2. Vigrar

2.1. Táknmál

Vigur (e. vector) er stærðfræðilegt hugtak fyrir stærð sem hefur bæði stærð og stefnu.

Vigrar eru oftast táknaðir með striki eða ör fyrir ofan bókstafinn, \(\bar{a}\) , \(\vec{a}\) , en sumir setja strikið undir, \(\underline{a}\) . Í kennslubókum eru vigrar oft ekki yfirstrikaðir heldur aðeins feitletraðir, \(\boldsymbol{a}\) .

Þeir eru jafnan teiknaðir sem örvar í hnitakerfi og lýst með hnitum (e. coordinates). Hnit vigurs eru venjulegar tölur, líka kallaðar skalarstærðir (e. scalar), og lýsa staðsetningu endapunkts miðað við upphafspunkt. Hvert hnit er tengt einum ás í hnitakerfinu, yfirleitt rétthyrnt, sem notað er og stærð hnitsins (tölunnar) lýsir lengd vigursins í þá átt. Hnitin geta bæði verið jákvæð og neikvæð (eða núll).

Vigrar geta bæði verið tvívíðir, í venjulegu \(xy\)- hnitakerfi, eða þrívíðir, í \(xyz\)- hnitakerfi. Vigrar eru yfirleitt ritaðir sem pör (eða þrennur) af hnitum sínum, lárétt eða lóðrétt.

Ef vigurinn er tvívíður skrifum við:

\[\begin{split}\overline{a}= (a_x,a_y) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\end{split}\]

Ef vigurinn er þrívíður þá skrifum við:

\[\begin{split}\overline{a}= (a_x,a_y,a_z) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\a_z \end{pmatrix}\end{split}\]

þar sem \(a_x\) er lengd vigursins \(\bar{a}\) í stefnu \(x\) - áss, \(a_y\) er lengd vigursins \(\bar{a}\) í stefnu \(y\) - áss og \(a_z\) er lengd vigursins \(\bar{a}\) í stefnu \(z\) - áss.

2.1.1. Lengd vigurs

Lengd vigra er táknuð með lóðréttum strikum, algildismerkjum, \(|\bar{a}|\), eða einfaldlega bókstafnum án yfirstriksins, \(a\). Lengdina má reikna með jöfnu Pýþagórasar, ef vigur er tvívíður þá er heildarlengd vigurs:

\[|\bar{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\]

En ef hann er þrívíður þá er lengdin:

\[|\bar{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2+a_z^2}\]

Vigurinn á myndinni hér að ofan hefur lengd 4 eftir \(x\)-ásnum og 3 eftir \(y\)-ásnum, svo hnit hans eru \(a_x = 4\) og \(a_y = 3\) og vigurinn \(\bar{a}\) má þá rita:

\[\begin{split}\bar{a} = (a_x,a_y) = (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}\]

Vigurinn á myndinni hér að ofan hefur því lengdina \(a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) .

Athugasemd

Stærð og stefna vigurs er óháð því hvar í hnitakerfinu hann er.

2.1.2. Vigrar milli punkta

Algengt er að láta vigra liggja frá upphafspunkti hnitakerfisins (stöðu- eða staðarvigur) en það er hægt að reikna vigra á milli gefinna upphafs- og endapunkta. Vigurinn frá punktinum \(A=(x_1,y_1)\) til punktsins \(B=(x_2,y_2)\) er:

\[\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\end{split}\]

Ef við erum að skoða punkta í þrívíðu rúmi \(A=(x_1,y_1,z_1)\) og \(B=(x_2,y_2,z_2)\) þá er vigurinn á milli punktanna:

\[\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1, z_2-z_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\z_2-z_1 \end{pmatrix}\end{split}\]

Dæmi

Reiknum vigurinn frá punktinum \(A=(-1,7)\) til punktsins \(B=(5,2)\) .

Lausn

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 2-7 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Vigurinn \(\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\) er sá sami, hvort sem hann liggur á milli \(A\) og \(B\) eða frá upphafspunktinum til punktsins \((6,-5)\) .

