10. Veldaraðir

What to do if you find yourself stuck in a crack in the ground underneath a giant boulder you can’t move, with no hope of rescue. Consider how lucky you are that life has been good to you so far. Alternatively, if life hasn’t been good to you so far, which given your current circumstances seems more likely, consider how lucky you are that it won’t be troubling you much longer.

– Douglas Adams, The Original Hitchhiker Radio Scripts

10.1. Veldaraðir

10.1.1. Skilgreining

Skilgreining

Röð á forminu

n=0an(xc)n=a0+a1(xc)+a2(xc)2+

kallast veldaröð en: power series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með miðju Ekki fannst þýðing á hugtakinu: miðju í punktinum c.

10.1.2. Setning

Setning

Um sérhverja veldaröð n=0an(xc)n gildir eitt af þrennu:

  1. Röðin er aðeins samleitin fyrir x=c.

  2. Til er jákvæð tala R þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll x þannig að |xc|<R og ósamleitin fyrir öll x þannig að |xc|>R.

  3. Röðin er samleitin fyrir allar rauntölur x.

10.1.3. Skilgreining: Miðja og samleitnigeisli

Skilgreining

Látum n=0an(xc)n vera veldaröð.

  1. Talan c kallast miðja eða samleitnimiðja veldaraðarinnar.

  2. Í tilviki 2. í setningunni hér á undan er röðin alsamleitin á opna bilinu (cR,c+R) og ósamleitin fyrir utan lokaða bilið [cR,c+R].

    Talan R er kölluð samleitnigeisli en: radius of convergence
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    raðarinnar.

    Mögulegt er að röðin sé samleitin (alsamleitin eða skilyrt samleitin) í öðrum eða báðum punktunum x=cR og x=c+R (þetta þarf að athuga sérstaklega).

    Í tilfelli 1. í setningunni þegar röðin er bara samleitin fyrir x=c setjum við R=0 og í tilfelli 3. þegar röðin er samleitin fyrir allar rauntölur x þá setjum við R=.

  3. Samleitnibil en: interval of convergence
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    veldaraðarinnar n=0an(xc)n er mengi allra gilda x þannig að röðin er samleitin. Setning hér á undan sýnir að :þetta mengi er alltaf bil.

    • Þegar samleitnigeilsinn er 0 er samleitnibilið {c}.

    • Þegar samleitnigeislinn er R>0 þá koma fjórir möguleikar til greina eftir því hvort röðin er samleitin í hvorugum, öðrum eða báðum punktunum x=cR og x=c+R. Samleitnibilið getur verið (cR,c+R), [cR,c+R), (cR,c+R] eða [cR,c+R].

    • Þegar samleitnigeislinn er þá er samleitnibilið (,).

10.2. Samleitnipróf

10.2.1. Setning

Setning

Látum n=0an(xc)n vera veldaröð.

  1. Kvótapróf en: ratio test
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    (hlutfallspróf): Gerum ráð fyrir að L=limn|an+1an| sé til eða .

    Þá hefur veldaröðin n=0an(xc)n samleitnigeisla

    R={ef L=0,1Lef 0<L<,0ef L=.
  2. Rótarpróf en: root test
    Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
    : Gerum ráð fyrir að L=limnn|an| sé til eða . Þá hefur veldaröðin n=0an(xc)n samleitnigeisla

    R={ef L=0,1Lef 0<L<,0ef L=.

10.2.2. Setning Abels

Setning

Fallið f skilgreint á samleitnibili með

f(x)=n=0an(xc)n

er samfellt á öllu samleitnibili veldaraðarinnar.

Ef samleitnigeislinn er 0<R< og röðin er samleitin í punktinum x=c+R þá er

limx(c+R)f(x)=f(c+R)=n=0an((c+R)c)n=n=0anRn.

Eins ef röðin er samleitin í punktinum x=cR þá er

limx(cR)+f(x)=f(cR)=n=0an((cR)c)n=n=0an(R)n.

10.2.3. Setning: Diffrað lið fyrir lið

Setning

Látum n=0an(xc)n=a0+a1(xc)+a2(xc)2+a3(xc)3+ vera veldaröð með miðju í c og samleitnigeisla R.

Fyrir x(cR,c+R) skilgreinum við

f(x)=n=0an(xc)n.

Fallið f er diffranlegt og

f(x)=n=1nan(xc)n1=a1+2a2(xc)+3a3(xc)2+

og röðin fyrir f(x) er samleitin fyrir öll x(cR,c+R).

Þetta þýðir að við getum diffrað veldaraðir lið fyrir lið.

Þar sem diffranleg föll eru samfelld þá fæst eftirfarandi.

10.2.4. Fylgisetning

Setning

Fallið f er samfellt á (cR,c+R).

