu máli.
Gerir okkur kleift að fást við mörg raunveruleg verkefni þar sem margar breytistærðir koma við sögu.

1.2. Stikaferlar

1.2.1. Skilgreining

Skilgreining

Vörpun $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ þannig að $\mbox{${\bf r}$}(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))$ kallast vigurgild vörpun. Slík vörpun er sögð samfelld ef föllin $r_1, \ldots, r_n$ eru öll samfelld. Samfelld vörpun $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er oft kölluð stikaferill en: parametric curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og föllin $r_1,\ldots,r_n$ kallast hnitaföll eða hnit ${\bf r}$.

1.2.2. Ritháttur

Þegar fjallað er um stikaferil $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow {\mathbb R}^2$ þá er oft ritað

\[\displaystyle \mbox{${\bf r}$}=\mbox{${\bf r}$}(t)=(x(t),y(t))=x(t)\mbox{${\bf i}$}+y(t)\mbox{${\bf j}$},\]

og þegar fjallað er um stikaferil $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow {\mathbb R}^3$ þá er oft ritað

\[\displaystyle \mbox{${\bf r}$}=\mbox{${\bf r}$}(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)\mbox{${\bf i}$}+y(t)\mbox{${\bf j}$}+z(t)\mbox{${\bf k}$}.\]

1.3. Ferlar og stikanir á ferlum

1.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Ferill í plani en: curve, curved line, line, trajectory
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er mengi punkta $(x,y)$ í planinu þannig að skrifa má $x=f(t)$ og $y=g(t)$ fyrir $t$ á bili $I$ þar sem $f$ og $g$ eru samfelld föll á $I$. Auk þess liggur $(f(t),g(t))$ í punktamenginu fyrir öll $t\in I$. Bilið $I$ ásamt föllunum $(f,g)$ kallast stikun á ferlinum.

Ferill í rúmi og stikun en: parametrization
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á ferli í rúmi eru skilgreind á sambærilegan hátt.

Aðvörun

Ferill í plani/rúmi er ekki það sama og stikaferill. Fyrir gefinn feril eru til (óendanlega) margar ólíkar stikanir.

1.3.2. Dæmi - Eðlisfræðileg túlkun

Líta má á veginn milli Reykjavíkur og Akureyrar sem feril.

Líta má á ferðalag eftir veginum frá Reykjavík til Akureyrar þar sem staðsetning er þekkt á hverjum tíma sem stikaferil þar sem tíminn er stikinn.

1.3.3. Dæmi

Dæmi

Jafnan

\[\displaystyle x^2+y^2 = 1\]

lýsir ferli í planinu sem er hringur með miðju í (0,0) og geisla 1. Dæmi um ólíkar stikanir:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\bf r}$}_1(t) &= (\cos(t),\sin(t)), \quad \text{fyrir $t$ á bilinu $[0,2\pi].$} \\ \mbox{${\bf r}$}_2(t) &= \left\{\begin{array}{ll} (t,\sqrt{1-t^2}) & \text{fyrir $t$ á bilinu $[-1,1[,$} \\ (2-t,-\sqrt{1-(2-t)^2}) & \text{fyrir $t$ á bilinu $[1,3].$} \end{array}\right.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

1.4. Diffrun stikaferla

1.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Stikaferill $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er diffranlegur í punkti $t$ ef markgildið

\[\displaystyle \mbox{${\bf r}$}'(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\mbox{${\bf r}$}(t+\Delta t)-\mbox{${\bf r}$}(t)}{\Delta t}\]

er til. Stikaferillinn $\mbox{${\bf r}$}$ er sagður diffranlegur ef hann er diffranlegur í öllum punktum á bilinu $[a,b]$. (Í endapunktum bilsins $[a,b]$ er þess krafist að einhliða afleiður séu skilgreindar.)

1.4.2. Setning

Setning

Stikaferill $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er diffranlegur í punkti $t$ ef og aðeins ef föllin $r_1,\ldots,r_n$ eru öll diffranleg í $t$. Þá gildir að

\[\displaystyle \mbox{${\bf r}$}'(t)=(r'_1(t),\ldots,r'_n(t)).\]

1.4.3. Ritháttur

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera diffranlegan stikaferil. Venja er að rita $\mbox{${\bf v}$}(t)=\mbox{${\bf r}$}'(t)$ og tala um $\mbox{${\bf v}$}(t)$ sem hraða en: velocity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða hraðavigur. Talan $|\mbox{${\bf v}$}(t)|$ er kölluð ferð en: velocity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Einnig er ritað $\mbox{${\bf a}$}(t)=\mbox{${\bf v}$}'(t)=\mbox{${\bf r}$}''(t)$ og talað um $\mbox{${\bf a}$}(t)$ sem hröðun en: acceleration
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða hröðunarvigur.

