11. Diffrun
11.1. Skýringardæmi
Áður en við skilgreinum
afleiðu
en: derivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Við skulum hugsa okkur bíl í spyrnukeppni á 500 metra braut. Áður en bíllinn fer af stað er sett í hann nákvæmt staðsetningartæki sem getur teiknað upp graf sem lýsir staðsetningu hans á brautinni miðað við tímann sem er liðinn frá upphafi spyrnunnar.
Bíllinn fer af stað og keyrir brautina á nákvæmlega tíu sekúndum. Eftir keppnina er staðsetningartækið skoðað og það sýnir að staðsetningu bílsins sem fall af tíma megi lýsa með formúlunni:
þar sem \(t \in [0, 10]\) táknar tímann frá upphafi spyrnunnar mældan í sekúndum og \(s(t)\) er vegalengdin sem bíllinn var þá búinn að keyra mæld í metrum.
Þessi formúla segir okkur til dæmis að eftir fjórar sekúndur var bíllinn búinn að keyra 80 metra því \(s(4) = 5 \cdot 4^2 = 80\); og eftir átta sekúndur var bíllinn búinn að keyra \(320\) metra þar eð \(s(8) = 5\cdot 8^2 =320\).
Eins og við má búast er \(s(0) = 0\) sem þýðir að eftir núll sekúndur stóð bíllinn enn óhreyfður, og \(s(10) = 500\), í samræmi við að bíllinn hafi keyrt brautina sem var \(500\) metrar á tíu sekúndum.
Úr formúlunni er þó hægt að fá meiri upplýsingar heldur en bara staðsetningu bílsins. Þessi formúla dugar líka til þess að reikna út hraða bílsins á sérhverjum tímapunkti. Skoðum hvernig það er gert og prófum að reikna nákvæman hraða bílsins að fjórum sekúndum liðnum í spyrnunni.
Athugum að meðalhraði bílsins yfir ákveðið tímabil er skilgreindur sem vegalengdin sem bíllinn fer á því tímabili deilt með lengdinni á tímabilinu. Þannig var til dæmis meðalhraði bílsins í allri spyrnunni \(50\) metrar á sekúndu því hann fór \(500\) metra á \(10\) sekúndum og \(\frac{500}{10} = 50\).
Áður en við getum reiknað út nákvæman hraða bílsins á tímanum \(t = 4\) skulum við skoða meðalhraða bílsins á nokkrum tímabilum.
Skoðum fyrst meðalhraða bílsins á tímabilinu frá fjórum upp í átta sekúndur. Á sekúndu átta er bíllinn kominn \(5 \cdot 8^2 = 320\) metra. Á sekúndu fjögur er bíllinn kominn \(5 \cdot 4^2 = 80\) metra. Vegalengdin sem hann færist á tímabilinu frá fjórum til átta sekúndur er þá \(320 − 80 = 240\) metrar. Lengdin á þessu tímabili er fjórar sekúndur. Meðalhraði bílsins á tímabilinu frá fjórum upp í átta sekúndur er þá:
\[\frac{230}{4} = 57.5 \text{ m/s}\]Hér er hallatala línunar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((8, s(8) = 320)\) jöfn \(57.5\).
Skoðum næst meðalhraða bílsins frá fjórum upp í sex sekúndur. Vegalengdin sem hann fer á því tímabili er \(5 \cdot 6^2 −5 \cdot 4^2 = 100\) metrar. Lengdin á tímabilinu er \(6 − 4 = 2\) sekúndur. Meðalhraði bílsins er þá:
\[\frac{100}{2} = 50 \text{ m/s}.\]Hér er hallatala línunnar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((6, s(6) = 180)\) jöfn \(50\).
Skoðum meðalhraða bílsins frá fjórum upp í fimm sekúndur. Hann er:
\[\frac{5 \cdot 5^2 - 5 \cdot 4^2}{5 -4} = \frac{45}{1} = 45 \text{ m/s}.\]Hér er hallatala línunar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((5, s(5) = 125)\) jöfn \(45\).
Meðalhraði bílsins frá fjórum upp í fjórar og hálfa sekúndu er:
\[\frac{5 \cdot4.5^2 - 5 \cdot 4^2}{ 4.5-4} = \frac{21.25}{0.5} = 42.5 \text{ m/s}.\]
Meðalhraði bílsins frá fjórum upp í \(4.25\) sekúndu er:
\[\frac{5 \cdot4.25^2 - 5 \cdot 4^2}{ 4.25-4} = \frac{10.3125}{0.25} = 41.25 \text{ m/s}.\]
Nú eruð þið kannski farin að átta ykkur á hvað er að fara að gerast. Með því að stytta tímabilið meira og meira þá verður meðalhraðinn nær og nær raunverulega hraðanum í tímanum \(t = 4\).
Þetta er farið að líkjast því að taka
markgildi
en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Þegar við styttum tímabilið meir og meir þá erum við í raun að láta töluna hér að ofan stefna á fjóra.
