8. Ályktanir um talnabreytur

Í þessum kafla munum við fjalla um öryggisbil og tilgátupróf sem við framkvæmum til að draga ályktanir um talnabreytur. Algengast er að ályktanir um talnabreytur séu byggðar á meðaltölum þeirra og fjallar meginhluti þessa kafla, eða allur kafli 8.2, um ályktanir um meðaltöl. Það veltur hins vegar stundum á því hvernig dreifni talnabreytanna er háttað, hvaða tilgátupróf um meðaltal er viðeigandi að framkvæma og eru þá tilgátupróf fyrir dreifni oft framkvæmd áður en hafist er handa við að kanna meðaltölin. Því munum við hefja umfjöllunina á ályktunum um dreifni, sem er efni kafla 8.1.

8.1. Ályktanir um dreifni

Tilgátuprófin og öryggisbilin sem við munum skoða í þessum hluta eiga við þegar draga á ályktun um dreifni normaldreifðra þýða, sem við táknum \(\sigma^2\). Við byrjum á að skoða ályktanir um dreifni í einu þýði, en þess konar ályktanir eru meðal annars mikið notaðar við könnun ýmissa framleiðsluferla. Við munu sjá dæmi um slíkt í hluta 8.1.1. Þar á eftir, í hluta 8.1.2, skoðum við tilgátupróf sem notað er til að kanna hvort dreifni tveggja þýða, \(\sigma^2_1\) og \(\sigma^2_2\), sé ólík. Ef við getum gert ráð fyrir að dreifni tveggja þýða sé sú sama notum við annað tilgátupróf til að draga ályktanir um mismun meðaltala þeirra, heldur en ef dreifnin væri ólík. Því er tilgátuprófið í hluta 8.1.2 oft framkvæmt áður en meðaltöl þýðanna eru könnuð.

8.1.1. Ályktanir um dreifni í einu þýði

Þegar reikna á öryggisbil og prófa tilgátur um dreifni þýðis er notast við \(\chi^2\)-dreifinguna, sjá kafla 5.4.3.4. Núlltilgátan er sett fram á þann hátt að dreifni þýðisins sé jöfn einhverju ákveðnu gildi sem við köllum \(\sigma^2_0\), ritað \(H_0: \sigma^2 = \sigma^2_0\). Byrjum á að skoða hvernig smíða má öryggisbilið:

8.1.1.1. Öryggisbil fyrir dreifni normaldreifðs þýðis

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\frac{(n-1) \cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,(n-1)}}\]

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\frac{(n-1) \cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,(n-1)}}\]

Öryggisbilið má því skrifa:

\[\frac{(n-1) \cdot s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,(n-1)}} < \sigma^2 < \frac{(n-1) \cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,(n-1)}}\]

þar sem \(n\) er fjöldi mælinga í úrtakinu og \(s^2\) er dreifni úrtaksins. \(\chi^2_{1-\alpha/2,(n-1)}\) og \(\chi^2_{\alpha/2,(n-1)}\) má finna í \(\chi^2\)-töfluna í kafla T.3.


Tilgátuprófið má svo framkvæma á eftirfarandi hátt:

8.1.1.2. Tilgátupróf fyrir dreifni normaldreifðs þýðis

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\]

Prófstærðin er:

\[\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\]

Gagntilgáturnar og höfnunarsvæðin eru

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2\) \(\chi^2 < \chi^2_{\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2\) \(\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2\) \(\chi^2 < \chi^2_{\alpha/2,(n-1)}\) eða \(\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha/2,(n-1)}\)

8.1.1.3. Sýnidæmi: Ályktanir um dreifni þýðis

Ábending

Bjarki drekkur mikið gos. Hann og fleiri neytendur hafa undanfarið sent kvartanir til gosverksmiðju nokkurrar um að of lítið gos sé í flöskum sem verksmiðjan selur. Mikilvægt er að áfyllingarferlið í verksmiðjunni sé stöðugt og dreifnin fari ekki yfir 10 ml\(^2\) því fari hún yfir það mark mun of hátt hlutfall flaskanna innihalda of lítið eða of mikið gos. Til að kanna þetta frekar ákvað stjórn fyrirtækisins að framkvæma tilraun þar sem slembiúrtak af stærð 30 var tekið og magn í flöskunum mælt. Gera má ráð fyrir að magn í flöskunum fylgi normaldreifingu. Staðalfrávik magns í flöskunum 30 var reiknað, \(s = 3.5\). Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort dreifni ferlisins sé hærri en 10 ml\(^2\). Notið \(\alpha = 0.05\).

Förum eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að kanna tilgátu um dreifni normaldreifðs þýðis.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort dreifnin sé hærri en þar sem að dreifnin gæti í raun verið lægri notum við tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \sigma^2 = 10\\ H_1&:& \sigma^2 \neq 10 \end{aligned}\]
  4. Prófstærðin er:

    \[\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\]

    Pössum okkur á að við fengum gefið að staðalfrávikið sé \(s = 3.5\). Við þurfum því að hefja í annað veldi til að finna dreifnina, \(s^2 = 3.5^2 = 12.25\). Við höfum einnig að \(n - 1 = 30 - 1 = 29\), \(\sigma_0^2\) = 10. Við setjum þessar tölur inn í jöfnu prófstærðarinnar og fáum

    \[\chi^2 = \frac{29 \cdot 12.25}{10} = 35.53\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess \(\chi^2\)-töflu, \(\chi^2_{0.025,(29)}\) = 16.05 og \(\chi^2_{0.975,(29)}\) = 45.72. Við höfnum því núlltilgátunni ef \(\chi^2 < 16.05\) eða \(\chi^2 > 45.72\). Við sjáum að svo prófstærðin fellur ekki á höfnunarsvæðið.

  6. Við getum ekki hafnað núlltilgátunni og getum því ekki ályktað að dreifnin sé hærri en 10 ml\(^2\).

Mynd

8.1.2. Ályktanir um dreifni tveggja þýða

Tilgátuprófin sem við skoðum í þessum hluta eru notuð til að bera saman dreifni tveggja þýða sem fylgja normaldreifingu . Próf af þessu tagi eru meðal annars oft gerð áður en tilgátupróf fyrir mismun meðaltals tveggja þýða er framkvæmt. Þegar reikna á öryggisbil og prófa tilgátur um dreifni tveggja þýðis er notast við \(F\)-dreifinguna, sjá kafla 5.4.3.7.

Núlltilgátan lýsir hlutlausu ástandi, þ.e. að dreifni þýðanna tveggja sé jöfn, ritað \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\).

8.1.2.1. Tilgátupróf fyrir dreifni tveggja normaldreifðra þýða

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\]

Gagntilgátan getur verið einhliða eða tvíhliða og er prófstærðin mismunandi eftir því hvernig gagntilgátan er sett upp. Mögulegar gagntilgátur, prófstærðir og höfnunarsvæði þeirra má sjá hér að neðan.

Gagntilgáta Prófstærð Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2\) \(F = \frac{S_2^2}{S_1^2}\) \(F>F_{1-\alpha,(n_2-1,n_1-1)}\)
\(H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2\) \(F = \frac{S_1^2}{S_2^2}\) \(F>F_{1-\alpha,(n_1-1,n_2-1)}\)
\(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) \(F = \frac{S_M^2}{S_m^2}\) \(F>F_{1-\alpha/2,(n_M-1,n_m-1)}\)

Í tvíhliða prófinu skal ávallt velja úrtakið með hærri dreifni sem úrtak \(M\) og úrtakið með lægri dreifni sem úrtak \(m\).


8.1.2.2. Sýnidæmi: Ályktanir um dreifni tveggja normaldreifðra þýða

Ábending

Ingunn og Árni vinna á Jafnréttisstofu og hafa þau mikinn áhuga á rannsaka laun karla og kvenna sem starfa við kjötvinnslu. Jafnréttisstofa stóð því fyrir rannsókn til að kanna hvort munur sé á meðallaunum karla og kvenna. Slembiúrtök voru því tekin úr báðum þýðum, 20 karlar og 20 konur. Meðaltal og staðalfrávik launa í karla úrtakinu voru 245163 kr og 22814. Í konu úrtakinu voru meðaltal og staðalfrávik 218634 og 18312. Gerið ráð fyrir að launin fylgi normaldreifingu.

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort dreifni þýðanna sé misjöfn. Notið \(\alpha = 0.05\).

Förum eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að kanna tilgátu um dreifni tveggja normaldreifðra þýða.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort dreifni þýðanna er mismunandi og notum við því tvíhliða próf.

    Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \sigma_1^2 = \sigma_2^2\\ H_1&:& \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\end{aligned}\]
  4. Prófstærðin er:

    \[F = \frac{S_M^2}{S_m^2}\]

    Þar sem staðalfrávik í karla úrtakinu er hærra köllum við karla hópinn hóp \(M\) og kvenna hópinn hóp \(m\). Setjum nú inn í prófstærðina og fáum

    \[f = \frac{22814^2}{18312^2} = 1.55\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess \(F\)-töflu. \(F_{1-\alpha/2,(n_M-1,n_m-1)} = F_{0.975,(19,19)}\). Sé F-taflan í kafla T.6 skoðuð má sjá að þar er ekki að finna gildi fyrir \(F_{0.975,(19,19)}\) og notum við því það sem er næst, \(F_{0.975,(20,19)} = 2.506\), svo við höfnum núlltilgátunni ef \(f > 2.506\). Við sjáum að \(f < 2.506\) svo prófstærðin fellur ekki á höfnunarsvæðið.

  6. Við getum ekki hafnað núlltilgátunni og getum því ekki ályktað að dreifnin sé mismunandi.

Mynd

8.2. Ályktanir um meðaltöl

Það er óhætt að segja að ályktanir um meðaltöl séu einna algengasta ályktunartölfræði sem beitt er. Í þessum hluta skoðum við tilgátupróf og öryggisbil sem eiga við þegar draga á ályktun um meðaltöl þýða, sem við táknum \(\mu\). Í kafla 8.2.1 skoðum við ályktanir um meðaltal í einu þýði. Í kafla 8.2.2 skoðum svo tilgátupróf sem notað er til að kanna hvort meðaltöl tveggja óháðra þýða, \(\mu_1\) og \(\mu_2\), séu ólík og að lokum er fjallað um tilgátupróf fyrir paraðar mælingar í hluta 8.2.3.

Það fer eftir aðstæðum hvers kyns tilgátupróf og öryggisbil við reiknum þegar draga á ályktanir um meðaltöl þýðis. Í þessum kafla munum við fjalla um z-próf/öryggisbil annars vegar og t-próf/öryggisbil hins vegar. Almennt byrjum við á að skoða hvenær z-próf/öryggisbil eiga við og í framhaldinu könnum við hvenær er viðeigandi að nota t-próf/öryggisbil. Við munum sjá að t-próf hafa ætíð minni líkur á villu af gerð I heldur en z-próf og þar af leiðandi er algengara að notast við t-próf þegar unnið er í tölfræðihugbúnaði. Z-próf er hins vegar auðveldara að reikna í höndunum.

Við viljum benda á að aðferðirnar í þessum kafla eiga ekki við ef hvort tveggja gildir í senn: að úrtökin sem við byggjum ályktarnir okkar á eru lítil og að ekki er hægt að gera ráð fyrir að þýðin fylgi normaldreifingu. Í þeim tilvikum er stundum hægt að umbreyta (e. transform) gögnunum, nota endurvalsaðferðir (e. resampling methods) eða nota stikalaus próf (e. nonparametric tests) en ekki verður farið nánar í það hér.

8.2.1. Ályktanir um meðaltal þýðis

Við byrjum á því að fjalla um tilgátupróf og öryggisbil fyrir meðaltal þýðis, \(\mu\). Þessar aðferðir notum við ef við viljum til dæmis sýna fram á að meðalvirkni lyfs sé meiri en eitthvað ákveðið viðmiðunargildi eða að meðalfjöldi gistinátta í júlí síðustu tíu ár sé frábrugðinn einhverju ákveðnu gildi.

Núlltilgátan er ávalt sú sama, hvort meðaltal þýðisins sé jafnt einhverju ákveðnu gildi sem við köllum \(\mu_0\). Núlltilgátuna ritum við \(H_0: \mu = \mu_0\).

8.2.1.1. Z-próf og öryggisbil

Ein ástæða þess hve meðaltöl eru mikið notuð til að lýsa samfelldum breytum er normaldreifingin. Við sáum í kafla 6.2 að þegar þýðið sem verið er að kanna fylgir normaldreifingu mun úrtaksdreifing meðaltalsins fylgja normaldreifingu sama hversu lítið úrtakið er. Jafnframt sagði Höfuðsetning tölfræðinnar okkur, í kafla 6.3, að ef úrtakið er stórt má nálga úrtaksdreifingu meðaltalsins með normaldreifingu. Við miðum oft við þumalputtaregluna að úrtakið þurfi að vera stærra en 30 til að svo gildi.

Í kafla 6.3 sáum við líka að í þessum ofangreindu tilvikum er dreifni úrtaksdreifingar meðaltalsins \(\sigma^2/n\), þar sem \(\sigma^2\) er dreifni þýðisins, en \(n\) fjöldi mælinga. Ef að dreifni þýðisins, væri þekkt gætum við þannig reiknað öryggisbil á svipstundu með því að margfalda \(\sigma^2/n\) með \(z_{1-\alpha/2}\) og draga frá eða bæta við reiknaða meðaltalið. Sú aðferð er sýnd í kassa 8.2.1.2. Á sambærilegan hátt er hægt að framkvæma tilgátupróf og er það sýnt í kafla 8.2.1.3.

Í reynd þekkjum við yfirleitt aðeins dreifni úrtaksins, \(s^2\), sem við reiknum út frá gögnunum okkar, en ekki dreifni alls þýðisins. Í þeim tilvikum sem úrtaksstærðin er stór (\(n\) > 30) veitir dreifni úrtaksins þó góða nálgun á dreifni þýðisins og megum við því einnig nota z-próf og öryggisbil í því tilviki. Til að draga þetta saman megum við framkvæma \(z\)-próf til að draga ályktanir um meðaltöl þegar:

  • Þýðið fylgir normaldreifingu og við gerum ráð fyrir að við þekkjum dreifni þess.
  • Úrtakið er stórt.

Í þessum tilvikum má nota eftirfarandi öryggisbil fyrir hið óþekkta meðaltal þýðisins:

8.2.1.2. Z - öryggisbil fyrir \(\mu\)

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x} - z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
(8.1)

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x} + z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
(8.2)

Öryggisbilið má því skrifa:

\[\bar{x} - z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
(8.3)

þar sem \(\bar{x}\) er meðaltal úrtaksins og \(\sigma\) er staðalfrávik þýðisins. \(z_{1-\alpha/2}\) gildið má finna í töflu stöðluðu normaldreifingarinnar í kafla T.1.


Eins og fram kom hér að ofan veitir dreifni úrtaksins góða nálgun á dreifni þýðisins þegar úrtakið er stórt. Þegar \(n\) er stórt má því skipta \(\sigma\) út fyrir \(s\) í formúlunum hér að ofan. Samsvarandi tilgátupróf má framkvæma með:

8.2.1.3. Z-próf fyrir \(\mu\)

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu = \mu_0\]

Prófstærðin er:

\[Z = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\]
(8.4)

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin stöðluðu normaldreifingunni, eða \(Z \sim N(0,1)\).

Höfnunarsvæðin eru:

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu < \mu_0\) \(Z < -z_{1-\alpha}\)
\(H_1: \mu > \mu_0\) \(Z > z_{1-\alpha}\)
\(H_1: \mu \neq \mu_0\) \(Z < -z_{1-\alpha/2}\) eða \(Z > z_{1-\alpha/2}\)

Að sama skapi og hér að ofan má skipta \(\sigma\) út fyrir \(s\) þegar \(n\) er stórt.

8.2.1.4. Sýnidæmi: Ályktanir um meðaltal

Ábending

Jón rekur fiskvinnslu á Bíldudal sem verkar þorsk til sölu á Bretlandseyjum. Þorskurinn er sendur út í um 50 kg. pakkningum. Þar á bæ hafa menn fylgst grannt með þyngd pakkanna og komist að því að þyngd þeirra fylgir normaldreifingu með \(\sigma^2\) = 0.8 kg. Við höfum nú áhuga á að draga ályktanir um \(\mu\). Til þess er tekið slembiúrtak af stærð \(n = 12\) og meðalþyngd úrtaksins reiknuð, 50.84 kg. Finnið 95% öryggisbil fyrir \(\mu\) og kannið hvort meðalþyngd pakkanna sé frábrugðin 50 kg. Notið \(\alpha = 0.05\).

Fengum upp gefið að: \(\bar{x} = 50.84, \ n = 12, \ \sigma^2 = 0.8\). Neðri mörk öryggisbilsins reiknum við með jöfnu 8.1. Við þurfum að því að byrja á að finna \(z_{1-\alpha/2}\). \(z_{1-\alpha/2}= z_{1-0.05/2} = z_{0.975} = 1.96\).

\[\bar{x} - z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 50.84 - 1.96 \cdot \frac{\sqrt{0.8}}{\sqrt{12}} = 50.84 - 0.506 = 50.33\]

og efri mörk öryggisbilsins með jöfnu 8.2

\[\bar{x} + z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 50.84 + 0.506 = 51.35\]

Öryggisbilið má þá skrifa sem

\[50.33 < \mu < 51.35\]

Til að kanna hvort meðalþyngd pakkanna sé frábrugðin 50 kg. förum við eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um \(\mu\) og notum því próf fyrir meðaltal þýðis. Gefið er upp að þýðið fylgi normaldreifingu með þekktri dreifni og getum við því notað z-próf.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við eigum að kanna hvort meðalþyngd pakkanna sé frábrugðin 50 kg. Það gerum við með tvíhliða prófi. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu = 50\\ H_1&:& \mu \neq 50\end{aligned}\]
  4. Fengum upp gefið að: \(\bar{x} = 50.84, \ n = 12, \ \sigma^2 = 0.8\). Prófstærðina reiknum við með jöfnu 8.4 og fáum

    \[z = \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{50.84 - 50} {\sqrt{0.8}/\sqrt{12}} = 3.25\]
  5. Við notum töflu stöðluðu normaldreifingarinnar til að finna höfnunarsvæðin og fáum \(z_{1-\alpha/2}\) = \(z_{0.975}\) = 1.96. Við höfnum því núlltilgátunni ef \(z< -1.96\) eða \(z> 1.96\). Við sjáum að \(z> 1.96\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

  6. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að meðalþyngd kassanna sé frábrugðin 50 kg.

