10. Veldaraðir
Athugasemd
Nauðsynleg undirstaða
What to do if you find yourself stuck in a crack in the ground underneath a giant boulder you can’t move, with no hope of rescue. Consider how lucky you are that life has been good to you so far. Alternatively, if life hasn’t been good to you so far, which given your current circumstances seems more likely, consider how lucky you are that it won’t be troubling you much longer.
– Douglas Adams, The Original Hitchhiker Radio Scripts
10.1. Veldaraðir
10.1.1. Skilgreining
Skilgreining
Röð á forminu
kallast
veldaröð
en: power series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
10.1.2. Setning
Setning
Um sérhverja veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) gildir eitt af þrennu:
Röðin er aðeins samleitin fyrir \(x=c\).
Til er jákvæð tala \(R\) þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll \(x\) þannig að \(|x-c|<R\) og ósamleitin fyrir öll \(x\) þannig að \(|x-c|>R\).
Röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\).
10.1.3. Skilgreining: Miðja og samleitnigeisli
Skilgreining
Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) vera veldaröð.
Talan \(c\) kallast miðja eða samleitnimiðja veldaraðarinnar.
Í tilviki 2. í setningunni hér á undan er röðin alsamleitin á opna bilinu \((c-R, c+R)\) og ósamleitin fyrir utan lokaða bilið \([c-R, c+R]\).
Talan \(R\) er kölluð samleitnigeisli en: radius of convergence
raðarinnar.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Mögulegt er að röðin sé samleitin (alsamleitin eða skilyrt samleitin) í öðrum eða báðum punktunum \(x=c-R\) og \(x=c+R\) (þetta þarf að athuga sérstaklega).
Í tilfelli 1. í setningunni þegar röðin er bara samleitin fyrir \(x=c\) setjum við \(R=0\) og í tilfelli 3. þegar röðin er samleitin fyrir allar rauntölur \(x\) þá setjum við \(R=\infty\).
Samleitnibil en: interval of convergence
veldaraðarinnar \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) er mengi allra gilda \(x\) þannig að röðin er samleitin. Setning hér á undan sýnir að :þetta mengi er alltaf bil.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Þegar samleitnigeilsinn er 0 er samleitnibilið \(\{c\}\).
Þegar samleitnigeislinn er \(R>0\) þá koma fjórir möguleikar til greina eftir því hvort röðin er samleitin í hvorugum, öðrum eða báðum punktunum \(x=c-R\) og \(x=c+R\). Samleitnibilið getur verið \((c-R, c+R)\), \([c-R, c+R)\), \((c-R, c+R]\) eða \([c-R, c+R]\).
Þegar samleitnigeislinn er \(\infty\) þá er samleitnibilið \((-\infty, \infty)\).
10.2. Samleitnipróf
10.2.1. Setning
Setning
Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) vera veldaröð.
Kvótapróf en: ratio test
(hlutfallspróf): Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) sé til eða \(\infty\).
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) samleitnigeisla
\[\begin{split}R= \left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \text{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{split}\]Rótarpróf en: root test
: Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\) sé til eða \(\infty\). Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) samleitnigeisla
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.\[\begin{split}R= \left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \text{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{split}\]
10.2.2. Setning Abels
Setning
Fallið \(f\) skilgreint á samleitnibili með
er samfellt á öllu samleitnibili veldaraðarinnar.
Ef samleitnigeislinn er \(0<R<\infty\) og röðin er samleitin í punktinum \(x=c+R\) þá er
Eins ef röðin er samleitin í punktinum \(x=c-R\) þá er
10.2.3. Setning: Diffrað lið fyrir lið
Setning
Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).
Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við
Fallið \(f\) er diffranlegt og
og röðin fyrir \(f'(x)\) er samleitin fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\).
Þetta þýðir að við getum diffrað veldaraðir lið fyrir lið.
Þar sem diffranleg föll eru samfelld þá fæst eftirfarandi.
10.2.4. Fylgisetning
Setning
Fallið \(f\) er samfellt á \((c-R, c+R)\).
10.2.5. Setning: Heildað lið fyrir lið
Setning
Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).
Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\).
Fallið \(f\) hefur stofnfall
og röðin fyrir \(F(x)\) er samleitin fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\).
Þetta þýðir að við getum heildað veldaraðir lið fyrir lið.
10.2.6. Setning
Setning
Látum \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\) vera veldaröð með miðju í \(c\) og samleitnigeisla \(R\).
Fyrir \(x\in(c-R, c+R)\) skilgreinum við
Fallið \(f\) er \(k\)-sinnum diffranlegt fyrir \(k=1, 2, 3, \ldots\) og
10.2.7. Skilgreining: Fágað fall
Skilgreining
Fall \(f\) þannig að til er veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) með samleitnigeisla \(R>0\) þannig að
fyrir öll \(x\in(c-R, c+R)\) kallast fágað (raunfágað) í punktinum \(c\).
10.2.8. Athugasemd
Athugasemd
Dæmi um fáguð föll eru margliður, ræð föll, hornaföll, veldisföll og lograr.
10.3. Taylorraðir
10.3.1. Skilgreining: Taylorröð
Skilgreining
Gerum ráð fyrir að fall \(f(x)\) sé óendanlega oft diffranlegt í punktinum \(x=c\), (það er \(f^{(k)}(c)\) er til fyrir \(k=0, 1, 2, \ldots\)).
Veldaröðin
kallast Taylorröð með miðju í \(x=c\) fyrir \(f(x)\).
Ef svo vill til að \(c=0\) þá er oft talað um Maclaurinröð.
10.3.2. Setning
Setning
Taylormargliða með miðju í \(c\) fyrir \(f\) er skilgreind sem margliðan
Skekkjan í \(n\)-ta stigs Taylornálgun er \(R_n(x)=f(x)-P_n(x)\).
Til er tala \(X\) sem liggur á milli \(c\) og \(x\) þannig að
10.3.3. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að \(f\) sé fall sem er óendanlega oft diffranlegt í punktinum \(c\).
Fyrir fast gildi á \(x\) þá er Taylorröðin
samleitin með summu \(f(x)\) ef og aðeins ef
10.3.4. Dæmi: Tvíliðuröðin
Fyrir \(x\) þannig að \(|x|<1\) og rauntölu \(r\) gildir að
10.3.5. Athugasemd
Athugasemd
Ef \(r \in {{\mathbb N}}\) þá gefur summan að ofan einfaldlega stuðlanna þegar búið er að margfalda upp úr svigum, og summan er því endanleg, því þegar \(n \geq r+1\) þá verða stuðlarnir 0.
Ef hins vegar \(r\notin {{\mathbb N}}\) þá er enginn stuðlanna 0.
10.3.6. Taylorraðir nokkra falla
10.3.7. Æfingadæmi
I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed to be.
– Douglas Adams, The Long Dark Tea-Time of the Soul