6. Margliður

6.1. Margliður

Margliða en: polynomial, entire rational function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er fall \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sem tákna má með formúlu af gerðinni

\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0\]

þar sem \(n\) er náttúruleg tala en: natural number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og stuðlarnir \(a_j\) eru rauntölur en: real number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og \(a_n \neq 0\). Þá kallast talan \(n\) stig margliðunnar. Skoðum dæmi um margliður.

Dæmi

1. \(p(x)=8x^4+3x^2+2x+1\) er dæmi um margliðu.

Þessi margliða hefur stigið \(n=4\). Hér er \(a_0=1\), \(a_1=2\), \(a_2=3\), \(a_3=0\) og \(a_4=8\).

2. \(p(x)=3x^5+\pi x^2-\dfrac{4}{5}\) er dæmi um margliðu.

Þessi margliða hefur stig \(n=5\). Hér er \(a_0=-\frac{4}{5}\), \(a_2=\pi\), \(a_5=3\) og \(a_1=a_3=a_4=0\).

3. \(p(x)=3^x\) er ekki margliða.

4. \(p(x)=\sin(x)+4x^2\) er ekki margliða.

6.2. Núllstöðvar margliða

Ef \(p\) er margliða og \(x_0\) er tala þ.a. \(p(x_0)=0\) þá segjum við að \(x_0\) sé rót en: root, radix, radical, solution
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða núllstöð en: root, null, Zermelo-Fraenkel set theory with axiom of choice, zero
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. margliðunnar p.

Margliður geta haft margar núllstöðvar, en fjöldi þeirra er takmarkaður eins og fram kemur í eftirfarandi reglu:

6.2.1. Regla

Setning

Látum \(p\) vera margliðu af stigi \(n\). Fjöldi mismunandi núllstöðva margliðunnar \(p\) er þá í mesta lagi \(n\).

Athugasemd

Þessi regla þýðir því að:

  • fyrsta stigs margliða hefur enga eða eina núllstöð,

  • annars stigs margliða hefur enga, eina, eða tvær núllstöðvar,

  • þriðja stigs margliða hefur enga, eina, tvær, eða þrjár núllstöðvar,

  • … og svo framvegis.

Sumar margliður hafa engar rauntölunúllstöðvar. Til dæmis hefur margliðan \(p(x)=x^2+1\) engar rauntölunúllstöðvar því rauntalan \(x^2\) getur aldrei verið neikvæð.

Dæmi

1. Margliðan \(x^2-1\) hefur tvær mismunandi núllstöðvar, það er, jafnan \(x^2-1=0\) hefur lausnirnar \(x=1\) og \(x=-1\).

2. Margliðan \((x-1)^2\) hefur bara eina núllstöð, það er, jafnan \((x-1)^2=0\) hefur bara lausnina \(x=1\).

Aðvörun

Í seinna tilvikinu tölum við oft um að margliðan hafi eina tvöfalda núllstöð en: double root
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

6.3. Fyrsta og annars stigs margliður

Rifjum upp kaflan um jöfnur.

6.3.1. Fyrsta stigs margliður

Fyrsta stigs margliða er fall af gerðinni

\[\begin{split}\begin{aligned} &p(x)=ax+b \\ &\text{þar sem} \qquad a \neq 0 \quad \text{og} \quad b \in \mathbb{R}. \end{aligned}\end{split}\]

Graf hennar er lína en: straight line, row
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Þessi margliða hefur í mesta lagi eina núllstöð og hana er auðvelt að finna. Við leysum einfaldlega \(x\) úr jöfnunni \(ax+b=0\). Við þekkjum lausn þessarar jöfnu, hún er \(x=-\frac{b}{a}\).

6.3.2. Annars stigs margliður

Annars stigs margliða en: quadratic polynomial
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er fall af gerðinni

\[\begin{split}\begin{aligned} &p(x)=ax^2+bx+c \\ &\text{þar sem} \qquad a \neq 0 \quad \text{og} \quad b,c \in \mathbb{R} \end{aligned}\end{split}\]

Graf hennar er fleygbogi en: parabola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Til að finna núllstöðvar hennar þá leysum við jöfnuna \(ax^2+bx+c=0\). Rifjum aftur upp regluna til að leysa slíkar jöfnur, sem má finna í kaflanum um annars stigs jöfnur.

