8. Vigrar

8.1. Skilgreining

Vigrar en: vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er stærðfræðilegt hugtak fyrir stærð sem hefur bæði lengd og stefnu. Þeir eru jafnan teiknaðir sem örvar í hnitakerfi og lýst með hnitum. Hnit vigurs eru venjulegar tölur, líka kallaðar skalarstærðir en: scalar
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , og lýsa staðsetningu endapunkts miðað við upphafspunkt. Hvert hnit er tengt einum ás í hnitakerfinu sem notað er og stærð hnitsins (tölunnar) lýsir lengd vigursins í þá átt.

Vigrar eru oftast táknaðir með striki eða ör fyrir ofan bókstafinn, $\overline{a}$ , $\vec{a}$ , en sumir setja strikið undir, $\underline{a}$ . Í kennslubókum eru vigrar stundum feitletraðir: $\boldsymbol{a}$.

Lengd vigra er táknuð með lóðréttum strikum, algildismerkjum, $|\overline{a}|$ , eða einfaldlega bókstafnum án yfirstriksins, $a$ . Þegar vísað er í lengd vigurs eftir einhverjum ás, þátt en: component, connected component, factor, maximal connected subgraph
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. hans, er það sýnt með því að merkja með heiti ássins í lágvísi en: subscript, lower index
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ; $a_x$ er lengd vigursins $\overline{a}$ í stefnu $x$ - áss. Þættir vigra eru ekki vigrar sjálfir, heldur tölur.

Yfirleitt er notað rétthyrnt hnitakerfi (einnig nefnt kartesískt en: cartesian plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ). Vigurinn á myndinni hefur lengd 4 eftir x-ásnum og 3 eftir y-ásnum, svo hnit hans eru:

$$\begin{split}\overline{a} = (a_x,a_y) = (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}$$

Lengd vigursins sjálfs er reiknuð með jöfnu Pýþagórasar, $|\overline{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ . Vigurinn á myndinni hefur því lengdina $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .

Athugasemd

Stærð og stefna vigurs er óháð því hvar í hnitakerfinu hann er.

Algengt er að láta vigra liggja frá upphafspunkti hnitakerfisins (stöðu- eða staðarvigur) en það er hægt að reikna vigra á milli gefinna upphafs- og endapunkta. Vigurinn frá punktinum $A=(x_1,y_1)$ til punktsins $B=(x_2,y_2)$ er

$$\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\end{split}$$

Dæmi

Reiknið vigurinn frá punktinum $A=(-1,7)$ til punktsins $B=(5,2)$ .

Lausn

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 2-7 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

Vigurinn $\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}$ er sá sami, hvort sem hann liggur á milli $A$ og $B$ eða frá upphafspunktinum til punktsins $(6,-5)$ .

Stundum er talað um að vigur hafi hallatölu en: slope
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. : $h=\frac{a_y}{a_x}$ , ef $a_x\neq 0$ . Tveir vigrar eru samsíða en: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef þeir hafa sömu hallatölu.

Dæmi

Finnið vigur sem er samsíða $\overline{a}=(-1,6)$ og hefur lengdina 9.

Lausn

Hallatala $\overline{a}$ er $h_{\bar{a}}=\frac{a_y}{a_x}=\frac{6}{-1}=-6$ . Þá vitum við að vigurinn sem við leitum að, $b$ , uppfyllir það sama:

$$h_{\bar{b}}=\frac{b_y}{b_x}=-6$$

sem er jafngilt því að $b_y=-6b_x$ .

Skilyrðið að $\overline{b}$ þurfi að hafa lengdina 9 gefur að:

$$|\overline{b}| = \sqrt{b_x^2+b_y^2} =9$$

Setjum $b_y=-6b_x$ inn og fáum:

$$\begin{split}\begin{aligned} 9 &= \sqrt{b_x^2+b_y^2}\\ &=\sqrt{b_x^2+(-6b_x)^2} \\ &= \sqrt{b_x^2+36b_x^2} \\ &=\sqrt{37b_x^2} \\ &=b_x\sqrt{37} \\ b_x&=\frac{9}{\sqrt{37}} \approx 1.480\\ b_y&= -6b_x = \frac{-54}{\sqrt{37}} \approx -8.878 \end{aligned}\end{split}$$

Vigur sem er samsíða $\overline{a}=(-1,6)$ og hefur lengdina 9 er því

$$\begin{split}\overline{b}= \begin{pmatrix} \frac{9}{\sqrt{37}} \\ \frac{-54}{\sqrt{37}} \end{pmatrix}\end{split}$$

8.2. Að liða vigra

Vigra er líka hægt að tákna með lengd og stefnuhorni. Hornið $\theta$ er skilgreint frá jákvæðum x-ás og að vigrinum. Með þessum upplýsingum er hægt að liða vigurinn eftir x- og y-ás með því að nota hornaföll.

