9. Meira um föll

9.1. Andhverfur

Þegar kemur að andhverfum en: inverse, inverse number, reciprocal, reciprocal number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. falla er gott að geta hugsað myndrænt.

Skoðum fyrst fallið $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+, \quad f(x)=x^2$.

Við vitum að andhverfa $f(x)=x^2$ er $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ vegna þess að:

$$\begin{split}\begin{aligned} &f(f^{-1}(x)) = (\sqrt{x})^2=x \\ &\text{ og } \\ &f^{-1}(f(x))=\sqrt{x^2} = x \end{aligned}\end{split}$$

Ef við teiknum gröf fallanna fáum við:

Hér sjáum við að rauða grafið, $\sqrt{x}$, er spegilmynd svarta grafsins, $x^2$, um punktalínuna.

Athugasemd

Graf andhverfu falls er spegilmynd grafs fallsins um línuna $y=x$.

Skoðum næst $y=2x+1$ eða $f(x)=2x+1$. Reiknum andhverfuna:

$$\begin{split}\begin{aligned} y &= 2x+1 \\ y-1&=2x\\ \frac{1}{2}\left(y-1\right) &= x\\ x &= \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \end{aligned}\end{split}$$

þá er $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$.

Teiknum nú línurnar:

Hér er rauða línan andhverfa $f(x)$, við sjáum að línan speglast nákvæmlega um $y=x$ eins og í fyrra dæminu $x^2$.

---

Hægt er að sannfæra sig á þessu með því að horfa á einfaldan feril sem fer í gengum 6 þekkta punkta,

$$(0.5,1), (1.5,1), (2.5,2), (4,2.5), (3,2.5) \text{ og } (4,3.5)$$

Séu þessir punktar tengdir saman með strikum fæst svarti ferilinn sem við sjáum hér að neðan. Rauði ferillinn myndast þegar við speglum svarta yfir $y=x$.

Speglum punktinum $(4, 2.5)$ yfir $y=x$ , hann lendir í punktinum $(2.5,4)$ og strikið á milli þeirra er hornrétt á $y=x$.

Við getum því speglað punktunum um línuna með því að víxla á $x$- og $y$-hnitum punktanna. Andhverfi ferillinn fer því á milli punktana $(1, 0.5), (1,1.5), (2,2.5), (2.5,4), (2.5,3)$ og $(3.5,4)$.

---

Skoðum að lokum $g(x) = \ln(x+2)$. Reiknum andhverfuna:

$$\begin{split}\begin{aligned} y &= \ln(x+2) \\ e^y&=e^{\ln(x+2)} \\ e^y &= x+2 \\ x &= e^y -2\\ \end{aligned}\end{split}$$

Þá er andhverfa fallið $g^{-1}(x) = e^x -2$. Á þessari mynd má sjá gröf ferlanna, $g(x)$ er svart en $g^{-1}(x)$ rautt.

9.2. Eintæk og átæk föll

Skilgreining

Látum $f: X \to Y$ vera gefið fall. Mengið $X$ kallast formengi en: argument domain, domain, domain carrier, index set, latent domain, range of arguments, set of definition, source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. (eða skilgreiningarmengi) fallsins og mengið $Y$ bakmengi en: codomain, latent range, potential range, range, range carrier, target
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. (eða myndmengi eða varpmengi) þess.

Í formengi falls $y=f(x)$ eru þær tölur sem við getum sett inn í fallið ($x$ -in) en í bakmenginu eru þær tölur sem geta komið út ($y$ -in).

9.2.1. Átæk föll

Látum $f: X \to Y$ vera fall.

Látum $y_0 \in Y$ vera stak í bakmenginu. Oft þurfum við að vita hvort hægt sé að finna einhverja lausn á jöfnunni

$$f(x)=y_0,$$

það er að segja, hvort hægt sé að finna eitthvað $x_0 \in X$ þannig að $f(x_0)=y_0$. Ef þessi jafna hefur lausn fyrir öll stökin í bakmenginu þá segjum við að fallið sé átækt en: surjective, onto
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

9.2.2. Skilgreining

Skilgreining

Fall $f: X \to Y$ er sagt vera átækt ef fyrir sérhvert $y \in Y$ er til $x \in X$ þannig að $f(x)=y$.