_images/z196th.svg

8.2.1.5. Sýnidæmi: Ályktanir um \(\mu\)

Ábending

Gúgú er forstjóri í stóru fyrirtæki sem framleiðir bíla. Hún fullyrðir að bílategund nokkur geti keyrt að meðaltali 20 km. á lítra. Allmargar kvartanir hafa borist til Ingibjargar, formanns Neytendasamtakanna, vegna þessarar fullyrðingar og vill fólk meina að það nái alls ekki að keyra 20 km. á lítra. Neytendasamtökin framkvæmdu því tilraun til að sýna fram á að meðalfjöldi kílómetra á lítra væru færri en 20. Slembiúrtak af stærð 40 var tekið og meðaltal þess reiknað sem 19.2 og staðalfrávik úrtaksins reiknað sem 1.7. Notið viðeigandi tilgátupróf til að kanna hvort meðalfjöldi kílómetra á lítra séu færri en 20 með því að kanna hvort prófstærðin falli á höfnunarsvæði en einnig með að kanna p-gildi tilgátuprófsins. Notið \(\alpha = 0.05\).

Förum eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um \(\mu\) og notum því próf fyrir meðaltal þýðis. Við þekkjum hvorki líkindadreifingu né dreifni þýðisins en úrtakið er stórt svo við getum notað z-próf.
  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)
  1. Við eigum að kanna hvort meðalkílómetra fjöldi sé færri en 20 km en þar sem að fjöldinn getur í raun verið hærri en 20 km notum við tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu = 20\\ H_1&:& \mu \neq 20\end{aligned}\]
  2. Við fengum upp gefið að \(\bar{x} = 19.2, \ s = 1.7, \ n = 40\). Við reiknum prófstærðina með jöfnu 8.4 en skiptum \(\sigma\) út fyrir \(s\):

    \[z = \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{19.2 - 20}{1.7/\sqrt{40}} = -2.98\]

5a. Við notum töflu stöðluðu normaldreifingarinnar til að finna höfnunarsvæðið:

\(z_{1-\alpha/2}\) = \(z_{0.975}\) = 1.96. Við höfnum því núlltilgátunni ef \(z< -1.96\) eða \(z> 1.96\). Við sjáum að \(z < -1.96\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

5b. Við notum töflu stöðluðu normaldreifingarinnar til að finna p-gildið.

Gildið á prófstærðinni er -2.98 svo við finnum z= -2.98 í töflunni og lesum 0.0014. Þar sem tilgátuprófið er tvíhliða margföldum við p-gildið með 2 og fáum að p-gildið er 0.0028. Þar sem p-gildið er minna en \(\alpha\) höfnum við núlltilgátunni.
  1. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að meðalfjöldi kílómetra er lægri en 20 á lítrann.

    _images/z196th.svg

8.2.1.6. T-próf og öryggisbil

Rifjum nú aftur upp að þegar við vinnum með normaldreift þýði, þá fylgir úrtaksdreifing meðaltalsins alltaf normaldreifingu, sama hversu lítið úrtakið er. Hins vegar er eitt vandamál við að framkvæma z-próf í því tilviki, nefnilega það að matið á staðalfrávikinu verður ekki lengur eins áreiðanlegt og því þurfum við að taka tillit til óvissunnar í því mati.

Þegar þýðið fylgir normaldreifingu og við deilum í úrtaksdreifingu meðaltalsins með \(s/\sqrt{n}\) fylgir útkoman þekktri líkindadreifingu, nefnilega t-dreifingu (sjá kafla 5.4.3.1). T-dreifingin hefur mjög svipaða lögun og normaldreifingin en hefur örlítið þyngri hala (meiri líkur á að fá mjög stór eða mjög lítil gildi). Því eru minni líkur á villu af gerð I þegar t-próf, í stað z-prófs, er framkvæmt á sömu gögnunum. Því er ætíð óhætt að nota t-próf þegar z-próf á líka við og þar af leiðandi er t-próf útfært í öllum helstu tölfræðihugbúnuðum en z-próf síður.

Til að draga saman, megum við nota t-próf og öryggisbil byggð á t-dreifingu þegar:

  • Þýðið fylgir normaldreifingu, óháð stærð úrtaksins.
  • Úrtakið er stórt.

Í þessum tilvikum má notast við eftirfarandi öryggisbil:

8.2.1.7. T-öryggisbil fyrir \(\mu\)

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils:

\[\bar{x} - t_{1-\alpha/2,(n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]
(8.5)

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils:

\[\bar{x} + t_{1-\alpha/2,(n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]
(8.6)

Öryggisbilið má því skrifa:

\[\bar{x} - t_{1-\alpha/2,(n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + t_{1-\alpha/2,(n-1)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]
(8.7)

þar sem \(\bar{x}\) og \(s\) eru meðaltal og staðalfrávik úrtaksins. \(t_{1-\alpha/2,(n-1)}\) gildið má finna í t-töflu í kafla T.2.


og eftirfarandi tilgátupróf:

8.2.1.8. T-próf fyrir \(\mu\)

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu = \mu_0\]

Prófstærðin er:

\[T = \frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\]
(8.8)

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin t-dreifingu með \((n-1)\) frígráðu, eða \(T \sim t_{(n-1)}\).

Höfnunarsvæðin eru:

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu < \mu_0\) \(T < -t_{1-\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \mu > \mu_0\) \(T > t_{1-\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \mu \neq \mu_0\) \(T < -t_{1-\alpha/2,(n-1)}\) eða \(T > t_{1-\alpha/2,(n-1)}\)

8.2.1.9. Sýnidæmi: Ályktanir fyrir \(\mu\)

Ábending

Sígarettuframleiðandi nokkur fullyrðir að nikótíninnihald í ákveðinni tegund af sígarettum sé að meðaltali 14 mg/sígarettu. Heilbrigðisyfirvöld í viðkomandi landi héldu því fram að nikótíninnihaldið væri að meðaltali hærra. Þau stóðu því fyrir tilraun til að sýna fram á að meðalinnihald nikótíns væri hærra en 14 mg/sígarettu. Slembiúrtak af stærð 12 var tekið og meðaltal úrtaksins reiknað sem 14.3 og staðalfrávik þess 0.9. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort meðalinnihald nikótíns sé hærra en 14 mg/sígarettu. Notið \(\alpha = 0.05\). Gera má ráð fyrir að nikótíninnihald í sígarettum fylgi normaldreifingu.

Förum nú eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um \(\mu\) og notum því próf fyrir meðaltal þýðis. \(\sigma^2\) er óþekkt og \(n\) er lítið en þar sem við getum gert ráð fyrir að þýðið sem úrtakið er tekið úr fylgi normaldreifingu getum við notað t-próf.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við eigum að kanna hvort meðalinnihald nikótíns sé hærra en 14 mg/sígarettu en þar sem það getur í raun verið lægra notum við tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu = 14\\ H_1&:& \mu \neq 14\end{aligned}\]
  4. Við fáum upp gefið: \(n = 12, \ \bar{x} = 14.3, \ s = 0.9\). Við reiknum prófstærðina með jöfnu 8.8 og fáum

    \[t = \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{14.3 - 14}{0.9/\sqrt{12}} = 1.15\]
  5. Við notum t-töfluna til að finna höfnunarsvæðið og flettum upp eftir \(n - 1 = 11\) frígráðum: \(t_{1-\alpha/2,(n-1)} = t_{0.975,(11)}\) = 2.20. Við höfnum því núlltilgátunni ef \(t < -2.20\) eða \(t > 2.20\). Við sjáum að prófstærðin fellur ekki á höfnunarsvæði.

  6. Við getum ekki hafnað núlltilgátunni og getum því ekki ályktað að meðalnikótíninnihaldið sé hærra en 14 mg/sígarettu.

_images/t11_tvihlida.svg

8.2.2. Ályktanir um meðaltöl tveggja óháðra þýða

Nú er komið að því að fjalla um tilgátupróf og öryggisbil sem eiga við þegar bera á saman meðaltöl tveggja óháðra þýða. Við köllum meðaltölin \(\mu_1\) og \(\mu_2\) og viljum draga ályktanir um mismun þeirra, \(\mu_1 - \mu_2\). Próf af þessu tagi mundum við nota ef við viljum t.d. bera saman meðalhæð karla og kvenna og ef við viljum bera saman meðalfjölda gistinátta í júlí og ágúst.

