10. Markgildi

10.1. Markgildi falls

Áður en að við skilgreinum markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. falls en: function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. formlega skulum við taka dæmi til að útskýra hver hugmyndin er. Skilgreinum fall:

$$g:\;\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}, \qquad g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

Tökum eftir að við látum fallið $g$ ekki vera skilgreint í punktinum $x=0$ til að komast hjá því að deila með núlli.

Það getur hins vegar verið áhugavert að skoða hvernig fallið hagar sér nálægt punktinum $x=0$. Teiknum mynd af fallinu $g$:

Við notum vasareikni til að reikna nokkur gildi á $g$ og merkjum inn í hnitakerfið en: coordinate system, system of coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. punktana $(x,g(x))$. Athugum að fallið er jafnstætt en: even
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. svo $g(-x)=g(x)$ fyrir öll $x$.

$$\begin{split}\begin{aligned} g(-1) &=g(1) \approx 0,841470984 \\ g(-0,5) &=g(0,5)\approx 0,958851077\\ g(-0,25) &=g(0,25)\approx 0,989615837 \\ g(-0,1) &=g(0,1)\approx 0,998334166 \\ g(-0,001) &= g(0,001) \approx 0,9999833 \end{aligned}\end{split}$$

Takið sérstaklega eftir því að fallið virðist ekki fara upp eða niður í óendanleikann þegar við nálgumst gildið $x=0$. Öllu heldur þá virðist fallið stefna á gildið $1$!

Við höfum séð að ef $x_0$ er tala sem er mjög nálægt núlli þá verður fallgildið $g(x_0)$ mjög nálægt því að verða $1$.

Munum að fallið $g$ er ekki skilgreint í núlli, hins vegar höfum við sér orðalag fyrir svona tilvik. Við segjum að markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins $g$ í núlli sé einn. Einnig má segja að $g(x)$ stefni á einn þegar $x$ stefnir á núll. Á táknmáli er skrifað

$$\lim_{x\to 0}g(x)=1.$$

Þetta er hægt að gera almennt.

Látum nú $a$ vera stak í bilinu en: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $I$ í $\mathbb{R}$. Látum $f:\;I\setminus\{a\}\to \mathbb{R}$ vera eitthvað fall og $b\in \mathbb{R}$ vera tölu. Við segjum að markgildi fallsins $f$ í punktinum $x=a$ sé $b$ ef fyrir allar tölur $x_0$ sem eru nálægt tölunni $a$ þá er talan $f(x_0)$ nálægt tölunni $b$. Þá skrifum við

$$\lim_{x\to a}f(x)=b.$$

Setjum fram skilgreininguna á markgildi.

10.1.1. Skilgreining

Gerum ráð fyrir að $I\subset \mathbb{R}$ sé bil í $\mathbb{R}$ og að $a\in I$ sé punktur á bilinu sem er hvorugur endapunkta þess.

Gerum ráð fyrir að $f:\; I\setminus\{a\}\to \mathbb{R}$ sé fall og að $b\in \mathbb{R}$ sé tala.

Við segjum að markgildi fallsins $f$ í punktinum $a$ sé $b$ og ritum

$$\lim_{x\to a}f(x)=b$$

ef að eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhvert $\epsilon>0$ er til $\delta>0$ þannig að ef

$$|x-a|<\delta,$$

þá er

$$0<|f(x)-b|<\epsilon.$$

Athugasemd

Í þessari skilgreiningu má ímynda sér að $\epsilon$ og $\delta$ séu rosalega litlar tölur.

Ójafnan $|x-a|<\delta$ þýðir þá að $x$ sé rosalega nálægt því að vera $a$ og ójafnan $0<|f(x)-b|<\epsilon$ þýðir að $f(x)$ er rosalega nálægt því að vera $b$.

Athugum að $a$ og $b$ geta verið hvaða tölur sem er, jafnvel $\pm \infty$.

Aðvörun

Við segjum að markgildi fallsins sé til ef fallið stefnir á rauntölu.

Ef fall stefnir á $+ \infty$ eða $-\infty$ segjum við að markgildið sé ekki til .

