2. Vigrar

2.1. Táknmál

Vigur (e. vector) er stærðfræðilegt hugtak fyrir stærð sem hefur bæði stærð og stefnu.

Vigrar eru oftast táknaðir með striki eða ör fyrir ofan bókstafinn, $\bar{a}$ , $\vec{a}$ , en sumir setja strikið undir, $\underline{a}$ . Í kennslubókum eru vigrar oft ekki yfirstrikaðir heldur aðeins feitletraðir, $\boldsymbol{a}$ .

Þeir eru jafnan teiknaðir sem örvar í hnitakerfi og lýst með hnitum (e. coordinates). Hnit vigurs eru venjulegar tölur, líka kallaðar skalarstærðir (e. scalar), og lýsa staðsetningu endapunkts miðað við upphafspunkt. Hvert hnit er tengt einum ás í hnitakerfinu, yfirleitt rétthyrnt, sem notað er og stærð hnitsins (tölunnar) lýsir lengd vigursins í þá átt. Hnitin geta bæði verið jákvæð og neikvæð (eða núll).

Vigrar geta bæði verið tvívíðir, í venjulegu $xy$- hnitakerfi, eða þrívíðir, í $xyz$- hnitakerfi. Vigrar eru yfirleitt ritaðir sem pör (eða þrennur) af hnitum sínum, lárétt eða lóðrétt.

Ef vigurinn er tvívíður skrifum við:

$$\begin{split}\overline{a}= (a_x,a_y) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\end{split}$$

Ef vigurinn er þrívíður þá skrifum við:

$$\begin{split}\overline{a}= (a_x,a_y,a_z) = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\a_z \end{pmatrix}\end{split}$$

þar sem $a_x$ er lengd vigursins $\bar{a}$ í stefnu $x$ - áss, $a_y$ er lengd vigursins $\bar{a}$ í stefnu $y$ - áss og $a_z$ er lengd vigursins $\bar{a}$ í stefnu $z$ - áss.

2.1.1. Lengd vigurs

Lengd vigra er táknuð með lóðréttum strikum, algildismerkjum, $|\bar{a}|$, eða einfaldlega bókstafnum án yfirstriksins, $a$. Lengdina má reikna með jöfnu Pýþagórasar, ef vigur er tvívíður þá er heildarlengd vigurs:

$$|\bar{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$$

En ef hann er þrívíður þá er lengdin:

$$|\bar{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2+a_z^2}$$

Vigurinn á myndinni hér að ofan hefur lengd 4 eftir $x$-ásnum og 3 eftir $y$-ásnum, svo hnit hans eru $a_x = 4$ og $a_y = 3$ og vigurinn $\bar{a}$ má þá rita:

$$\begin{split}\bar{a} = (a_x,a_y) = (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}$$

Vigurinn á myndinni hér að ofan hefur því lengdina $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .

Athugasemd

Stærð og stefna vigurs er óháð því hvar í hnitakerfinu hann er.

---

Æfingadæmi Hver er lengd vigursins $\vec{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ ?

1. $|\vec{b}| = 7$

2. $|\vec{b}| = \sqrt{21}$

3. $|\vec{b}| = \sqrt{29}$

Lausn

Notum reglu Pýþagórasar:

$$\begin{split}\begin{aligned} |\bar{b}| &= \sqrt{b_x^2 + b_y^2} \\ &= \sqrt{(5)^2+(-2)^2}\\ &=\sqrt{25+4}\\ &= \sqrt{29} \end{aligned}\end{split}$$

---

2.1.2. Vigrar milli punkta

Algengt er að láta vigra liggja frá upphafspunkti hnitakerfisins (stöðu- eða staðarvigur) en það er hægt að reikna vigra á milli gefinna upphafs- og endapunkta. Vigurinn frá punktinum $A=(x_1,y_1)$ til punktsins $B=(x_2,y_2)$ er:

$$\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\end{split}$$

Ef við erum að skoða punkta í þrívíðu rúmi $A=(x_1,y_1,z_1)$ og $B=(x_2,y_2,z_2)$ þá er vigurinn á milli punktanna:

$$\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1, z_2-z_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\z_2-z_1 \end{pmatrix}\end{split}$$

Dæmi

Reiknum vigurinn frá punktinum $A=(-1,7)$ til punktsins $B=(5,2)$ .

