10. Veldaraðir

Nauðsynleg undirstaða

  • Föll

  • Markgildi

  • Runur

„When the memory of the fear and the darkness troubles you, this will bring you aid.“

– Arwen Evenstar, The Return of the King

10.1. Veldaraðir og föll

10.1.1. Skilgreining: Veldaröð

Skilgreining

Röð á forminu

\[\sum_{n=0}^\infty c_n x^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots\]

nefnist veldaröð með miðju í \(x=0\).

Röð á forminu

\[\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2+\dots\]

nefnist veldaröð með miðju í \(x=a\).

10.1.2. Setning: Samleitni veldaraða

Setning

Látum röðina \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\) vera gefna veldaröð. Hún uppfyllir nákvæmlega eitt af eftirfarandi eiginleikum:

  1. Röðin er samleitin fyrir \(x=a\) og ósamleiti fyrir öll \(x \neq a\).

  2. Röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\).

  3. Til er rauntala \(R>0\) þannig að röðin er samleitin ef \(|x-a|<R\) og ósamleitin ef \(|x-a|>R\). Þegar \(|x-a|=R\) getur röðin verið annað hvort samleitin eða ósamleitin.

10.1.3. Skilgreining: Samleitnibil og samleitnigeisli

Skilgreining

Látum röðina \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\) vera gefna veldaröð. Rauntalnabilið sem röðin er samleitin á nefnist samleitnibil. Ef til er rauntala \(R>0\) þannig að röðin sé samleitin fyrir \(|x-a|<R\) og ósamleitin fyrir \(|x-a|>R\), þá er \(R\) samleitnigeilsi raðarinnar. Ef röðin er aðeins samleitin í \(x=a\) segjum við að samleitnigeisli raðarinnar sé \(R=0\). Ef röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\) segjum við að samleitnigeislinn sé \(R = \infty\).

10.1.4. Dæmi: Samleitnibil og samleitnigeisli

Dæmi

Finnum samleitnigeisla raðarinnar

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.\]

Lausn

Til að athuga hvort röðin sé samleitin notum við kvótaprófið. Fáum

\[\begin{split}\begin{align} \rho &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}} \right|\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{x^n} \right|\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)\cdot n!} \cdot \frac{n!}{x^n} \right|\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{x}{n+1} \right|\\ &= |x| \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}\\ &= 0 < 1 \end{align}\end{split}\]

fyrir öll gildi á \(x\). Þar með er röðin samleitin fyrir allar rauntölur \(x\). Samleitnibilið er því \(]–\infty, \infty[\) og samleitnigeislinn \(R=\infty\).

10.1.5. Föll sem veldaraðir

Mörgum föllum má lýsa með veldaröðum. Skoðum geómetrísku veldaröðina

\[1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \sum_{n=0}^\infty x^n.\]

Munum að geómetrísk röð

\[a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\]

er samleitin ef og aðeins ef \(|r|<1\). Í því tilfelli er það samleitið að \(\frac{a}{1-r}\). Þar af leiðandi, ef \(|x|<1\), er röðin samleitin að \(\frac{1}{1-x}\) og við ritum að

\[1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{1-x} \text{ fyrir } |x|<1.\]

Þar af leiðandi má segja að hægt sé að lýsa fallinu \(f(x)=\frac{1}{1-x}\) með veldaröðinni

\[1 + x + x^2 + x^3 + \dots \text{ þegar } |x|<1.\]

10.2. Eiginleikar veldaraða

10.2.1. Setning: Sameining veldaraða

Setning

Gerum ráð fyrir að veldaraðirnar \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty d_n x^n\) séu hvor um sig samleitnar að föllunum \(f\) og \(g\) á sameiginlegu bili \(I\).

  1. Veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty (c_n \pm d_n) x^n\) er samleitin að fallinu \(f \pm g\) á \(I\).