Í þessum hluta er núlltilgátan ávallt sú sama, þ.e. hvort mismunur meðaltalanna tveggja sé jafn einhverju ákveðnu gildi sem við köllum \(\delta\). Hana ritum við \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta\). Takið eftir að \(\delta\) er gríski bókstafurinn sem svarar til latneska bókstafsins d samanber enska orðið difference. Það er í samræmi við notkun okkar, við viljum yfirleitt sýna að munurinn á meðaltölum hópanna tveggja sé frábrugðinn \(\delta\). Algengast er að nota \(\delta = 0\) en þá viljum við einfaldlega sýna að það sé munur á milli hópanna. Núlltilgátan er þá eftirfarandi: ,,Eru meðaltöl þýðanna tveggja jöfn?“

Líkt og þegar við viljum draga ályktanir um eitt meðaltal geta aðstæður verið mismunandi. Við munum eins og áður notast við z-próf/öryggisbil og t-próf/öryggisbil og má sjá hér að neðan hvenær þau eiga við.

8.2.2.1. Z-próf og öryggisbil

Svipað og við lýstum í kafla 8.2.1 er mismunur tveggja meðaltala normaldreifður ef þýðið sem hvort meðaltal fyrir sig er fengið úr er einnig normaldreift. Sömuleiðis leiðir Höfuðsetning tölfræðinnar af sér að það sama gildir ef að úrtakið er nógu stórt.

Ef að við vissum hver dreifni þýðanna væri, gætum deilt í mismun meðaltalanna með dreifni hans til að fá út staðlaða normaldreifða stærð. Í þessu tilviki er dreifni mismunarins stærðin \(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\). Einnig gildir að ef úrtökin eru nægjanlega stór veitir dreifni úrtakanna það gott mat á dreifni þýðanna að hana má nota í staðinn. Hér er oft miðað við að hvort úrtak þurfi að vera að minnsta kosti af stærð 30 til að nægjanlegur fjöldi sé fyrir hendi.

Þar af leiðandi er í textanum gert ráð fyrir að dreifni þýðanna, þ.e. \(\sigma^2_1\) og \(\sigma^2_2\), sé þekkt, þó svo að sú sé sjaldnast ekki raunin. Við þekkjum yfirleitt aðeins dreifni úrtakanna, \(s^2_1\) og \(s^2_2\), sem við reiknum út frá gögnunum okkar. Til að draga þetta saman megum við nota z-próf og öryggisbil byggð á normaldreifingu þegar:

  • Þýðin fylgja normaldreifingu og við gerum ráð fyrir að við þekkjum dreifni þýðanna.
  • Úrtökin eru stór.

Í þessum tilvikum má nota eftirfarandi öryggisbil fyrir mismun meðaltala þýðanna:

8.2.2.2. Z-öryggisbil fyrir mismun tveggja meðaltala

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
(8.9)

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
(8.10)

Öryggisbilið má því skrifa:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} < \mu_1 - \mu_2 < \bar{x}_1 - \bar{x}_2 + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\]
(8.11)

þar sem \(\bar{x}_1\), \(\bar{x}_2\) eru meðaltöl úrtakanna og \(\sigma_1^2\), \(\sigma_2^2\) eru dreifni þýðanna. \(z_{1-\alpha/2}\) má finna í töflu stöðluðu normaldreifingarinnar í kafla T.1.


Eins og fram kom hér að ofan veitir dreifni úrtaks góða nálgun á dreifni þýðisins þegar úrtakið er stórt. Þegar \(n_1\) og \(n_2\) eru stór má því skipta \(\sigma_1\) og \(\sigma_2\) út fyrir \(s_1\) og \(s_2\) í formúlunum hér að ofan. Þegar framkvæma á samsvarandi tilgátupróf má notast við eftirfarandi:

8.2.2.3. Z-próf fyrir mismun tveggja meðaltala

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta\]

Prófstærðin er:

\[Z = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\]
(8.12)

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin stöðluðu normaldreifingunni, eða \(Z \sim N(0,1)\).

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 < \delta\) \(Z < -z_{1-\alpha}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 > \delta\) \(Z > z_{1-\alpha}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta\) \(Z < -z_{1-\alpha/2}\) eða \(Z > z_{1-\alpha/2}\)

Athugið að \(\delta\) getur verið hvaða tala sem er en í mörgum tilvikum er \(\delta = 0\).


Eins og áður má skipta skipta \(\sigma_1\) og \(\sigma_2\) út fyrir \(s_1\) og \(s_2\) þegar \(n_1\) og \(n_2\) eru stór.

8.2.2.4. Sýnidæmi: \(\mu_1 - \mu_2\)

Ábending

Hænsnabóndi nokkur hefur fylgst vel með þyngd unga við fæðingu. Hænsnabóndi þessi hefur áhuga á að kanna hvort munur sé á þyngd unganna eftir kyni og til að rannsaka það valdi hann 35 karlkyns unga og 35 kvenkyns unga og vigtaði þá. Kvenkyns ungarnir vógu að meðaltali 212 grömm og var staðalfrávikið 21 grömm. Karlkyns ungarnir vógu að meðaltali 220 grömm og var staðalfrávikið 26 grömm. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á þyngd unganna eftir kyni.

Förum nú eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um mun á meðaltölum tveggja þýða. Úrtökin eru óháð. Ekki er tekið fram að gera megi ráð fyrir að þyngdin fylgi normaldreifingu, við þekkjum ekki dreifni þýðanna en \(n\)-in okkar eru stór og því megum við nota z-próf.

  2. Notum \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort munur sé á meðalþyngd unga eftir kyni og notum við til þess tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu_1 - \mu_2 = 0\\ H_1&:& \mu_1 - \mu_2 \neq 0\end{aligned}\]
  4. Prófstærðina reiknum við með jöfnu 8.12 en skiptum út \(\sigma_1\) og \(\sigma_2\) með \(s_1\) og \(s_2\):

    \[z = \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

    Við vitum að \(n_1 = 35\), \(n_2 = 35\), \(\bar{x}_1\) = 220, \(s_1\) = 26, \(\bar{x}_2\) = 212, \(s_2\) = 21 og \(\delta\) = 0 (við látum karlkyns ungana vera þýði 1 og kvenkyns ungana vera þýði 2). Við setjum þessar tölur inn í jöfnuna og fáum

    \[z = \frac{220 - 212 - 0}{\sqrt{\frac{26^2}{35} + \frac{21^2}{35}}} = 1.42\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess z-töflu. Sé núlltilgátan sönn fylgir prófstærðin stöðluðu normaldreifingunni: \(z_{1-\alpha/2,} = z_{0.975}\) = 1.96, svo við höfnum núlltilgátunni ef \(z > 1.96\) eða \(z < -1.96\). Við sjáum að hvorugt gildir svo prófstærðin fellur ekki á höfnunarsvæði.

  6. Við getum ekki hafnað núlltilgátunni svo við drögum enga ályktun.

8.2.2.5. T-próf og öryggisbil

Á sama hátt og við lýstum í kafla 8.2.1 er mismunur tveggja meðaltala normaldreifður ef þýðið sem hvort meðaltal fyrir sig er fengið úr er einnig normaldreift. Við getum skalað mismuninn til með því að deila með dreifninni á úrtaksdreifingu mismuns meðaltalanna og þá fylgir útkoman t-dreifingu (sjá kafla 5.4.3.1), alveg eins og í tilvikinu með eitt meðaltal. Þar sem t-dreifing hefur þyngri hala en normaldreifing er ætíð óhætt að nota t-próf þegar z-próf á líka við og þar af leiðandi er t-próf útfært í öllum helstu tölfræðihugbúnuðum en z-próf síður.

Við megum því nota t-próf og öryggisbil byggð á t-dreifingu þegar:

  • Þýðin fylgja normaldreifingu, óháð stærð úrtakanna.
  • Úrtökin eru stór.

Við notum ólíka formúlu til að meta dreifnina á mismun meðaltal þýðanna eftir því hvort við megum gera ráð fyrir því að dreifnin sé jöfn í þýðunum tveimur eða ekki. Þar af leiðandi verða t-prófin og öryggisbilin sem nota má til að kanna ályktanir um mismun tveggja óháðra þýða tvenns konar. Annað prófið notum við þegar gera má ráð fyrir að dreifni þýðanna er jöfn en hitt þegar svo er ekki. Takið efir að hér þekkjum við ekki dreifni þýðanna en við getum notað tilgátupróf fyrir dreifni tveggja þýða (sjá kassa 8.1.2.1) til að skera úr um hvort dreifni þýðanna sé það ólík að ekki sé hægt að gera ráð fyrir að hún sé sú sama.

