6. Hagnýting á heildun
Nauðsynleg undirstaða
Föll
Afleiður
Heildun
It is a comfort not to be mistaken at all points. Do I not know it only too well!
– Gandalf, The Two Towers
6.1. Flatarmál svæða
6.1.1. Setning: Flatarmál milli tveggja ferla
Setning
Gerum ráð fyrir að \(f(x)\) og \(g(x)\) séu samfelld föll þannig að \(f(x)\geq g(x)\) á bilinu \([a,b]\). Látum \(R\) tákna svæðið sem afmarkast af ferlum fallanna tveggja og línanna \(x=a\) og \(x=b\). Þá má reikna flatarmál svæðiðsins \(R\) með
\[A = \int_a^b (f(x)-g(x)) dx.\]
6.1.2. Dæmi: Flatarmál milli tveggja ferla
Dæmi
Látum \(R\) vera svæði sem er takmarkað að ofan af fallinu \(f(x)=x+4\) og að neðan af \(g(x)=3-\frac{x}{2}\) á bilinu \([1,4]\). Finnum flatarmál \(R\).
Lausn
Samkvæmt setningunni hér að ofan fæst að
\[A = \int_1^4 \left(x+4 - \left(3 - \frac{x}{2}\right)\right) dx = \int_1^4 \frac{3}{2}x +1 dx = \left[ \frac{3}{4}x^2 + x \right]_1^4 = 16 - \frac{7}{4} = \frac{57}{4}\]Svo flatarmál svæðisins er \(\frac{57}{4}\) fereiningar.
6.1.3. Setning: Flatarmál samsettra svæða
Setning
Gerum ráð fyrir því að \(f(x)\) og \(g(x)\) séu samfelld á bilinu \([a,b]\). Látum \(R\) tákna svæðið sem myndast milli grafa fallanna og er afmarkað af línunum \(x=a\) og \(x=b\). Þá má reikna flatarmál svæðiðisins \(R\) með
\[A = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx.\]
6.1.4. Dæmi: Flatarmál samsettra svæða
Dæmi
Látum \(R\) vera svæðið sem myndast milli grafa fallanna \(f(x)=\sin(x)\) og \(g(x)=\cos(x)\) á bilinu \([0,\pi]\). Finnum flatarmál svæðisins \(R\).
Lausn
Samkvæmt setningunni hér að ofan er flatarmál \(R\)
\[A = \int_0^\pi |\cos(x)-\sin(x)|.\]Athugum að á bilinu \([0,\frac{\pi}{4}]\) gildir að \(g(x)\geq f(x)\) en á bilinu \([\frac{\pi}{4},\pi]\) gildir að \(f(x)\geq g(x)\). Við getum því skipt heildinu í tvennt þannig að
\[A = \int_0^{\pi/4} (\cos(x)-\sin(x) )dx + \int_{\pi/4}^{\pi} (\sin(x)-\cos(x)) dx.\]Metum nú heildið og fáum
\[= \left[\cos(x)-\sin(x) \right]_0^{\pi/4} + \left[\sin(x)-\cos(x) \right]_{\pi/4}^\pi = 2\sqrt{2}.\]Svæðið \(R\) er því \(2\sqrt{2}\) fereiningar.
6.1.5. Setning: Heildað m.t.t. \(y\)
Setning
Látum \(u(y)\) og \(v(y)\) vera samfelld föll þannig að \(u(y) \geq v(y)\). Látum \(R\) tákna svæðið sem afmarkast af gröfum fallanna og línunum \(y=d\) og \(y=c\). Þá má reikna flatarmál svæðisins \(R\) með
\[A = \int_c^d (u(y)-v(y)) dy.\]
6.1.6. Dæmi: Heildað m.t.t. \(y\)
Dæmi
Látum \(v(y)=\sqrt{y}\) og \(u(y)=2-y\). Finnum flatarmálið sem myndast á milli ferla fallanna á bilinu \([0,1]\).
Lausn
Þar sem línan \(2-y\) liggur hægra megin við feril fallsins \(\sqrt{y}\) á bilinu þá fæst samkvæmt setningunni hér að ofan fæst að
\[A = \int_0^1 \left((2-y)-\sqrt{y}\right)dy = \left[2y - \frac{1}{2}y^2 - \frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^1 = \frac{5}{6}.\]Svo svæðið hefur flatarmálið \(\frac{5}{6}\) fereiningar.