---

Skoðum ræða fallið $f(x) = \frac{x}{x-1}$ .

Hvert er markgildi $f$ þegar $x$ stefnir á 1?

Þegar við skoðum bláa grafið vinstra megin við vandræðapunktinn tekur fallið snögga dýfu niður í $-\infty$ þegar það nálgast 1. Þetta köllum við að skoða vinstra markgildi og táknum með litlum mínus í hávísi. Í þessu tilviki myndum við skrifa:

$$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{x-1} = -\infty$$

Hins vegar, þegar við eltum rauða ferilinn hægra megin við vandræðapunktinn stefnir fallið hratt upp í $+\infty$ þegar það nálgast 1. Þetta köllum við hægra markgildi og táknum með litlum plús í hávísi. Í þessu tilviki myndum við skrifa:

$$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x-1} = \infty$$

Athugasemd

Þegar hægra markgildi og vinstra markigildi falls í punkti er ekki það sama þá er markgildið ekki til.

Markgildi $f(x)$ í punktinum $x=a$ er ekki til nema ef

$$\lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^-} f(x)$$

Aðvörun

Skoðum myndræn dæmi þar sem markgildið er ekki til.

Hér er fallið ekki að stefna á eitt gildi í punktinum $a$, því það er ekki að stefna á sama gildi hægra megin og vinstra megin. Markgildið er því ekki til.

Hér stefnir fallið á $\infty$ í punktinum $a$ og því er markgildið ekki til.

Ef við höfum markgildið $\lim_{x \to c} f(x)$ þar sem fallið er rætt, það er að segja á forminu $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, þá þarf að passa að $q(c) \neq 0$. Þá verða markgildisreikningarnir einfaldir, sjá dæmi 1 og 2.

Dæmi

Finnið markgildin:

1.

$\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{x^3-x^2+1}$.

Hér er $q(x)=x^3-x^2+1$ og $q(2)=2^3-2^2+1=5\not=0$

Hér er $2$ í skilgreiningarmenginu svo til þess að reikna markgildið er gildinu einfaldlega stungið inn. Markgildið er því:

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{x^3-x^2+1}=\frac{2^3+2\cdot 2^2}{2^3-2^2+1}=\frac{16}{5}$$

2.

$\lim_{x\to 4}\frac{x^3-4x^2-4x+16}{x^2-16}$ .

Hér er $q(x)=x^2-16$ og $p(x)=x^3-4x^2-4x+16$ .

Við tökum eftir að $q(4)=0$ og $p(4)=0$.

Prófum að stytta út þætti. Við getum umritað $p(x) = (x-2)(x+2)(x-4)$ og $q(x)=(x-4)(x+4)$ og sjáum að $(x-4)$ er sameiginlegur þáttur sem styttist út.

Fáum því markgildið:

$$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x\to 4}\frac{x^3-4x^2-4x+16}{x^2-16} &= \lim_{x\to 4} \frac{(x-2)(x+2)(x-4)}{(x-4)(x+4)} \\ &=\lim_{x\to 4}\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)}\\ &=\frac{(4-2)(4+2)}{4+4}\\ &=\frac{12}{8}\\ &=\frac{3}{2} \end{aligned}\end{split}$$

3.

Látum $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \qquad f(x)=x$.

Sýnið að $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ .

Þetta verður nánast augljóst ef grafið er teiknað. Hér setjum við lítinn hring í punktinn $(1, 1)$ því fallið er ekki skilgreint þar.

Það er því ljóst að fallið stefnir á punktinn $(1, 1)$ frá báðum áttum.

4.

Látum $f : \mathbb{R} \setminus \{4\} \to \mathbb{R} \qquad f(x) = \sqrt{x}$. Sýnið að $\lim_{x \to 4} = 2$.

Aftur er nánast augljóst hvert markgildið er. Ef ferill fallsins $f$ er teiknaður upp sést greinilega að hann stefnir á punktinn $(4, 2)$. Það er að segja, það sést að markgildi fallsins er tveir.

