3. Rúmfræði
3.1. Hnitakerfi
Kartesíska
hnitakerfið
en: coordinate system, system of coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Til að marka punkt \((a,b)\) inn á svona hnitakerfi þá teiknum við lóðrétta línu í gegnum punktinn \(a\) á \(x\)-ásnum og lárétta línu í gegnum punktinn \(b\) á \(y\)-ásnum. Þar sem línurnar skerast mörkum við punktinn \((a,b)\).
Á myndinni má sjá punktinn \((4,2)\) markaðan í hnitakerfi.
3.1.1. Fjarlægð milli punkta í kartesísku hnitakerfi
Látum \(P_1=(x_1,y_1)\) og \(P_2=(x_2,y_2)\) vera tvo punkta í hnitakerfinu. Til þess að finna fjarlægðina á milli þeirra skulum við nota reglu Pýþagórasar.
Við myndum rétthyrndan þríhyrning með því að bæta við punkti sem við skulum kalla \(P_3\). Þessi punktur hefur sama \(y\)-
hnit
en: component
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Fjarlægðin milli punktanna \(P_1\) og \(P_3\) er \(|x_2-x_1|\).
Fjarlægðin milli punktanna \(P_2\) og \(P_3\) er \(|y_2-y_1|\).
Við vitum því skammhliðarnar í þessum þríhyrningi og notum reglu Pýþagórasar til að finna
langhliðina
en: hypotenuse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þar sem \(a, b\) eru skammhliðarnar og \(c\) er langhliðin. Því vitum við að lengd langhliðarinnar er \(c=\sqrt{a^2+b^2}\).
Með því að nota þessa reglu getum við því fundið fjarlægðina á milli \(P_1\) og \(P_2\):
3.1.2. Regla
Fjarlægðin milli punktanna \(P_1=(x_1,y_1)\) og \(P_2=(x_2,y_2)\) í hnitakerfinu er
Athugasemd
Hér er \(a = |x_2-x_1|\) og \(b = |y_2-y_1|\) miðað við reglu Pýþagórasar.
Dæmi
Finnum fjarlægðina milli punktanna \((1,2)\) og \((5,7)\) í hnitakerfinu.
Hér er \(x_1=1\), \(x_2=5\), \(y_1=2\) og \(y_2=7\). Setjum þetta inn í jöfnuna að ofan og fáum að fjarlægðin milli punktanna er
3.2. Jafna línu í hnitakerfinu
Til að tákna línur í hnitakerfinu er algengt að nota jöfnur.
Almennt form jöfnu línu er
þar sem \(a,b\) og \(c\) eru rauntölur. Það er, fyrsta stigs jafna er jafna línu.
Athugasemd
Oft er jafna línu rituð á eftirfarandi hátt:
sjá nánar í kafla 3.3
eða
þar sem \((x_1,y_1)\) er punktur á línunni og \(h\) er hallatalan.
Dæmi
Skoðum jöfnuna
Hér er \(a=-1/2\), \(b=1\) og \(c=1\) miðað við almennu framsetninguna. Finnum nú nokkur gildi á \(x\) og \(y\) sem uppfylla þessa jöfnu og mörkum samsvarandi punkta \((x,y)\) í hnitakerfið.
Ef \(x=0\) og \(y=-1\) þá stenst jafnan. Það sést með prófun:
Við mörkum því punktinn \((0,-1)\) í hnitakerfið.
Ef \(x=2\) og \(y=0\) þá stenst jafnan. Við mörkum því punktinn \((2,0)\) í hnitakerfið. Á sama hátt getum við markað punktana \((-6,-4)\), \((-4,-3)\), \((-2,-2)\), \((4,1)\) og \((6,2)\) í hnitakerfið því að ef þessum hnitum er stungið inn í jöfnuna þá stenst hún. Það hefur verið gert á myndinni.
Við sjáum að allar lausnirnar lenda á sömu línunni í hnitakerfinu. Auk þess eru allir punktarnir á línunni (líka þeir sem ekki eru merktir) lausn á jöfnunni.
Þess vegna segjum við að jafnan \(-\dfrac{1}{2}x+y+1=0\) sé jafna línunnar sem fram kemur á myndinni. Jafnan hefur óendanlega margar lausnir og línan teygir sig óendanlega langt í báðar áttir.
3.3. Hallatala og skurðpunktur við ása
Jafnan \(ax+by+c=0\) kallast almenn jafna línu. Þó getur verið hentugra að koma henni yfir á annað form.
Við getum einangrað \(y\) úr þessari jöfnu með reikniaðgerðum. Þá fæst jafna
þar sem \(h = -\frac{a}{b}\) og \(s = -\frac{c}{b}\).