1.4.4. Dæmi

Dæmi

Lítum á eftirfarand stikaferla sem stika hring með miðju í (0,0) og geisla 1.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\bf r}$}_1(t) &= (\cos(t),\sin(t)), \quad \text{fyrir $t$ á bilinu $[0,2\pi].$} \\ \mbox{${\bf r}$}_2(t) &= (\cos(t^2),\sin(t^2)), \quad \text{fyrir $t$ á bilinu $[0,\sqrt{2\pi}].$} \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Þá er tilsvarandi hraði

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\bf v}$}_1(t) = \mbox{${\bf r}$}_1'(t) &= (-\sin(t),\cos(t)), \quad \text{fyrir $t$ á bilinu $[0,2\pi].$} \\ \mbox{${\bf v}$}_2(t) = \mbox{${\bf r}$}_2'(t) &= (-2t\sin(t^2),2t\cos(t^2)), \quad \text{fyrir $t$ á bilinu $[0,\sqrt{2\pi}].$}\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

og ferðin $|\mbox{${\bf v}$}_1(t)| = 1$ og $|\mbox{${\bf v}$}_2(t)| = 2t$.

1.4.5. Setning

Setning

Látum $\mbox{${\bf u}$},\mbox{${\bf v}$}:[a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera diffranlega stikaferla og $\lambda$ diffranlegt fall. Þá eru stikaferlarnir $\mbox{${\bf u}$}(t)+\mbox{${\bf v}$}(t), \lambda(t)\mbox{${\bf u}$}(t)$ og $\mbox{${\bf u}$}(\lambda(t))$ diffranlegir, og ef $n=3$ þá er stikaferillinn $\mbox{${\bf u}$}(t)\times \mbox{${\bf v}$}(t)$ líka diffranlegur. Fallið $\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t)$ sem innfeldi ${\bf u}$ og ${\bf v}$ gefur er líka diffranlegt. Eftirfarandi listi sýnir formúlur fyrir afleiðunum:

(a) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)+\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)+\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(b) $\frac{d}{dt}(\lambda(t)\mbox{${\bf u}$}(t))=\lambda'(t)\mbox{${\bf u}$}(t)+\lambda(t)\mbox{${\bf u}$}'(t)$,

(c) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t)+\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(d) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)\times\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)\times\mbox{${\bf v}$}(t)+\mbox{${\bf u}$}(t)\times\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(e) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(\lambda(t)))=\mbox{${\bf u}$}'(\lambda(t))\lambda'(t)$.

Ef $\mbox{${\bf u}$}(t)\neq\mbox{${\bf 0}$}$ þá er

(f) $\frac{d}{dt}|\mbox{${\bf u}$}(t)|=\frac{\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf u}$}'(t)}{|\mbox{${\bf u}$}(t)|}$.

1.4.6. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}; \mbox{${\bf r}$}(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))$ vera stikaferil.

Stikaferillinn er sagður samfellt diffranlegur en: continuously differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef föllin $r_1(t),\ldots,r_n(t)$ eru öll diffranleg og afleiður þeirra eru samfelldar. Samfellt diffranlegur stikaferill er sagður þjáll en: infinitely differentiable, smooth
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef $\mbox{${\bf r}$}'(t)\neq\mbox{${\bf 0}$}$ fyrir öll $t$.

Stikaferillinn er sagður samfellt diffranlegur á köflum ef til eru tölur $b_0,\ldots,b_k$ þannig að $a=b_0<b_1<\cdots<b_k=b$ og stikaferillinn er samfellt diffranlegur á hverju bili $[b_{i-1}, b_i]$. Það að stikaferill sé þjáll á köflum en: piecewise smooth
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er skilgreint á sambærilegan hátt.