Lausn

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 2-7 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

Vigurinn $\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}$ er sá sami, hvort sem hann liggur á milli $A$ og $B$ eða frá upphafspunktinum til punktsins $(6,-5)$ .

2.1.3. Hallatala vigurs

Stundum er talað um að tvívíður vigur hafi hallatölu $h=\frac{a_y}{a_x}$ , ef $a_x\neq 0$ . Tveir vigrar eru samsíða ef þeir hafa sömu hallatölu.

Dæmi

Finnum vigur sem er samsíða $\bar{a}=(-1,6)$ og hefur lengdina 9.

Lausn

Hallatala $\bar{a}$ er $h_{\bar{a}}=\frac{a_y}{a_x}=\frac{6}{-1}=-6$ . Þá vitum við að vigurinn sem við leitum að, $\bar{b}$ , uppfyllir það sama:

$$h_{\bar{b}}=\frac{b_y}{b_x}=-6$$

sem er jafngilt því að $b_y=-6b_x$ .

Skilyrðið að $\bar{b}$ þurfi að hafa lengdina 9 gefur að:

$$|\bar{b}| = \sqrt{b_x^2+b_y^2} =9$$

Setjum $b_y=-6b_x$ inn og fáum:

$$\begin{split}\begin{aligned} 9 &= \sqrt{b_x^2+b_y^2}\\ &=\sqrt{b_x^2+(-6b_x)^2} \\ &= \sqrt{b_x^2+36b_x^2} \\ &=\sqrt{37b_x^2} \\ &=b_x\sqrt{37} \\ b_x&=\frac{9}{\sqrt{37}} \approx 1.480\\ b_y&= -6b_x = \frac{-54}{\sqrt{37}} \approx -8.878 \end{aligned}\end{split}$$

Vigur sem er samsíða $\bar{a}=(-1,6)$ og hefur lengdina 9 er því

$$\begin{split}\bar{b}= \frac{1}{\sqrt{37}} \begin{pmatrix} 9 \\ -54 \end{pmatrix}\end{split}$$

2.2. Að liða vigra

Vigra er annað hvort hægt að tákna með rétthyrndum hnitum, eins og við höfum gert hingað til, eða með pólhnitum, þá lýsum við vigri með lengd og stefnuhorni: $\bar{a} = (a,\theta)$ . Hornið $\theta$ er skilgreint frá jákvæðum $x$-ás og að vigrinum. Með þessum upplýsingum er hægt að liða vigurinn eftir $x$- og $y$-ás með því að nota hornaföll. Hér má finna efni um hornaföll.

Þættir vigursins eru föll af stefnuhorninu sem er yfirleitt merkt $\theta$ eða $\phi$ :

$$\begin{split}a_x = a\cos(\theta) \\ a_y = a\sin(\theta)\end{split}$$

þar sem $a=|\bar{a}|$ er lengd vigursins.

Myndrænt má ímynda sér að ljósi sé lýst á $x$-ásinn með vasaljósi sem er hornrétt á ásinn. $x$-þáttur vigursins er þá eins og skuggi vigursins á $x$-ásnum. Þetta er líka kallað ofanvarp vigursins á $x$-ásinn.

Dæmi

Hér sjáum við aftur vigurinn frá því í upphafi kaflans:

$$\begin{split}\bar{a}= (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}$$

en nú skulum við athuga hvernig við getum lýst honum með lengd og stefnuhorni.

Lengd vigursins er eins og áður 5, en stefnuhornið finnum við með því að skoða skammhliðarnar.

$$\begin{split}\tan(\theta) = \frac{a_y}{a_x} = \frac{3}{4}\\ \theta\approx 0.6435\end{split}$$

Vigurinn $(4,3)$ má því líka skrifa sem $(a,\theta) = (5,0.6435)$

Öllum vigrum er hægt að lýsa með annað hvort lengdum í $x$- og $y$- stefnu eða með lengd og stefnuhorni. Eins og við höfum séð er lítið mál að breyta á milli.

---

Æfingadæmi Hvert er stefnuhorn vigursins $\vec{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ ?