  2. Fyrir hvaða heiltölu \(m>0\) sem er og rauntölu \(b\) er veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty b x^m c_n x^n\) samleitin að \(bx^m f(x)\) á \(I\).

  3. Fyrir hvaða heiltölu \(m>0\) sem er og rauntölu \(b\) er veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty c_n (bx^m)^n\) samleitin að \(f(bx^m)\) á \(I\).

10.2.2. Dæmi: Samleitni veldaraðar

Dæmi

Gerum ráð fyrir að \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) sé veldaröð með samleitnibilið \(]-1,1[\) og að \(\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\) sé veldaröð með samleitnibilið \(]-2,2[\). Finnum samleitnibil veldaraðarinnar \(\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) x^n\).

Lausn

Þar sem \(]-1,1[\) er sameiginleg samleitnibil beggja raða þá er \(\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) x^n\) samleitin á því bili.

10.2.3. Dæmi: Sameining veldaraða

Dæmi

Notum að veldaröð fallsins \(g(x)=\frac{1}{1-x}\) sé \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) til þess að ákvarða veldaröð fallsins

\[f(x) = \frac{3x}{1+x^2}\]

auk þess að finna samleitnibil þess.

Lausn

Byrjum á því að rita \(f(x)\) sem

\[f(x) = 3x\left( \frac{1}{1-(-x^2)} \right).\]

Notum nú veldaröð fallsins \(g(x)=\frac{1}{1-x}\) og eiginleika veldaraða til þess að setja fallið \(f\) fram með

\[\sum_{n=0}^\infty 3x (-x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty 3(-1)^n x^{2n+1}.\]

Þar sem samleitnibil veldaraðar \(\frac{1}{1-x}\) er \(]-1,1[\) er samleitnibil veldaraðar fallsins \(f\) mengi þeirra rauntalna \(x\) þannig að \(|x^2|<1\). Þ.a.l. er það einnig \(]-1,1[\).

10.2.4. Dæmi: Finna fall veldaraðar

Dæmi

Finnum fallið \(f\) sem lýsir veldaröðinni \(\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n\) auk þess að ákvarða samleitnibil raðarinnar.

Dæmi

Skrifum röðina sem

\[\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n = \sum_{n=0}^\infty (2x)^n.\]

Við sjáum að þetta er veldaröðin fyrir

\[f(x) = \frac{1}{1-2x}.\]

Þar sem þetta er geómetrísk röð er hún samleitin ef og aðeins ef \(|2x|<1\). Þar með er samleitnibil raðarinnar \(]-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}[\).

10.2.5. Setning: Margföldun veldaraða

Setning

Gerum ráð fyrir að veldaraðirnar \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty d_n x^n\) séu hvor um sig samleitnar að föllunum \(f\) og \(g\) á sameiginlegu bili \(I\). Látum

\[e_n = c_0 + c_1 d_{n-1} + c_2 d_{n-2} + \dots + c_{n-1}d_1 + c_n d_0 = \sum_{k=0}^\infty c_k d_{n-k}.\]

Þá er

\[\left( \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty d_n x^n \right) = \sum_{n=1}^\infty e_n x^n\]

og

\[\sum_{n=0}^\infty e_n x^n \text{ er samleitin að } f(x)\cdot g(x) \text{ á } I.\]

Röðin \(\sum_{n=0}^\infty e_n x^n\) er þekkt sem Cauchy margfeldi raðanna \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty d_n x^n\).

10.2.6. Dæmi: Margföldun veldaraða

Dæmi

Finnum Cauchy margfeldi raðanna \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty (x^2)^n\)

fyrir \(|x|<1\) á bilinu \(]-1,1[\).

