7. Ályktanir um flokkabreytur

Nú er komið að því að beita ályktunartölfræði á breyturnar okkar. Við byrjum á því að skoða álykanir um flokkabreytur sem er umfjöllunarefni þessa kafla. Eins og við nefndum í kafla 2.2, þá segja útkomur flokkabreyta til um það hvaða flokki mælingarnar okkar tilheyra og eru því ekki mældar í neinum tilteknum einingum. Það er því merkingarlaust að tala um meðaltöl og staðalfrávik þegar unnið er með flokkabreytur. Hins vegar getum við unnið með hlutföll (e. proportions), það er við getum kannað hversu hátt hlutfall mælinganna lenti í tilteknum flokki.

Í kafla 7.1 byrjum við á að skoða tilgátupróf og öryggisbil fyrir eitt hlutfall, með öðrum orðum skoðum við hversu hátt hlutfall viðfangsefna þýðisins hefur tiltekið gildi flokkabreytu. Þar á eftir, í kafla 7.2, könnum við hvernig bera má saman hlutföll tveggja þýða. Þá skoðum við hlutfall mælinga sem hljóta tiltekið gildi flokkabreytu í einu þýði og berum saman við hlutfallið í hinu þýðinu. Í kafla 7.3 munum við sjá hvernig hægt er að útvíkka aðferðina til að skoða fleiri en tvö þýði. Loks í kafla 7.4 kynnumst við svo tilgátuprófum fyrir svokallaðar tengslatöflur sem notuð eru til að kanna hvort samband sé milli tveggja flokkabreyta sem eru þá mældar á sama þýðinu.

Eins og áður gerum við ráð fyrir að þýðið skiptist með einhverjum ákveðnum hætti og innihaldi því einhver raunveruleg hlutföll. Aðferðirnar okkar miðast að því að draga ályktanir um og meta hver þessi hlutföll eru.

7.1. Ályktanir um hlutfall þýðis

Í þessum hluta munum við skoða bilmat og tilgátupróf fyrir eitt hlutfall, $p$, sem lýsir því hversu hátt hlutfall mælinga tekur eitt ákveðið gildi flokkabreytu. Sem dæmi má nefna skoðanakönnum þar sem fólk er spurt ,,styður þú ríkisstjórnina? “ Hlutfallið sem við skoðum er það hlutfall viðfangsefna sem svarar spurningunni játandi. Markmið rannsókna af þessu tagi er oftar en ekki að draga ályktanir um hlutfall alls þýðisins, $p$, sem við ekki þekkjum. Í þessu dæmi væri það að kanna hversu hátt hlutfall allra kjósanda styður ríkisstjórnina.

Útkomur mælinganna sem framkvæmdar eru á úrtakinu eru notaðar til að finna mat á óþekkta hlutfallinu og notum við $\hat{p}$ (lesið $p$ -hatt) til að tákna það mat. Við metum þýðishlutfallið $p$, með úrtakshlutfallinu, það er

(7.1)\[\hat{p} = \frac{x}{n}\]

þar sem $x$ er fjöldi þeirra mælinga sem hljóta viðkomandi útkomu (,,já“ í dæminu hér að ofan) og $n$ er stærð úrtaksins.

Tilgátuprófið í þessum hluta prófar núlltilgátuna hvort hlutfall þýðisins, $p$, séu jafnt einhverju ákveðnu gildi sem við köllum $p_0$. Núlltilgátuna ritum við $H_0: p= p_0$.

7.1.1. Normalnálgun

Þegar við skoðum hvort flokkabreyta tekur ákveðið tiltekið gildi, getum litið á sérhverja mælingu sem Bernoulli tilraun (sjá kassa 5.3.3.1 í kafla 5.3.3). Ef mælingin hlýtur tiltekið gildi flokkabreytunnar lítum við á hana sem ,,heppnaða tilraun“, annars ekki. Mögulegar útkomur eru eingöngu tvær (í hópnum eða ekki), með sömu líkur í hvert sinn og þar sem við gerum alltaf þá kröfu að mælingarnar séu óháðar og einsdreifðar má líta á þær sem röð óháðra tilrauna.

Þar sem við getum litið á hverja mælingu sem Bernoulli tilraun getum við sömuleiðis litið svo á að heildarfjöldi heppnaðra tilrauna fylgi tvíkostadreifingunni (sjá kassa 5.3.3.2 í kafla 5.3.3). Þá er stikinn $p$ hlutfallið í dreifingunni og $n$ er heildarfjöldi mælinga. Því er hægt að nota aðferðir byggðar á tvíkostadreifingunni til að álykta um $p$. Þær aðferðir eru hins vegar það stærðfræðilega erfiðar að ekki er unnt að reikna þær í höndunum.