Þess vegna fáum við að nákvæmur hraði bílsins á tímanum \(t = 4\) er:
Það er að segja, nákvæmur hraði bílsins þegar akkúrat fjórar sekúndur eru liðnar er \(40\) metrar á sekúndu.
Hér fór mikið púður í að reikna út hraða bílsins á einum tímapunkti. Segjum að við viljum reikna út hraða bílsins í hundrað mismunandi tímapunktum, þá yrði þreytandi að þurfa að reikna út hundrað mismunandi markgildi. Skynsamlegra væri að reyna að finna út nákvæma formúlu sem gefur upp hraða bílsins á sérhverjum tíma. Það er hægt!
Til þess að reikna út hraða bílsins á tímanum \(t=4\) þá þurftum við að reikna út markgildið:
Ef við viljum reikna út hraða bílsins á einhverjum öðrum tíma \(t=t_0\) þá reiknum við markgildið:
En þetta er eitthvað sem að við getum reiknað út almennt fyrir hvert fall sem lýsir staðsetningu:
Við höfum séð að á tímanum \(t=t_0\) þá er hraði bílsins \(10t_0\) m/s Með öðrum orðum þá má lýsa hraða bílsins af tíma með fallinu sem gefið er með formúlunni
Af þessu má lesa að hraði bílsins á sekúndu fjögur er \(4\cdot 10=40\) m/s og hraði bílsins á sekúndu átta er \(8\cdot 10=80\) m/s. Munum að bíllinn byrjar kyrrstæður svo það kemur ekki á óvart að \(v(0)=0\) sem má túlka sem svo að hraði bílsins á sekúndunni núll sé núll.
Hér sjáum við línu sem er með hallatöluna \(40\) í punktinum \((4, s(4) = 80)\) sem gefur okkur línuna \(y = 40x -80\).
Aðferðin sem hér var notuð kallast
diffrun
en: derivation, differentiation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
11.2. Skilgreining
Skilgreining
Gerum ráð fyrir að \(f:\;I\to \mathbb{R}\) sé fall sem er skilgreint á bili \(I\). Látum \(a\in I\). Fallið \(f\) er sagt vera diffranlegt en: differentiability
(deildanlegt) í punktinum \(a\) ef að markgildið
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]er skilgreint og jafnt einhverri rauntölu (ekki plús eða mínus óendanlegt). Þessi rauntala er táknuð með \(f'(a)\) og kallast afleiða fallsins \(f\) í punktinum \(a\).
Þegar afleiða fallsins \(f\) er reiknuð í ótilteknum punkti getur verið þægilegra að notast við umritaða skilgreiningu:
\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]Ef fallið \(f\) er deildanlegt í sérhverjum punkti bilsins \(I\) þá segjum við að \(f\) sé diffranlegt (deildanlegt) fall á \(I\) og þá er afleiðan \(f'\) fall á \(I\). Aðgerðin að finna afleiðu falls kallast diffrun en: derivation, differentiation
(deildun) falls og yfirleitt er talað um sögnina að diffra en: differentiate
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.(deilda).
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Dæmi
Notið skilgreininguna á afleiðu til að reikna afleiðu fallanna.
1. \(f(x) = 2x^2-16x+5\)
Notum skilgreininguna á afleiðu \(f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(a)}{h}\) sem gefur
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\left(2(x+h)^2 - 16(x+h) +5\right)-\left(2x^2 - 16x + 5\right)}{h}\]Sjáum að við þurfum að umrita til að fá markgildi sem við getum reiknað, því við getum ekki sett \(h= 0\) strax.
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{\left(2(x+h)^2 - 16(x+h) +5\right)-\left(2x^2 - 16x + 5\right)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{2x^2+4xh + 2h^2 - 16x -16h +5 -2x^2 + 16x-5}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{4xh + 2h^2 - 16h}{h} \end{aligned}\end{split}\]Hér getum við tekið \(h\) út fyrir sviga og stytt það út:
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{4xh + 2h^2 - 16h}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{h(4x + 2h- 16)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} 4x +2h - 16\\ &= 4x + 2(0) -16\\ &= 4x - 16 \end{aligned}\end{split}\]Þá er afleiðan \(f'(x) = 4x-16\) .
2. \(g(x) = \frac{x}{x+1}\)
Notum skilgreininguna á afleiðu \(g'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(a)}{h}\) sem gefur
\[g'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right)\]Hér þurfum við líka að umrita til að geta sett \(h=0\)
\[\begin{split}\begin{aligned} g'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{(x+h)(x+1)- x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{x^2 +x +xh+h -(x^2+xh+x)}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{(x+h+1)(x+1)} \\ &= \frac{1}{(x+1)(x+1)}\\ &= \frac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}\end{split}\]Þá er afleiðan \(g'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}\).
Aðvörun
Ritháttur: Takið eftir að
\[f'(x), \qquad f', \qquad \frac{df}{dx}, \qquad \frac{d}{dx} f(x), \text{ og } \qquad D_x f\]eru mismunandi rithættir fyrir „afleiða \(f(x)\) m.t.t. \(x\).“
11.3. Reiknireglur
Setning
Gerum ráð fyrir að \(f,g\) séu deildanleg föll á \(\mathbb{R}\). Látum \(a\in \mathbb{R}\) vera fasta.