2.1.3. Hallatala vigurs

Stundum er talað um að tvívíður vigur hafi hallatölu \(h=\frac{a_y}{a_x}\) , ef \(a_x\neq 0\) . Tveir vigrar eru samsíða ef þeir hafa sömu hallatölu.

Dæmi

Finnum vigur sem er samsíða \(\bar{a}=(-1,6)\) og hefur lengdina 9.

Lausn

Hallatala \(\bar{a}\) er \(h_{\bar{a}}=\frac{a_y}{a_x}=\frac{6}{-1}=-6\) . Þá vitum við að vigurinn sem við leitum að, \(\bar{b}\) , uppfyllir það sama:

\[h_{\bar{b}}=\frac{b_y}{b_x}=-6\]

sem er jafngilt því að \(b_y=-6b_x\) .

Skilyrðið að \(\bar{b}\) þurfi að hafa lengdina 9 gefur að:

\[|\bar{b}| = \sqrt{b_x^2+b_y^2} =9\]

Setjum \(b_y=-6b_x\) inn og fáum:

\[\begin{split}\begin{aligned} 9 &= \sqrt{b_x^2+b_y^2}\\ &=\sqrt{b_x^2+(-6b_x)^2} \\ &= \sqrt{b_x^2+36b_x^2} \\ &=\sqrt{37b_x^2} \\ &=b_x\sqrt{37} \\ b_x&=\frac{9}{\sqrt{37}} \approx 1.480\\ b_y&= -6b_x = \frac{-54}{\sqrt{37}} \approx -8.878 \end{aligned}\end{split}\]

Vigur sem er samsíða \(\bar{a}=(-1,6)\) og hefur lengdina 9 er því

\[\begin{split}\bar{b}= \frac{1}{\sqrt{37}} \begin{pmatrix} 9 \\ -54 \end{pmatrix}\end{split}\]

2.2. Að liða vigra

Vigra er annað hvort hægt að tákna með rétthyrndum hnitum, eins og við höfum gert hingað til, eða með pólhnitum, þá lýsum við vigri með lengd og stefnuhorni: \(\bar{a} = (a,\theta)\) . Hornið \(\theta\) er skilgreint frá jákvæðum \(x\)-ás og að vigrinum. Með þessum upplýsingum er hægt að liða vigurinn eftir \(x\)- og \(y\)-ás með því að nota hornaföll. Hér má finna efni um hornaföll.

Þættir vigursins eru föll af stefnuhorninu sem er yfirleitt merkt \(\theta\) eða \(\phi\) :

\[\begin{split}a_x = a\cos(\theta) \\ a_y = a\sin(\theta)\end{split}\]

þar sem \(a=|\bar{a}|\) er lengd vigursins.

Myndrænt má ímynda sér að ljósi sé lýst á \(x\)-ásinn með vasaljósi sem er hornrétt á ásinn. \(x\)-þáttur vigursins er þá eins og skuggi vigursins á \(x\)-ásnum. Þetta er líka kallað ofanvarp vigursins á \(x\)-ásinn.

Dæmi

Hér sjáum við aftur vigurinn frá því í upphafi kaflans:

\[\begin{split}\bar{a}= (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}\]

en nú skulum við athuga hvernig við getum lýst honum með lengd og stefnuhorni.

Lengd vigursins er eins og áður 5, en stefnuhornið finnum við með því að skoða skammhliðarnar.

\[\begin{split}\tan(\theta) = \frac{a_y}{a_x} = \frac{3}{4}\\ \theta\approx 0.6435\end{split}\]

Vigurinn \((4,3)\) má því líka skrifa sem \((a,\theta) = (5,0.6435)\)

Öllum vigrum er hægt að lýsa með annað hvort lengdum í \(x\)- og \(y\)- stefnu eða með lengd og stefnuhorni. Eins og við höfum séð er lítið mál að breyta á milli.