Lausn

Þar sem röðina \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) má setja fram með fallinu \(\frac{1}{1-x}\) og röðina \(\sum_{n=0}^\infty (x^2)^n\) má setja fram með fallinu \(\frac{1}{1-x^2}\) þá er margfeldi þeirra er fallið

\[g(x) = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)}.\]

Veldaröð fallsins \(g(x)\) er

\[1 + x + 2x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 3x^5 + \dots\]

sem er samleitin bilinu \(]-1,1[\).

10.2.7. Setning: Afleiður og stofnföll veldaraða

Setning

Gerum ráð fyrir að röðin \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\) sé samleitin á bilinu \(]a-R,a+R[\) fyrir eitthvað \(R>0\). Látum \(f\) vera fallið sem lýsir veldaröðinni

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\\ &= c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-1)^2 + c_3(x-a)^3 + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x-a|<R\). Þá er \(f\) diffranlegt á bilinu \(]a-R,a+R[\) og við getum fundið afleiðu \(f\) með því að diffra röðina lið fyrir lið. Þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{n=0}^\infty nc_n(x-a)^{n-1}\\ &= c_1 + 2c_2(x-a) + 2c_3(x-1)^2 + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x-a|<R\). Við getum einnig fundið stofnfall \(f(x)\) með því að heilda röðina lið fyrir lið. Við það fæst röð sem er samleitin á bilinu \(]a-R,a+R[\) og við höfum að

\[\begin{split}\begin{aligned} F(x) &= \int f(x) dx\\ &=C + \sum_{n=0}^\infty c_n \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}\\ &= C + c_0(x-a) + c_1 \frac{(x-a)^2}{2} + c_2 \frac{(x-a)^3}{3} + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x-a|<R\).

10.2.8. Dæmi: Afleiða veldaraðar

Dæmi :class: daemi

Finnum veldaröðina sem lýsir fallinu

\[g(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\]

á bilinu \(]-1,1[\). Ákvörðum svo hvort hún sé samleitin í endapunktum bilsins.

Ábending: Hér má nota að

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{1-x}\\ &= \sum_{n=0}^\infty x^n\\ &= 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x|<1\).

Lausn

Þar sem \(f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = g(x)\) getum við fundið veldaröð fallsins \(g\) með því að diffra veldaröð fallsins \(f\) lið fyrir lið. Þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} g(x) &= \frac{1}{(1-x)^2}\\ &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right)\\ &= \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty x^n\\ &= \frac{d}{dx}(1+x+x^2+x^3+\dots)\\ &= 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots\\ &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x|<1\). Að diffra röðina lið fyrir lið segir þó ekkert til um hegðun raðarinnar í endapunktum bilsins. Við getum skoðað hegðunina þar með því að nota sundurleitniprófið og séð þannig að röðin er sundurleitin í \(x = \pm 1\). Lesanda er eftirlátið að sýna fram á það með útreikingum.

10.2.9. Dæmi: Stofnfall veldaraðar

Dæmi

Finnum veldaröð fallsins

\[f(x) = \ln(1+x)\]

með því að heilda veldaröð fallsins \(f'\). Finnum auk þess samleitnibil raðarinnar.

Lausn

Fyrir fallið \(f(x) = \ln(1+x)\) gildir að \(f'(x)=\frac{1}{1+x}\). Við vitum að

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{1+x}&=\frac{1}{1-(-x)}\\ &= \sum_{n=0}^\infty (-x)^n\\ &= 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x|<1\). Til að finna veldaröð fallsins \(f(x)=\ln(1+x)\) getum við heildað röðina lið fyrir lið.

\[\begin{split}\begin{aligned} F(x) &= \int f(x) dx\\ &= \int (1 - x + x^2 - x^3 + \dots) dx\\ &= C + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \end{aligned}\end{split}\]

Þar sem \(f(x)=\ln(1+x)\) er stofnfall fallsins \(\frac{1}{1+x}\) þá er aðeins eftir að ákvarða fastann \(C\). Þar sem \(\ln(1+0)=0\) höfum við að \(C=0\). Þar með fæst að veldaröð fallsins \(f(x)=\ln(1+x)\) sé

\[\begin{split}\begin{aligned} \ln(x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\\ &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x|<1\). Að heilda veldaröð lið fyrir lið segir ekkert um hegðun raðarinnar í endapunktun bilsins. Með niðurstöðum úr kafla 9 um runur og raðir getum við séð að röðin er samleitin í \(x=1\) en ósamleitin í \(x=-1\). Svo samleitnibil raðarinnar er \(]-1,1]\).