6.3.3. Regla

Setning

Látum \(ax^2+bx+c=0\) vera annars stigs jöfnu.

  1. Ef \(b^2-4ac<0\) þá hefur jafnan enga rauntölulausn.

  2. Ef \(b^2-4ac=0\) þá hefur jafnan eina lausn:

\[x=\frac{-b}{2a}.\]

  1. Ef \(b^2-4ac>0\) þá hefur jafnan tvær lausnir:

\[x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad \text{og} \qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Dæmi 1

Finnið núllstöð margliðunnar \(p(x)=81x+121\).

Lausn

Hún hefur eina núllstöð þar sem þetta er fyrsta stigs margliða. Leysum þá jöfnuna \(81x+121=0\). Fáum

\[\begin{split}\begin{aligned} 81x &=-121 \\ x &=-121/81 \end{aligned}\end{split}\]

Því er núllstöðin \(x=-121/81\) .

Dæmi 2

Finnum núllstöðvar margliðunnar \(p(x)=2x^2-21x+1\).

Lausn

Leysum jöfnuna \(2x^2-21x+1=0\). Höfum

\[b^2-4ac=(-21)^2-4 \cdot 2 \cdot 1=441-8=433 >0\]

Núllstöðvar eru því tvær: \(x_1=\frac{21+\sqrt{443}}{4}\) og \(x_2=\frac{21-\sqrt{443}}{4}\).

6.4. Deiling með afgangi - margliður

Ef tvær margliður \(p\) og \(q\) eru lagðar saman eða önnur dregin frá hinni verður útkoman ný margliða. Margfeldið \(p \cdot q\) verður einnig ný margliða, en það sama verður ekki sagt um deilingu.

Eins og á heiltölunum er deiling á margliðum ekki fullkomin í þeim skilningi að ef einni margliðu er deilt með annarri fæst ekki alltaf margliða út. Þegar tölu er deilt með annarri fæst ekki alltaf heiltala. Við notum því deilingu með afgangi til að hjálpa okkur:

Látum \(p\) og \(q\) vera margliður. Þá eru til margliður \(s\) og \(r\) þannig að \(p=qs+r\) og stig \(r\) er minna en stig \(q\).

Það að finna þessar margliður \(s\) og \(r\) kallast deiling með afgangi. Margliðan \(s\) kallast kvóti en: quotient, ratio
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og margliðan \(r\) kallast afgangur en: remainder, least non-negative residue, principal remainder
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

Hægt er að nota aðferð sem er mjög lík löngudeilingu með heiltölur til að deila margliðum með afgangi. Best er að sjá þessa aðferð með dæmum:

Dæmi 1

Deilið með margliðunni \(q(x)=x+4\) í margliðuna \(p(x) =x^4 + 2x - 4\) með afgangi.

Lausn

Notum löngudeilingu: byrjum á því að margfalda \(q(x)=x+4\) með \(s_1=x^3\) til þess að fremsti liður \(q(x)\) verði jafn fremsta lið \(p(x)\) . Drögum \(x^3 \cdot q(x)=x^3\cdot(x+4) = x^4+4x^3 \quad\) frá \(\quad p(x) =x^4 + 2x - 4\) og fáum afganginn \(p_1(x)=-4x^3+2x-4\) .

../_images/mdeilingA.svg

Endurtökum skrefin fyrir afganginn. Margföldum \(q(x)=x+4\) með \(s_2=-4x^2\) til þess að fremsti liður \(q(x)\) verði jafn fremsta lið \(p_1(x)\) . Drögum \(-4x^2 \cdot q(x)=-4x^2\cdot(x+4) = -4x^3-16x^3 \quad\) frá \(\quad p_1(x)=-4x^3+2x-4\) og fáum afganginn \(p_2(x)=16x^2+2x-4\) .

../_images/mdeilingB.svg

Margföldum \(q(x)=x+4\) með \(s_3=16x\) til þess að fremsti liður \(q(x)\) verði jafn fremsta lið \(p_2(x)\) . Drögum \(16x \cdot q(x)=16x\cdot(x+4) = 16x^2+64x \quad\) frá \(\quad p_2(x)=16x^2+2x-4\) og fáum afganginn \(p_3(x)=-62x-4\) .