---

Skoðum mengjamyndir til að sjá þessa tegund af vörpun fyrir okkur. Hér er $X$ skilgreiningarmengið og $Y$ myndmengið.

Við sjáum að öll stökin í myndmenginu eru með í vörpuninni og hér er í lagi að fleiri en eitt stak í skilgreiningarmenginu varpast á sama stak í myndmenginu.

Hér er dæmi um vörpun sem er ekki átæk:

Hún er ekki átæk því hér eru tvö stök í myndmenginu sem eru ekki með í vörpuninni.

Dæmi

1. Skoðum fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Tökum eftir að bakmengið er allt $\mathbb{R}$, en $x^2$ verður aldrei neikvæð tala. Til dæmis er $-1$ stak í bakmenginu, en jafnan $f(x)=-1$, eða $x^2=-1$ hefur enga lausn í rauntölunum. Fallið er því ekki átækt.

2. Skoðum fallið $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$, $g(x)=x^2$.

Hér er bakmengið mengi allra jákvæðra rauntalna. Fyrir sérhverja jákvæða rauntölu $a$ hefur jafnan $x^2=a$ lausn. Hún fæst með kvaðratrót. Fallið er því átækt.

3. Skoðum fallið $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x)=0$.

Sérhvert stak varpast í stakið $0$ í bakmenginu. Til dæmis, fyrir stakið $1$ í bakmenginu þá er ekki til nein lausn á jöfnunni $h(x)=1$ þar sem það gefur $0=1$ sem er fráleitt. Svo fallið er ekki átækt.

9.2.3. Eintæk föll

Skoðum aftur jöfnuna

$$f(x)=y_0$$

Oft getur verið gagnlegt að vita hvort þessi jafna hafi margar lausnir. Við segjum að fallið sé eintækt en: injective, schlicht, univalent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef þessi jafna hefur í mesta lagi eina lausn fyrir sérhvert stak í bakmenginu. Fall er ekki eintækt ef fleiri en eitt stak í formenginu vísar á sama stakið í bakmenginu.

9.2.4. Skilgreining

Skilgreining

Fall $f: X \to Y$ er sagt vera eintækt ef fyrir sérhvert $y \in Y$ er til í mesta lagi eitt $x \in X$ þannig að $f(x)=y$.

Það er, ef $f(x_1)=f(x_2)$ þá er $x_1=x_2$.

---

Skoðum aftur mengjamyndir til að sjá þessa tegund af vörpun fyrir okkur. Hér er $X$ skilgreiningarmengið og $Y$ myndmengið.

Við sjáum að hvert stak í skilgreiningarmenginu á sér stak í myndmenginu og það er í lagi að sum stök í myndmenginu séu ekki með í vörpuninni.

Hér er dæmi um vörpun sem er ekki eintæk:

Hér varpast tvö stök í skilgreiningarmenginu á sama stak í myndmenginu. Takið eftir að þessi vörpun er hvorki eintæk né átæk.

Dæmi

1. Skoðum fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Þetta fall er ekki eintækt. Til dæmis gildir $f(-2)=f(2)=4$, það er jafnan $f(x)=4$ hefur tvær lausnir.

2. Skoðum fallið $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Þetta fall er eintækt, þar sem skilgreiningarmengið inniheldur bara jákvæðar tölur. Ef $x_1$ og $x_2$ eru ólíkar tölur í $\mathbb{R}_+$, þá eru $x_1^2$ og $x_2^2$ ólíkar.

3. Skoðum fallið $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=x$.

Þetta fall er eintækt. Ljóst er að ólík stök úr formenginu varpast í ólík stök í bakmenginu. Ef $y_1 \not= y_2$ þá gildir að $g(y_1) \not= g(y_2)$.

9.2.5. Gagntæk föll

9.2.6. Skilgreining

Skilgreining

Fall $f: X \to Y$ er sagt vera gagntækt en: bijective, one-to-one onto
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef það er bæði eintækt og átækt.