2.3. Einingarvigrar

Einingarvigrar eru vigrar sem hafa lengdina 1, en þeir eru oft merktir með höttum (\(\hat{e}\)) í staðinn fyrir yfirstrikum eða örvum. Einingavigrarnir \(\hat{\imath}\), \(\hat{\jmath}\) og \(\hat{k}\) liggja samsíða \(x\) - , \(y\) - og \(z\) - ásunum í rétthyrndu hnitakerfi .

\[\begin{split}\begin{aligned} \hat{\imath} &= \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{\jmath} &= \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{k} &= \begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Þeir eru líka stundum táknaðir með \(\hat{e}_x\), \(\hat{e}_y\) og \(\hat{e}_z\)

Einingarvigrarnir \(\hat{\imath}\), \(\hat{\jmath}\) og \(\hat{k}\) eru línulega óháðir (e. linearly independent), sem þýðir að engan þeirra er hægt að mynda úr hinum tveimur með samlagningu þeirra eða margföldun með tölu. Hvernig sem þú teygir á og raðar saman \(\hat{\imath}\) og \(\hat{\jmath}\) færðu aldrei út \(\hat{k}\) . Þessi eiginleiki kemur til vegna þess að einingarvigrarnir eru allir hornréttir á hvorn annan.

Alla vigra má skrifa sem skalarstærðir margfaldaðar við einingarvigrana:

\[\bar{a} = (a_x, \; a_y, \; a_z ) = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}\]

2.4. Samlagning vigra

Þegar vigrar eru lagðir saman eru hnit eftir hverjum ás fyrir sig lögð saman. Summa tveggja vigra \(\bar{a} = (a_x,a_y)\) og \(\bar{b} = (b_x,b_y)\) er:

\[\begin{split}\bar{c} = \bar{a} + \bar{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix}\end{split}\]

Fyrir þrívíða vigra gildir sambærilegt, en summa tveggja vigra \(\bar{a} = (a_x,a_y,a_z)\) og \(\bar{b} = (b_x,b_y,b_z)\) er:

\[\begin{split}\bar{c} = \bar{a} + \bar{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y, a_z+b_z) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \\ a_z+b_z \end{pmatrix}\end{split}\]

Dæmi

Leggjum saman vigrana \(\bar{a}=(4,3)\) og \(\bar{b}=(1,3)\) :

\[\bar{a}+\bar{b}=(4,3) + (1,3) = (4+1, 3+3) = (5,6)\]

Myndrænt má ímynda sér að upphafspunktur seinni vigursins sé settur í endapunkt fyrri vigursins, og summa þeirra er frá upphafspunkti fyrri vigursins til endapunkts þess seinni.

Athugasemd

Þegar vigrar eru lagðir saman þá leggjast lengdirnar yfirleitt ekki saman. Þó að \(\bar{c} = \bar{a} + \bar{b}\) þýðir það ekki að \(c = a + b\).

Í dæminu hér á undan er t.d.

\[\begin{split}c = |\bar{c}| = \sqrt{5^2+6^2} \approx 7,8 \\ a + b = \sqrt{4^2+3^2} + \sqrt{1^2+3^2} \approx 8,2\end{split}\]

Um samlagningu vigra gilda eftirfarandi reglur:

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} +\bar{b} &= \bar{b} + \bar{a} & \text{Víxlregla}\\ (\bar{a}+\bar{b})+\bar{c} &= \bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) & \text{Tengiregla} \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Höfum þrjá punkta:

\[\begin{split}\begin{aligned} A&=(x_1,y_1)=(1,2) \\ B&=(x_2,y_2)=(4,5) \\ C&=(x_3,y_3)=(3,-1) \\ \end{aligned}\end{split}\]

Reiknum nú vigrana á milli punktanna: \(\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\3\end{pmatrix} \\ &\\ \overline{AC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_1 \\ y_3-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ (-1)-2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -3\end{pmatrix} \\ &\\ \overline{BC} &= \begin{pmatrix} x_3-x_2 \\ y_3-y_2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3 - 4 \\ (-1) -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Hér eru punktarnir teiknaðir inn ásamt vigrunum \(\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}\) .