../_images/mdeilingC.svg

Margföldum \(q(x)=x+4\) með \(s_4=-62\) til þess að fremsti liður \(q(x)\) verði jafn fremsta lið \(p_3(x)\) . Drögum \(-62 \cdot q(x)=-62\cdot(x+4) = -62x-248 \quad\) frá \(\quad p_3(x)=-62x-4\) og fáum afganginn \(p_4(x)=r=244\) .

../_images/mdeilingD.svg

Þetta segir okkur að \(s(x) = s_1+s_2+s_3+s_4 = x^3 -4x^2 +16x -62\) og \(r(x) = 244\). Við getum nú skrifað

\[x^4 +2x -4 = (x+4)(x^3 - 4x^2 + 16x - 62) + 244\]

Dæmi 2

Deilið með margliðunni \(q(x)=x-3\) í margliðuna \(p(x) =x^3 + 6x^2 -2x - 8\) með afgangi.

Lausn

Með löngudeilingu fæst eftirfarandi

../_images/mdeiling2.svg

Þetta segir okkur að \(s(x) =x^2+ 9x +25\) og \(r(x) = 67\). Við getum nú skrifað

\[x^4 +2x -4 = (x-3)(x^2 + 9x - 25) + 67\]

6.5. Þáttun margliða

Ef afgangurinn er \(r=0\) þá getum við notað löngudeilingu (margliðudeilingu) til þess að þátta en: decomposition, partition, resolution, splitting, subdivision
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. margliður.

6.5.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(p\) og \(q\) vera margliður. Ef að til er margliða \(h\) þannig að \(p=h \cdot q\) þá segjum við að margliðan \(q\) gangi upp í margliðunni \(p\). Þá skrifum við líka \(\dfrac{p}{q}=h\).

Að skrifa margliðu \(q\) sem margfeldi margliða af lægra stigi kallast þáttun en: decomposition, partition, resolution, splitting, subdivision
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. margliðu.

Margliða \(q\) er sögð óþáttanleg en: indecomposability, irreducibility
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef engin margliða af lægra stigi en \(q\) gengur upp í \(q\).

Margliða er sögð vera fullþáttuð ef að búið er að skrifa hana sem margfeldi af óþáttanlegum margliðum.

Dæmi

Þessa margliðu má þátta svona:

\[x^3-6x^2-9x+14 = (x-1)(x+2)(x-7)\]

og til dæmis má þátta þessa margliðu svona:

\[x^3+4x^2-x-4 = (x-1)(x+1)(x+4)\]

Sjáum nánar dæmi um hvernig þessi lausn fæst hér að neðan.

6.5.2. Núllstöðvar margliða og þáttun

Margliða kallast stöðluð en: monic polynomial, normed polynomial
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef \(a_n=1\), það er, fremsti stuðullinn, eða stuðullinn við hæsta veldið, er \(1\). Fyrir staðlaðar margliður gildir eftirfarandi regla:

6.5.3. Regla

Setning

Ef \(p\) er stöðluð margliða af stigi \(n\) og hún hefur \(n\) ólíkar rætur, \(x_1, x_2, \dots, x_n\), þá má skrifa

\[p(x)=(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_n)\]

Raunar fæst eftirfarandi niðurstaða:

6.5.4. Regla

Setning

Látum \(p\) vera margliðu. Þá gengur margliðan \(x-x_0\) upp í margliðunni \(p\) þá og því aðeins að \(x_0\) sé núllstöð margliðunnar \(p\).

Athugasemd

Sannreynum að hægt sé að þátta annars stigs margliðu í rætur sínar, þ.e. sýnum að:

\[ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\]

Margföldum saman svigana:

\[\begin{split}\begin{aligned} &a\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)\\ &= a\left(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)\\ &=ax^2+a\cdot\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x+a\cdot\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x\\ &+a\cdot\left(\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\ &=ax^2 + \frac{a\cdot x}{2a}\left(b-\sqrt{b^2-4ac}+b+\sqrt{b^2-4ac}\right)\\ &+\frac{a}{4a^2}\left(b-\sqrt{b^2-4ac}\right)\left(b-\sqrt{b^2-4ac}\right)\\ &=ax^2+\frac{x}{2}(2b)+\frac{1}{4a}(b^2-(b^2-4ac)) \\ &=ax^2+bx+c \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Fullþáttið \(p(x)=x^2+2x-5\) með því að finna fyrst núllstöðvar margliðunnar og skrifa hana síðan sem margfeldi óþáttanlegra margliða.