1.4.7. Setning

Setning

Látum $\mbox{${\bf r}$}=f(t)\mbox{${\bf i}$}+g(t)\mbox{${\bf j}$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil fyrir $t$ á bili $I$. Ef $f'(t) \neq 0$ á $I$ þá hefur ferilinn snertilínu en: tangent, tangent line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir hvert gildi á $t$ og hallatala hennar er

\[\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}.\]

Ef $g'(t) \neq 0$ á $I$ þá hefur ferilinn þverlínu en: normal, normal line, perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir hvert gildi á $t$ og hallatala hennar er

\[\displaystyle -\frac{dx}{dy} = -\frac{f'(t)}{g'(t)}.\]

1.5. Lengd stikaferils

1.5.1. Regla

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil. Lengd eða bogalengd en: arc length
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. stikaferilsins er skilgreind með formúlunni

\[\displaystyle s=\int_a^b |\mbox{${\bf v}$}(t)|\,dt.\]

1.5.2. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil. Sagt er að stikaferillinn sé stikaður með bogalengd ef fyrir allar tölur $t_1, t_2$ þannig að $a\leq t_1<t_2\leq b$ þá gildir

\[\displaystyle t_2-t_1= \int_{t_1}^{t_2} |\mbox{${\bf v}$}(t)|\,dt.\]

Skilyrðið segir að lengd stikaferilsins á milli punkta $\mbox{${\bf r}$}(t_1)$ og $\mbox{${\bf r}$}(t_2)$ sé jöfn muninum á $t_2$ og $t_1$. Stikun með bogalengd má líka þekkja á þeim eiginleika að $|\mbox{${\bf v}$}(t)|=1$ fyrir öll gildi á $t$.

Dæmi

Stikum gormferilinn ${\bf r} = a \cos(t) {\bf i} + a \sin(t) {\bf j} + b t {\bf k}$ með bogalengd frá punkti $(a,0,0)$ í stefnu vaxandi $t$.

Lausn

Reiknum

\[\begin{split}\begin {aligned} \mathbf{v}(t) &= -a \sin(t)\mathbf{i} + a \cos(t) \mathbf{j} + b \mathbf{k} \quad \text{og} \\ |\mathbf{v}(t)| &= \sqrt{a^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))+b^2}= \sqrt{a^2+b^2}. \end{aligned}\end{split}\]

Þá er lengd ferilsins frá $0$ til $t$ gefin með

\[s(t) = \int_0^t \sqrt{a^2+b^2} d\tau = \sqrt{a^2+b^2}t\]

og ef við leysum fyrir $t$ sem fall af $s$ fæst

\[t = \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Þá er stikun með bogalengd, köllum hana $\mathbf{r}_b$, gefin með

\[\mathbf{r}_b(s) = \mathbf{r}(t(s)) = a \cos\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\mathbf{i} + a \sin\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\mathbf{j} + \frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathbf{k}.\]

Gormferillinn fyrir gildin $a=b=1$ og $t \in [0,4\pi]$.

1.6. Pólhnit

Þegar við fáumst við verkefni í mörgum víddum höfum við frelsi til að velja hnitakerfi.
Heppilegt val á hnitakerfi getur skipt sköpum við lausn verkefnis.

1.6.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $P=(x,y)\neq \mbox{${\bf 0}$}$ vera punkt í plani. Pólhnit en: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $P$ er talnapar $[r,\theta]$ þannig að $r$ er fjarlægð $P$ frá $O=(0,0)$ og $\theta$ er hornið á milli striksins $\overline{OP}$ og $x$-ássins. (Hornið er mælt þannig að rangsælis stefna telst jákvæð, og leggja má við $\theta$ heil margfeldi af $2\pi$.)

1.6.2. Regla

Setning

Ef pólhnit punkts í plani eru $[r, \theta]$ þá má reikna hornrétt hnit en: orthogonal coordinates, rectangular coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. hans ($xy$-hnit) með formúlunum

\[\displaystyle x=r\cos\theta \qquad\mbox{og}\qquad y=r\sin\theta.\]

Ef við þekkjum $xy$-hnit punkts þá má finna pólhnitin út frá jöfnunum

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\r=\sqrt{x^2+y^2}\qquad\mbox{og} \qquad \tan\theta=\frac{y}{x}.\end{aligned}\end{align} \]

(Ef $x=0$ þá má taka $\theta=\frac{\pi}{2}$ ef $y>0$ en $\theta=-\frac{\pi}{2}$ ef $y<0$. Þegar jafnan $\tan\theta=\frac{y}{x}$ er notuð til að ákvarða $\theta$ þá er tekin lausn á milli $-\frac{\pi}{2}$ og $\frac{\pi}{2}$ ef $x>0$ en á milli $\frac{\pi}{2}$ og $\frac{3\pi}{2}$ ef $x<0$.)