10.2.5. Setning: Heildað lið fyrir lið

Setning

Látum n=0an(xc)n=a0+a1(xc)+a2(xc)2+a3(xc)3+ vera veldaröð með miðju í c og samleitnigeisla R.

Fyrir x(cR,c+R) skilgreinum við f(x)=n=0an(xc)n.

Fallið f hefur stofnfall

F(x)=n=0ann+1(xc)n+1=a0(xc)+a12(xc)2+a23(xc)3+a34(xc)4+

og röðin fyrir F(x) er samleitin fyrir öll x(cR,c+R).

Þetta þýðir að við getum heildað veldaraðir lið fyrir lið.

10.2.6. Setning

Setning

Látum n=0an(xc)n=a0+a1(xc)+a2(xc)2+a3(xc)3+ vera veldaröð með miðju í c og samleitnigeisla R.

Fyrir x(cR,c+R) skilgreinum við

f(x)=n=0an(xc)n.

Fallið f er k-sinnum diffranlegt fyrir k=1,2,3, og

ak=f(k)(c)k!.

10.2.7. Skilgreining: Fágað fall

Skilgreining

Fall f þannig að til er veldaröð n=0an(xc)n með samleitnigeisla R>0 þannig að

f(x)=n=0an(xc)n

fyrir öll x(cR,c+R) kallast fágað (raunfágað) í punktinum c.

10.2.8. Athugasemd

Athugasemd

Dæmi um fáguð föll eru margliður, ræð föll, hornaföll, veldisföll og lograr.

10.3. Taylorraðir

10.3.1. Skilgreining: Taylorröð

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall f(x) sé óendanlega oft diffranlegt í punktinum x=c, (það er f(k)(c) er til fyrir k=0,1,2,).

Veldaröðin

n=0f(n)(c)n!(xc)n=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2+f(c)3!(xc)3+f(4)(c)4!(xc)4+

kallast Taylorröð með miðju í x=c fyrir f(x).

Ef svo vill til að c=0 þá er oft talað um Maclaurinröð.

10.3.2. Setning

Setning

Taylormargliða með miðju í c fyrir f er skilgreind sem margliðan

Pn(x)=nn=0f(k)(c)n!(xc)n=f(c)+f(c)(xc)+f(c)2(xc)2++f(n)(c)n!(xc)n.

Skekkjan í n-ta stigs Taylornálgun er Rn(x)=f(x)Pn(x).

Til er tala X sem liggur á milli c og x þannig að

Rn(x)=f(n+1)(X)(n+1)!(xc)n+1.

10.3.3. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að f sé fall sem er óendanlega oft diffranlegt í punktinum c.

Fyrir fast gildi á x þá er Taylorröðin

n=0f(n)(c)n!(xc)n

samleitin með summu f(x) ef og aðeins ef

limnRn(x)=0.

10.3.4. Dæmi: Tvíliðuröðin

Fyrir x þannig að |x|<1 og rauntölu r gildir að

(1+x)r=1+rx+r(r1)2!x2+r(r1)(r2)3!x3+r(r1)(r2)(r3)4!x4+=1+n=1r(r1)(r2)(rn+1)n!xn.

10.3.5. Athugasemd

Athugasemd

Ef rN þá gefur summan að ofan einfaldlega stuðlanna þegar búið er að margfalda upp úr svigum, og summan er því endanleg, því þegar nr+1 þá verða stuðlarnir 0.

Ef hins vegar rN þá er enginn stuðlanna 0.

10.3.6. Taylorraðir nokkra falla

ex=n=0xnn!=1+x+x22+x33!+fyrir öll xsinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=xx33!+x55!x77!+fyrir öll xcosx=n=0(1)n(2n)!x2n=1x22!+x44!x66!+fyrir öll x11x=n=0xn=1+x+x2+x3+fyrir 1<x<11(1x)2=n=1nxn1=1+2x+3x2+4x3+fyrir 1<x<1ln(1+x)=n=1(1)n1nxn=xx22+x33x44+fyrir 1<x1tan1x=n=0(1)n2n+1x2n+1=xx33+x55x77+fyrir 1x1sinhx=n=0x2n+1(2n+1)!=x+x33!+x55!+x77!+fyrir öll xcoshx=n=0x2n(2n)!=1+x22!+x44!+x66!+fyrir öll x

10.3.7. Æfingadæmi

Æfingadæmi

Röðin n=0(1)n(2n+1)!22n+1x4n+2 er Taylor röð fallsins

Lausn

Við getum notfært okkur að sin(x)=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1 og skipt x út fyrir 2x2, þ.e.

sin(2x2)=n=0(1)n(2n+1)!(2x2)2n+1=n=0(1)n(2n+1)!22n+1x4n+2.

I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed to be.

– Douglas Adams, The Long Dark Tea-Time of the Soul