Af þessu dæmi má sjá innskotsregluna :

\[\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}\]

2.5. Innfeldi og krossfeldi

Þegar vigur \(\bar{v}\) er margfaldaður með tölu \(s\) er hver þáttur vigursins margfaldaður með tölunni:

\[\begin{split}\begin{aligned} s \cdot \bar{v} &= s\cdot (v_x, v_y, v_z) \\ &= (s \cdot v_x, s \cdot v_y, s \cdot v_z) \end{aligned}\end{split}\]

Margfeldi vigra er tvenns konar, innfeldi (punktfeldi, e. dot product, scalar product) og krossfeldi (e. cross product, vector product).

2.5.1. Innfeldi

Innfeldi tveggja vigra er táknað með punkti og útkoman er tala: \(c = \bar{a} \cdot \bar{b}\) . Ef þættir vigranna eru þekktir er innfeldið reiknað:

\[\boxed{ \bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y }\]

eða, ef vigrarnir eru þrívíðir:

\[\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]

Dæmi

Reiknum innfeldi vigranna \(\bar{a}=(7,8)\) og \(\bar{b}=(-1,3)\) :

Lausn

\[\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y = 7\cdot (-1)+ 8\cdot 3 = -7+24 =17\]

Innfeldið má líka reikna með:

\[\bar{a} \cdot \bar{b} = a b \cos{\phi}\]

þar sem \(\phi\) er hornið milli \(\bar{a}\) og \(\bar{b}\) þegar þeir hafa sama upphafspunkt.

Athugasemd

Tveir vigrar eru hornréttir ef innfeldi þeirra er núll.

Dæmi

Reiknum hornið á milli vigranna \(\bar{a}=(2,4)\) og \(\bar{b}=(4,2)\) :

Lausn

Við vitum að \(\bar{a} \cdot \bar{b} = a b \cos{\phi}\) , þar sem \(a\) og \(b\) eru lengdir vigranna. Lengdirnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \\ b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \end{aligned}\end{split}\]

Reiknum innfeldi vigranna:

\[\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y = 2\cdot 4+ 4\cdot 2 = 16\]

Því er

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \cdot \bar{b} &= a b \cos{\phi} \\ \cos{\phi} &= \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{a b} = \frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{20}\\ \phi &= 36.8 ° = 0.644 \text{Rad} \end{aligned}\end{split}\]

2.5.2. Krossfeldi

Krossfeldi (e. cross product) er táknað með krossi og útkoman er vigur: \(\bar{c} = \bar{a} \times \bar{b}\) . Krossfeldi koma mikið fyrir í eðlisfræði, sérstaklega í tengslum við rafsegulkrafta. Krossfeldi tveggja vigra \(\bar{a}=(a_x,a_y,a_z)\) og \(\bar{b}=(b_x,b_y,b_z)\) er:

\[\boxed{ \bar{c}=\bar{a} \times \bar{b} =(a_y b_z - a_z b_y, \quad a_z b_x - a_x b_z, \quad a_x b_y - a_y b_x) }\]

Þetta er löng runa til að muna utan að, en hér eftir kemur aðferð til að reikna krossfeldi.

Skrifum vigrana upp í tvær línur:

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \quad &\rightarrow \quad & a_x \quad a_y \quad a_z \\ \bar{b} \quad &\rightarrow \quad & b_x \quad b_y \quad b_z \end{aligned}\end{split}\]

Fyrsta stak krossfeldisins fæst með því að „fela“ fyrsta dálkinn (\(a_x\) og \(b_x\)) og margfalda hin stökin í kross og finna mismun. Þetta skýrist best grafískt:

Til að finna fyrsta stakið hunsum við fyrsta dálkinn, margföldum saman hornalínuna \(\searrow\) og drögum síðan frá margfeldið af hornalínunni \(\swarrow\). Fyrsta stak krossfeldisins er því

\[c_x=a_yb_z - a_zb_y\]

Til að finna annað stakið bætum við fyrsta dálkinum aftur við aftast, hunsum annan dálkinn, margföldum í kross yfir þriðja og fjórða dálkinn; fyrst \(\searrow\) og drögum síðan \(\swarrow\) frá. Annað stak krossfeldisins er því

\[c_y=a_zb_x - a_xb_z\]