Fastinn \(h\) kallast
hallatala
en: slope
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Hallatala línunnar, \(h\), táknar hversu mikið línan hallar. Ef við vitum einn punkt á línunni þá getum við fundið annan með því að færa okkur fyrst einn til hægri eða vinstri í hnitakerfinu og svo \(h\) upp eða niður.
Skurðpunktur línu við \(y\)-ásinn er tala \(s\) sem segir okkur hvar línan sker \(y\)-ásinn. Línan mun skera ásinn í punktinum \((0,s)\).
Skurðpunktur línu við \(x\)-ásinn er skylt hugtak, en sú tala segir okkur hvar línan sker \(x\)-ásinn. Hann finnum við með því að setja \(y=0\) inn í jöfnu línunnar og leysa fyrir \(x\).
Athugasemd
\(x\)-ásinn er línan þar sem \(y=0\) og \(y\)-ásinn er línan þar sem \(x=0\). Þess vegna getum við fundið skurðpunkt línu við \(x\)-ás með því að setja \(y=0\) inn í jöfnu línunnar, og sömuleiðis finnum við skurðpunkt við \(y\)-ás með því að setja \(x=0\) inn í jöfnu línunnar.
Dæmi
Finnum hallatölu og skurðpunkta línunnar
við \(x\)-ás og \(y\)-ás. Teiknum svo línuna inn í hnitakerfi.
Byrjum á að koma línunni yfir á formið \(y=hx+s\). Einangrum \(y\) og fáum
Nú getum við fundið skurðpunkt við \(y\)-ás út frá jöfnu línunnar. Hér er \(s=-3\) svo skurðpunktur við \(y\)-ás hefur hnit \((0,-3)\).
Við sjáum líka út frá jöfnu línunnar að \(h=2\) svo hallatala línunnar er \(2\).
Við finnum skurðpunkt línunnar við \(x\)-ás með því að setja \(y=0\) í jöfnu hennar og leysa fyrir \(x\). Fáum \(2x-3=0\), það er, \(x=\frac{3}{2}\). Skurðpunkturinn við \(x\)-ás er því punkturinn \((\frac{3}{2},0)\).
Finnum tvo punkta á línunni í viðbót með því að nota hallatölu hennar. Hallatalan er \(2\). Færum okkur því einn til hægri og tvo upp frá skurðpunkti línunnar við \(y\)-ás og fáum því að punkturinn \((1,-1)\) tilheyrir línunni.
Færum okkur líka einn til hægri og tvo upp frá skurðpunkti línunnar við \(x\)-ás og fáum að punkturinn \((\frac{5}{2}, 2)\) tilheyrir línunni.
Nú höfum við fundið fjóra punkta línunnar. Merkjum þá inn á hnitakerfið og drögum beina línu í gegnum þá. Þá fæst graf línunnar.
Athugasemd
Athugum að til að teikna línu er nóg að finna tvo punkta sem liggja á henni og finna beina línu í gegnum þá, en í dæminu hér að ofan fundum við fjóra.
Dæmi
Finnum hallatölu og skurðpunkta línunnar
við \(x\)-ás og \(y\)-ás.
Komum jöfnunni yfir á formið \(y=hx+s\)
Þá fáum við skurðpunktinn við \(y\)-ás \(s = 1\) og hallatölu \(h= -\frac{3}{2}\).
Skurðpunkturinn við \(x\) -ás fæst með að setja \(y=0\) í jöfnuna og leysa fyrir \(x\) . Fáum \(3x + 2(0) -2 = 0\) sem gefur okkur \(x = \frac{2}{3}\)
Þá eru skurðpunktarnir tveir \((0, 1)\) og \((\frac{2}{3}, 0)\)
Þá fæst graf línunnar:
3.4. Meira um jöfnu línu
Stundum fáum við gefna tvo punkta \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) og þurfum að finna jöfnu línunnar sem gengur í gegnum þá. Til þess getum við notað eftirfarandi reglu:
3.4.1. Regla
Setning
Hallatala línunnar, \(h\), sem gengur í gegnum punkta \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) fæst með formúlunni
3.4.2. Að finna jöfnu línu
Þegar við höfum fundið hallatölu línunnar þá þurfum við líka að reikna út fastann \(s\), skurðpunkt við \(y\)-ás. Við vitum að línan gengur í gegnum punktana \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\). Því þarf jafnan \(y_1=hx_1+s\) að ganga upp (sömuleiðis jafnan \(y_2=hx_2+s\) en það er nóg að notast við aðra hvora af þessum jöfnum). Við einangrum þá \(s\) út úr þessari jöfnu. Þá getum við ritað jöfnu línunnar
þar sem við þekkjum fastana \(h\) og \(s\).
Dæmi
Finnum jöfnu línunnar sem gengur í gegnum punktana \((1,2)\) og \((13,17)\).