9.2.7. Regla

Setning

Fall á sér andhverfu þá og því aðeins að það sé gagntækt.

---

Skoðum mengjamynd til að sjá þessa tegund af vörpun fyrir okkur:

Við sjáum að öll stökin í myndmenginu eru með í vörpuninni þannig að vörpunin átæk. Hvert stak í skilgreiningarmenginu varpast á nákvæmlega eitt stak í myndmenginu þannig að vörpunin er eintæk. Fallið er því gagntækt þar sem það er bæði átækt og eintækt.

Dæmi

Við höfum séð að fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ er hvorki eintækt né átækt. Það á sér því ekki andhverfu.

Skoðum til dæmis stakið $9$ í bakmenginu. Stökin í formenginu sem varpast í $9$ eru tvö, það er $f(3)=9$ og $f(-3)=9$. Til þess að ,,fara til baka‘‘ þá þyrftum við að úthluta $9$ stökunum $3$ og $-3$, þ.e. stökunum $\pm \sqrt{9}$. Andhverfan getur því ekki verið fall, því samkvæmt skilgreiningu á falli fær hvert stak í formenginu úthlutað nákvæmlega einu staki í bakmenginu, en í þessu tilfelli eru þau tvö.

9.3. Samskeyting falla

9.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum $f: X \to Y$ og $g: Y \to Z$ vera föll. Við skilgreinum þá vörpun $g \circ f: X \to Z$ með:

$$g \circ f(x)=g(f(x))$$

fyrir öll $x \in X$. Þetta kallast samskeytt fall en: composite function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

Athugasemd

Bakmengi $f$ og formengi $g$ þarf að vera það sama. Annars gengur skilgreiningin ekki upp.

Dæmi

Látum $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera gefið með $f(x)=x^2+x$ og $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vera gefið með $g(x)=x+3$

Finnið $f\circ g$ og $g\circ f$.

Lausn

Höfum

$$\begin{split}\begin{aligned} f\circ g(x) &=f(g(x))\\ &=f(x+3)\\ &=(x+3)^2+(x+3)\\ &=x^2+6x+9+x+3\\ &=x^2+7x+12 \end{aligned}\end{split}$$

og

$$\begin{split}\begin{aligned} g\circ f(x)&=g(f(x))\\ &=g(x^2+x)\\ &=(x^2+x)+3\\ &=x^2+x+3 \end{aligned}\end{split}$$

9.4. Nokkur mikilvæg föll

9.4.1. Vísisföll

Skilgreining

Vísisfall en: power function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er fall $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sem skrifa má með formúlu af gerðinni

$$f(x)=a^x$$

þar sem $a \geq 0$ er rauntala.

Dæmi um vísisfall er $f(x)=2^x$. Þá er $f(1)=2$, $f(2)=4$ og $f(3)=8$ og $f(4)=16$ o.s.fr.v.

Graf þess má sjá hér að neðan.

9.4.2. Lograr

Skilgreining

Látum $a$ vera jákvæða rauntölu og $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ vera vísisfall gefið með

$$f(x)=a^x.$$

Þetta fall á sér andhverfu sem við köllum $a$- logrann en: logarithm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og er táknaður

$$\log_a.$$

Samkvæmt skilgreiningu á andhverfu er því $a$- logrinn en: logarithm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallið sem uppfyllir:

$$\log_a(a^x)=x \qquad \text{fyrir öll } x \in \mathbb{R},$$

og

$$a^{\log_a(x)}=x \qquad \text{fyrir öll } x \in \mathbb{R}_+.$$

Athugasemd

Óformlega getum við hugsað um töluna $\log_a(x)$ þannig: „Í hvaða veldi þarf að setja $a$ svo að útkoman verði $x$?“

Dæmi 1

Reiknið $\log_2(8)$.

Lausn

Í töluðu máli er spurningin þessi:

„Í hvaða veldi þarf að setja tvo svo að útkoman verði átta?“

Auðvelt er að reikna að $2^3=8$, svarið er því $3$ og við skrifum $\log_2(8)=3$

Dæmi 2

Reiknið $\log_3(81)$.