1. $21.8^{\circ}$

2. $-21.8^{\circ}$

3. $68.2^{\circ}$

4. $-68.2^{\circ}$

Lausn

Við vitum að $b_x=b\cos(\theta)$ og $b_y=b\sin(\theta)$ og því fæst

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{b_y}{b_x} &= \frac{b\cos(\theta)}{b\sin(\theta)} \\ \frac{b_y}{b_x} &= \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \\ \frac{b_y}{b_x} &= \tan(\theta) \\ \arctan\left(\frac{b_y}{b_x} \right) &= \theta\\ \theta &= \arctan\left(\frac{-2}{5} \right) \\ \theta &= -21.8^{\circ} \end{aligned}\end{split}$$

---

2.3. Einingarvigrar

Einingarvigrar eru vigrar sem hafa lengdina 1, en þeir eru oft merktir með höttum ($\hat{e}$) í staðinn fyrir yfirstrikum eða örvum. Einingavigrarnir $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ og $\hat{k}$ liggja samsíða $x$ - , $y$ - og $z$ - ásunum í rétthyrndu hnitakerfi .

$$\begin{split}\begin{aligned} \hat{\imath} &= \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{\jmath} &= \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{k} &= \begin{pmatrix} 0 \\0 \\1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}$$

Þeir eru líka stundum táknaðir með $\hat{e}_x$, $\hat{e}_y$ og $\hat{e}_z$

Einingarvigrarnir $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ og $\hat{k}$ eru línulega óháðir (e. linearly independent), sem þýðir að engan þeirra er hægt að mynda úr hinum tveimur með samlagningu þeirra eða margföldun með tölu. Hvernig sem þú teygir á og raðar saman $\hat{\imath}$ og $\hat{\jmath}$ færðu aldrei út $\hat{k}$ . Þessi eiginleiki kemur til vegna þess að einingarvigrarnir eru allir hornréttir á hvorn annan.

Alla vigra má skrifa sem skalarstærðir margfaldaðar við einingarvigrana:

$$\bar{a} = (a_x, \; a_y, \; a_z ) = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}$$

2.4. Samlagning vigra

Þegar vigrar eru lagðir saman eru hnit eftir hverjum ás fyrir sig lögð saman. Summa tveggja vigra $\bar{a} = (a_x,a_y)$ og $\bar{b} = (b_x,b_y)$ er:

$$\begin{split}\bar{c} = \bar{a} + \bar{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix}\end{split}$$

Fyrir þrívíða vigra gildir sambærilegt, en summa tveggja vigra $\bar{a} = (a_x,a_y,a_z)$ og $\bar{b} = (b_x,b_y,b_z)$ er:

$$\begin{split}\bar{c} = \bar{a} + \bar{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y, a_z+b_z) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \\ a_z+b_z \end{pmatrix}\end{split}$$

Dæmi

Leggjum saman vigrana $\bar{a}=(4,3)$ og $\bar{b}=(1,3)$ :

$$\bar{a}+\bar{b}=(4,3) + (1,3) = (4+1, 3+3) = (5,6)$$

Myndrænt má ímynda sér að upphafspunktur seinni vigursins sé settur í endapunkt fyrri vigursins, og summa þeirra er frá upphafspunkti fyrri vigursins til endapunkts þess seinni.

Athugasemd

Þegar vigrar eru lagðir saman þá leggjast lengdirnar yfirleitt ekki saman. Þó að $\bar{c} = \bar{a} + \bar{b}$ þýðir það ekki að $c = a + b$.

Í dæminu hér á undan er t.d.

$$\begin{split}c = |\bar{c}| = \sqrt{5^2+6^2} \approx 7,8 \\ a + b = \sqrt{4^2+3^2} + \sqrt{1^2+3^2} \approx 8,2\end{split}$$

---

Um samlagningu vigra gilda eftirfarandi reglur:

$$\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} +\bar{b} &= \bar{b} + \bar{a} & \text{Víxlregla}\\ (\bar{a}+\bar{b})+\bar{c} &= \bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) & \text{Tengiregla} \end{aligned}\end{split}$$

---

Dæmi

Höfum þrjá punkta:

$$\begin{split}\begin{aligned} A&=(x_1,y_1)=(1,2) \\ B&=(x_2,y_2)=(4,5) \\ C&=(x_3,y_3)=(3,-1) \\ \end{aligned}\end{split}$$

Reiknum nú vigrana á milli punktanna: $\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}$

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\3\end{pmatrix} \\ &\\ \overline{AC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_1 \\ y_3-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ (-1)-2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -3\end{pmatrix} \\ &\\ \overline{BC} &= \begin{pmatrix} x_3-x_2 \\ y_3-y_2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3 - 4 \\ (-1) -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}$$

Hér eru punktarnir teiknaðir inn ásamt vigrunum $\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}$ .