10.2.10. Setning: Veldaraðir eru ótvírætt ákvarðaðar

Setning

Látum \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty d_n(x-a)^n\) vera tvær, samleitnar veldaraðir sem uppfylla að

\[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n = \sum_{n=0}^\infty d_n(x-a)^n\]

fyrir öll \(x\) á opnu bili sem inniheldur \(a\). Þá er \(c_n = d_n\) fyrir öll \(n \geq 0\).

10.3. Taylor- og Maclaurin-raðir

10.3.1. Skilgreining: Taylor- og Maclaurin-röð

Skilgreining

Ef \(f\) er óendanlega oft diffranlegt í \(x=a\) þá er Taylor-röð fallsins \(f\) í \(a\) röðin

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots .\]

Taylor-röð fallsins \(f\) í \(x=0\) er kölluð Maclaurin-röð fallsins \(f\).

10.3.2. Setning: Taylor-raðir eru ótvírætt ákvarðaðar

Setning

Ef fallið \(f\) á sér veldaröð með miðju í \(a\) sem er samleitin að \(f\) á opnu bili sem inniheldur \(a\) þá er sú röð Taylor-röð fallsins \(f\) með miðju í \(a\).

10.3.3. Skilgreining: Taylor-margliða

Skilgreining

Ef \(f\) er \(n\)-diffranlegt í \(x=a\) þá er \(n\)-ta Taylor-margliða fallsins \(f\) í \(a\)

\[p_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\]

Þá er \(n\)-ta Taylor-margliða fallsins \(f\) í \(x=0\) kölluð \(n\)-ta Maclaurin-margliða fallsins \(f\).

10.3.4. Dæmi: Að ákvarða Taylor-margliðu

Dæmi

Finnum \(p_0\), \(p_1\), \(p_2\) og \(p_3\) fyrir \(f(x)=\ln(x)\) í \(x=1\).

Lausn

Til að finna þessar Taylor-margliður þurfum við að finna fyrstu þrjár afleiður \(f\) og meta þær í \(x=1\). Fáum

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= \ln(x) & f(1) &= 0\\ f'(x) &= \frac{1}{x} & f'(1) &= 1\\ f''(x) &= -\frac{1}{x^2} & f''(1) &= -1\\ f'''(x) &= \frac{2}{x^3} & f'''(1) &= 2. \end{aligned}\end{split}\]

Fáum því að

\[\begin{split}\begin{aligned} p_0(x) &= f(1) =0\\ p_1(x) &= f(1) + f'(1)(x-1) = x-1\\ p_2(x)&= f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 = (x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2\\ p_3(x)&= f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3\\ &= (x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2 + \tfrac{1}{3}(x-1)^3\\ \end{aligned}\end{split}\]
../_images/PMA_taylor_lnx.png

Við sjáum af myndinni hér að ofan hversu vel nálgununum tekst að nálga \(\ln(x)\).

10.3.5. Setning: Setning Taylors um skekkju

Setning

Látum \(f\) vera fall sem er \(n+1\) sinnum diffranlegt á bilinu \(I\) sem inniheldur rauntöluna \(a\). Látum \(p_n\) vera \(n\)-tu Taylor-margliðu fallsins \(f\) í \(a\) og látum

\[R_n(x) = f(x) - p_n(x)\]

vera \(n\)-tu skekkjuna. Þá gildir að fyrir sérhvert \(x\) á bilinu \(I\) er til rauntala \(c\) milli \(a\) og \(x\) þannig að

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1}.\]

Ef til er rauntala \(M\) þannig að \(\left|f^{(n+1)}(x) \right| \leq M\) fyrir öll \(x \in I\) þá gildir að

\[|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\]

fyrir öll \(x \in I\).