Ef gera má ráð fyrir að dreifni þýðanna sé jöfn þurfum við að reikna út svokallaða vegna dreifni (e. pooled variance) úrtakanna sem við táknum \(s_p^2\) áður en við getum reiknað öryggisbil og kannað tilgátur:

\[s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\]
(8.13)

þar sem \(s_1^2\) og \(s_2^2\) eru dreifni úrtakanna. Öryggisbilið má svo smíða með:

8.2.2.6. T-öryggisbil fyrir mismun meðaltala tveggja þýða - gert er ráð fyrir að dreifnin sé sú sama

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)} \cdot s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}\]
(8.14)

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 + t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)} \cdot s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}\]
(8.15)

þar sem \(\bar{x}_1\), \(\bar{x}_2\) er meðaltöl úrtakanna og \(s_1^2\), \(s_2^2\) er dreifni úrtakanna. \(t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)}\) má finna í t-töflu í kafla T.2.


og framkvæma tilgátuprófið með:

8.2.2.7. T-próf fyrir mismun meðaltala tveggja þýða - gert er ráð fyrir að dreifnin sé sú sama

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta\]

Prófstærðin er:

\[T = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2 - \delta}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\]
(8.16)

þar sem \(s_p\) er reiknað með jöfnu 8.13. Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin t dreifingu með \((n_1 + n_2 - 2)\) frígráður, eða \(T \sim t_{(n_1 + n_2 -2)}\). Gagntilgáturnar og höfnunarsvæðin eru:

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 < \delta\) \(T < -t_{1-\alpha,(n_1 + n_2 - 2)}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 > \delta\) \(T > t_{1-\alpha,(n_1 + n_2 - 2)}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta\) \(T < -t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)}\) eða \(T > t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)}\)

Athugið að \(\delta\) getur verið hvaða fasti sem er en í mörgum tilvikum er \(\delta = 0\).


Ef við getum ekki gert ráð fyrir að dreifnin í hópunum sé sú sama notum við annars konar t-próf og öryggisbil. Við þurfum ekki að byrja á að reikna út vegna dreifni en fjöldi frígráða í t-dreifingunni sem við notum er ekki \(n_1 + n_2 - 2\) eins og áður heldur táknum við þær með \(\nu\) og reiknum með

\[\nu = \frac{\Big(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \Big)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}\]
(8.17)

Öryggisbilið má svo smíða með:

8.2.2.8. T-öryggisbil fyrir mismun meðaltala tveggja þýða - ólík dreifni

Athugið

Neðra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - t_{1-\alpha/2,(\nu)} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\]
(8.18)

Efra mark \(1 - \alpha\) öryggisbils er:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 + t_{1-\alpha/2,(\nu)} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\]
(8.19)

Öryggisbilið má því skrifa:

\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - t_{1-\alpha/2,(\nu)} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} < \mu_1 - \mu_2 < \bar{x}_1 - \bar{x}_2 + t_{1-\alpha/2,(\nu)} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\]
(8.20)

þar sem \(\bar{x}_1\) og \(\bar{x}_2\) eru meðaltöl úrtakanna og \(s_1^2\) og \(s_2^2\) eru dreifni úrtakanna. \(t_{1-\alpha/2,(\nu)}\) má finna í t-töflu í kafla T.2. Fjöldi frígráða í t-dreifingunum, \(\nu\) er reiknað með jöfnu 8.17.


og tilgátuprófið má framkvæma með:

8.2.2.9. T-próf fyrir mismun meðaltala tveggja þýða - ólík dreifni

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta\]

Prófstærðin er:

\[T = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]
(8.21)

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin t-dreifingu með \(\nu\) frígráðum eða \(T \sim t(\nu)\) þar sem \(\nu\) er reiknað með jöfnu 8.17.

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 < \delta\) \(T < -t_{1-\alpha,(\nu)}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 > \delta\) \(T > t_{1-\alpha,(\nu)}\)
\(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta\) \(T < -t_{1-\alpha/2,(\nu)}\) eða \(T > t_{1-\alpha/2,(\nu)}\)

Athugið að \(\delta\) getur verið hvaða fasti sem er en í mörgum tilvikum er \(\delta = 0\).


8.2.2.10. Sýnidæmi: Ályktanir um tvö meðaltöl

Ábending

Skoðum nú aftur dæmi 8.1.2.2. Þar framkvæmdum við tilgátupróf til að kanna hvort dreifni launa milli kynja væri misjöfn. Nú vilja Ingunn og Árni kanna hvort munur sé á meðallaunum karla og kvenna sem starfa við kjötvinnslu.

Við rifjum upp að Jafnréttisstofa stóð fyrir rannsókn þar sem að slembiúrtök voru tekin úr báðum þýðum, 20 karlar og 20 konur. Meðaltal og staðalfrávik launa í karla úrtakinu voru 245163 kr og 22814. Í konu úrtakinu voru meðaltal og staðalfrávik 218634 og 18312. Kannið nú með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á meðallaunum karla og kvenna sem starfa við kjötvinnslu. Notið \(\alpha = 0.05\). Gera má ráð fyrir að laun í báðum þýðum fylgi normaldreifingu.

Förum nú eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um mun á meðaltölum tveggja þýða. Úrtökin eru óháð. Gera má ráð fyrir að launin séu normaldreifð. Við þekkjum ekki dreifni þýðanna en gerum ráð fyrir að hún sé jöfn (sjá dæmi 8.1.2.2).

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort munur sé á meðallaunum karla og kvenna og notum við til þess tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu_1 - \mu_2 = 0\\ H_1&:& \mu_1 - \mu_2 \neq 0 \end{aligned}\]
  4. Prófstærðina reiknum við með jöfnu 8.16:

    \[t = \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2 - \delta}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\]

    þar sem \(s_p^2\) er reiknað samkvæmt jöfnu 8.13

    \[s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\]

    Við vitum að \(n_1 = 20\), \(n_2 = 20\), \(\bar{x}_1\) = 245163, \(s_1\) = 22814, \(\bar{x}_2\) = 218634, \(s_2\) = 18312 og \(\delta\) = 0. Við setjum þessar tölur inn í jöfnurnar og fáum

    \[s_p = \sqrt{\frac{(20 - 1)\cdot 22814^2 + (20 - 1)\cdot 18312^2}{20 + 20 - 2}} = 20685.84\]

    og

    \[t = \frac{245163 - 218634 - 0}{20685.84 \sqrt{\frac{1}{20} + \frac{1}{20}}} = 4.06\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess t-töflu. Við flettum upp eftir \(n_1 + n_2 - 2 = 38\). \(t_{1-\alpha/2,(n_1 + n_2 - 2)} = t_{0.975,(38)}\) = 2.024, svo við höfnum núlltilgátunni ef \(t > 2.024\) eða \(t < -2.024\). Við sjáum að \(t > 2.024\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

  6. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að meðallaun karla og kvenna sem starfa í kjötiðnaði séu ekki jöfn.

Mynd

8.2.2.11. Sýnidæmi: Ályktanir um tvö meðaltöl

Ábending

Hópur líffræðinga sem er að bera saman þyngd silunga í vötnum á Íslandi veiddi 51 silung í Þingvallavatni og reyndist meðalþyngd þeirra vera 550 grömm og staðalfrávikið 65 grömm. Hópurinn veiddi auk þess 60 silunga í Úlfljótsvatni og var meðalþyngd þeirra 522 grömm og staðalfrávikið 30 grömm. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á meðalþyngd fiska í vötnunum tveimur. Gera má ráð fyrir að þyngd silunga fylgi normaldreifingu.

Við þekkjum hvorki dreifni þýðanna né dreifingu þeirra en úrtökin eru stór. Við getum því notað t-próf. Við byrjum á að kanna hvort gera megi ráð fyrir að dreifnin í hópunum sé sú sama áður en við veljum viðeigandi t-próf.

Förum eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að kanna tilgátu um dreifni tveggja normaldreifðra þýða.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort dreifni þýðanna er mismunandi og notum við því tvíhliða próf.

    Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \sigma_1^2 = \sigma_2^2\\ H_1&:& \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\end{aligned}\]
  4. Prófstærðin er:

    \[F = \frac{S_M^2}{S_m^2}\]

    Þar sem staðalfrávik í Þingvalla úrtakinu er hærra köllum við Þingvalla hópinn hóp \(M\) og Úlfljótsvatns hópinn hóp \(m\). Setjum nú inn í prófstærðina og fáum

    \[f = \frac{65^2}{30^2} = 4.69\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess \(F\)-töflu. \(F_{1-\alpha/2,(n_M-1,n_m-1)} = F_{0.975,(50,59)}\). Sé F-taflan í kafla T.6 skoðuð má sjá að þar er ekki að finna gildi fyrir \(F_{0.975,(50,59)}\) og notum við því það sem er næst, \(F_{0.975,(\infty,60)} = 1.482\), svo við höfnum núlltilgátunni ef \(f > 1.482\). Við sjáum að \(f > 1.482\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

  6. Við getum höfnað núlltilgátunni ályktað að dreifnin sé mismunandi.

Þá erum við tilbúin til að kanna mismun meðaltalanna og förum við eftir samantekt um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við ætlum að álykta um mun á meðaltölum tveggja þýða. Úrtökin eru óháð. Gera má ráð fyrir að þyngdin fylgi normaldreifingu. Við þekkjum ekki dreifni þýðanna og getum ekki gert ráð fyrir að hún sé jöfn. Við framkvæmum því t-próf fyrir ólíka dreifni.