Lausn

Notum lausnarformúlu annars stigs jöfnu til að finna núllstöðvarnar. Hér er \(a=1\), \(b=2\) og \(c=-5\). Fáum því

\[\begin{split}\begin{aligned} x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}&=\dfrac{-2\pm\sqrt{24}}{2}\\ &=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}\\ &=-1\pm\sqrt{6} \end{aligned}\end{split}\]

þ.e. \(x_1=-1+\sqrt{6}\) og \(x_2=-1-\sqrt{6}\). Samkvæmt reglunni hér fyrir ofan fáum við þá þáttunina

\[\begin{split}\begin{aligned} p(x)&=(x-x_1)(x-x_2)\\ &=(x-(-1+\sqrt{6}))(x-(-1-\sqrt{6}))\\ &=(x+1-\sqrt{6})(x+1+\sqrt{6}) \end{aligned}\end{split}\]

það er,

\[p(x)=(x+1-\sqrt{6})(x+1+\sqrt{6})\]

Athugasemd

Þetta segir okkur að margliðurnar \(x+(1-\sqrt{6})\) og \(x+(1+\sqrt{6})\) ganga báðar upp í margliðuna \(p(x)\).

Dæmi

Þáttið þriðja stigs margliðuna \(x^3+4x^2-x-4\) .

Lausn

Við þurfum að byrja á því að finna núllstöðvar margliðunnar, það er, þau \(x\) þannig að \(x^3+4x^2-x-4=0\). Þægilegt er að sjá að \(x=1\) er núllstöð:

\[x^3+4x^2-x-4 |_{x=1} = 1^3+4\cdot 1^2 -1-4 = 0\]

Því má skrifa margliðuna sem liðinn \((x-1)\) margfaldaðan við annars stigs margliðu. Finnum þá margliðu með margliðudeilingu:

../_images/longud1.svg

Höfum því \(x^3+4x^2-x-4 = (x-1)(x^2+5x+4)\) . Þáttum nú \(x^2+5x+4\) en við sjáum að \(x=-1\) er núllstöð hennar:

\[x^2+5x+4|_{x=-1} = (-1)^2+5\cdot(-1)+4 =0\]

Því má skrifa \(x^2+5x+4\) sem \((x+1)\) margfaldað við aðra fyrsta stigs margliðu. Hana má líka finna með margliðudeilingu:

../_images/longud2.svg

Sjáum að \(x=-4\) er líka núllstöð. Við höfum því fundið þrjár núllstöðvar fyrir þriðja stigs margliðu (en þær geta ekki verið fleiri) og því er fullþáttun margliðunnar

\[3+4x^2-x-4 = (x-1)(x+1)(x+4)\]

6.6. p/q-aðferð

Engin almenn leið er til sem að finnur núllstöðvar margliða af háum stigum. Eftirfarandi regla kemur þó stundum að gagni, ef til er ræð núllstöð:

6.6.1. Regla

Setning

Látum \(r(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots + a_1x+a_0\) vera margliðu af stigi \(n\) þar sem stuðlarnir eru heilar tölur. Ef til er ræð tala \(p/q\) sem er núllstöð margliðunnar \(r\) þá gengur \(p\) upp í \(a_0\) og \(q\) gengur upp í \(a_n\).

Athugasemd

Þessi regla segir okkur að ef við viljum finna einhverja núllstöð margliðu, þá er ráðlagt að ,,giska‘‘ fyrst á núllstöðvarnar af gerðinni \(\frac{p}{q}\) þar sem \(p\) gengur upp í \(a_0\) og \(q\) gengur upp í \(a_n\). Það getur verið sniðugt að byrja á því að athuga hvort \(1\) eða \(-1\) eru núllstöðvar því það er fljótgert.

Dæmi 1

Finnið einhverja núllstöð margliðunnar \(h(x)=15x^4-3x^3-10x^2+x-3\).

Lausn

Góð regla er að byrja á því að athuga hvort \(1\) eða \(-1\) eru núllstöðvar. Fáum

\[\begin{split}\begin{aligned} h(1)&=15 \cdot 1-3 \cdot 1 -10 \cdot 1 + 1 \cdot 1 -3 \\ &=15-3-10+1-3\\ &=0 \end{aligned}\end{split}\]

svo \(x=1\) er núllstöð.