10.3.6. Dæmi: Línulegar- og ferningsnálganir til að meta fallgildi

Dæmi

Gefið er fallið \(f(x) = \sqrt[3]{x}\).

  1. Finnið fyrstu og aðra Taylor-margliðu fallsins í \(x=8\).

  2. Notið margliðurnar til þess að nálga \(\sqrt[3]{11}\).

  3. Notið setningu Taylors um skekkju til að finna efra mark á skekkjunni.

Lausn

  1. Lausn:

    Við þurfum að byrja á því að finna fyrstu og aðra afleiðu fallsins \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) og meta þær í \(x=8\). Fáum:

    \[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= \sqrt[3]{x} & f(8) &= 2\\ f'(x) &= \frac{1}{3x^{2/3}} & f'(8) &= \frac{1}{12}\\ f''(x) &= \frac{-2}{9x^{5/3}} & f''(8) &= -\frac{1}{144}\\ \end{aligned}\end{split}\]

    Þar með fæst að fyrsta og önnur Taylor-margliða fallsins séu

    \[\begin{split}\begin{aligned} p_1(x) &= f(8)+f'(8)(x-8)\\ &= 2 + \tfrac{1}{12}(x-8)\\ p_2(x) &= f(8)+f'(8)(x-8) + \frac{f''(8)}{2!}(x-8)^2\\ &= 2 + \tfrac{1}{12}(x-8) - \tfrac{1}{288}(x-8)^2. \end{aligned}\end{split}\]
  2. Lausn:

    Ef við notum fyrsta stigs Taylor-margliðuna fæst

    \[\sqrt[3]{11} \approx p_1(11) = 2 + \tfrac{1}{12}(11-8)=2,25.\]

    Ef við notum annars stigs Taylor-margliðuna fæst

    \[\sqrt[3]{11} \approx p_2(11) = 2 + \tfrac{1}{12}(11-8) - \tfrac{1}{288}(11-8)^2 = 2,21875.\]
  3. Lausn:

    Þar sem Taylor-raðir eru ótvírætt ákvarðaðar er til tala \(c\) á bilinu \(]8,11[\) þannig að skekkjan við að námunda \(\sqrt[3]{11}\) með fyrsta stigs Taylor-margliðu uppfylli að

    \[R_1(11) = \frac{f''(c)}{2!}(11-8)^2.\]

    Við vitum ekki hvert nákvæmt gildi \(c\) er en við getum fundið efra mark á skekkjuna \(R_1(11)\) með því að ákvarða hámarksgildi \(f''\) á bilinu \(]8,11[\). Þar sem \(f''(x) = - \frac{2}{9x^{5/2}}\) fæst að stærsta gildið sem \(|f''(x)|\) tekur á bilinu sé í punktinum \(x=8\). Þar sem \(f''(8)=-\frac{1}{144}\) fæst að

    \[|R_1(11)| \leq \frac{1}{144 \cdot 2!} (11-8)^2 = 0,03125.\]

    Á svipaðan hátt getum við metið skekkjuna \(R_2(11) = \frac{f'''(c)}{3!}(11-8)^3\).

    Þar sem \(f'''(x) = \frac{10}{27x^{8/3}}\) fæst að hámarksgildi \(f'''\) á bilinu \(]8,11[\) sé \(f'''(8)\approx 0,0014468\) og þar með fæst

    \[|R_2(11)| \leq \frac{0,0011468}{3!}(11-8)^3 \approx 0,0065104.\]

10.3.7. Dæmi: Að finna Taylor-röð falls

Dæmi

Finnum Taylor-röð fallsins \(f(x)=\frac{1}{x}\) í \(x=1\) auk þess að ákvarða samleitnibil raðarinnar.