Við skulum sýna þetta formlega. Látum $\epsilon > 0$ vera einhverja gefna tölu. Sýna þarf að til sé $\delta>0$ þannig að $|x−4|<\delta$ hafi í för með sér að $| x−2|<\epsilon$. Látum $\delta = 2 \cdot \epsilon$. Þá fæst að ef $|x − 4| < \delta$ þá er

$$\begin{split}\begin{aligned} |f(x) - 2| &= |\sqrt{x} - 2|,\\ & = \frac{|\sqrt{x} - 2||\sqrt{x} + 2|}{|\sqrt{x} + 2|},\\ & = \frac{|x - 4|}{|\sqrt{x} + 2|},\\ & \leqq \frac{|x-4|}{|2|} \leqq \frac{\delta}{2} = \epsilon. \end{aligned}\end{split}$$

10.2. Gerðir markgilda

Hér er samantekt af helstu gerðum markgilda:

1. $\quad \lim_{x \to a} f(x) \qquad \qquad \quad$ markgildið af $f(x)$ þegar $x$ stefnir á $a$

2. $\quad \lim_{x \to a+} f(x) \qquad\qquad\;$ markgildið af $f(x)$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá hægri

3. $\quad \lim_{x \to a-} f(x) \qquad \qquad \;$ markgildið af $f(x)$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá vinstri

4. $\quad \lim_{x\to +\infty} f(x) \qquad \qquad$ markgildið af $f(x)$ þegar $x$ stefnir á plús óendanlegt

5. $\quad \lim_{x\to -\infty} f(x) \qquad \qquad$ markgildið af $f(x)$ þegar $x$ stefnir á mínus óendanlegt

---

Skoðum markgildið $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n}$ fyrir öll $n \in \mathbb{N}_+$

Byrjum á $n=1$, þá er augljóst að

$$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0$$

því ef $x$ er stórt þá er $\frac{1}{x}$ lítið. Því er $\frac{1}{x}$ að minnka þegar $x$ er að stækka.

Ef $n=2$ þá er líka augljóst að

$$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2} = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x}\right)^2 = 0$$

vegna þess að

$$\begin{split}\begin{aligned} x&\leq x^2 \quad & \forall x \geq 1\\ \frac{1}{x^2} &\leq \frac{1}{x} \quad &\forall x \geq 1 \end{aligned}\end{split}$$

Þegar við hækkum veldið á $x$ í nefnaranum þá minnkar $\frac{1}{x}$ hraðar, því $x$ er að stækka hraðar.

Við sjáum því að $\frac{1}{x^n}$ stefnir á núll þegar $x$ stefnir á $\infty$ fyrir allar jákvæðar heiltölur tölur $n$.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \qquad \forall n \in \mathbb{Z}_+$$

---

En hvað með markgildið $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}$ ?

Þegar við nálgumst núll ofan frá erum við að deila með sífellt minni tölu. Þá fáum við sífellt stærri tölu út:

$$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{1}{2} <\frac{1}{1}<\frac{1}{0.5} <\frac{1}{0.1} <\frac{1}{0.001}\\ &0.5<1<2<10 < 1000 \end{aligned}\end{split}$$

Því hlýtur

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n} = \infty$$

---

Skoðum nokkur dæmi:

Dæmi

Finnið eftirfarandi markgildi:

Hér munum við láta rökstuðning duga í staðinn fyrir að nota formlegu skilgreiningarnar.

1. $\lim_{x\to 0}\frac{1}{(2^x-1)^2}$

Þegar $x$ stefnir á núll þá stefnir $(2^x-1)^2$ á núll (því $2^0=1$) svo að $\frac{1}{(2^x-1)^2}$ stefnir annað hvort á plús eða mínus óendanlegt. Þar sem $\frac{1}{(2^x-1)^2}=\left(\frac{1}{2^x-1}\right)^2$ er stæða í öðru veldi þá er hún alltaf jákvæð. Hún hlýtur því að stefna á plús óendanlegt, við skrifum

$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{(2^x-1)^2}=\infty.$$

Sjáum út frá mynd að fallið stefnir á plús óendalegu þegar $x$ stefnir á $0$ frá báðum áttum.

2. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{1}{\cos(x)}$

Þegar $x$ stefnir á $\pi/2$ þá stefnir $\cos(x)$ á núll svo $\frac{1}{\cos(x)}$ stefnir á plús eða mínus óendanlegt. Þekkt er að $\cos(x)$ er jákvætt ef $0<x<\pi/2$. Stæðan $\frac{1}{\cos(x)}$ er þess vegna jákvæð á sama bili og þess vegna stefnir hún á plús óendanlegt ef $x$ nálgast $\pi/2$ frá vinstri. Við skrifum

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\frac{1}{\cos(x)}=\infty.$$

Hér er fallið með aðfellu en: asymptote
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í $\frac{\pi}{2}$ sem þýðir að fallið tekur ekki gildi í $\frac{\pi}{2}$ en við sjáum að fallið er að stefna á plús óendanlegt frá vinstri.

10.3. Reikniaðgerðir á markgildum

Þegar markgildi eru reiknuð gilda reiknireglur sem ættu ekki að koma á óvart.

Gerum ráð fyrir að $f$ og $g$ séu föll og að $c\in \mathbb{R} \cup\{-\infty,\infty\}$ Gerum ráð fyrir að bæði markgildin

$$\lim_{x\to c}f(x)\qquad \text{og}\qquad \lim_{x\to c}g(x)$$

séu skilgreind og að hvorugt þeirra sé jafnt plús eða mínus óendanlegu. Gerum ráð fyrir að $k\in\mathbb{R}$ sé fasti. Þá gildir:

$$\begin{split}\begin{aligned} 1. & \qquad \lim_{x\to c}k=k \\ \quad\\ 2. & \qquad \lim_{x\to c} \left(kf(x) \right)=k \cdot \left(\lim_{x\to c}f(x)\right) \\ \quad\\ 3. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x) \\ \quad\\ 4. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)-g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x) \\ \quad\\ 5. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)\cdot g(x)\right)= \left( \lim_{x\to c}f(x) \right)\cdot \left(\lim_{x\to c}g(x) \right) \\ \quad\\ 6. & \qquad \lim_{x\to c} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \qquad \text{ef} \qquad \lim_{x\to c}g(x)\not=0 \end{aligned}\end{split}$$

Dæmi

Finnið eftirfarandi markgildið ef það er til.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + 5x +1}$$

Við byrjum á því að deila með $x^2$ fyrir ofan og neðan strik. Við notum svo reiknireglurnar fyrir afganginn og þá staðreynd að $\frac{1}{x^n}$ stefnir á núll þegar $x$ stefnir á $\infty$ fyrir allar náttúrulegar tölur $n$.

$$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + 5x +1} &= \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{\lim_{x \to \infty}( 1 + \frac{1}{x^2})}{\lim_{x \to \infty}( 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})} \\ &=\frac{\lim_{x \to \infty}1+\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}}{\lim_{x \to \infty}2+\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} +\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}} \\ &=\frac{1+0}{2+0+0}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}\end{split}$$

Dæmi

Finnið markgildið:

$$\lim_{x\to \infty}\frac{(\sin(x))^2}{x}.$$

Auðvelt er að sjá að fallið $\frac{1}{x}$ stefnir á núll þegar $x$ stefnir á óendanlegt. Þekkt er að $|\sin(x)|\leq 1$ fyrir öll $x$ og því fæst að $0\leq (\sin(x))^2 \leq 1$ fyrir öll $x$. Þegar $x$ er stórt er því $\frac{1}{x}$ nálægt núlli og $(\sin(x))^2$ er á milli núll og einn. En þá er auðvelt að sjá að

$$\frac{(\sin(x))^2}{x}=(\sin(x))^2\frac{1}{x}$$

er nálægt núlli svo að markgildið er núll. Hér notuðum við reiknireglu 5.

Við skrifum:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{(\sin(x))^2}{x}=0.$$

Sjáum á grafinu að þegar við förum lengra eftir $x$-ás nálgast fallið $0$.