Af þessu dæmi má sjá innskotsregluna :

$$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$$

2.5. Innfeldi og krossfeldi

Þegar vigur $\bar{v}$ er margfaldaður með tölu $s$ er hver þáttur vigursins margfaldaður með tölunni:

$$\begin{split}\begin{aligned} s \cdot \bar{v} &= s\cdot (v_x, v_y, v_z) \\ &= (s \cdot v_x, s \cdot v_y, s \cdot v_z) \end{aligned}\end{split}$$

Margfeldi vigra er tvenns konar, innfeldi (punktfeldi, e. dot product, scalar product) og krossfeldi (e. cross product, vector product).

2.5.1. Innfeldi

Innfeldi tveggja vigra er táknað með punkti og útkoman er tala: $c = \bar{a} \cdot \bar{b}$ . Ef þættir vigranna eru þekktir er innfeldið reiknað:

$$\boxed{ \bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y }$$

eða, ef vigrarnir eru þrívíðir:

$$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

Dæmi

Reiknum innfeldi vigranna $\bar{a}=(7,8)$ og $\bar{b}=(-1,3)$ :

Lausn

$$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y = 7\cdot (-1)+ 8\cdot 3 = -7+24 =17$$

Innfeldið má líka reikna með:

$$\bar{a} \cdot \bar{b} = a b \cos{\phi}$$

þar sem $\phi$ er hornið milli $\bar{a}$ og $\bar{b}$ þegar þeir hafa sama upphafspunkt.

Athugasemd

Tveir vigrar eru hornréttir ef innfeldi þeirra er núll.

Dæmi

Reiknum hornið á milli vigranna $\bar{a}=(2,4)$ og $\bar{b}=(4,2)$ :

Lausn

Við vitum að $\bar{a} \cdot \bar{b} = a b \cos{\phi}$ , þar sem $a$ og $b$ eru lengdir vigranna. Lengdirnar eru:

$$\begin{split}\begin{aligned} a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \\ b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \end{aligned}\end{split}$$

Reiknum innfeldi vigranna:

$$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y = 2\cdot 4+ 4\cdot 2 = 16$$

Því er

$$\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \cdot \bar{b} &= a b \cos{\phi} \\ \cos{\phi} &= \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{a b} = \frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{20}\\ \phi &= 36.8 ° = 0.644 \text{Rad} \end{aligned}\end{split}$$

2.5.2. Krossfeldi

Krossfeldi (e. cross product) er táknað með krossi og útkoman er vigur: $\bar{c} = \bar{a} \times \bar{b}$ . Krossfeldi koma mikið fyrir í eðlisfræði, sérstaklega í tengslum við rafsegulkrafta. Krossfeldi tveggja vigra $\bar{a}=(a_x,a_y,a_z)$ og $\bar{b}=(b_x,b_y,b_z)$ er:

$$\boxed{ \bar{c}=\bar{a} \times \bar{b} =(a_y b_z - a_z b_y, \quad a_z b_x - a_x b_z, \quad a_x b_y - a_y b_x) }$$

Þetta er löng runa til að muna utan að, en hér eftir kemur aðferð til að reikna krossfeldi.

---

Skrifum vigrana upp í tvær línur:

$$\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \quad &\rightarrow \quad & a_x \quad a_y \quad a_z \\ \bar{b} \quad &\rightarrow \quad & b_x \quad b_y \quad b_z \end{aligned}\end{split}$$

Fyrsta stak krossfeldisins fæst með því að „fela“ fyrsta dálkinn ($a_x$ og $b_x$) og margfalda hin stökin í kross og finna mismun. Þetta skýrist best grafískt:

Til að finna fyrsta stakið hunsum við fyrsta dálkinn, margföldum saman hornalínuna $\searrow$ og drögum síðan frá margfeldið af hornalínunni $\swarrow$. Fyrsta stak krossfeldisins er því

$$c_x=a_yb_z - a_zb_y$$

---

Til að finna annað stakið bætum við fyrsta dálkinum aftur við aftast, hunsum annan dálkinn, margföldum í kross yfir þriðja og fjórða dálkinn; fyrst $\searrow$ og drögum síðan $\swarrow$ frá. Annað stak krossfeldisins er því

$$c_y=a_zb_x - a_xb_z$$

---

Við finnum þriðja stak krossfeldisins með því að hunsa þriðja dálkinn og margfalda í kross yfir fyrsta og annan dálkinn. Fáum

$$c_z=a_xb_y-a_yb_x$$

---

Þannig sjáum við að krossfeldi vigranna $\bar{a} = (a_x,a_y,a_z)$ og $\bar{b} = (b_x,b_y,b_z)$ er:

$$\bar{c}=\bar{a} \times \bar{b} = (a_yb_z - a_zb_y,a_xb_z - a_zb_x,a_xb_y-a_yb_x)$$

---

Útkoma krossfeldisins er vigur sem er hornréttur á bæði $\bar{a}$ og $\bar{b}$. Hér er $\bar{c} =\bar{a} \times \bar{b}$. Stefna $\bar{c}$ ákvarðast af hægri handar reglunni:

Lengd krossfeldis $\bar{a} \text{ og } \bar{b}$ má reikna úr frá lengdum vigranna og horninu á milli þeirra.

$$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)$$

Athugasemd

Þegar krossfeldi er reiknað skiptir því máli hvor vigurinn er á undan.

$$\bar{a} \times \bar{b} = - \bar{b} \times \bar{a}$$

Dæmi

Reiknum krossfeldi vigranna $\bar{a}=(1,2,3)$ og $\bar{b}=(4,5,6)$.

Lausn

$$\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \times \bar{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (2\cdot 6-3\cdot 5)\hat{\imath} + (3\cdot 4 - 1 \cdot 6) \hat{\jmath} + ( 1\cdot 5 - 2\cdot 4) \hat{k}\\ &= -3 \hat{\imath} +6 \hat{\jmath} - 3\hat{k}\\ &= (-3,6,-3) \end{aligned}\end{split}$$

---

Æfingadæmi Reiknið krossfeldi vigranna $\overline{a}= (-1,3)$ og $\overline{b}=(3,1)$

1. $(0,0,6)$

2. $0$

3. $(0,0,-6)$

4. $6$

Lausn

Þegar við reiknum krossfeldi vigra sem liggja í $xy$-planinu, þá setjum við $a_z=0$ og $b_z=0$. Við skulum nota formúluna sem var gefin hér að ofan

$$\begin{split}\begin{aligned} \bar{a} \times \bar{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (3\cdot 0- 0\cdot 1)\hat{\imath} + (0\cdot 3- (-1)\cdot 0 )\hat{\jmath} + ((-1)\cdot 3 - 3\cdot 1)\hat{k}\\ &= (0,0,-6) \end{aligned}\end{split}$$

Þar sem $\overline{a}$ og $\overline{b}$ voru báðir í $xy$- planinu og krossfeldi þeirra þarf að vera hornrétt á þá báða þá erum við ekki hissa þó að niðurstaðan okkar sé að krossfeldið sé samsíða $z$- ásnum.

---

Dæmi

Reiknum hornið milli vigranna $\bar{a}=(1,2,3)$ og $\bar{b}=(4,5,6)$.

Lausn

Þetta dæmi er bæði hægt að leysa með því að nota regluna um krossfeldi: $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)$ eða regluna um innfeldi: $\overline{a}\cdot \overline{b} = ab\cos(\phi)$ og auðvitað er niðurstaðan sú sama sama hvor reglan er notuð.

Notum nú regluna $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\phi)$ og byrjum á því að reikna lengd vigranna:

$$\begin{split}\begin{aligned} |\bar{a}| &=\sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |\bar{b}| &=\sqrt{4^2+5^2+6^2} = \sqrt{77} \\ |\bar{a} \times \bar{b}| &= \sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54} \end{aligned}\end{split}$$

Þá fáum við:

$$\begin{split}\begin{aligned} \sin(\phi) &= \frac{|\bar{a} \times \bar{b}| }{|\bar{a}| |\bar{b}|} \\ &=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{14}\sqrt{77}} \\ &=\sqrt{\frac{54}{1078}}\\ \phi&\approx0.226 \text{ Rad} \\ \phi&\approx 13° \\ \end{aligned}\end{split}$$