  2. Notum \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við ætlum að kanna hvort munur sé á meðalþyngd silunga í Þingvallavatni og Úlfljótsvatni og notum við til þess tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu_1 - \mu_2 = 0\\ H_1&:& \mu_1 - \mu_2 \neq 0 \end{aligned}\]
  4. Prófstærðina reiknum við með jöfnu 8.21:

    \[t = \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2 - \delta}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

    Við vitum að \(n_1 = 51\), \(n_2 = 60\), \(\bar{x}_1\) = 550, \(s_1\) = 65, \(\bar{x}_2\) = 522, \(s_2\) = 30 og \(\delta\) = 0. Við setjum þessar tölur inn í jöfnurnar og fáum

    \[t = \frac{550 - 522 - 0}{\sqrt{\frac{65^2}{51} + \frac{30^2}{60}}} = 2.83\]
  5. Við þurfum að finna höfnunarsvæðið og notum til þess t-töflu. Sé núlltilgátan sönn fylgir prófstærðin t-dreifingu með \(\nu\) frígráður. \(\nu\) reiknum við með jöfnu 8.17:

    \[\nu = \frac{\Big(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \Big)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}} = 67.9\]

    Sé t-taflan skoðuð má sjá að næsta gildi sem við höfum er fyrir 60 frígráður, við notum það gildi. \(t_{1-\alpha/2,\nu} = t_{0.975,(60)}\) = 2, svo við höfnum núlltilgátunni ef \(t > 2\) eða \(t < -2\). Við sjáum að \(t > 2\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

  6. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að meðalþyngd silunga í vötnunum tveimur sé ekki sú saman.

8.2.3. Tilgátupróf fyrir paraðar mælingar

Margar rannsóknir eru gerðar á pöruðum slembiúrtökum eins og við kynntum í kassa 2.4.3 í kafla 2. Þær rannsóknir eru oftar en ekki þannig að gögnum er aflað fyrir og eftir eitthvert inngrip. Tilgáturnar ganga þá iðulega út á að kanna hvort inngripið hafi borið árangur. Við notum parað próf til að kanna þessar tilgátur.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum \(n\) pör mælinga \((X_i, Y_i)\), \(i = 1,2,3...n\). Það fyrsta sem við þurfum að gera er að finna mismun þessara pöruðu mælinga,

\[D_i = X_i - Y_i\]
(8.22)

Við lítum á \(D_i\) sem slembiúrtak af stærð \(n\) úr þýði með meðaltal \(\mu_D\). Tilgátuprófin ganga út á að kanna \(\mu_D\). Áður en við getum hafist handa við tilgátuprófin þurfum við að reikna eftirfarandi stærðir:

\[\overline{D} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} D_ i}{n}\]
(8.23)

sem er meðaltal mismunanna og

\[{S_{D}}^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(D_i - \overline{D})^2}{n-1}\]
(8.24)

sem er dreifni mismunanna.

Tilgátuprófin í þessum hluta prófa núlltilgátuna, hvort meðaltal mismuns pöruðu mælinganna sé jafnt einhverju ákveðnu gildi sem við köllum \(\mu_{D,0}\). Núlltilgátuna ritum við \(H_0: \mu_D = \mu_{D,0}\). Algengast er að nota \(\mu_{D,0} = 0\) en þá er núlltilgátan einfaldlega: ,,Eru pöruðu mælingarnar að meðaltali jafnar? “.

Líkt og áður eru notuð z-próf eða t-próf. Mun algengara er að nota t-próf og munum við sýna það hér. Ef ekki er hægt að gera ráð fyrir að mismunur mælinganna okkar fylgi normaldreifinu og mælingarnar okkar eru fáar er hvorki hægt að framkvæma z- né t-próf. Þá þarf að grípa til annarra aðferða, svo sem stikalausra prófa eða endurvalsaðferða, en ekki verður fjallað um það nánar hér.

Fylgir mismunur mælinganna okkar normaldreifingu og/eða ef úrtakið er stórt getum við notað eftirfarandi t-próf:

8.2.3.1. T-pŕof fyrir paraðar mælingar

Athugið

Núlltilgátan er:

\[H_0: \mu_D = \mu_{D,0}\]

Prófstærðin er:

\[T = \frac{\overline{D}-\mu_{D,0}}{S_D/\sqrt{n}}\]
(8.25)

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin t-dreifingu með (\(n-1\)) frígráðu, eða \(T \sim t_{(n-1)}\).

Gagntilgáta Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: \mu_D < \mu_{D,0}\) \(T < -t_{1-\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \mu_D > \mu_{D,0}\) \(T > t_{1-\alpha,(n-1)}\)
\(H_1: \mu_D \neq \mu_{D,0}\) \(T < -t_{1-\alpha/2,(n-1)}\) eða \(T > t_{1-\alpha/2,(n-1)}\)

\(t_{1-\alpha/2,(n-1)}\) má finna í t-töflu í kafla T.2.


8.2.3.2. Sýnidæmi: Ályktanir um paraðar mælingar

Ábending

Lýðheilsustöð ákvað að standa fyrir rannsókn til að kanna hvort miðaldra menn sem eru yfir kjörþyngd geti lést á tveimur mánuðum hreyfi þeir sig í 30 mínútur dag hvern. Til að kanna það var slembiúrtak tekið af stærð 6. Þyngd mannanna var mæld í upphafi átaksins og aftur í lok átaksins, tveimur mánuðum síðar. Mælingarnar má sjá hér að neðan. Kannið nú með viðeigandi tilgátuprófi hvort miðaldra menn sem eru yfir kjörþyngd geti að meðaltali lést á tveimur mánuðum hreyfi þeir sig í 30 mínútur dag hvern. Gera má ráð fyrir að þyngd fylgi normaldreifingu. Notið \(\alpha = 0.05\).

Maður númer Þyngd fyrir [kg] Þyngd eftir [kg]
1 123 120
2 112 108
3 107 106
4 101 99
5 112 112
6 116 114

Áður en við hefjumst handa þurfum við að reikna \(D_i\), \(\overline{D}\) og \(S_D\). Bætum nú við dálki í töfluna, \(d\). (við notum \(d\) þar sem það eru mælingar á \(D\)).

Maður númer Þyngd fyrir (\(x_i\)) Þyngd eftir (\(y_i\)) \(d_i = x_i - y_i\)
1 123 120 3
2 112 108 4
3 107 106 1
4 101 99 2
5 112 112 0
6 116 114 2

Reiknum nú meðaltal mismunanna með jöfnu 8.23

\[\overline{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} d_i}{n} = \frac{3+4+1+2+0+2}{6} = 2\]

og dreifni mismunanna með jöfnu 8.24

\[{s_d}^2 = \frac{\sum_{i = 1}^{n}(d_i - \bar{d})^2}{n-1} = \frac{(3-2)^2 + (4-2)^2 + ... + (2-2)^2}{5} =2\]

Förum nú eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

  1. Við höfum paraðar mælingar þar sem \(n\) er lítið en gera má ráð fyrir normaldreifðum þýðum. Við notum því parað t-próf.

  2. Við fengum uppgefið að nota \(\alpha = 0.05.\)

  3. Við viljum sýna fram á að fólkið léttist en þar sem að fólkið gæti í raun verið að þyngjast notum við tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

    \[\begin{aligned} H_0&:& \mu_D = 0\\ H_1&:& \mu_D \neq 0\end{aligned}\]

    (munið að við reiknuðum \(d = \text{fyrir} - \text{eftir}\).)

  4. Prófstærðina reiknum við með jöfnu 8.25

    \[t = \frac{\overline{d}-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt{n}} = \frac{2 - 0}{\sqrt{2/6}} = 3.46\]
  5. Við notum t-töfluna til að finna höfnunarsvæðin og flettum upp eftir \(n - 1 = 5\) frígráðum: \(t_{1-\alpha/2, (n-1)} = t_{0.975,5}\) = 2.57, svo við höfnum núlltilgátunni ef \(t < -2.57\) eða \(t > 2.57\). Við sjáum að \(t > 2.57\) svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.

  6. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að það að hreyfa sig í 30 mínútur á dag í tvo mánuði ber árangur í baráttunni við aukakílóin fyrir miðaldra menn yfir kjörþyngd.

Mynd

8.2.4. Hvenær notum við hvaða próf?

Við höfum nú fjallað um ályktanir fyrir meðaltal í einu þýði, mismun óháðra meðaltala og mismun paraðra mælinga. Í öllum tilvikum getum við notað z-próf/öryggisbil eða t-próf/öryggisbil við verkið. Tökum nú stuttlega saman hvenær hvor dreifing á við.