Þættir vigursins eru föll af stefnuhorninu sem er oft merkt $\theta$ eða $\phi$ :

$$\begin{split}a_x = a\cos(\theta) \\ a_y = a\sin(\theta)\end{split}$$

þar sem $a=|\overline{a}|$.

Stefnuhorn vigurs $\overline{a} = (a_x,a_y)$ má því reikna:

$$\frac{a_y}{a_x} = \frac{a\sin(\theta)}{a\cos(\theta)} = \tan(\theta)$$

8.3. Einingarvigrar

Einingarvigrar eru vigrar sem hafa lengdina 1. Vigrarnir

$$\begin{split}\begin{aligned} \hat{\imath} &= \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{\jmath} &= \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{k} &= \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}$$

liggja samsíða $x$ - , $y$ - og $z$ - ásunum í rétthyrndu hnitakerfi . Þeir eru líka táknaðir:

$$\begin{gather} \hat{e}_x, \quad \hat{e}_y, \quad \hat{e}_z \end{gather}$$

Einingarvigrarnir $\hat{e}_x, \hat{e}_y$ og $\hat{e}_z$ eru línulega óháðir en: linearly independent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , sem þýðir að engan þeirra er hægt að mynda úr hinum tveimur með samlagningu þeirra eða margföldun með tölu. Hvernig sem þú teygir á og raðar saman $\hat{\imath}$ og $\hat{\jmath}$ færðu aldrei út $\hat{k}$ . Þessi eiginleiki kemur til vegna þess að einingarvigrarnir eru allir hornréttir á hvorn annan.

Alla vigra má skrifa sem skalarstærðir margfaldaðar við einingarvigrana:

$$\overline{a} = (a_x, \; a_y, \; a_z ) = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}$$

8.4. Samlagning vigra

Þegar vigrar eru lagðir saman eru hnit eftir hverjum ás fyrir sig lögð saman. Summa tveggja vigra $\overline{a} = (a_x,a_y)$ og $\overline{b} = (b_x,b_y)$ er:

$$\begin{split}\overline{c} = \overline{a} + \overline{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix}\end{split}$$

Dæmi

Leggjið saman vigrana $\overline{a}=(4,3)$ og $\overline{b}=(1,3)$ .

Lausn

$$\overline{a}+\overline{b}=(4,3) + (1,3) = (4+1, 3+3) = (5,6)$$

Myndrænt má ímynda sér að upphafspunktur seinni vigursins sé settur í endapunkt fyrri vigursins, og summa þeirra er frá upphafspunkti fyrri vigursins til endapunkts þess seinni.

Athugasemd

Þó að $\overline{c} = \overline{a} + \overline{b}$ þýðir það ekki að $c = a + b$.

Í dæminu hér á undan er til dæmis

$$\begin{split}c = |\overline{c}| = \sqrt{5^2+6^2} \approx 7,8 \\ a + b = \sqrt{4^2+3^2} + \sqrt{1^2+3^2} \approx 8,2\end{split}$$

---

Um samlagningu vigra gilda eftirfarandi reglur:

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} +\overline{b} &= \overline{b} + \overline{a} & \text{Víxlregla}\\ (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} &= \overline{a} + (\overline{b}+\overline{c}) & \text{Tengiregla} \end{aligned}\end{split}$$

---

Dæmi

Gefnir eru þrír punktar:

$$\begin{split}\begin{aligned} A&=(x_1,y_1)=(1,2) \\ B&=(x_2,y_2)=(4,5) \\ C&=(x_3,y_3)=(3,-1) \end{aligned}\end{split}$$

Reiknið vigrana $\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}$ .

Lausn

Fáum:

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4-1 \\5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\3\end{pmatrix} \\ & \\ \overline{AC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_1\\ y_3-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3-1 \\(-1)-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\-3\end{pmatrix} \\ & \\ \overline{BC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_2\\ y_3-y_2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3-4 \\(-1)-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\-6\end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}$$

Hér eru punktarnir teiknaðir inn ásamt vigrunum $\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}$ .