Dæmi 2

Finnið einhverja núllstöð margliðunnar \(g(x)=10x^4+8x^3+8x^2+5x-5\).

Lausn

Við sjáum að \(1\) er ekki núllstöð.

Munum að \((-1)^n=-1\) ef \(n\) er oddatala og \((-1)^n=1\) ef \(n\) er slétt tala.

Fáum nú

\[\begin{split}\begin{aligned} g(-1) &= 10 \cdot (-1)^4 + 8 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2+5 \cdot (-1)-5\\ & =10-8+8-5-5\\ &=0 \end{aligned}\end{split}\]

svo að \(x=-1\) er núllstöð.

Dæmi 3

Finnið einhverja núllstöð margliðunnar \(r(x)=2x^4-5x^3-2x^2-9\).

Lausn

Sjáum með prófun að hvorki \(1\) né \(-1\) eru núllstöðvar. Beitum þá \(p/q\)-aðferð.

Mengi allra talna sem gengur upp í tölunni \(2\) er \(A=\{1,-1,2,-2\}\). Mengi allra talna sem gengur upp í tölunni \(9\) er \(B=\{1,-1,3,-3,9,-9 \}\). \(\frac{p}{q}\)-aðferð segir okkur að við eigum að giska á núllstöð af gerðinni \(\frac{p}{q}\) þar sem \(p\in B\) og \(q\in A\).

Öll möguleg brot af slíkri gerð eru mjög mörg talsins, hins vegar má í raun sleppa öllum mínustölum í öðru hvoru menginu því annars tvíteljum við margar tölur. Sleppum mínustölunum í \(A\) og þá eru möguleikarnir:

\[\dfrac{1}{1}, \; \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{-1}{1}, \; \dfrac{-1}{2}, \; \dfrac{3}{1},\; \dfrac{3}{2}, \; \dfrac{-3}{1}, \; \dfrac{-3}{2}, \; \dfrac{9}{1}, \; \dfrac{9}{2}, \; \dfrac{-9}{1},\; \dfrac{-9}{2}\;\]

Stingum öllum þessum tölum inn í margliðuna \(r\) (við erum búin að prófa \(1\) og \(-1\)):

\[\begin{split}\begin{aligned} r\left(\frac{1}{2}\right)& =-10 \\ r\left(\frac{-1}{2}\right)&=-\frac{35}{4}\\ r\left(\frac{3}{1}\right)&=r(3)=0\\ r\left(\frac{3}{2}\right)&=-\frac{81}{4}\\ r\left(\frac{-3}{1}\right)&=r(-3)=270\\ r\left(\frac{-3}{2}\right)&=\frac{27}{2}\\ r\left(\frac{9}{1}\right)&=r(9)=9306\\ r\left(\frac{9}{2}\right)&=315\\ r\left(\frac{-9}{1}\right)&=r(-9)=16596\\ r\left(\frac{-9}{2}\right)&=\frac{4905}{4} \end{aligned}\end{split}\]

Með þessari aðferð fundum við eina núllstöð, \(x=3\), því að \(r(3)=0\).

6.7. Pascal

Rifjum upp nokkrar mikilvægar liðanir en: expand
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. :

\[\begin{split}\begin{aligned} & (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad &\textit{(ferningsregla fyrir summu)} \\ & (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad &\textit{(ferningsregla fyrir mismun)} \\ & (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \qquad &\textit{(samokaregla)} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Prófum að liða \((a+b)^3\):

\[\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)(a+b) \\ &= (a+b)(a^2+2ab+b^2) \\ &= a^3 + 2a^2b +ab^2 +ba^2 +2ab^2 + b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ \end{aligned}\end{split}\]

Skoðum fleiri liðanir á forminu \((a + b)^n\):

\[(a + b)^0 = 1\]
\[(a + b)^1 = a + b\]
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3\]
\[(a + b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4\]
\[(a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3b^2 + 10a^2 b^3 + 5 ab^4 +b^5\]

Skoðum aðeins mynstrið sem er að verða til:

  1. það eru alltaf \(n+1\) liðir,

  2. í hverjum lið er summa veldana jafn \(n\),

  3. veldið á \(a\) lækkar frá \(n\) niður í \(0\) og veldið á b hækkar frá \(0\) upp í \(n\),

  4. stuðlarnir fyrir framan liðina byrja á því að hækka og svo speglast þeir og lækka þegar komið er að miðju liðinum.