6.2. Heildi, vísisföll og lograr
6.2.1. Náttúrulegi logrin sem heildi
Rifjum upp veldisregluna fyrir heildi sem segir að
Augljóst er að þetta virkar ekki þegar \(n=-1\) því þá væri deilt með 0. Þá þarf að leiða hugann að því hvað skal gera þegar reynt er að meta heildið
Rifjum upp að undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar segir að
sé stofnfall fyrir \(1/x\). Það gefur okkur eftirfarandi skilgreiningu.
6.2.2. Skilgreining: Náttúrulegi logrinn sem heildi
Skilgreining
Fyrir \(x>0\) má skilgreina náttúrulega logrann sem
\[\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t}dt.\]
6.2.3. Setning: Afleiða náttúrulega lograns
Setning
Fyrir \(x>0\) gildir að afleiða náttúrulega lograns er gefin með
\[\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\]
6.2.4. Hjálparsetning
Hjálparsetning
Fallið \(\ln(x)\) er diffranlegt og þar með samfellt.
Af grafi fallsins \(f(x)=\ln(x)\) má ljóslega sjá að það er samfellt á skilgreiningarmengi þess, þ.e. \(]0,\infty[\).
6.2.5. Dæmi: Afleiða náttúrulega lograns
Dæmi
Reiknum afleiðuna
\[\frac{d}{dx} \ln(5x^3-2).\]
Lausn
Notum keðjuregluna og fáum
\[= \frac{1}{5x^3-2} \cdot 15x^2 = \frac{15x^3}{5x^3-2}.\]
6.2.6. Setning: Heildi sem skilar náttúrulega logranum
Setning
Náttúrulegi logrinn er stofnfall fallsins \(f(u)=1/u\), þ.e.
\[\int \frac{1}{u} du = \ln|u|+C.\]
6.2.7. Dæmi: Heildi sem skilar náttúrulega logranum
Dæmi
Reiknum heildið
\[\int \frac{x}{x^2+4}dx.\]
Lausn
Notum innsetningu með \(u=g(x)=x^2+4\). Þá er
\[\int \frac{x}{x^2+4} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{2}|u|+C = \frac{1}{2}|x^2+4|+C=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C.\]
6.2.8. Setning: Lograreglur
Lograreglur
Ef \(a,b>0\) og \(r\) er ræð tala þá gildir
\(\ln(1)=0\)
\(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\)
\(\ln(a/b) = \ln(a)-\ln(b)\)
\(\ln(a^r)=r\ln(a)\)
6.2.9. Dæmi: Lograreglur
Dæmi
Einföldum stæðuna
\[\ln(9)-2\ln(3) + \ln(1/3).\]
Lausn
Notum lograreglu 4 til að fá að \(2\ln(3)=\ln(3^2)=\ln(9)\). Þá fæst
\[\ln(9)-\ln(9) + \ln(1/3) = \ln(1/3).\]Þar sem \(1/3 = 3^{-1}\) getum við notað sömu reglu aftur og fengið að
\[\ln(1/3)=\ln(3^{-1})=-\ln(3).\]
6.2.10. Skilgreining á tölur Eulers
Hægt er að nota náttúrulega logrann til þess að skilgreina tölu Eulers, þ.e. óræðu töluna \(e\).
6.2.11. Skilgreining: Tala Eulers
Skilgreining
Talan \(e\) er skilgreind sem sú rauntala sem uppfyllir að \(\ln(e)=1\). Með öðrum orðum þá skal flatarmál svæðisins sem myndast undir ferli fallsins \(y=1/t\) og yfir \(x\)-ás á milli línanna \(t=1\) og \(t=e\) vera 1. Þetta er sambærilegt því að rita með stærðfræðitáknum að
\[\int_1^e \frac{1}{t} dt = 1.\]
6.2.12. Veldisvísifallið
Athugum að náttúrulegi logrinn er eintækt fall og á sér því andhverfu. Köllum hana \(\exp(x)\). Samkvæmt skilgreiningu á andhverfu gildir þá að
Munum einnig að andhverfa er speglun fallsins um línuna \(y=x\)
Ef við skoðum grafið gaumgæfilega má sjá að fallið \(\exp(x)\) er í raun veldisvísisfallið \(e^x\), þ.e. \(\exp(x)=e^x\). Af þessu leiðir að veldisvísisfallið er andhverfa náttúrulega lograns.
6.2.13. Skilgreining: Andhverfa veldisvísisfallsins
Skilgreining
Fyrir hvaða rauntölu \(x\) sem er skilgreinum við \(y=e^x\) sem þá tölu sem uppfyllir að \(\ln(y) = \ln(e^x)=x\).