Byrjum á að finna hallatölu hennar. Samkvæmt reglu að ofan fæst
Jafna línunnar er því af gerðinni
Til að finna skurðpunkt við \(y\)-ás athugum við að þar sem línan gengur í gegnum punktinn \((1,2)\) þá þarf jafnan að standast þegar þessum punkti er stungið inn í hana. Því fæst
Einangrum nú \(s\) og fáum \(s=\frac34\).
Nú höfum við fundið \(h\) og \(s\) og jafna línunnar er því
3.4.3. Samsíða og þverstæðar línur
3.4.3.1. Samsíða línur
Ef línur \(m_1\) og \(m_2\) eru með hallatölu \(h_1\) og \(h_2\) þá gildir
Það er, ef hallatalan er sú sama þá segjum við að línurnar séu
samsíða
en: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
3.4.3.2. Þverstæðar línur
Ef línur \(m_1\) og \(m_2\) eru með hallatölu \(h_1\) og \(h_2\) og um þær gildir
þá eru línurnar
þverstæðar
en: perpendicular, orthogonal, normal
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Dæmi
Látum \(l\) vera línuna sem gengur í gegnum punktana \((-3,6)\) og \((1,-2)\).
Finnum jöfnu línu sem gengur í gegnum punktinn \((1,1)\) og er
samsíða
en: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Köllum línuna sem við erum að leita að \(m\). Það að línurnar \(l\) og \(m\) séu samsíða þýðir að þær hafa sömu hallatölu. Til að finna hallatölu línunnar \(m\) nægir því að finna hallatölu línunnar \(l\). Hallatalan er:
Jafna línunnar \(m\) er því af gerðinni
en við eigum eftir að finna \(s\). Gefið er að punkturinn \((1,1)\) er á línunni svo jafnan þarf að standast þegar \((x,y)=(1,1)\) er stungið inn í hana. Með öðrum orðum er
Jafna línunnar \(m\) er því \(y=-2x+3\).
3.4.4. Miðpunktsregla
Reikna má miðpunkt striksins á milli \(A(x_1, y_1)\) og \(B(x_2,y_2)\) með:
3.5. Keilusnið
Keilusnið
en: conic section
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Á myndinni má sjá nokkrar tegundir keilusniða. Ferlarnir eru grænir á ljósbláu blaðinu.
Mynd 1 er af fleygboga en: parabola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Mynd 2 er af sporöskju en: ellipse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Á mynd 2 er líka hringur en: circle, circuit, cycle, stigm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Mynd 3 er af breiðboga en: hyperbola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.Línur eru líka keilusnið, en þær koma fram þegar blaðið leggst einmitt á brún keilanna.
Stakur punktur kemur fram þegar blaðið leggst einmitt þar sem keilurnar mætast.
3.5.1. Fleygbogar
Fleygbogi
en: parabola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Topppunktur fleygboga er í punktinum:
Línan \(x=-\frac{b}{2a}\) kallast
samhverfuás
en: axis of symmetry
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Fleygboginn sker \(y\) -ás hnitakerfisins í punkti \((0,c)\) .
Fleygboginn sker \(x\) -ás hnitakerfisins:
Aldrei ef \(b^2-4ac<0\) .
Einu sinni í punkti \((-b/2a, 0)\) ef \(b^2-4ac=0\) .
Tvisvar í punktum \(x_0=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0 \right)\) og \(x_1= \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0 \right)\) ef \(b^2-4ac>0\) .
Fleygbogar hafa mismunandi lögun eftir formerkjum:
ef \(a>0\) þá er fleygboginn kúptur en: convex
:
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(a<0\) þá er fleygboginn hvelfdur en: concave
:
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Dæmi
Skoðum fleygbogann \(x^2-x-1=0\) . Tökum fyrst eftir að fleygboginn er kúptur því \(a=1>0\) . Reiknum topppunktinn:
Samhverfuásinn liggur lóðrétt í gegnum topppunktinn.
Reiknum næst skurðpunkta fleygbogans við \(x\) -ás. Sjáum að \(b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1) = 5 >0\) og því eru skurðpunktarnir tveir:
Athugasemd
Til eru fleygbogar sem snúa á hlið. Þeir hafa formið \(ay^2+by+c=x\) .
Athugasemd: Tengsl við eðlisfræði
Ljósgeisli sem lendir á speglandi yfirborði speglast af yfirborðinu til baka með sama horni og hann lenti með. Með öðrum orðum er innfallshornið jafnt útfallshorninu, \(\theta_1=\theta_2\).
Ljósgeislar sem lenda á innra yfirborð fleygboga speglast líka, en þar sem yfirborðið er sveigt speglast þeir ekki allir á sama hátt.