Þessir stuðlar mynda mynstur sem getur borgað sig að hafa á hreinu.

Mynstrið kallast Pascal þríhyrningurinn:

../_images/pascal.svg

Hér eru stuðlarnir fyrir \(n=0,1,2,3,...,8\).

Hvert stak í Pascal þríhyrningnum er summa stakanna sem eru fyrir ofan það og auk þess er ásum raðað á endana.

../_images/pascal2.svg

Dæmi

Hvernig er liðuninn á \((a+b)^9\)?

Hér er \(n=9\) svo veldið á \(a\) byrjar í 9 og lækkar síðan niður í núll. Veldið á \(b\) byrjar í núll og hækkar upp í 9.

Stuðlarnir fyrir framan liðina koma úr Pascal-þríhyrningnum. Á efri myndinni eru stuðlarnir fyrir \(n=8\) í neðstu línunni. Reiknum næstu línu, stuðlana fyrir \(n=9\) með því að leggja saman tölurnar fyrir ofan og bæta við einum á hvorn endann.

Fáum t.d. \(70+56=126\) svo stuðlarnir eru:

../_images/pascald.svg

Því er liðunin á \((a+b)^9\) :

\(a^9 + 9a^8b + 36a^7b^2 + 84a^6b^3 + 126a^5b^4 + 126a^4b^5 + 84a^3b^6 + 36a^2b^7 + 9ab^8 + b^9\).

Það er hægt að reikna stuðlana án þess að teikna upp allan þríhyrninginn. Þessir stuðlar eru kallaðir tvíliðustuðlar en: binomial coefficient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. og fást úr eftirfarandi formúlu:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\end{split}\]

Hér er \(n\) veldið á \((a+b)^n\) eða númer raðar í þríhyrningnum og \(k\) er númer liðsins sem við erum að skoða. Athugum að \(k\) tekur heiltölugildi frá núll upp í \(n\) (oft segjum við að \(k\) hlaupi frá núll upp í \(n\) ).

Aðvörun

Athugið að við byrjum að telja línurnar og stökin í núlli!

Þegar tölur eru hrópmerktar með ! þá erum við að reikna aðfeldi en: factorial number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. þeirra og þá gildir

\[n! = \prod_{i=1}^{n}i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n\]

Aðvörun

Núll hrópmerkt er skilgreint sem \(0!=1\)

Dæmi

\(5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\)

Því getum við skrifað liðunina á margliðum á forminu \((a+b)^n\) sem

\[\begin{split}\begin{aligned} (a+b)^n &= \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^nb^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b^1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^2 + \\ &...+ \begin{pmatrix} n \\ n-2 \end{pmatrix} a^2b^{n-2} + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix}a^1b^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}a^0b^n \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Skoðum liðunina á \((a+b)^4\) . Hér er \(n=4\) svo fyrsti stuðullin við \(a^4\cdot b^0 = a^4\) er \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} &= \frac{4!}{0!(4-0)!} \\ &= \frac{4!}{4!}\\ &= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} \\ &= 1 \end{aligned}\end{split}\]

Næsti er \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^3 b\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &= \frac{4!}{1!(4-1)!} \\ &= \frac{4!}{3!}\\ &= \frac{1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3} \\ &= \frac{24}{6} \\ &= 4 \end{aligned}\end{split}\]

Nú \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^3 b\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &= \frac{4!}{2!(2)!}\\ &= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2 \cdot(1 \cdot 2)} \\ &= \frac{24}{4} \\ &= 6 \end{aligned}\end{split}\]

og svo framvegis.

Fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} (a + b)^4 &= \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^3b + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}a^2b^2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ab^3 + \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} b^4 \\ &= \quad a^4 \quad +\quad 4 a^3b \quad + \quad 6 a^2b^2 \quad + \quad 4 ab^3 \quad + \quad b^4 \end{aligned}\end{split}\]

Sjáum að stuðlarnir eru einmitt fjórða línan í Pascal þríhyrningnum.

Hér sjáum við samantekt af tvíliðustuðlum upp í \(n=6\) :

../_images/pascalbin.svg

Athugasemd

Takið eftir að eftirfarandi gildir alltaf:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 1\end{split}\]