Þá gildir:
\[\begin{split}\begin{aligned} 1.& \quad (a\cdot f)'=af' \\ &\\ 2.& \quad (f+g)'=f'+g' \\ &\\ 3.& \quad (f-g)'=f'-g' \\ &\\ 4.& \quad (f\cdot g)'=f'g+fg' \\ &\\ 4.& \quad (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g' \\ \end{aligned}\end{split}\]Ef \(g(x)\) er ekki jafnt núlli fyrir öll \(x\in I\), þá gildir einnig:
\[\begin{split}\begin{aligned} 6.& \quad \left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{-g'}{g^2} \\ &\\ 7.& \quad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} \\ \end{aligned}\end{split}\]Ef \(f\) er andhverfanlegt og \(f(x_0)=y_0\) þá er
\[8. (f^{-1})'\circ f=\frac{1}{f'}\]
11.4. Þekktar afleiður
Setning
Ef \(a\) er fasti og \(f(x)=a\) þá er
\[f'(x)=0\]
Ef \(n\in \mathbb{N}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
Ef \(n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^{n}\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
Ef \(n\in \mathbb{Q}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
Ef \(n\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=a^x\) þá er
\[f'(x)=\ln(a)a^x\]
Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=\log_a(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\ln(a)x}\]
Ef \(f(x) = \ln(x)\) þá er
\[f'(x) = \frac{1}{x}\]
Ef \(f(x) = e^x\) þá er
\[f'(x) = e^x\]
Ef \(f(x)=\cos(x)\) þá er
\[f'(x)=-\sin(x)\]
Ef \(f(x)=\sin(x)\) þá er
\[f'(x)=\cos(x)\]
Ef \(f(x)=\tan(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\]
Ef \(f(x)=\cot(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{\sin^2(x)}\]
Ef \(f(x)=\text{arcsin(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
Ef \(f(x)=\text{arccos(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\]
Ef \(f(x)=\text{arctan(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\]
Ef \(f(x)=\text{arccot(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{1+x^2}\]
Dæmi
Notum okkur nú reiknireglurnar og þekktar afleiður til að reikna eftirfarandi afleiður.
1. \(f(x) = 2x^2-16x+5\)
Við vitum út frá reiknireglu 2, \((f+g)'=f'+g'\) sem þýðir að við getum horft á hvern lið sér og svo lagt þá saman að lokum. Byrjum á að nota okkur að \(f(x)=x^n\) gefur \(f'(x)=nx^{n-1}\) og reiknireglu 1, \((a\cdot f)'=af'\)
þá er afleiðan af \(2(x^2)\) jöfn \(2(2x^{2-1}) = 4x\)
þá er afleiðan af \(16x\) jöfn \(16(1x^{1-1} )= 16\)
munum líka að afleiða fastafalls er jafnt og núll, þ.e.a.s. afleiða \(5\) er \(0\)
Leggjum alla liðina saman og fáum \(f'(x) = 4x + 16 + 0\)
Þá er afleiðan
\[f'(x) = 4x + 16\]2. \(h(x) = \frac{x}{x+1}\)
Hér þurfum við að nota reiknireglu 7. \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
nefnarinn gefur okkur \(1\) þar sem afleiða \(x\) er \(1\)
teljarinn gefur okkur líka \(1\) þar sem afleiða \(x\) er \(1\) og afleiða \(1\) er \(0\)
Setjum þessar niðurstöður inn í reikniregluna (í þessu tilfelli er \(f = x\), \(g = x+1\), \(f' = 1\) og \(g' = 1\))
\[\begin{split}\begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)' &=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\ (\frac{x}{x+1})' &= \frac{(1) \cdot (x+1) - (x) \cdot (1)}{(x+1)^2}\\ &= \frac{(x+1)- x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}\end{split}\]Þá er
\[h'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}.\]3. \(g(x) = \cos(\ln(x))\)
Hér notum við reiknireglu 5, \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\). Notum okkur líka þekktu afleiðurnar \(f(x)=\cos(x)\) þá er \(f'(x)=-\sin(x)\) og ef \(f(x) = \ln(x)\) þá er \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Fáum
\[g'(x) = -\sin(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-\sin(\ln(x))}{x}.\]4. \(k(x) = 3^x \cdot \sin(x^5)\)
Hér þurfum við að nota tvær reiknireglur 5, \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\) og 4, \((f\cdot g)'=f'g+fg'\). Notum okkur líka þekktu afleiðurnar \(f(x)=\sin(x)\) þá er \(f'(x)=\cos(x)\) og \(f(x)=a^x\) þá er \(f'(x)=\ln(a)a^x\). Fáum
\[g'(x) = ln(3) \cdot 3^x \cdot \sin(x^5) + 3^x \cdot cos(x^5) \cdot 5x^4.\]