Ef $(x,y)$ er ekki á neikvæða $x$-ásnum þá má einnig nota eftirfarandi formúlu til að finna horn punktsins,

\[\theta = 2\arctan\left(\frac y{x+r}\right) = 2\arctan \left( \frac y{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right).\]

Athugið að $arctan$ skilar gildum á bilinu frá $-\pi/2$ til $\pi/2$ þannig að þessi formúla skilar horni á bilinu frá $-\pi$ til $\pi$.

1.7. Pólhnitagraf

1.7.1. Skilgreining og umræða

Látum $f$ vera fall skilgreint fyrir $\theta$ þannig að $\alpha\leq\theta\leq\beta$. Jafnan $r=f(\theta)$ lýsir mengi allra punkta í planinu sem hafa pólhnit á forminu $[f(\theta),\theta]$ þar sem $\alpha\leq\theta\leq\beta$. Þetta mengi kallast pólhnitagraf fallsins $f$.

Pólhnitagraf er ferill í planinu sem má stika með stikaferlinum

\[\displaystyle \mbox{${\bf r}$}:[\alpha,\beta]\rightarrow{\mathbb R}^2\]

með formúlu

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf r}$}(\theta)=[f(\theta),\theta]= (f(\theta)\cos\theta, f(\theta)\sin\theta).\end{aligned}\end{align} \]

Dæmi

Finnum skurðpunkta hjartaferilsins $r = 1-\sin\theta$ og hringsins $r=\sin\theta$.

Lausn

Athugum fyrst hvort ferlarnir skerist fyrir sama gildi á $r>0$ og $\theta$. Leysum þá jöfnuna $1-\sin\theta = \sin\theta$ og fáum $\sin\theta = \frac{1}{2}$. Hjartaferillinn er með lotu $2\pi$ en hringurinn lotu $\pi$ svo nóg er að skoða lausnir fyrir $\theta \in [0,2\pi]$. Fáum lausnir $\theta = \pi/6$ og $\theta = 5\pi/6$ og skurðpunktarnir eru því $[1/2,\pi/6]$ og $[1/2,5\pi/6]$.

Athugið að við þurfum einnig að athuga hvort ferlarnir skerist þegar $r=0$ en þá gætu þeir skorist fyrir ólík gildi á $\theta$. Hjartaferillinn sker punktinn $(0,0)$ þegar $\theta = \pi/2$ og hringurinn sker $(0,0)$ fyrir $\theta=0$ og því er $(0,0)$ einnig skurðpunktur.

Hringurinn og hjartaferillinn saman á mynd. Á myndinni má sjá skurðpunktana þrjá sem reiknaðir voru að ofan.

1.8. Snertill við pólhnitagraf

1.8.1. Setning

Setning

Látum $r=f(\theta)$ vera pólhnitagraf fallsins $f$ og gerum ráð fyrir að fallið $f$ sé samfellt diffranlegt. Látum $\mbox{${\bf r}$}(\theta)$ tákna stikunina á pólhnitagrafinu sem innleidd er í 1.7.1. Ef vigurinn $\mbox{${\bf r}$}'(\theta)\neq \mbox{${\bf 0}$}$ þá gefur þessi vigur stefnu snertils en: tangent line, tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við pólhnitagrafið og út frá $\mbox{${\bf r}$}'(\theta)$ má reikna hallatölu snertils við pólhnitagrafið.

1.9. Flatarmál

1.9.1. Setning

Setning

Flatarmál en: area, measure of area, surface area
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. svæðisins sem afmarkast af geislunum $\theta=\alpha$ og $\theta=\beta$ (með $\alpha\leq \beta$ og $\beta-\alpha\leq 2\pi$) og pólhnitagrafi $r=f(\theta)$ ($f$ samfellt) er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\A=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta =\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta f(\theta)^2\,d\theta.\end{aligned}\end{align} \]

Dæmi

Finnum flatarmál svæðisins sem afmarkast af spíralnum $r=\theta$ og geislunum $\theta = 0$ og $\theta = 2\pi$.