Lausn

Auðvelt er að staðfesta að $3^4=81$, svo $\log_3(81)=4$

Dæmi 3

Reiknið $\log_9(1)$.

Lausn

Athugum að um sérhverja tölu $a$ gildir $a^0=1$, sér í lagi er $9^0=1$ svo $\log_9(1)=0$.

Athugasemd

10 - logrinn er oft skrifaður $\log(x)$ frekar en $\log_{10}(x)$ . Þessi logri er mikið notaður og yfirleitt er sérstakur takki á reiknivélum til þess að reikna hann.

9.4.2.1. Lograreglur

Setning

Fyrir $a,b,x,y\in \mathbb{R}_+$ og $r \in \mathbb{R}$ gildir:

1. $\qquad \log_a(1)=0$

2. $\qquad \log_a(1/x)=-\log_a(x)$

3. $\qquad \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$

4. $\qquad \log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)$

5. $\qquad \log_a(x^r)=r\log_a(x)$

6. $\qquad \log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$.

Dæmi

1. Reiknum $\log_5(50)+\log_5(\frac{1}{2})$.

Við notum reiknireglur tvö, þrjú, og fjögur:

$$\begin{split}\begin{aligned}\log_5(50)+\log_5(\frac{1}{2})&=\log_5(5^2\cdot 2)-\log_5(2)\\&=\log_5(5^2)+\log_5(2)-\log_5(2)\\&=\log_5(5^2)=2\end{aligned}\end{split}$$

2. Reiknum $\log_2(49)\cdot \log_7(2)$

Notum reiknireglu sex:

$$\begin{split}\begin{aligned} \log_2(49)\cdot \log_7(2)&=\dfrac{\log_7(49)}{\log_7(2)}\cdot \log_7(2)\\ &=\log_7(49)\\ &=\log_7(7^2)=2 \end{aligned}\end{split}$$

3. Reiknum $(\log_{12}(1))^{12}$

Notum reiknireglu eitt:

$$(\log_{12}(1))^{12}=0^{12}=0$$

4. Reiknum $\log_7(22)$

Notum reiknireglu sex og setjum $b=10$, stingum stærðinni $\log(22)/\log(7)$ inn í vasareikninn og fáum

$$\log_7(22)=\frac{\log(22)}{\log(7)}\approx 0,629532003$$

9.4.3. Náttúrulega veldisvísisfallið og nátturulegi logrinn

Náttúrulega veldisvísisfallið er skilgreint sem

$$f(x) = e^x,$$

þar sem $e \approx 2.71828182846...$ er óræð tala.

Skoðum graf fallsins

Þá er andhverfa $f(x) = e^x$ skilgreind sem $f^{-1}(x) = \log_e (x)$ og yfirleitt skrifað

$$f^{-1}(x) = \ln(x).$$

Fallið $\ln(x)$ er kallað náttúrulegi logrinn en: natural logarithm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Skoðum graf hans:

Sjáum hér að $\ln(x)$ er $e^x$ speglað um $y=x$.

Sömu reglur gilda um náttúrulega logrann og um aðra logra.

9.4.3.1. Lograreglur

Setning

Fyrir $x,y\in \mathbb{R}_+$ og $r \in \mathbb{R}$ gildir:

1. $\qquad \ln(1)=0$

2. $\qquad \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$

3. $\qquad \ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$

4. $\qquad \ln(x^r)=r\ln(x)$

9.4.4. Ræð föll

Ef $r$ er fall sem tákna má með formúlu af gerðinni

$$r(x)=\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}$$

þá segjum við að $r$ sé rætt fall en: rational function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Í þessari formúlu er $n,m\in\mathbb{N}$, stuðlarnir en: coefficient, component, element, entry, member
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $a_i$ og $b_i$ eru rauntölur fyrir öll $i$ og fremstu stuðlarnir mega ekki vera $0$, það er $a_n,b_m\not=0$.

