11. Inngangur að línulegri algebru

Nauðsynleg undirstaða

Vigrar

Pippin: I didn’t think it would end this way.

Gandalf: End? No, the journey doesn’t end here. Death is just another path, one that we all must take. The grey rain-curtain of this world rolls back, and all turns to silver glass, and then you see it.

Pippin: What? Gandalf? See what?

Gandalf: White shores, and beyond, a far green country under a swift sunrise.

Pippin: Well, that isn’t so bad.

Gandalf: No. No, it isn’t.

– Gandalf and Pippin, Return of the King (movie)

11.1. Fylki

Fylki (e. matrix) er tafla af tölum. Tölurnar nefnast stök (e. elements) fylkisins. Dæmi um fylki er \(2 \times 2\) fylkið með 2 dálkum og 2 röðum:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Við notum oft vísinn (e. index) \(i\) til að tákna röð fylkisins og \(j\) til að tákna dálk fylkisins. Við vísum fyrst í röð fylkis og svo dálk.

Fylki má almennt rita sem:

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Þetta fylki hefur \(m\) raðir og \(n\) dálka og er kallað \(m \times n\) fylki. Til að vísa í stakið í röð \(i\) og dálki \(j\) fylkisins \(\mathbf{A}\) skrifum við \((\mathbf{A})_{ij}=a_{ij}\).

Algengur flokkur fylkja er fylki með jafnmarga dálka og raðir, þ.e. \(m=n\). Slík fylki kallast ferningsfylki (e. square matrix).

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Hornalína fylkisins \(a_{11}, \dots ,a_{nn}\) kallast hornalínustök.

11.1.1. Dæmi: Nokkur dæmi um fylki

Dæmi

\(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ \end{bmatrix}\)
\([1,2,3,4]\)
\([2]\)

Hornalínufylki (e. diagonal matrix) eru ferningsfylki þar sem stökin fyrir utan hornalínuna (e. diagonal) eru núll. Hornalínustökin geta verið núll.

Þríhyrningsfylki (e. triangular matrix) er tegund af ferningsfylki þar sem stökin fyrir ofan eða neðan hornalínuna hafa gildið núll.

11.1.2. Dæmi: Hornalínufylki

Dæmi

Eftirfarandi fylki eru dæmi um hornalínufylki.

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}\)

11.1.3. Dæmi: Þríhyrningsfylki

Dæmi

Eftirfarandi fylki eru dæmi um þríhyrningsfylki.

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 7\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 7 \end{bmatrix}\)

11.2. Samlagning og margföldun við fasta

11.2.1. Setning: Samlagning og margföldun við fasta

Setning

Tvö fylki \(\mathbf{A}\) og \(\mathbf{B}\) eru eins, þ.e. \(\mathbf{A}=\mathbf{B}\) þá og því aðeins að þau séu af sömu stærð og innihaldi sömu stök.

Ef \(\mathbf{A}\) og \(\mathbf{B}\) eru af sömu stærð má leggja þau saman: \(\mathbf{A}+\mathbf{B}=C\) þar sem stak \((i,j)\) í \(C\) er \(c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}\).

Ef \(k\) er tala setjum við \(k\mathbf{A}=D\) þar sem \(d_{ij}=ka_{ij}\).

11.2.2. Dæmi: Samlagning og margföldun við fasta

Dæmi

Lítum á fylkin \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\\end{bmatrix}\), \(\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 5 & 7\\ 6 & 8\\\end{bmatrix}\) og \(\mathbf{C}=[1,2]\).

Reiknum

\(\mathbf{A}+\mathbf{B}\)

\(\mathbf{A}+\mathbf{C}\)

\(2\mathbf{A}\)

eða tiltökum hví það er ekki hægt.

Lausn

\[\begin{split}\mathbf{A}+\mathbf{B} =\begin{bmatrix} 1 + 5 & 3 + 7\\ 2 + 6 & 4 + 8\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 10\\ 8 & 12\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\mathbf{A}+\mathbf{C}\) er ekki hægt því fylkin eru ekki af sömu stærð.

\[\begin{split}2\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2 \cdot 3\\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 4\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6\\ 4 & 8\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

11.3. Bylt fylki

Ef \(\mathbf{A}=(a_{ij})\) er fylki skilgreinum við bylta fylkið (e. matrix transpose) \(\mathbf{A}'\) (stundum \(\mathbf{A}^T\)) sem það fylki sem inniheldur stökin \(a_{ji}\), þ.e.a.s. stak í línu \(j\) og dálki \(i\) er tekið úr línu \(i\) og dálki \(j\) í upphaflega fylkinu.

11.3.1. Dæmi: Bylt fylki

Dæmi

Látum

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

og

\[\begin{split}\mathbf{B}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7\\ 3 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Finnum \(\mathbf{A}'\) og \(\mathbf{B}'\).