Lausn

Köllum flatarmálið $A$. Reiknum

\[A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \theta^2 d\theta = \frac{1}{2}\frac{1}{3}(2\pi)^3 = \frac{4\pi^3}{3}.\]

Mynd af spíralnum (í bláu) og geislunum (í rauðu, eru tveir en falla saman). $A$ er flatarmál skyggða svæðisins.

1.10. Bogalengd

1.10.1. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið $f(\theta)$ sé diffranlegt. Bogalengd en: arc length
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. pólhnitagrafsins $r=f(\theta)$, þegar $\alpha\leq\theta\leq\beta$, er gefin með formúlunni

\[\displaystyle s=\int_\alpha^\beta \sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2}\,d\theta.\]

Dæmi

Finnum bogalengd spíralsins sem skilgreindur er með pólhnitagrafinu $r=\theta$ fyrir $\theta \in [0,2\pi]$.

Lausn

Köllum bogalengdina $s$ og reiknum

\[\begin{split}\begin {aligned} s &=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\theta^2} d\theta \qquad \text{notum innsetningu } \theta = \sinh(x) \\ &=\int_0^{\sinh^{-1}(2\pi)} \sqrt{1+\sinh^2(x)} \cosh(x) dx = \int_0^{\sinh^{-1}(2\pi)} \cosh^2(x) dx \\ &= \int_0^{\sinh^{-1}(2\pi)} \frac{1+\cosh(2x)}{2}dx = \frac{1}{2}\left(\sinh^{-1}(2\pi) + \frac{1}{2} \sinh\left(2\sinh^{-1}(2\pi)\right)\right). \end{aligned}\end{split}\]

1.11. Einingarsnertivigur

1.11.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi. Látum $\mbox{${\bf r}$}$ vera stikun á $\cal C$ og gerum ráð fyrir að $\mbox{${\bf r}$}$ sé þjáll stikaferill (þ.e.a.s. $\mbox{${\bf r}$}$ er samfellt diffranlegur stikaferill og $\mbox{${\bf r}$}'(t)\neq \mbox{${\bf 0}$}$ fyrir öll $t$). Einingarsnertivigurinn $\mbox{${\bf T}$}$ við ferilinn $\cal C$ í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(t)$ er skilgreindur með formúlunni

\[\displaystyle \mbox{${\bf T}$}=\frac{\mbox{${\bf r}$}'(t)}{|\mbox{${\bf r}$}'(t)|}=\frac{\mbox{${\bf v}$}(t)}{|\mbox{${\bf v}$}(t)|}.\]

1.12. Krappi

1.12.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. (Þegar fjallað er um stikanir með bogalengd er venja að tákna stikann með $s$.) Lengd hraðavigurs er alltaf 1 og því er $\mbox{${\bf T}$}(s)=\mbox{${\bf v}$}(s)$. Krappi en: curvature
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ferilsins $\cal C$ í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er skilgreindur sem talan

\[\displaystyle \kappa(s)=\left|\frac{d\mbox{${\bf T}$}}{ds}\right|.\]

Krappageisli en: radius of curvature
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er skilgreindur sem

\[\displaystyle \rho(s)=\frac{1}{\kappa(s)}.\]

1.13. Meginþverill

1.13.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. Meginþverill en: first normal, principal normal
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punkti $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er skilgreindur sem vigurinn

\[\displaystyle \mbox{${\bf N}$}(s)=\frac{\mbox{${\bf T}$}'(s)}{|\mbox{${\bf T}$}'(s)|}=\frac{1}{\kappa(s)}\mbox{${\bf T}$}'(s).\]

1.13.2. Umræða

Táknum með $\theta$ hornið sem $\mbox{${\bf T}$}$ myndar við grunnvigurinn $\mbox{${\bf i}$}$. Þá er $\kappa = \frac{d\theta}{ds}$.

1.14. Hjúfurplan

1.14.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd.

Hjúfurplanið en: osculating plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við ferilinn í punkti $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er planið sem spannað er af vigrunum $\mbox{${\bf T}$}(s)$ og $\mbox{${\bf N}$}(s)$ og liggur um punktinn $\mbox{${\bf r}$}(s)$.