Það sem er merkilegast við fleygboga er að ljósið sem endurkastast fer allt einmitt í gegnum sama punkt! Sá punktur er kallaður
brennipunktur
en: focal point, focus
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Þversnið þessa gervihnattardisks hefur lögun fleygboga. Móttakarinn er settur á stöng svo hann liggi í brennipunkti fleygbogans og merki (t.d. útvarpsbylgjur) sem falla á yfirborð disksins endurkastast í móttakarann. Merkið verður því skýrt og stöðugt.
3.5.2. Sporöskjur
Sporöskjur
en: ellipse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Miðja sporöskju er í punktinum \((x_0, y_0)\) . Tölurnar \(a\) og \(b\) lýsa lengstu fjarlægð ferilsins frá miðju í \(x\) - og \(y\) -stefnu.
Sporöskjur hafa tvo
brennipunkta
en: focal point, focus
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Ef \(a>b\) þá er brennipunktarnir á \(x\) -ás sporöskjunnar, í fjarlægð \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) frá miðju.
Ef \(a<b\) þá er brennipunktarnir á \(y\) -ás sporöskjunnar, í fjarlægð \(c=\sqrt{b^2-a^2}\) frá miðju.
Dæmi
1. Skoðum sporöskju með \(a=3\) og \(b=2\) og miðju í punktinum \((2,2)\) og finnum graf hennar. Þar sem \(a>b\) þá eru brennipunktarnir hægra og vinsta megin við miðjuna, í fjarlægðinni \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\) .
Formúla sporöskjunnar er:
Skoðum graf sporöskjunnar
2. Skoðum graf sporöskju og finnum formúlu hennar.
Miðjan er í punktinum \((\frac{3}{2},0)\) . Lengsta fjarlægð ferilsins frá miðjunni í \(x\) - stefnu er \(a=2\) . Lengsta fjarlægð ferilsins frá miðjunni í \(y\) - stefnu er \(b=3\) .
Þar sem \(b>a\) eru brennipunktarnir ofan og neðan við miðjuna, í fjarlægðinni \(c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\) .
Formúla sporöskjunnar er því:
\[\frac{(x-\frac{3}{2})^2}{(2)^2} + \frac{(y)^2}{(2)^2} =1\]
Athugasemd: Tengsl við eðlisfræði
Plánetur eru hnettir sem eru á fastri braut í kringum stjörnu (sól). Brautir pláneta eru sporöskjur (sporbaugar) þar sem stjarnan er í öðrum brennipunkti. Pláneturnar eru því ekki alltaf í fastri fjarlægð frá sólinni og fara hraðar ef þær eru nálægt henni.
Þýski stærðfræðingurinn og stjörnufræðingurinn Johannes Kepler fylgdist með hreyfingum hnattanna og setti þessa uppgötvun fram í því sem við köllum nú fyrsta lögmál Keplers, eitt af þremur um hreyfingu himinhnatta.
Brennipunktar sporaskja tengjast með þeim skemmtilega hætti að ljós sem kemur frá öðrum brennipunktinum og endurkastast af brún sporöskjunnar lendir alltaf í hinum brennipunktinum.
Auk þess er, fyrir sérhvern punkt á sporbaugnum, summa fjarlægðanna í hvorn brennipunktinn fasti.
3.5.3. Hringir
Hringir
en: circle, circuit, cycle, stigm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
3.5.4. Breiðbogar
Breiðbogar
en: hyperbola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Ferillinn er tveir samhverfir bogar sem fara út í óendanleikann og fylgja að lokum aðfellunum \(y=\pm \frac{b}{a}(x-x_0)+y_0\) .
Breiðbogar skera annað hvort \(x\) eða \(y\) -ásinn, eftir því hvort það er plús eða mínus 1 í lok jöfnunnar.
Aðfellurnar skerast í miðjunni \((x_0,y_0)\) og tölurnar \(a\) og \(b\) lýsa hallatölum þeirra.
Ef það er plús í lokin á jöfnunni lýsir \(a\) skurðpunkti ferlanna við \(x\) - ás en ef það er mínus lýsir \(b\) skurðpunkti ferlanna við \(y\) - ás.
Athugasemd: Tengsl við eðlisfræði
Breiðbogar hafa ekki brennipunkt eins og fleygbogar og sporöskjur. Þeir koma engu að síður fram í kringum okkur, t.d. í sólarúrum .
3.6. Flatarmyndir
Flatarmál
rétthyrnings
en: rectangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Flatarmál
samsíðungs
en: parallelogram
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Flatarmál hrings er \(F=r^2\cdot\pi\) og
ummálið
en: circumference, perimeter
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Flatarmál sporöskju er \(F=a\cdot b\cdot\pi\) þar sem \(a, b\) eru lengstu fjarlægðir ferilsins frá miðju í x- og y-stefnu.
Flatarmál
þríhyrnings
en: triangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Rúmmál
kúlu
en: sphere
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