Z-próf má nota þegar:

  • Þýðin fylgja normaldreifingu og við gerum ráð fyrir að við þekkjum dreifni þýðanna.
  • Úrtökin eru stór, óháð því hver dreifing þýðanna er.

t-próf má nota þegar:

  • Þýðin fylgja normaldreifingu, sama hversu lítil úrtökin eru.
  • Úrtökin eru stór, óháð því hver dreifing þýðanna er.

Þegar úrtökin eru stór hafa t-dreifingin og z-dreifingin nánast sömu lögun og þá verða prófin/öryggisbilin tvö nánast jafngild. Þar sem t-dreifingin hefur þyngri hala en normaldreifingin er erfiðara að hafna núlltilgátunni í því tilviki og þar af leiðandi minni hætta á villu af gerð eitt. Því er ívið varfærnara að nota t-prófið/öryggisbilið og þar að auki eru t-próf innbyggð í flest tölfræðiforrit, ólíkt z-prófum, enda mun algengari. Eins og þið sjáið er eina tilvikið sem stendur eftir þegar úrtökin eru lítil og ekki er hægt að gera ráð fyrir að þýðin fylgi normaldreifingu. Í þeim tilvikum er stundum hægt að umbreyta (e. transform) gögnunum, nota endurvalsaðferðir (e. resampling methods) eða nota stikalaus próf (e. nonparametric tests) en ekki verður farið nánar í það hér.

Að lokum viljum við ítreka það að gæta vel að því hvenær við höfum í höndunum paraðar mælingar og hvenær við könnum tvö óháð þýði. Í hvert sinn sem við höfum innbyggða pörun fyrir hendi, þannig að við getum með eðlilegum hætti reiknað mismun hvers pars og dregið ályktanir um það, fæst meiri styrkur með því að nota tilgátupróf fyrir paraðar mælingar og því skyldi það alltaf notað. Ef að hins vegar engin eðlileg pörun er fyrir hendi er sá samanburður á sandi byggður. Í því tilviki þegar mælingarnar eru mismargar grípa tölfræðiforritin oft þá villu og vara okkur við. Ef ekki, erum við að gefa okkur forsendur sem gilda ekki og líkurnar á villu af gerð I verða hærri en við höldum.

8.3. Dæmi

8.3.1. Dæmi

Gera má ráð fyrir að hitastig á hádegi í júlí á ákveðnum stað á landinu fylgi normaldreifingu. Ferðamálfræðingur nokkur hefur mikinn áhuga á að meta stikana í þessari dreifingu og valdi hann tilviljunarkennt einn dag í júlí síðustu átta ár og skráði hitastigið. Hann reiknaði meðaltal og staðalfrávik mælinganna átta og fékk út að meðaltalið var 14.7 gráður og staðalfrávikið 5.6 gráður. Finnið 95% öryggisbil fyrir dreifnina.

8.3.2. Dæmi

Láki landfræðingur vill kanna hvort munur sé á dreifni í tveimur normaldreifðum þýðum sem hann er að kanna. Til þess tók hann úrtök úr þýðunum, bæði af stærð 18. Hann reiknaði staðalfrávik úrtakanna og fékk út að staðalfrávikið í því fyrra var 21.43 og í því seinna 32.18. Hvert er gildið á prófstærðinni sem nota á til að kanna að munur sé á dreifni þýðanna tveggja?

8.3.3. Dæmi

Finnur ferðamálafræðingur er að kanna hversu mikið ferðamenn eru tilbúnir til að greiða fyrir að fá að sjá Gullfoss. Hann valdi af handahófi 20 ferðamenn og reiknaði að ferðamennirnir 20 voru tilbúnir að greiða 1243 krónur að meðaltali og var staðalfrávikið 126 krónur. Gera má ráð fyrir að upphæðin sem ferðamenn eru tilbúnir til að greiða fylgi normaldreifingu. Hvert er efra mark 95% öryggisbils fyrir dreifni upphæðarinnar sem ferðamenn eru tilbúnir til að greiða?

8.3.4. Dæmi

Fuglavinafélagið fylgist náið með þyngd stokkanda við tjörnina og fullyrða vísindamenn innan félagsins að þyngd andanna fylgi normaldreifingu. Félagið ákvað að skoða hvort dreifni þyngdar stokkandarsteggja og stokkandakolla sé misjöfn og mældi því þyngd 7 steggja og 7 kollna og skráði. Niðurstöðurnar má sjá hér að neðan (mælt í grömmum).

Kollur Steggir
999.70 990.12
981.38 989.23
1012.47 987.56
976.15 976.46
968.19 1029.37
974.81 948.75
1023.01 975.55

Meðlimir fuglavinafélagsins reiknuðu út að staðalfrávik þyngdar kollnanna sem mælar voru er 21.04 g og steggjanna 24.14 g. Kannið hvort munur sé á dreifni þyngdar á kollum og steggjum. Notið \(\alpha = 0.05\).

8.3.5. Dæmi

Ferðamálafræðingur nokkur framkvæmdi tilraun til að meta hitastig í náttúrulegri laug nálægt Hveragerði. Hann mældi hitastigið 40 sinnum og var hitastigið að meðaltali 38.8 gráður og var staðalfrávikið 4.3 gráður. Finnið 90% öryggisbil fyrir meðalhitastigið í lauginni.

8.3.6. Dæmi

Ferðamálafræðingarnir Siggi og Sigga ákváðu að kanna meðalfjölda hvala sem sjást þegar farið er í hvalaskoðun á Húsavík í maí. Þau völdu af handahófi 8 ferðir og skráðu fjölda hvala sem sáust. Að meðaltali sáust 12.3 hvalir í ferðunum og staðalfrávikið í þessum 8 ferðum var 4.3. Gera má ráð fyrir að fjöldi hvala sem sjást í hvalaskoðunarferð fylgi normaldreifingu.

  1. Finnið \(95\%\) öryggisbil fyrir meðalfjölda hvala sem sjást þegar farið er í hvalaskoðun á Húsavík í maí.
  2. Kannið hvort meðalfjöldi hvala sem sjást þegar farið er í hvalaskoðun á Húsvík í maí sé frábrugðið 10 hvölum. Notið \(\alpha = 0.05.\)

8.3.7. Dæmi

Lífefnafræðingur nokkur er að kanna ákveðið efnahvarf. Þetta efnahvarf hefur verið rannsakað mikið og gera má ráð fyrir tíminn sem það tekur fyrir efnahvarfið að ljúka fylgi normaldreifingu með þekkta dreifni sem er 1.2 mínútur. Lífefnafræðingurinn hefur bætt við hvata í efnahvarfið og vill hann sýna fram á að með þessum hvata sé efnahvarfið að meðaltali hraðara en 7.9 mínútur. Gera má ráð fyrir að dreifnin sé þekkt og sé sú sama og án hvatans. Lífefnafræðingurinn tekur tímann sem það tekur efnahvarfið með hvatanum að ljúka 12 sinnum og var meðaltíminn 7.2 mínútur. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort efnahvarfið sé að meðaltali hraðara en 7.9 mínútur. Hér skal nota tvíhliða próf því efnahvarfið gæti í raun verið hægara en 7.9 mínútur. Notið \(\alpha = 5\%.\)

8.3.8. Dæmi

Borgaryfirvöld voru að velta fyrir sér meðalfjölda íbúa á heimili í hverfi einu. Könnuð voru 24 heimili og kom í ljós að meðalfjöldi íbúa á hvert heimili var 2.7 og staðalfrávikið var 2.6. Finnið 90% öryggisbil fyrir meðalfjölda íbúa á heimili. Gerið ráð fyrir að fjöldi íbúa fylgi normaldreifingu.

8.3.9. Dæmi

Siggi sæti hefur áhuga á þyngd snickersstykkja. Hann fer útí búð og kaupir 100 stykki sem hann svo vigtar og skráir samviskusamlega hjá sér hvað hvert stykki er þungt. Á umbúðunum stendur að stykkið sé 42 grömm en Sigga grunar að á meðaltali séu stykkin léttari en það sem gefið er upp á pakkanum. Meðaltal stykkjanna sem Siggi sæti keypti var 40.5 grömm og var staðalfrávikið 0.9 grömm. Kannið hvort snickersstykki séu að meðaltali léttari en það sem gefið er upp á pakkanum, notið \(\alpha = 0.05\).

8.3.10. Dæmi

Rafhlöðuframleiðandi nokkur fullyrðir að meðallíftími rafhlaðna sem fyrirtækið framleiðir sé 240 klukkustundir. Uppi er sú kenning hjá gæðadeild fyrirtækisins að líftíminn sé frábrugðinn 240 klukkustundum. Gæðadeildin ákvað því að framkvæma tilraun til að kanna þessa kenningu sína. Tekið var slembiúrtak af stærð 18 og líftíminn kannaður. Meðallíftími rafhlaðanna sem kannaðar voru var 237.056 klukkustundir og staðalfrávik 11.280. Gera má ráð fyrir að líftími rafhlaðanna fylgi normaldreifingu.