Þetta er bara önnur leið til að segja að fallið $r$ kallist rætt fall ef til eru margliður $p$ og $q$ þannig að $r=\frac{p}{q}$.

9.4.4.1. Myndrænt

Skoðum einföld ræð föll á forminu:

$$\frac{ax+b}{cx+d}$$

Ef stuðlarnir $a,b,c, \; \text{og} \; d$ eru þekktir er fljótlegt að finna aðfellur en: asymptote
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins til þess að teikna grafið.

Lóðfellan verður í gegnum punktinn á $x$ - ásnum sem er ekki í skilgreiningarmenginu, það er að segja þar sem deilt væri með núlli. Lóðfella ræðs falls á þessu formi er því línan

$$x=\frac{-d}{c}$$

Láfellan verður í gegnum punktinn á $y$ - ásnum sem er ekki í myndmenginu, það er að segja gildið sem fallið getur aldrei tekið. Láfella ræðs falls á þessu formi er því línan

$$y=\frac{a}{c}$$

Dæmi

Skoðum ræða fallið

$$f(x) = \frac{x-2}{x+3}$$

Hér er $a= 1, \; b =-2, \; c = 1$ og $d = 3$.

Þá eru aðfellurnar:

$$\begin{split}\begin{aligned} & x = \frac{-d}{c} \; = \; \frac{-3}{1} \; = \; -3 \\ & \quad \\ & y = \frac{a}{c} \; = \; \frac{1}{1} \; = \; 1 \\ \end{aligned}\end{split}$$

Nú er lítið mál að sjá fyrir sér fallið:

9.4.5. Stofnbrotaliðun

Þegar við erum að vinna með ræð föll getur verið þægilegra að liða þau niður áður en unnið er með þau. Þegar margliðan í teljaranum hefur stigið 1 og margliðan í nefnaranum hefur stigið 2 er hægt að gera það svona:

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{ax+b}{(x-\alpha)(x-\beta)} &= \frac{A}{(x-\alpha)}+ \frac{B}{(x-\beta)} \\ \quad \\ &\text{þar sem} \\ \quad \\ \alpha \neq \beta, \quad A= \frac{a\alpha + b}{\alpha - \beta} & \quad \text{og} \quad B= \frac{a\beta + b}{\beta - \alpha} \\ \end{aligned}\end{split}$$

Dæmi

Liðum

$$\frac{3x+2}{x^2+3x-4}$$

í stofnbrot.

Lausn:

Þáttum nefnarann $x^2+3x-4$ og fáum $(x+4)(x-1)$. Hér er $a=3$, $b=2$, $\alpha = -4$ og $\beta=1$.

Reiknum fastana $A$ og $B$ :

$$\begin{split}\begin{aligned} A& = \frac{a\alpha+b}{\alpha-\beta} \\ &= \frac{3\cdot(-4)+2}{-4-1} =\frac{-12+2}{-5} \\ A&=2 \\ B&= \frac{a\beta +b}{\beta-\alpha} \\ &= \frac{3+2}{1+4} =\frac{5}{5} \\ B&=1 \end{aligned}\end{split}$$

Því er hægt að skrifa:

$$\frac{3x+2}{x^2+3x-4} = \frac{2}{x+4} + \frac{1}{x-1}$$

Athugum hvort þetta sé rétt með því að leggja brotin saman:

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{2}{x+4} + \frac{1}{x-1} &= \frac{2(x-1)}{(x+4)(x-1)}+\frac{1(x+4)}{(x-1)(x+4)} \\ &=\frac{2x-2+x+4}{(x+4)(x-1)} \\ &=\frac{3x+2}{x^2+3x-4} \end{aligned}\end{split}$$

Látum $p$ og $q$ vera margliður og látum $r=\frac{p}{q}$ vera rætt fall. Ef margliðurnar $p$ og $q$ eru af háum stigum getur ræða fallið $r$ oft verið erfitt viðureignar. Þá er gagnlegt að geta skrifað $r$ sem summu af einfaldari ræðum föllum. Eftirfarandi regla getur þá stundum verið gagnleg:

9.4.5.1. Regla

Setning

Látum $p$ og $q$ vera margliður af stigi $n$ og $m$.