Af þessu leiðir að
\[e^{\ln(x)} = x \text{ fyrir öll } x>0 \text{ og } \ln(e^x)=x \text{ fyrir öll } x.\]
6.2.14. Setning: Veldisvísisreglur
Veldisvísisreglur
Ef \(p\) og \(q\) eru rauntölur og \(r\) er ræð tala þá gildir
\(e^pe^q=e^{p+q}\)
\(\frac{e^p}{e^q}= e^{p-q}\)
\((e^p)^r = e^{pr}\)
6.2.15. Dæmi: Veldisvísisreglur
Dæmi
Reiknum afleiðuna
\[\frac{d}{dt} e^{3t}e^{t^2}.\]
Lausn
Notum veldisvísisreglu 1 og fáum
\[= \frac{d}{dt} e^{3t+t^2}.\]Keðjureglan gefur nú
\[= (3t+t^2)e^{3t+t^2}.\]
6.2.16. Almennt um logra og vísisföll
Munum að vísisföll eru föll á forminu \(f(x)=a^x\) og lograr eru föll sem hafa formið \(\log_b(x)\) þar sem \(a,b\in \mathbb{R}\).
6.2.17. Skilgreining: Vísisföll skilgreind með veldisvísifallinu og náttúrulega logranum
Skilgreining
Látum \(a>0\) og \(x \in \mathbb{R}\). Skilgreinum \(y=a^x\) þannig að
\[y = a^x = e^{x\ln(a)}.\]
Þessi skilgreining hjálpar okkur að átta okkur betur á vísisföllum þar sem að \(a\) er óræð tala.
6.2.18. Setning: Afleiður og heildi vísisfalla
Setning
Látum \(a>0\). Þá gildir að
\[\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln(a)\]og
\[\int a^x dx = \frac{1}{\ln(a)}a^x+C.\]
6.2.19. Setning: Afleiða logra
Setning
Látum \(b>0\). Þá gildir að
\[\frac{d}{dx}\log_b(x)=\frac{1}{x\ln(b)}.\]
6.2.20. Dæmi: Afleiða logra
Dæmi
Reiknum afleiðuna
\[\frac{d}{dx}\log_8(7x^2+4).\]
Lausn
Notum skilgreininguna á afleiðu logra og keðjuregluna til að fá að
\[\frac{d}{dx}\log_8(7x^2+4) = \frac{1}{(7x^2+4)\ln(8)}(14x).\]
6.3. Veldisvísisvöxtur og -hnignun
Veldisvísisvöxtur er til staðar í mörgum líffræðilegum kerfum. Vexti þessara líkana má lýsa með formúlunni
þar sem \(y_0\) er upphafsástand kerfisins og \(k\) er jákvæður fasti. Athugið að um þessi líkön gildir að
Þ.e. vaxtarhraði er í hlutfalli við fallgildið. Þetta er eitt af lykileiginleikum veldisvísisvaxtar.
6.3.1. Setning: Veldisvísisvöxtur
Setning
Veldisvísisvexti má lýsa með formúlunni
\[y = y_0e^{kt}\]þar sem \(y_0\) er upphafsástand kerfisins og \(k\) er jákvæður fasti sem kallaður er vaxtarfasti.
6.3.2. Dæmi: Veldisvísisvöxtur
Dæmi
Gefið er að fjöldi baktería í tilraunadiski sé 200 í upphafi og hafi vaxtarfastann 0,02. Fjölgun bakteríanna má lýsa með fallinu
\[f(t)=200e^{0,02t}\]þar sem \(t\) er tíminn í mínútum. Hve margar bakteríur verða í disknum eftir 5 klst (300 mín)? Hvenær verður fjöldi baktería orðinn 100.000?
Lausn
Þar sem að fallið \(f(t)\) lýsir fjölda baktería í disknum eftir \(t\) mínútur þá fæst að fjöldi baktería eftir 300 mínútur verður
\[f(300)=200e^{0,02\cdot 300}\approx 80.686.\]Til að finna hvenær fjöldi baktería verður 100.000 verðum við að láta \(f(t)=100.000\) og einangra svo \(t\) til að ákvarða tímapunktinn. Fáum
\[\begin{split}\begin{align} 100.000 &= 200e^{0,02t}\\ 500 &= e^{0,02t}\\ \ln(500) &= 0,02t\\ t &= \ln(500)/0,02\\ t & \approx 310,73. \end{align}\end{split}\]Svo eftir tæplega 311 mínútur verður fjöldi baktería orðinn 100.000.