Lausn

Finnum fyrstu fjórar afleiður fallsins og metum þær í punktinum \(x=1\).

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{x} & f(1) &= 1\\ f'(x) &= -\frac{1}{x^2} & f'(1) &= -1\\ f''(x) &= \frac{2}{x^3} & f''(1) &= 2!\\ f'''(x) &= -\frac{3\cdot 2}{x^4} & f'''(1) &= -3!\\ f^{(4)}(x) &= \frac{4\cdot 3 \cdot 2}{x^5} & f^{(4)}(1) &= 4!. \end{aligned}\end{split}\]

Ef við skoðum hvernig þetta þróast sést að \(f^{(n)}(1)=(-1)^n n!\) fyrir öll \(n \geq 0\). Þar með er Taylor-röðin fyrir \(f\) í \(x=1\) gefin með

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n(x-1)^n.\]

Til að finna samleitnibilið getum við notað kvótaprófið. Fáum að

\[\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{\left|(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}\right|}{\left| (-1)^n(x-1)^n \right|} = |x-1|.\]

Þar með er röðin samleitin ef \(|x-1|<1\), þ.e. röðin er samleitin ef \(0<x<2\). Næst athugum við endapunktana. Við sjáum að

\[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(2-1)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\]

er ósamleitin skv. sundurleitniprófinu. Á svipaðan hátt má sjá að

\[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(0-1)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty 1\]

er ósamleitin. Þar með er samleitnibil raðarinnar \(]0,2[\).

10.3.8. Setning: Samleitni Taylor-raða

Setning

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé óendanlega oft diffranlegt á bili \(I\) sem inniheldur \(a\). Þá er Taylor-röðin

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

samleitin að \(f(x)\) fyrir öll \(x\in I\) ef og aðeins ef

\[\lim_{n \rightarrow \infty} R_n(x) = 0\]

fyrir öll \(x \in I\).

10.4. Hagnýting Taylor-raða

10.4.1. Skilgreining: Tvíliðustuðullinn og tvíliðuröðin

Skilgreining

Fyrir \(r,n\in \mathbb{N}_0\) þar sem \(n \leq r\) nefnist talan

\[\binom{r}{n} = \frac{r!}{n!(r-n)!}\]

tvíliðustuðullinn. Ef \(k > n\) er tvíliðustuðullinn skilgreindur sem 0.

Hægt er að víkka tvíliðustuðulinn út þannig að hann gildi fyrir allar rauntölur \(r\) og er hann þá skilgreindur sem

\[\binom{r}{n}=\frac{r(r-1)(r-2)\cdot \dots \cdot (r-n+1)}{n!}\]

og nefnist þá útvíkkaði tvíliðustuðullinn.

Maclaurin-röðin fyrir \(f(x)=(1+x)^r\) þar sem \(r \in \mathbb{R}\) nefnist tvíliðuröð. Hún er samleitin að \(f\) ef \(|x|<1\) og við skrifum að

\[\begin{split}\begin{aligned} (1+x)^r &= \sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n\\ &= 1 + rx + \frac{r(r-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{r(r-1)\cdot \dots \cdot (r-n+1)}{n!} x^n + \dots \end{aligned}\end{split}\]

fyrir \(|x|<1\).

10.4.2. Dæmi: Að finna tvíliðuröð

Dæmi

Finnum tvíliðuröð fallsins \(f(x)=\sqrt{1+x}\).

