4. Mengi
4.1. Grunnhugtök
Mengi
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Hér dæmi um mengi \(A\) þar sem \(x_1 \in A\) en \(x_2 \notin A\).
Oft eru mengi sett fram sem upptalning á stökum. Til dæmis er
\(\{1,2,3,\dots\}\) mengi náttúrlegra talna,
\(\{2,4,6,8,10\}\) mengið sem samanstendur af fimm fyrstu jákvæðu sléttu tölunum og
\(\{2,3,5,7,11\}\) mengið sem samanstendur af fimm fyrstu frumtölunum.
Tómamengið
en: empty set, vacuous set, void set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
4.1.1. Umfangsfrumsenda
Tvö mengi \(A\) og \(B\) eru sögð vera jöfn, ef þau innihalda sömu stök og við skrifum þá \(A=B\).
4.1.2. Hlutmengi
Mengið \(B\) er sagt vera
hlutmengi
en: subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Hér er dæmi um mengi \(A\) sem inniheldur mengið \(B\), m.ö.o. \(B \subset A\)
Dæmi
Mengið \(B=\{ 2,4,6 \}\) er hlutmengi í menginu \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) því öll stökin í \(B\) má líka finna í \(A\) .
4.2. Yrðingar til að skilgreina mengi
Stundum getur verið gagnlegt að skilgreina mengi með stökum sem öll hafa einhverja ákveðna eiginleika. Við þurfum að geta táknað þetta mengi á einfaldan hátt en stundum eru stökin óendanlega mörg og því ómögulegt að beinlínis telja þau upp eins og í dæmunum að ofan.
Yrðing
en: proposition, sentence, statement
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Formlegri leið til að segja þetta er:
4.2.1. Skilgreining
Hægt er að setja fram mengi með opinni yrðingu \(p(x)\), þannig að mengið samanstandi af öllum stökum \(x\) þannig að \(p(x)\) sé sönn yrðing.
Sjáum að mengið \(A\) er hlutmengi í \(C\) .
Þetta verður best skýrt með dæmum.
Dæmi
1. Látum \(A = \{x \text{ er frumtala }| x \text{ hefur } 3 \text{ í einingasætinu }\}\).
Nú getum við sagt að t.d. \(3 \in A, 13 \in A, 103 \in A\) þar sem allar þessar tölur eru frumtölur með \(3\) í einingarsætinu.
\(33\) er ekki stak í \(A\) (ritað \(33 \notin A)\) því \(33\) er ekki frumtala.
\(51\) er heldur ekki stak í \(A\) því að hún hefur \(1\) í einingasætinu en ekki \(3\).
2. Látum \(C = \{x \text{ er heiltala }| x \text{ er slétt tala }, x \text{ er oddatala}\}\).
Hér er \(C = \emptyset\) þar sem að engin tala getur verið bæði slétt tala og oddatala í einu.
4.3. Aðgerðir á mengjum
Ef \(A\) og \(B\) eru mengi þá táknum við mengi allra staka sem eru í \(A\) eða í \(B\) með
\(A\cup B\). Þetta mengi köllum við
sammengi
en: union, join
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Athugasemd
Í stærðfræðilegu samhengi hefur samtengingin „eða“ merkinguna „og/eða“.
Mengi allra staka sem eru bæði í \(A\) og \(B\) er táknað með \(A \cap B\). Þetta mengi er kallað
sniðmengi
en: intersection, meet
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Aðvörun
Við segjum að \(A\) og \(B\) séu
sundurlæg
en: mutually exclusive, mutually disjoint, pairwise disjoint
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Mengi allra staka sem eru í \(A\) en ekki í \(B\) er kallað mismunur (eða
mengjamismunur
en: difference, relative complement, remainder
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Hér er dæmi um tvö mengi \(A\) og \(B\) sem hafa sniðmengi, m.ö.o eru ekki
sundurlæg
en: mutually exclusive, mutually disjoint, pairwise disjoint
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Dæmi
Látum \(A=\{x\in\mathbb{N}|x\text{ er slétt tala}\},B=\{x\in\mathbb{N}|x\text{ er oddatala}\}\) og \(C=\{2,3,5,6,8\}\)
Hér er \(A\cup B=\mathbb{N}\) því að allar náttúrulegar tölur eru annað hvort sléttar tölur eða oddatölur.
\(A\cap B=\emptyset\) því að engin tala er bæði slétt tala og oddatala.