6.3.3. Skilgreining: Tvöföldunartími
Skilgreing
Ef fjöldi eykst með veldisvísisvexti þá er tvöföldunartíminn sá tími sem það tekur fjöldann að tvöfaldast. Tvöföldunartíma má reikna með
\[D = \frac{\ln(2)}{k}\]
6.3.4. Dæmi: Tvöföldunartími
Dæmi
Gerum ráð fyrir að fjöldi fiska í ákveðinni tjörn aukist með veldisvísisvexti. Upphaflega voru settir 500 fiskar í tjörnina. Eftir 6 mánuði voru fiskarnir orðnir 1000. Eigandi tjarnarinnar mun leyfa vinum og vandamönnum að veiða í tjörninni þegar fiskarnir eru orðnir 10.000 talsins. Hvenær mun það gerast?
Lausn
Þar sem að við vitum tvöföldunartíminn eru 6 mánuðir þá vitum við að
\[6 = \ln(2)/k \Leftrightarrow k = \frac{\ln(2)}{6}.\]Þar sem við þekkjum vaxtarfastann \(k=\frac{\ln(2)}{6}\) og upphafsfjöldann \(y_0=500\) þá getum við sett fram jöfnuna
\[f(t) = 500e^{\frac{\ln(2)}{6}t}\]sem lýsir fjölda fiska í tjörninni á tímapunkti \(t\), þar sem að \(t\) er tíminn í mánuðum. Setjum nú \(f(t)=10.000\) og einangrum \(t\).
\[\begin{split}\begin{align} 10.000 &= 500e^{\frac{\ln(2)}{6} t}\\ 200 &= e^{\frac{\ln(2)}{6} t}\\ \ln(20) &= \frac{\ln(2)}{6}t\\ t &= \frac{6\ln(20)}{\ln(2)}\\ t &\approx 25,93. \end{align}\end{split}\]Svo eftir tæplega 26 mánuði, örlítið meira en 2 ár, þá geta vinir og vandamenn eigandans byrjað að veiða í tjörninni.
6.3.5. Veldisvísishnignun
Veldisvísisfallið má einnig nota til að lýsa fjölda sem dregst saman og öðru sambærilegu eins og niðurbrotstíma geislavirkra efna.
6.3.6. Setning: Veldisvísishnignun
Setning
Kerfi, þar sem á sér stað veldisvísishnignum, má lýsa með líkaninu
\[y = y_0 e^{-kt},\]þar sem \(y_0\) er upphafsástand kerfisins og \(k>0\) er fasti sem kallaður er hnignunarfasti.
6.3.7. Setning: Helmingunartími
Setning
Helmingunartími er sá tími sem það tekur fjölda sem fylgir veldisvísishnignun að fækka um helming. Helmingunartíma má reikna með
\[H = \frac{\ln(2)}{k}.\]
6.3.8. Dæmi: Helmingunartími
Dæmi
Kolefnisaldursgreining (e. carbon dating) er sú aðferð sem hvað flestir tengja við veldisvísishnignun. Kolefni-14 (sem gefur frá sér geislavirkar eindir) hnignar með reglulegum veldisvísishraða. Svo ef við vitum hve mikið kolefni var upphaflega til staðar í hlut og hve mikið kolefni er eftir, getum við ákvarðað aldur viðkomandi hlutar. Helmingunartími kolefni-14 er u.þ.b. 5730 ár. Leysum eftirfarandi verkefni.
Ef við höfum 100g af kolefni-14 í dag, hve mikið er þá til staðar eftir 50 ár?
Ef hlutur sem upphaflega innihélt 100 g af kolefni inniheldur nú 10g, hve gamall er hann?
Lausn
- Lausn:
Við höfum að helmingunartíminn sé 5730 og því gildir að
\[k = \frac{\ln(2)}{5730}\]samkvæmt skilgreiningu. Þar sem upphafsástand kerfisins er 100g af kolefni fæst að líkanið sé
\[y=100e^{-\frac{\ln(2)}{5730}t}.\]Eftir 50 ár höfum við
\[y = 100e^{-\frac{\ln(2)}{5730}\cdot 50} \approx 99,40.\]Svo eftir 50 ár eru u.þ.b. 99,40g af carbon-14 eftir.
- Lausn:
Ef við reynum að greina aldur hlutsins verðum við að gera ráð fyrir að \(y=10\) og einangra \(t\). Fáum
\[\begin{split}\begin{align} 10 &= 100 e^{-\frac{\ln(2)}{5739}t}\\ 0,1 &= e^{-\frac{\ln(2)}{5739}t}\\ t &\approx 19035. \end{align}\end{split}\]Svo hluturinn er rétt rúmlega 19.000 ára gamall.