Hjúfurhringur en: circle of curvature, osculating circle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við ferilinn í punkti $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er hringur sem liggur í hjúfurplaninu, fer í gegnum punktinn $\mbox{${\bf r}$}(s)$, hefur geisla $\rho(s)$ og hefur miðju í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(s)+\rho(s)\mbox{${\bf N}$}(s)$.

1.15. Tvíþverill

1.15.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. Vigurinn

\[\displaystyle \mbox{${\bf B}$}(s)=\mbox{${\bf T}$}(s)\times \mbox{${\bf N}$}(s)\]

kallast tvíþverill en: binormal
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við ferilinn í $\mbox{${\bf r}$}(s)$.

$\{\mbox{${\bf T}$}(s),\mbox{${\bf N}$}(s),\mbox{${\bf B}$}(s)\}$ er þverstaðlaður grunnur og kallast Frenet ramminn.

1.16. Vindingur

1.16.1. Setning og skilgreining

Setning

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. Vigurinn $\mbox{${\bf B}$}'(s)$ er samsíða vigrinum $\mbox{${\bf N}$}(s)$, þ.e.a.s. $\mbox{${\bf B}$}'(s)$ er margfeldi af $\mbox{${\bf N}$}(s)$.

Skilgreining

Talan $\tau(s)$ þannig að

\[\displaystyle \mbox{${\bf B}$}'(s)=-\tau(s)\mbox{${\bf N}$}(s)\]

kallast vindingur en: second curvature, torsion
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ferilsins í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(s)$.

1.17. Frenet-Serret jöfnurnar

1.17.1. Jöfnur

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. Þá gildir

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\bf T}$}'(s)&=\kappa\mbox{${\bf N}$}\\ \mbox{${\bf N}$}'(s)&=-\kappa\mbox{${\bf T}$}+\tau\mbox{${\bf B}$}\\ \mbox{${\bf B}$}'(s)&=-\tau\mbox{${\bf N}$}.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

1.17.2. Setning

Setning

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi. Gerum ráð fyrir að $\mbox{${\bf r}$}$ sé þjáll stikaferill sem stikar $\cal C$. Ritum $\mbox{${\bf v}$}=\mbox{${\bf r}$}'(t)$ og $\mbox{${\bf a}$}=\mbox{${\bf r}$}''(t)$. Þá gildir í punktinum $\mbox{${\bf r}$}(t)$ að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf T}$}=\frac{\mbox{${\bf v}$}}{|\mbox{${\bf v}$}|},\qquad \mbox{${\bf B}$}=\frac{\mbox{${\bf v}$}\times\mbox{${\bf a}$}}{|\mbox{${\bf v}$}\times\mbox{${\bf a}$}|},\qquad \mbox{${\bf N}$}=\mbox{${\bf B}$}\times\mbox{${\bf T}$},\end{aligned}\end{align} \]

einnig er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\kappa=\frac{|\mbox{${\bf v}$}\times\mbox{${\bf a}$}|}{|\mbox{${\bf v}$}|^3},\qquad\qquad \tau=\frac{(\mbox{${\bf v}$}\times\mbox{${\bf a}$})\cdot \frac{d}{dt}\mbox{${\bf a}$}}{|\mbox{${\bf v}$}\times\mbox{${\bf a}$}|^2}.\end{aligned}\end{align} \]

Dæmi

Gerum ráð fyrir að $f$ sé tvisvar sinnum diffranlegt. Finnum krappa ferilsins $y=f(x)$ í punktinum $(x,f(x))$.

Lausn

Stikum ferilinn með $\mathbf{r}(x) = x \mathbf{i} + f(x) \mathbf{j}$. Þá eru hraðinn $\mathbf{v}$ og hröðunin $\mathbf{a}$ gefin með

\[\begin{split}\begin {aligned} \mathbf{v}(x) &= \mathbf{i} + f'(x) \mathbf{j} \\ \mathbf{a}(x) &= f''(x) \mathbf{j}. \end{aligned}\end{split}\]

Reiknum svo krossfeldið

\[\begin{split}\mathbf{v}(x) \times \mathbf{a}(x) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 &f''(x) & 0 \end{vmatrix} = f''(x) \mathbf{k}.\end{split}\]

Þá er krappinn gefinn með

\[\kappa(x) = \frac{|\mathbf{v}(x)\times \mathbf{a}(x)|}{|\mathbf{v}(x)|^3} = \frac{|f''(x)|}{(1+(f'(x))^2)^{3/2}}.\]