Af þessu dæmi má sjá innskotsregluna :

$$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$$

8.5. Margföldun vigra

Þegar vigur $\overline{v}$ er margfaldaður með tölu $s$ er hver þáttur vigursins margfaldaður með tölunni:

$$\begin{split}\begin{aligned} s\cdot\overline{v} &= s\cdot(v_x, v_y, v_z) \\ &= (s \cdot v_x, s \cdot v_y, s \cdot v_z) \end{aligned}\end{split}$$

Margfeldi vigra er tvenns konar, innfeldi (punktfeldi) en: dot product, euclidean inner product, hermitian inner product, inner product, scalar product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , og krossfeldi en: cross product, alternating product, exterior product, Grassmann product, outer product, skew product, vector product, wedge product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

---

Innfeldi tveggja vigra er táknað með punkti og útkoman er tala: $\overline{a} \cdot \overline{b}$ . Ef þættir vigranna eru þekktir er innfeldið:

$$\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y$$

Dæmi

Reikið innfeldi vigranna $\overline{a}=(7,8)$ og $\overline{b}=(-1,3)$ .

Lausn

Fáum:

$$\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y = 7\cdot (-1)+ 8\cdot 3 = -7+24 =17$$

Ef vigrarnir eru gefnir með lengd og stefnuhorni er innfeldið:

$$\overline{a} \cdot \overline{b} = a b \cos{\phi}$$

þar sem $\phi$ er hornið milli $\overline{a}$ og $\overline{b}$ þegar þeir hafa sama upphafspunkt.

Aðvörun

Tveir vigrar eru hornréttir ef innfeldi þeirra er núll.

Dæmi

Reiknið hornið $\phi$ á milli vigranna $\overline{a}=(2,4)$ og $\overline{b}=(4,2)$ :

Lausn

Við vitum að $\overline{a} \cdot \overline{b} = a b \cos{\phi}$ , þar sem $a$ og $b$ eru lengdir vigranna. Lengdirnar eru:

$$\begin{split}\begin{aligned} a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \\ b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \end{aligned}\end{split}$$

Reiknum innfeldi vigranna:

$$\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y = 2\cdot 4+ 4\cdot 2 = 16$$

Því er

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} \cdot \overline{b} &= a b \cos{\phi} \\ \cos{\phi} &= \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{a b} = \frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{20}\\ \phi &= 36.8 ° = 0.644 \end{aligned}\end{split}$$

---

Krossfeldi tveggja vigra er táknað með krossi og útkoman er nýr vigur: $\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b}$ . Krossfeldi en: cross product, alternating product, exterior product, Grassmann product, outer product, skew product, vector product, wedge product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eru reiknuð með þáttum vigranna, það er vigrum gefnum á forminu $\overline{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}$ .

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} \times \overline{b} &= (a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{\imath} + b_y \hat{\jmath} + b_z \hat{k}) \\ &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ \end{aligned}\end{split}$$

Útkoma krossfeldisins er vigur sem er hornréttur á bæði $a$ og $b$. Til að ákvarða sefnu vigursins getum við notað hægri handar regluna.

Lengd krossfeldis $\overline{a} \text{ og } \overline{b}$ má reikna úr frá lengdum vigranna og horninu á milli þeirra.

$$|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin(\phi)$$

Athugasemd

Þegar krossfeldi er reiknað skiptir máli hvor vigurinn er á undan!

$$\overline{a} \times \overline{b} = - \overline{b} \times \overline{a}$$

Dæmi

Reiknum krossfeldi vigranna $\overline{a}=(1,2,3)$ og $\overline{b}=(4,5,6)$.

Lausn

Fáum:

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} \times \overline{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (2\cdot 6-3\cdot 5)\hat{\imath} + (3\cdot 4 - 1 \cdot 6) \hat{\jmath} + ( 1\cdot 5 - 2\cdot 4) \hat{k}\\ &= -3 \hat{\imath} +6 \hat{\jmath} - 3\hat{k}\\ &= (-3,6,-3) \end{aligned}\end{split}$$

8.6. Flatarmyndir

Ef hliðar þríhyrnings eru gefnar með vigrunum $\overline{a}$ og $\overline{b}$ er hægt að reikna hornið $\theta$ . Flatarmálið er þá $F=\frac{1}{2}|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)$ .

Ef hliðar samsíðungs eru gefnar með vigrunum $\overline{a}$ og $\overline{b}$ er hægt að reikna hornið $\theta$ . Flatarmálið er þá $F=|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)$ og ummálið er $U=2|\overline{a}|+2|\overline{b}|$ .