Lausn

Athugum að \(\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}\) og því er \(r=1/2\). Fáum því að tvíliðuröð fallsins sé

\[\sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n} x^n\]

sem einnig mætti skrifa sem

\[1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!} \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-3)}{2^n}x^n.\]

10.4.3. Ábending: Nokkur algeng föll og Maclaurin raðir þeirra

Athugasemd

Tafla 10.1 Nokkur algeng föll og Maclaurin raðir þeirra

Fall

Maclaurin-röð

Samleitnibil

\(f(x)=\tfrac{1}{1-x}\)

\(\sum_{n=0}^\infty x^n\)

\(-1 < x <1\)

\(f(x)=e^x\)

\(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)

\(-\infty < x < \infty\)

\(f(x)=\sin(x)\)

\(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

\(-\infty < x < \infty\)

\(f(x)=\cos(x)\)

\(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)

\(-\infty < x < \infty\)

\(f(x)=\ln(1+x)\)

\(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}\)

\(-1 < x < 1\)

\(f(x)=\tan^{-1}(x)\)

\(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\)

\(-1 < x < 1\)

\(f(x)=(1+x)^r\)

\(\sum_{n=0}^\infty \binom{r}{n} x^n\)

\(-1 < x < 1\)

10.4.4. Dæmi: Að finna eina Maclaurin-röð með annarri

Dæmi

Notum einhverja þekkta Maclaurin-röð til að finna Maclaurin-röð fallsins \(f(x)=\cos(\sqrt{x})\).

Lausn

Við vitum að \(\cos(x)\) hefur Maclaurin-röðina \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\). Við getum notað hana og stungið inn \(\sqrt{x}\) í stað \(x\) til að fá að Maclaurin-röð \(f\) sé

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (\sqrt{x})^{2n}}{(2n)!} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{(2n)!}\\ &= 1 - \frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\frac{x^3}{6!}+\frac{x^4}{8} \dots . \end{aligned}\end{split}\]

Þessi röð er samleitin að \(\cos(\sqrt{x})\) fyrir öll \(x \geq 0\).

10.4.5. Dæmi: Að leysa diffurjöfnur með veldaröðum

Dæmi

Notum veldaraðir til að leysa upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} y' = y \\ y(0) = 3 \end{cases}\end{split}\]

Lausn

Gerum ráð fyrir að til sé lausn á forminu

\[y(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2 x`2 +c_3 x^3 + c_4 x^4 + \dots.\]

Diffrum hvern lið fyrir sig og fáum að

\[y'(x) = \sum_{n=0}^\infty nc_n x^{n-1} = c_1 + 2c_2x + 3c_3 x^2 + 4c_4x^3 + \dots.\]

Ef \(y\) uppfyllir diffurjöfnuna gildir að

\[c_0 + c_1x + c_2 x^2 +c_3 x^3 + c_4 x^4 + \dots = c_1 + 2c_2x + 3c_3 x^2 + 4c_4x^3 + \dots.\]

Við getum notfært okkur að veldaraðir eru ótvírætt ákvarðaðar og fengið að

\[\begin{split}\begin{aligned} c_0 &= c_1\\ c_1 &= 2c_2\\ c_2 &= 3c_3\\ c_3 &= 4c_4\\ & \hspace{2mm} \vdots \end{aligned}\end{split}\]

Stingum nú upphafsgildinu \(y(0)=3\) inn í \(y(x)=c_0 + c_1x + c_2 x`2 +c_3 x^3 + c_4 x^4 + \dots\) og fáum að \(c_0=3\). Því fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} c_1 &= c_0 = 3 = \frac{3}{1!}\\ c_2 &= \frac{c_1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2!}\\ c_3 &= \frac{c_2}{3} = \frac{3}{3\cdot 2} = \frac{3}{3!}\\ c_4 &= \frac{c_3}{4} = \frac{3}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{3}{4!}\\ & \hspace{2mm} \vdots \end{aligned}\end{split}\]

Þar með fæst að

\[\begin{split}\begin{aligned} y &= 3\left(1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + + \frac{1}{3!}x^3 + + \frac{1}{4!}x^4 + \dots \right)\\ &= 3\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\\ &= 3e^x. \end{aligned}\end{split}\]

10.4.6. Dæmi: Meta erfið heildi með veldaröðum

Dæmi

Reiknum óákveðna heildið

\[\int e^{-x^2} dx\]

með því að nota veldaraðir. Notum það svo til að nálga ákveðna heildið

\[\int_0^\infty e^{-x^2} dx\]

þannig að skekkjan sé innan við 0,01.