\(A\setminus B=A\) því að ekkert stak í \(A\) er líka í \(B\) og því er ekkert dregið frá.
\(A\cap C=\{2,6,8\}\)
\(C\setminus B=\{2,6,8\}\)
4.3.1. Faldmengi
Faldmengi
en: cartesian product, cross product, outer product, product set, set product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Dæmi
Látum \(A=\{2,3,6\}\)
\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er stak í \(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}\). Það er ritað \(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\in \mathbb{N}\times\mathbb{Q}\)
\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er líka stak í \(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\) því að \(2=\dfrac{2}{1}\) er í báðum mengjunum \(\mathbb{N}\) og \(\mathbb{Q}\)
\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er líka stak í menginu \(A\times\mathbb{Q}\)
\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er ekki stak í menginu \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) því \(\dfrac{5}{4}\) er ekki í \(\mathbb{N}\)
4.3.2. Fyllimengi
Þegar verið er að fjalla um hlutmengi \(A\) í ákveðnu mengi \(X\), þá er mengið \(X \backslash A\) oft nefnt
fyllimengi
en: complement, complementary subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Hér er bláa svæðið fyllimengi hlutmengisins \(A\), \(A^c\).
Mengið X er kallað
almengi
en: universal set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
4.4. Meira um aðgerðir á mengjum
Auðvelt er að sannfæra sig um eftirfarandi reiknireglur á mengjum:
Þessi regla segir að það skipti ekki máli í hvaða röð maður tekur sammengi og sniðmengi. Því má skrifa \(A\cup B\cup C\) eða \(A\cap B\cap C\) og sleppa öllum svigum.
Aðvörun
Það þarf alls ekki að gilda að \(\left(A\cup B\right)\cap C=A\cup\left(B\cap C\right)\), til dæmis. Lesandi er hvattur til að ganga úr skugga um þetta sjálfur.
Það skiptir höfuðmáli hvaða aðgerð er gerð fyrst þegar sam- og sniðmengjum er blandað saman. Að nota sviga er nauðsynlegt; skrifa \(A\cup B\cap C\) eða \(A\cap B\cup C\) er merkingarlaust.
Dæmi
Gefin eru mengin \(A:= \{ 1,2,3,4,5 \}, B := \{ 2,4,6,8,10\}\) og \(C := \{ 6,7,8,9,10\}\)
1. Finnið \((A \cup B) \cap C\).
Byrjum á að finna \(A \cup B\). Það er mengi allra staka sem eru stök í öðru hvoru mengjanna \(A\) eða \(B\), það er, \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8,10 \}\).
\((A \cup B) \cap C\) inniheldur síðan nákvæmlega þau stök sem eru bæði í \(A \cup B\) og \(C\).
\((A \cup B) \cap C = \{6,8,10 \}\).
2. Finnið \(A \cup (B \cap C)\).
Nú er \(B \cap C = \{6,8,10 \}\) og þá er \(A \cup (B \cap C) = \{1,2,3,4,5,6,8,10 \}\).
Tökum eftir að hér er dæmi þar sem að \((A \cup B) \cap C \neq A \cup (B \cap C)\) gildir.
3. Finnið \((A \cap B) \cap C\).
Nú er \(A \cap B = \{ 2,4 \}\) svo \((A \cap B) \cap C = \{2,4 \} \cap \{6,7,8,9,10 \} = \emptyset\) því \(2\) og \(4\) eru ekki í \(C\) .
Nú skulum við skilgreina sam- og sniðmengi fleiri en tveggja mengja. Látum \(n \in \mathbb{N_+}\) og \(A_1,A_2,\dots,A_n\) vera mengi. Látum \(I = \{1, \dots, n \}\). Skilgreinum:
Í raun er \(\bigcup_{i=1}^n A_i\) bara önnur leið til að skrifa
og \(\bigcap_{i=1}^n A_i\) er bara önnur leið til að skrifa
Athugasemd
Hér nýtum við okkur reikniregluna að \(\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup\left(B\cup C\right)\), og hliðstæðu hennar fyrir sniðmengi, aftur og aftur.
Inn á milli kemur fyrir að stærðfræðingur vilji taka sammengi óendanlegra margra mengja. Segjum að við höfum eitthvað safn af mengjum (eða mengi af mengjum) þannig að búið sé að merkja öll mengin með einhverjum
vísi
en: index
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Með yrðingum er þetta skilgreint:
Eins eru sniðmengin skilgreind:
Tökum nokkur dæmi um þetta.