Dæmi

Finnið markgildið:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{2x+1}$$

Þegar $x$ stefnir á stærri og stærri tölur byrjar $1$ að skipta minna máli því hann er mikið minni í samanburði við það sem $x$ stefnir á. Þá erum við komin með einfaldara markgildi til að skoða:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{2x}$$

Hér getum við stytt út $x$-in og fáum að

$$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

10.4. Samfelld föll

Óformlega má segja að fall $f$ sé samfellt Ekki fannst þýðing á hugtakinu: samfellt ef að hægt er að teikna feril þess á blað með blýanti án þess að þurfa að lyfta blýantinum. Ef að fall er ekki samfellt segjum við að það sé ósamfellt Ekki fannst þýðing á hugtakinu: ósamfellt . Ef að fall $f$ er ósamfellt þá segjum við að það sé ósamfellt í þeim punktum þar sem lyfta þarf blýantinum af blaðinu.

Fallið að ofan er ósamfellt.

Fallið að ofan er samfellt.

Skilgreinum nú samfelldni:

10.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $f$ vera fall. Ef $f$ hefur markgildi í $a$ og $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ þá segjum við að $f$ sé samfellt í punktinum $a$.

Ef $f$ er samfellt á öllu skilgreiningarmengi en: argument domain, domain, domain carrier, index set, latent domain, range of arguments, set of definition, source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. sínu köllum við $f$ samfellt fall.

10.4.2. Reglur um samfelldni

Setning

Látum $f$ og $g$ vera raunföll á bili $I$ og samfelld í punktinum $a \in I$, þá gildir:

1. Fallið $f+g$ er samfellt í $a$.

2. Fallið $f \cdot g$ er samfellt í $a$.

3. Fallið $\frac{f}{g}$ er samfellt í $a$ ef $g(a) \neq 0$.

4. Gerum ráð fyrir að fallið $g$ sé samfellt í $f(a)$. Þá er $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ samfellt í $a$.

10.4.3. Nokkur þekkt samfelld föll

Áður en við skoðum dæmi þá skulum við telja upp nokkur samfelld föll sem við þekkjum:

1. Fallið $f(x)=x$ er samfellt.

2. Sérhver margliða er samfelld.

3. Sérhvert rætt fall er samfellt á skilgreiningarmengi sínu (þ.e. þar sem nefnarinn er ekki núll).

4. Fyrir allar náttúrlegar tölur $n$ þá er fallið $f(x)=x^{1/n}$ samfellt.

5. Ef $r \in \mathbb{R}$ er rauntala þá er fallið $f(x)=x^r$ samfellt.

6. Vísisföll eru samfelld.

7. Lograr eru samfelldir.

8. Hornaföllin eru samfelld.

9. Fallið $f(x)=|x|$ er samfellt.

Dæmi

Segjum til um hvort föllin eru samfelld eða ekki.

1.

$$f(x)=|x|+\cos(x^3)$$

Fallið $f$ er samsett úr föllunum $|x|$, $\cos(x)$ og $x^3$ sem eru öll samfelld föll. Þess vegna er $f$ samfellt.

2.

$$\begin{split}g(x) = \begin{cases} \hfill -1 \hfill & \text{ ef } x\leq 0,\\ \hfill 1 \hfill & \text{ ef } x>0.\\ \end{cases}\end{split}$$

Í punktinum $x=0$ tekur fallið $g$ stökk frá því að vera jafnt mínus einum í það að vera jafnt einum. Fallið er þess vegna ósamfellt í þeim punkti.

3.

$$\begin{split}h(x) = \begin{cases} \hfill \sin(x) \hfill & \text{ ef } x\leq 0,\\ \hfill x^2 \hfill & \text{ ef } x>0.\\ \end{cases}\end{split}$$

Föllin $\sin(x)$ og $x^2$ eru bæði samfelld. Fallið $h$ er því samfellt í öllum punktum nema kannski núllpunktinum. Nú er þekkt að $0^2=0$ og $\sin(0)=0$. Fallið $h$ stefnir þá á töluna núll í $x=0$ hvort sem að við nálgumst punktinn hægra eða vinstra megin frá. Fallið $h$ er þvi samfellt í núllpunktinum, og við höfum þá rökstutt að það er samfellt allstaðar.