Gerum ráð fyrir að margliðan $q$ hafi $m$ ólíkar rætur $a_1,a_2,...,a_m$.

Þá er til margliða $s$ og fastar $b_1,b_2,...,b_m$ þannig að

$$\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{b_1}{x-a_1}+\frac{b_2}{x-a_2}+...+\frac{b_m}{x-a_m}.$$

Þegar þessari reglu er beitt þá segjumst við vera að stofnbrotaliða ræða fallið $\frac{p}{q}$.

---

Stofnbrotaliðum ræða fallið $\frac{p}{q}$ þar sem $p$ og $q$ eru margliður og

$$q(x)=c_mx^m+...+c_1x+c_0$$

er af stigi $m$.

1. Finnum allar núllstöðvar margliðunnar $q$. Ef margliðan hefur færri en $m$ núllstöðvar hættum við hér, því þá virkar þessi aðferð ekki. Ef $m$ ólíkar núllstöðvar finnast köllum við þær $a_1,a_2,...,a_m$.

2. Deilum margliðunni $q$ upp í margliðuna $p$ með afgangi til þess að finna margliður $s$ og $p_1$ sem eru þannig að stig $p_1$ er minna en stig $q$ og $p=sq+p_1$. Þá má skrifa:

$$\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{p_1(x)}{q(x)}$$

3. Skilgreinum nýja margliðu $q'$ með því að setja

$$q'(x)=mc_mx^{m-1}+(m-1)c_{m-1}x^{m-2}+...+2\cdot c_2x+1\cdot c_1$$

4. Reiknum út stuðlana $b_1,b_2,...,b_m$ með formúlunni

$$b_i=\frac{p_1(a_i)}{q'(a_i)} \qquad \text{fyrir öll i}$$

5. Nú má skrifa

$$\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{b_1}{x-a_1}+\frac{b_2}{x-a_2}+...+\frac{b_m}{x-a_m}$$

Athugasemd

Þeir sem eru komnir aðeins lengra í stærðfræði og þekkja diffrun munu taka eftir að í aðferðinni að ofan þá er nýja margliðan $q'$ afleiðan af margliðunni $q$.

Dæmi

Stofnbrotaliðið ræða fallið

$$\frac{x^4-2}{x^3+2x^2-x-2}.$$

Hér er $p(x)=x^4-2$ og $q(x)=x^3+2x^2-x-2$.

1. Finnum núllstöðvar $q$. $p/q$-aðferðin sem lýst var í fyrri kafla segir okkur að við eigum að prófa hvort tölurnar $-1,1,-2$ eða $2$ séu núllstöðvar margliðunnar $q$:

$$q(-1)=0, \qquad q(1)=0, \qquad q(-2)=0, \qquad q(2)=12.$$

Hér fundum við þrjár mismunandi núllstöðvar, $q$ hefur stig $3$ svo við getum haldið áfram. Við setjum $a_1=-1, \; a_2=1 \; \text{og} \; a_3=-2$.

2. Deilum $q$ uppí $p$ með afgangi:

Samkvæmt þessu getum við skrifað

$$p(x)=(x-2)q(x)+(5x^2-6)$$

Við setjum $p_1(x)=5x^2-6$ og $s(x)=x-2$.

3. Skilgreinum margliðuna

$$q'(x)=3x^{3-1}+2\cdot 2x^{2-1} - 1x^{1-1}=3x^2+4x-1$$

4. Reiknum út:

$$\begin{split}\begin{aligned} b_1&=\frac{p_1(a_1)}{q'(a_1)}\\&=\frac{p_1(-1)}{q'(-1)}\\&=\frac{5\cdot(-1)^2-6}{3\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-1}\\&=\frac{-1}{-2}\\&=\frac{1}{2}\\b_2&=\frac{p_1(a_2)}{q'(a_2)}\\&=\frac{-1}{6}\\b_3&=\frac{p_1(a_3)}{q'(a_3)}\\&=\frac{14}{3}\end{aligned}\end{split}$$

Þá er $b_1 =\frac{1}{2}, \; b_2 =\frac{-1}{6} \; \text{og} \; b_3=\frac{14}{3}$.