  1. Finnið 95% öryggisbil fyrir meðallíftíma rafhlaðna.
  2. Kannið hvort meðallíftími rafhlaðna sé frábrugðin 240 klukkustundum. Setjið fram tilgáturnar, kannið tilgátuna með viðeigandi prófstærð og lýsið niðurstöðum ykkar stuttlega í orðum. Notið \(\alpha\) = 0.05.

8.3.11. Dæmi

Lyfjafræðingar sem hafa mikinn áhuga á kólestrólmagni í blóði íslenskra karlmanna völdu af handahófi 20 karlmenn og mældu svo kólesterólið hjá þeim. Meðaltal mælinganna var 205.2 og staðalfrávikið 6.4. Finnið \(99\%\) öryggisbil fyrir meðalkólestrólmagn í blóði íslenskra karlmanna. Gera má ráð fyrir að kólesteról í blóði karlmanna á Íslandi fylgir normaldreifingu.

8.3.12. Dæmi

Margrét matvælafræðingur var að kanna gæði appelsínusafa sem hún er að þróa og fékk 40 manns til að bragða á safanum og gefa honum einkunn frá 0 til 10. Appelsínuvinafélagið flokkar safa sem skora að meðaltali hærra en 7 á sambærilegu prófi sem eðalappelsínusafa. Að tilrauninni lokinni reiknaði Margrét út meðaleinkunn og staðalfrávik og fann hún að meðaleinkunnin var 7.8 og staðalfrávikið 1.8. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort Margrét geti kallað safann sinn eðalappelsínusafa samkvæmt skilgreiningu appelsínuvinafélagsins. Sýnið öll skrefin sex. Notið \(\alpha = 0.05\).

8.3.13. Dæmi

Palli jarðfræðingur hefur áhuga á að bera saman skjálftavirkni á suðurlandi og norðurlandi. Hann valdi 40 vikur af handahófi og taldi fjölda skjálfta á hvorum staðnum fyrir sig. Á suðurlandi urðu að meðaltali 23.3 skjálftar á viku og á norðurlandi 31.3 skjálftar. Staðalfrávikið þessar 40 vikur á suðurlandi var 7.7 skjálftar og á norðurlandi 9.1 skjálftar.

  1. Finnið \(95\%\) öryggisbil fyrir mun á meðalfjölda skjálfta á norðurlandi og suðurlandi.
  2. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á skjálftavirkni á suðurlandi og norðurlandi. Notið \(\alpha = 0.05\).

8.3.14. Dæmi

Gulla lyfjafræðingur ætlar að kanna virkni hjartalyfs og ætlar hún að framkvæma tilraunirnar á músum. Áður en hún framkvæmir tilraunina vill hún kanna hvort munur sé á hjartslætti karlkyns og kvenkyns músa. Gera má ráð fyrir að hjartsláttur kvenkyns og karlkyns músa fylgi normaldreifingu. Gulla velur af handahófi 10 kvenkyns og 10 karlkyns mýs og mældi hjartslátt þeirra. Hjartsláttur kvenkyns músanna var að meðaltali 582.7 slög á mínútu og karlkyns músanna var hann 531.7 slög á mínútu. Staðalfrávikið í kvenkyns hópnum voru 34.2 slög og 45.7 í karla hópnum. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á meðalhjartslætti karkyns og kvenkyns músa. Notið \(\alpha = 0.05\).

8.3.15. Dæmi

Eftirfarandi tölur sýna landaðan afla (í tonnum) á tveimur togurum mánuð einn. Kannið hort munur sé á meðalafla togaranna með viðeigandi tilgátuprófi. Gera ráð fyrir að þyngd aflans fylgi normaldreifingu. Notið \(\alpha\) = 0.05.

  Togari 1 Togari 2
  109 56
62 75
69 89
85 69
32 36
115 162
Meðaltal 78.67 81.17
Staðalfrávik 31.08 43.46

8.3.16. Dæmi

Til að kanna hvort nagladekk minnki að meðaltali hemlunarvegalengd miðað við venjuleg dekk var eftirfarandi tilraun framkvæmd. Sex bílar voru notaðir og hemlunarvegalengd mæld með venjulegum dekkjum og nagladekkjum. Aðrar breytur svo sem hraði, ástand vegar osfrv. var sá sami í öllum tilraununum. Gögnin má sjá hér að neðan.

Bíll númer Venjuleg dekk Nagladekk
1 73 71
2 79 73
3 64 63
4 55 57
5 72 72
6 70 69

Gera má ráð fyrir að hemlunarvegalengd fylgi normaldreifingu. Rökstyðjið hvaða próf er viðeigandi fyrir þessi gögn til að kanna hvort nagladekk minnki að meðaltali hemlunarvegalengd miðað við venjuleg dekk. Notið tvíhliða próf því nagladekk geta í raun aukið hemlunarvegalengdina. Notið \(\alpha\) = 0.05. Setjið fram tilgáturnar, kannið tilgátuna með viðeigandi prófstærð og lýsið niðurstöðu ykkar stuttlega í orðum.

8.3.17. Dæmi

Svokallað PEFR skor (e. Peak Expiratory Flow Rate) er mælikvarði notaður til að mæla lungnastarfsemi í astmasjúklingum. Því hærra sem gildið er því betur starfa lungun. Sú kenning hefur lengi verið við líði að göngutúrar í köldu veðri hafi jákvæð áhrif á lungnastarfsemina. Til að kanna þessa kenningu ákvað landlæknisembættið að standa fyrir rannsókn þar sem sex astmasjúklingar voru valdir af handahófi og þeir látnir ganga úti í köldu veðri í einn klukkutíma. PEFR skor þeirra var mælt fyrir göngutúrinn og aftur eftir göngutúrinn, einum tíma síðar. Gögnin má sjá hér að neðan.

Astmasjúklingur númer PEFR skor fyrir PEFR skor eftir
1 300 312
2 201 242
3 232 340
4 312 388
5 220 296
6 256 254

Gera má ráð fyrir að PEFR skor í astmasjúklingum fylgi normaldreifingu. Rökstyðjið hvaða próf er viðeigandi fyrir þessi gögn til að kanna hvort að ganga í köldu veðri í klukkustund hafi jákvæð áhrif á lungnastarfsemi astmasjúklinga. Notið tvíhliða próf því ganga í köldu veðri getur í raun haft neikvæð áhrif á lungnastarfsemi. Notið \(\alpha = 0.05\). Setjið fram tilgáturnar, kannið tilgátuna með viðeigandi prófstærð og lýsið niðurstöðu ykkar stuttlega í orðum.

8.3.18. Dæmi

Ögmundur er mikill áhugamaður um kvikmyndir og ákvað hann að gera óformlega könnun á lengd spennumynda annars vegar og rómantískra gamanmynda hins vegar. Hann valdi sex spennumyndir og sex rómantískar gamanmyndir af handahófi og skráði hversu langar þær voru. Spennumyndirnar voru að meðaltali 112 mínútur og rómatísku gamanmyndirnar voru að meðaltali 92 mínútur að lengd. Lengd kvikmynda af þessum gerðum hefur verið rannsökuð mikið af kvikmyndavísindamönnum og því má gera ráð fyrir að lengd spennumynda fylgi normaldreifingu með þekkt staðalfrávik 22 mínútur og lengd rómantískra gamanmynda fylgi normaldreifingu með þekkt staðalfrávik 8 mínútur.

  1. Hvert er neðra öryggismark 95% öryggisbils fyrir mismun á meðaltölum spennumynda og gamanmynda?
  2. Með rannsókninni vildi Ögmundur sýna að meðallengd rómantískra gamanmynda sé frábrugðin meðallengdar spennumynda. Hver á gagntilgátan að vera?

8.3.19. Dæmi

Bjórvinafélag Íslands ákvað að framkvæma litla tilraun þar sem gæði tveggja bjórtegunda var borin saman. 10 manns tóku þátt í rannsókninni og var þeim skipt tilviljunarkennt í tvo hópa. Annar hópurinn fékk bjór x og hinn bjór y. Þátttakendurnir gáfu svo bjórnum einkunn frá 0 til 10. Gera má ráð fyrir að einkunnirnar fylgi normaldreifingu. Niðurstöðurnar má sjá hér að neðan:

Bjór x Bjór y
8.6 6.2
9.2 7.2
7.8 7.6
7.2 8.2
8.9 6.1

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á meðalgæðum bjóranna. Notið \(\alpha = 0.01\).

8.3.20. Dæmi

Hjartsláttur 5 kvenna var mældur fyrir og eftir að þær voru látnar hlaupa upp 100 tröppur. Mælingarnar sjást í töflunni.

Kona Hjartsláttur fyrir Hjartsláttur eftir
1 60 70
2 55 61
3 62 88
4 63 72
5 59 80

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort hjartsláttur aukist að meðaltali við að hlaupa upp 100 tröppur. Gera má ráð fyrir að hjartsláttur fylgi normaldreifingu. Notið \(\alpha = 0.05\).