Lausn

Maclaurin-röð \(e^{-x^2}\) er gefin með

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{-x^2} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{n!}\\ &= 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} -\frac{x^6}{3!} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{n!}\\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{n!}. \end{aligned}\end{split}\]

Því fæst að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int e^{-x^2}dx &= \int \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} -\frac{x^6}{3!} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{n!} \right) dx\\ &= C + x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5 \cdot 2!} - \frac{x^7}{7 \cdot 3!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}\\ \end{aligned}\end{split}\]

Notum þetta til að meta ákveðna heildið. Fáum

\[\int_0^1 e^{-x^2} dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \dots.\]

Summa fyrstu fjögurra liðanna er u.þ.b. 0,74. Ef við notum próf fyrir víxlmerkjaraðir fæst að þetta mat hefur skekkju sem er innan við \(\frac{1}{216} \approx 0,0046296 < 0,01\).

10.4.7. Dæmi: Maclaurin raðir til að nálga líkur

Dæmi

Gefið er að í stigafjöldi á prófi séu normaldreifður með meðaltalið \(\mu = 100\) stig og staðalfrávikið \(\sigma = 50\) stig. Reiknum líkurnar að gefinn nemandi fái á milli 100 og 200 stig á prófinu.

Lausn

Notfærum okkur að ef \(X\) er slembibreyta sem fylgir normaldreifingu má reikna líkurnar að \(a<X<b\) með

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(a-\mu)/\sigma}^{(b-\mu)/\sigma} e^{-z^2/2} dz\]

þar sem \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\). Notum Maclaurin-röð til að nálga útkomu fallsins.

Þar sem \(\mu = 100\) og \(\sigma = 50\) auk þess sem að \(a=100\) og \(b=200\) fæst að heildið sem við viljum meta er

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^2 e^{-z^2/2}dz.\]

Maclaurin-röð heildisstofnsins er gefin með

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{-x^2/2}&= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\tfrac{x^2}{2}\right)^n}{n!}\\ &= 1 - \frac{x^2}{2^1 \cdot 1!} + \frac{x^4}{2^2 \cdot 2!} - \frac{x^6}{2^3 \cdot 3!} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n \cdot n!}+\dots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{2^n \cdot n!}. \end{aligned}\end{split}\]

Þar með fæst að

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{-z^2/2} dz &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \left( 1 - \tfrac{z^2}{2^1 \cdot 1!} + \tfrac{z^4}{2^2 \cdot 2!} - \tfrac{z^6}{2^3 \cdot 3!} + \dots + (-1)^n\tfrac{z^{2n}}{2^n \cdot n!}+\dots \right) dz\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(C + z - \tfrac{z^3}{3\cdot 2^1 \cdot 1!} + \tfrac{z^5}{5\cdot 2^2 \cdot 2!} - \tfrac{z^7}{7\cdot 2^3 \cdot 3!} + \dots + (-1)^n\tfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!2^n \cdot n!}+\dots\right)\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^2 e^{-z^2/2} dz &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( 2- \tfrac{8}{6}+\tfrac{32}{40}-\tfrac{128}{336} + \tfrac{512}{3456} - \tfrac{2^{11}}{11 \cdot 2^5 \cdot 5!}+ \dots \right). \end{aligned}\end{split}\]

Ef við notum fyrstu fimm liðina fáum við að líkurnar séu u.þ.b. 0,4922. Próf fyrir víxlmerkjaraðir gefur að skekkjan er innan við

\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2^{13}}{13 \cdot 2^6 \cdot 6!} \approx 0,00546.\]