5. Lausnin okkar er þess vegna:

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{x^4-2}{x^3+2x^2-x-2}&=x-2+\frac{1/2}{x+1}+\frac{-1/6}{x-1}+\frac{14/3}{x+2} \\ &=x-2+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{6(x-1)}+\frac{14}{3(x+2)}.\\ \end{aligned}\end{split}$$

9.5. Ummyndanir

Það er mjög mikilvægt að geta teiknað föll og séð þau fyrir sér, meðal annars að geta séð fyrir sér ummyndanir en: transformation, mapping, record, transform
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

9.5.1. Hliðrun

Færsla punktsins $(x,y)$ yfir á punktinn $(x+a,y+b)$ kalllast hliðrun en: translation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. um vigurinn $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.

Hliðrunarvigurinn $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ færir feril fallsins $f(x)$ yfir í feril fallsins

$$g(x) =f(x-a)+b.$$

Dæmi

Hliðrum $f(x) = x^2$ um $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Þessi hliðrun þýðir að hver punktur ferilsins færist um $2$ til hægri á $x$-ásnum og $1$ upp á $y$-ásnum. Þá er nýja hliðraða fallið:

$$\begin{split}\begin{aligned} g(x) &= f(x-a)+b, \\ &= f(x-2)+1, \\ &= (x-2)^2 +1. \end{aligned}\end{split}$$

Sjáum $g(x)= (x-2)^2 +1$ er í rauðu og hefur hliðrast upp til hægri. Punkturinn $(-2,4)$ færist í $(-2+2,4+1)=(0,5)$.

Dæmi

Hliðrum $f(x) = \sin(x)$ um $\begin{pmatrix} -\frac{\pi}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$. Fáum

$$\begin{split}\begin{aligned} g(x) &= f(x-a)+b, \\ &= f(x-(-\frac{\pi}{2}))+0, \\ &= \sin(x+\frac{\pi}{2}), \\ &= \cos(x). \end{aligned}\end{split}$$

Hér erum við búin að hliðra sínus um $\frac{\pi}{2}$ eftir $x$-ás og þá fáum við kósínus! Sjá kafla 7 um hornaföll.

9.5.2. Speglun

Speglun um $x$ -ás

Þegar falli $f(x)$ er speglað um $x$-ás fæst fallið $g(x) = -f(x)$. Tökum sem dæmi $f(x)=x^2$, þá er speglunin $g(x) = -f(x) = -x^2$.

Speglun um $y$ -ás

Þegar falli $f(x)$ er speglað um $y$-ás fæst fallið $h(x) = f(-x)$. Tökum sem dæmi $f(x)=\frac{x-2}{x+3}+2$, þá er speglunin $h(x) = f(-x) = \frac{(-x)-2}{(-x)+3}+2$.

Hér sjáum við líka lóðfellurnar sem speglast um $y$-ás.

9.5.3. Stríkkun

9.5.3.1. Lóðrétt

Við getum ummyndað fall $f(x)$ með því að margfalda það með jákvæðum fasta og þá kallast það stríkkun. Tökum sem dæmi $a \cdot f(x)$.

• Ef $0<a<1$ þá köllum við stríkkuninna herpingu.

• Ef $1<a$ þá er það stríkkun.

Skoðum áhrifin á fleyboga:

9.5.3.2. Lárétt

Við getum líka ummyndað fall $f(x)$ lárétt með því að margfalda það með jákvæðum fasta $f(a\cdot x)$.

• Ef $0<a<1$ þá erum við að tala um herpingu.

• Ef $1<a$ þá er það stríkkun.

Athugasemd

Takið eftir að ummyndanir eru varpanir af vörpunum, þ.e.a.s. samskeyting falla. Til dæmis ef við viljum hliðra fallinu $f(x) = x^2$ upp um $2$ og stríkkum um helming þá er