Við finnum þriðja stak krossfeldisins með því að hunsa þriðja dálkinn og margfalda í kross yfir fyrsta og annan dálkinn. Fáum

\[c_z=a_xb_y-a_yb_x\]

Þannig sjáum við að krossfeldi vigranna \(\bar{a} = (a_x,a_y,a_z)\) og \(\bar{b} = (b_x,b_y,b_z)\) er:

\[\bar{c}=\bar{a} \times \bar{b} = (a_yb_z - a_zb_y,a_xb_z - a_zb_x,a_xb_y-a_yb_x)\]

Útkoma krossfeldisins er vigur sem er hornréttur á bæði \(\bar{a}\) og \(\bar{b}\). Hér er \(\bar{c} =\bar{a} \times \bar{b}\). Stefna \(\bar{c}\) ákvarðast af hægri handar reglunni:

Lengd krossfeldis \(\bar{a} \text{ og } \bar{b}\) má reikna úr frá lengdum vigranna og horninu á milli þeirra.

\[|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)\]

Athugasemd

Þegar krossfeldi er reiknað skiptir því máli hvor vigurinn er á undan.

\[\bar{a} \times \bar{b} = - \bar{b} \times \bar{a}\]

Dæmi

Reiknum krossfeldi vigranna \(\bar{a}=(1,2,3)\) og \(\bar{b}=(4,5,6)\).

Lausn

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \times \bar{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (2\cdot 6-3\cdot 5)\hat{\imath} + (3\cdot 4 - 1 \cdot 6) \hat{\jmath} + ( 1\cdot 5 - 2\cdot 4) \hat{k}\\ &= -3 \hat{\imath} +6 \hat{\jmath} - 3\hat{k}\\ &= (-3,6,-3) \end{aligned}\end{split}\]

Æfingadæmi Reiknið krossfeldi vigranna \(\overline{a}= (-1,3)\) og \(\overline{b}=(3,1)\)

\((0,0,6)\)
\(0\)
\((0,0,-6)\)
\(6\)

Lausn

Þegar við reiknum krossfeldi vigra sem liggja í \(xy\)-planinu, þá setjum við \(a_z=0\) og \(b_z=0\). Við skulum nota formúluna sem var gefin hér að ofan

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \times \bar{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (3\cdot 0- 0\cdot 1)\hat{\imath} + (0\cdot 3- (-1)\cdot 0 )\hat{\jmath} + ((-1)\cdot 3 - 3\cdot 1)\hat{k}\\ &= (0,0,-6) \end{aligned}\end{split}\]

Þar sem \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) voru báðir í \(xy\)- planinu og krossfeldi þeirra þarf að vera hornrétt á þá báða þá erum við ekki hissa þó að niðurstaðan okkar sé að krossfeldið sé samsíða \(z\)- ásnum.

Dæmi

Reiknum hornið milli vigranna \(\bar{a}=(1,2,3)\) og \(\bar{b}=(4,5,6)\).

Lausn

Þetta dæmi er bæði hægt að leysa með því að nota regluna um krossfeldi: \(|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)\) eða regluna um innfeldi: \(\overline{a}\cdot \overline{b} = ab\cos(\phi)\) og auðvitað er niðurstaðan sú sama sama hvor reglan er notuð.

Notum nú regluna \(|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)\) og byrjum á því að reikna lengd vigranna:

\[\begin{split}\begin{aligned} |\bar{a}| &=\sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |\bar{b}| &=\sqrt{4^2+5^2+6^2} = \sqrt{77} \\ |\bar{a} \times \bar{b}| &= \sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54} \end{aligned}\end{split}\]

Þá fáum við:

\[\begin{split}\begin{aligned} \sin(\phi) &= \frac{|\bar{a} \times \bar{b}| }{|\bar{a}| |\bar{b}|} \\ &=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{14}\sqrt{77}} \\ &=\sqrt{\frac{54}{1078}}\\ \phi&\approx0.226 \text{ Rad} \\ \phi&\approx 13° \\ \end{aligned}\end{split}\]