Lausn

Við víxlum öllum línum þannig þær verða dálkar og öllum dálkum þannig þeir verða raðir. Þá fæst

\[\begin{split}\mathbf{A}'=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

og

\[\begin{split}\mathbf{B}'=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 7 & 8\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

11.4. Margföldun fylkja

Ef \(\mathbf{A}\) er \(m \times r\) fylki og \(\mathbf{B}\) er \(r \times n\) fylki þá er \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) fylki þar sem stak í röð \(i\) og dálki \(j\) er reiknað með því að para saman stökin í röð \(i\) í \(\mathbf{A}\) og dálki \(j\) í \(\mathbf{B}\).

Einfaldast er að hugsa margfeldi fylkja þannig að byrjað er á að taka fyrsta dálk í \(\mathbf{B}\) og leggja hann yfir fyrstu línuna í \(\mathbf{A}\) til að margfalda saman öll stökin og finna summu þeirra margfelda. Því næst er þessi dálkur færður niður, línu fyrir línu, til að mynda allan fyrsta dálkinn í útkomunni. Til að mynda næsta dálk er tekinn næsti dálkur úr \(\mathbf{B}\) og aðgerðirnar endurteknar.

Takið svo eftir að til að \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) sé skilgreint þarf fjöldi dálka í \(\mathbf{A}\) að vera jafn fjölda raða í \(\mathbf{B}\)

11.5. Eiginleikar fylkja

Hér munum við skoða ýmsa stærðfræðilega eiginleika fylka.

11.5.1. Setning: Reiknireglur fyrir fylki

Reiknireglur fyrir fylki

Látum \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) og \(\mathbf{C}\) vera fylki þannig að unnt sé að framkvæma aðgerðirnar í hverju tilviki og \(a,b,c\) vera tölur:

\(\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}\)

\(\mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = (\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C}\)

\(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})=(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\)

\(\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}\)

\(c(\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A} + c\mathbf{B}\)

\(c(\mathbf{A}\mathbf{B}) = (c\mathbf{A})\mathbf{B} = \mathbf{A}(c\mathbf{B})\)

\(a(b\mathbf{C}) = (ab)\mathbf{C}\)

Það gilda því margar helstu reikniaðgerðir fyrir fylki, miðað við þá skilgreiningu á fylkjaaðgerðum sem hefur verið sett fram.

Víxregla gildir ekki almennt fyrir fylki, þ.e. \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) er yfirleitt ekki það sama og \(\mathbf{B}\mathbf{A}\)! Raunar er algengt að einungis annað margfeldið sé skilgreint.

11.6. Einingafylki

Einingafylki (e. identity matrix) eru sérlega áhugaverð fylki. Þau hafa jafnmarga línur og dálka, hafa einn á hornalínunni en núll utan hennar:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}, \dots\end{split}\]

Þessi fylki eru þannig að ef \(\mathbf{I}_n\) er \(n \times n\) einingafylki og \(\mathbf{A}\) er \(m \times n\) fylki þá gildir að \(\mathbf{A}\mathbf{I}_n = \mathbf{A}\). Einnig gildir að \(\mathbf{I}_m \mathbf{A} = \mathbf{A}\).

11.7. Andhverfa fylkis

Þegar \(x \neq 0\) er tala vitum við að unnt er að finna \(y\) þannig að \(xy=1\). Þetta er gert með því að setja \(x=1/x=x^{-1}\). Slíkt \(y\) er stundum nefnt margföldunarandhverfa \(x\).

Fyrir fylki höfum við skilgreint samlagningu og margföldun, en ekkert deilingarhugtak er komið. Deiling á ekki að vera neitt annað en margföldun með margföldunarandhverfu.

Til að setja fram slíkt hugtak byrjum við á almennri skilgreiningu.

11.7.1. Skilgreining: Fylkjaandhverfa

Skilgreining

Ef \(\mathbf{A}\) er \(n \times n\) fylki og \(\mathbf{B}\) er jafnstórt fylki sem er þannig að \(\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}\), þá er \(\mathbf{B}\) nefnt andhverfa (e. inverse) \(\mathbf{A}\) og er táknað \(\mathbf{A}^{-1}\).

11.7.2. Dæmi: Fylkjaandhverfa

Dæmi

Ef \(\mathbf{H}\) er fylkið

\[\begin{split}\mathbf{H}=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

og \(\mathbf{J}\) er fylkið

\[\begin{split}\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & 0 & 0\\ 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

þá er einfalt að sýna fram á að \(\mathbf{H}\mathbf{J} = \mathbf{J}\mathbf{H} = \mathbf{I}\) svo \(\mathbf{J}\) er andhverfa \(\mathbf{H}\), þ.e. \(\mathbf{J}=\mathbf{H}^{-1}\).