Dæmi
1. Látum \(\mathbb{P}\) tákna mengi allra frumtalna.
Fyrir sérhvert \(p\in\mathbb{P}\) skulum við láta \(A_p\) vera mengi allra náttúrulegra talna sem \(p\) gengur upp í. Með yrðingum skrifum við:
\[A_p=\{n\in\mathbb{N}|p\text{ gengur upp í }n \}\]Hér er vísismengið \(\mathbb{P}\) og
\[\bigcup_{p\in\mathbb{P}}A_p=\mathbb{N}\setminus\{1\}\]Það er af því að sérhver tala í \(\mathbb{N}\) sem er stærri en \(1\) er deilanleg með einhverri frumtölu, og því er til \(p\) þannig að talan sé í \(A_p\).
2. Fyrir sérhvert \(n\in \mathbb{Z}\) skulum við láta \(B_n\) vera mengi allra almennra brota sem hafa \(n\) sem teljara þegar þau eru fullstytt. Með yrðingum skilgreinum við þetta mengi:
\[B_n=\{r\in\mathbb{Q}|\,\, \text{Ef }r=\dfrac{a}{b}\text{ og } \dfrac{a}{b}\text{ er fullstytt brot þá er }a=n \}\]Hér er \(\mathbb{Z}\) vísismengið og:
\[\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}B_n=\mathbb{Q}\]Af því að sérhvert almennt brot er í einhverju af mengjunum \(A_n\).
3. Látum \(T\) vera mengið sem hefur sem stök öll tré í heiminum. Ef \(t\in T\) er eitthvað tré látum við mengið \(L_t\) vera mengi allra laufblaða á trénu \(t\). Með yrðingum skrifum við:
\[L_t=\{l\text{ er laufblað}|\, l\text{ er á trénu }t \}\]Hér er \(T\) vísismengið og
\[\bigcup_{t\in T}L_t=\{l\text{ er laufblað}|\, l\text{ er á einhverju tréi } \}\]
4.5. Rauntalnabil
Látum \(I\) vera hlutmengi í \(\mathbb{R}\).
Við köllum hlutmengið \(I\)
bil
en: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Formlega skilgreiningin á bili er svohljóðandi:
4.5.1. Skilgreining
Hlutmengi \(I\) í \(\mathbb{R}\) kallast
bil
en: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
4.5.2. Gerðir af bilum
Til að tákna bil í prenti þarf að nota tvær tölur, hornklofa og/eða sviga eftir aðstæðum og eina kommu. Hér verða nokkur bil útskýrð í töluðu máli:
Bilið \([a,b]\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\), meðtaldar eru tölurnar \(a\) og \(b\).
Bilið \((a,b)\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\) en hér eru \(a\) og \(b\) frátaldar.
Bilið \((a,\infty)\) er mengi allra rauntalna sem eru stærri en \(a\) en hér er \(a\) ekki tekið með.
Bilið \([a,b)\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\) að stakinu \(a\) meðtöldu en án staksins \(b\).
Athugasemd
Hér eru notaðir svigar fyrir opin bil, en í sumum bókum er opið bil táknað með því að snúa hornklofunum öfugt. Því \(]a,b[\) táknar það sama og \((a,b)\) .
Hér er tæmandi listi yfir allar gerðir af endanlegum bilum, skilgreindum með yrðingum:
Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur þannig að \(a<b\). Skilgreinum
opið bil en: open interval
\((a,b)=\{x\in \mathbb{R}| a<x<b\}\)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.lokað bil en: closed interval
\([a,b]=\{x\in \mathbb{R}| a\leq x\leq b\}\)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.hálfopið bil en: half-open interval, semi-open interval
\([a,b)=\{x\in \mathbb{R}| a\leq x<b\}\)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.hálfopið bil en: half-open interval, semi-open interval
\((a,b]=\{x\in \mathbb{R}| a< x\leq b\}\)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Óendanlegu bilin eru þau sem halda áfram óendanlega langt í aðra hvora eða báðar áttir. Látum \(a\) vera rauntölu. Skilgreinum
opið óendanlegt bil \((a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}| a<x\}\)
opið óendanlegt bil \((-\infty, a)=\{x\in \mathbb{R}; x<a\}\)
lokað óendanlegt bil \([a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x\}\)
lokað óendanlegt bil \((-\infty, a]=\{x\in \mathbb{R}; x\leq a\}\)
öll rauntalnalínan \((-\infty, \infty)= \mathbb{R}\).