Andhverfur fylkja eru almennt ekki reiknaðar í höndunum, en þó má reikna andhverfu \(2 \times 2\) fylkja á einfaldan hátt í höndunum.

11.7.3. Setning: Andhverfa \(2 \times 2\) fylkis

Setning

Höfum almennt \(2 \times 2\) fylki

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Andhverfa fylkisins er

\[\begin{split}\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

11.8. Línuleg jöfnuhneppi

Jafna af taginu

\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots a_n x_n = b\]

kallast línuleg jafna (e. linear equation). Það sem auðkennir línulegar jöfnur er að breyturnar koma bara fyrir í 1. veldi og engin margfeldi tveggja eða fleiri breyta koma fyrir í jöfnunni.

Línulega jöfnu eins og hér að ofan má líka rita sem \(\mathbf{a}\cdot \mathbf{x} = b\) þar sem \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) og \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)\).

Línulegt jöfnuhneppi (e. system of linear equations) samanstendur af einni eða fleiri línulegum jöfnum og er oft sett upp á forminu

\[\begin{split}\begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots a_{1n} x_n &= b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots a_{2n} x_n &= b_2\\ \vdots &= \vdots \\ a_{b1} x_1 + a_{b2} x_2 + \dots a_{mn} x_n &= b_m\\ \end{aligned}\end{split}\]

Lausn jöfnuhneppisins er vigur \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) þannig að allar jöfnurnar í jöfnuhneppinu eru uppfylltar. Það að leysa línulegt jöfnuhneppi felst í því að finna öll möguleg gildi á vigrinum \((x_1, x_2, \dots, x_n)\).

Stuðlafylki jöfnuhneppisins er fylkið

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Breytuvigur jöfnuhneppisins er dálkvigurinn (e. column vector)

\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_m \end{bmatrix}.\]

Hægri hlið jöfnuhneppisins er dálkvigurinn

\[\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_m \end{bmatrix}.\]

Ef \(\mathbf{A}\) er stuðlafylki jöfnuhneppis, \(\mathbf{x}\) er breytuvigurinn og \(\mathbf{b}\) er hægri hliðin, þá samsvarar upphaflega jöfnuhneppið fylkjajöfnunni \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) eða

\[\begin{split}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{bmatrix}.\end{split}\]

Upphaflega jöfnuhneppið og jafnan \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) hafa sömu lausnir.

Við lítum svo á að línulegt jöfnuhneppi og fylkjajafnan \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) séu jafngildar framsetningar á sama hlutnum.

Við kunnum að leysa jöfnuhneppi með því að leysa út eina breytu í einu. Gerum ráð fyrir að fylkið \(\mathbf{A}\) hafi andhverfu. Þá er hægt að leysa jöfnuhneppið \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) af því að

\[\begin{split}\begin{aligned} && \mathbf{A}\mathbf{x} &= \mathbf{b}\\ \iff && \mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{x}) &= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\\ \iff && (\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{x} &= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\\ \iff && \mathbf{x} &= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\\ \end{aligned}\end{split}\]

11.9. Ákveða fylkis

Ákveða (e. determinant) fylkis er vörpun sem varpar \(n \times n\) fylki yfir í rauntölu. Ákveða fylkis \(\mathbf{A}\) er táknuð með \(det(\mathbf{A})\).

Höfum almennt \(2 \times 2\) fylki,

\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Ákveða fylkisins er

\[det(\mathbf{A}) = ad - bc.\]

Ekki er hlaupið að því að reikna ákveður fylkja þar sem \(n>2\) og gerum við það ekki í höndunum. Þó er auðvelt að finna ákveður þríhyrningsfylkja.

11.9.1. Setning: Ákveða þríhyrningsfylkis

Setning

Ef \(\mathbf{A}\) er \(n \times n\) þríhyrningsfylki fæst ákveða fylkisins með því að margfalda hornalínustök fylkisins, þ.e.

\[det(\mathbf{A}) = a_{11}\cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{nn}.\]

11.10. Eiginleikar ákveðu

Eftirfarandi jafngildi getur komið að góðum notum í útreikningum með fylkjum.

Eiginleikar ákveðu

Ef \(\mathbf{A}\) er \(n \times n\) fylki er eftirfarandi jafngilt:

\(det(\mathbf{A}) \neq 0\)

\(\mathbf{A}\) hefur andhverfu

\(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\) hefur nákvæmlega eina lausn

Þetta segir okkur að \(det(\mathbf{A}) \neq 0\) gildir þá og því aðeins að \(\mathbf{A}\) hafi andhverfu sem aftur gildir þá og því að eins að \(\mathbf{Ax}= \mathbf{b}\).