Þegar ákveðnum skilyrðum er uppfyllt líkist tvíkostadreifingin normaldreifingunni nægjanlega mikið til að hægt sé að beita aðferðum sem byggðar eru á eiginleikum normaldreifingarinnar til að draga ályktanir um slembistærðir sem í raun fylgja tvíkostadreifingu. Það köllum við að beita normalnálgun. Í þessum kafla munum við aðallega styðjast við aðferðir sem byggja á þeirri nálgun.

Tilgátuprófið í þessum hluta byggir á normalnálgun. Við munum notast við þumalputtaregluna að séu $n\hat{p}$ og $n(1-\hat{p})$ stærri en 15 má nota nálgunina. Það er ætíð mikilvægt að gæta þess að þessi skilyrði séu uppfyllt. Ef skilyrðin eru ekki uppfyllt má nota tilgátupróf sem byggir beint á tvíkostadreifingunni, eða þá endurvalsaðferð til að meta tilgátuprófið. Hvoruga aðferðina má reikna í höndunum en þær eru útfærðar í öllum helstu tölfræðihugbúnuðum.

7.1.2. Öryggisbil og tilgátupróf

7.1.2.1. Öryggisbil fyrir hlutfall þýðis

Athugið

Séu skilyrðin fyrir að nota normalnálgunina uppfyllt, það er ef $n\hat{p}$ og $n(1-\hat{p})$ eru stærri en 15 má reikna neðra öryggismark fyrir $p$ með:

(7.2)\[\hat{p} - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

og efra öryggismarkið með

(7.3)\[\hat{p} + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

þar sem $\hat{p} = \frac{x}{n}$ og $z_{1-\alpha/2}$ fæst með að fletta upp í töflu stöðluðu normaldreifingarinnar í kafla T.1.

Öryggisbilið má því skrifa sem

\[\hat{p} - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} < p < \hat{p} + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

7.1.2.2. Tilgátupróf fyrir hlutfall þýðis

Athugið

Séu skilyrðin fyrir að nota normalnálgunina uppfyllt, þ.e.a.s. ef $n\hat{p}$ og $n(1-\hat{p})$ eru stærri en 15 má nota eftirfarandi tilgátupróf.

Núlltilgátan er:

\[\text{H}_0: p = p_0\]

Prófstærðin er:

(7.4)\[Z = \frac{X - np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\]

þar sem $X$ er fjöldi heppnaðra tilrauna og $n$ er stærð úrtaksins.

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin stöðluðu normaldreifingunni, eða $Z \sim N(0,1)$. Gagntilgátan getur verið einhliða eða tvíhliða og má sjá þær ásamt höfnunarsvæðunum hér að neðan.

Gagntilgáta	Hafna $H_0$ ef:
$H_1: p < p_0$	$Z < -z_{1-\alpha}$
$H_1: p > p_0$	$Z > z_{1-\alpha}$
$H_1: p \neq p_0$	$Z < -z_{1-\alpha/2}$ eða $Z > z_{1-\alpha/2}$

7.1.2.3. Sýnidæmi: Ályktanir um hlutfall þýðis

Ábending

Fyrirtæki hér í borg ákvað að framkvæma skoðanakönnun til að kanna fylgi ríkisstjórnarinnar. Fyrirtæki þetta er með marga færa próffræðinga á sínum snærum svo við getum gert ráð fyrir að úrtakshögun og úrvinnsla hafi verið til fyrirmyndar. Niðurstaðan var að af þeim 8750 sem spurðir voru “styður þú ríkisstjórnina“ sögðu 4530 já og 4220 nei. Finnið 95% öryggisbil fyrir $p$, hlutfall þeirra sem styðja ríkisstjórnina. Taka skal fram að tölurnar í þessu dæmi eru uppspuni.

Byrjum á að finna $p$ með jöfnu (7.1)

\[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4530}{8750} = 0.5177\]

Skilyrðin um normalnálgun eru uppfyllt þar sem $n\hat{p}$ og $n(1-\hat{p})$ eru bæði stærri en 15 . Nú má reikna neðra öryggismark með jöfnu (7.2)

\[\hat{p} - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.5177 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.5177(1-0.5177)}{8750}} = 0.5072\]

og efra öryggismark með jöfnu (7.3)

\[\hat{p} + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.5177 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.5177(1-0.5177)}{8750}} = 0.5282\]

Öryggisbilið má því skrifa sem

\[0.5072 < \ p \ < 0.5282\]

Við áætlum því að 51.77% kjósenda styðji ríkisstjórnina og fullyrðum með 95% vissu að það hlutfall liggi á bilinu frá 50.72% upp í 52.82%.

7.2. Ályktanir um hlutföll tveggja þýða

7.2.1. Ályktanir um hlutföll tveggja þýða

Í þessum hluta munum við skoða bilmat og tilgátupróf þar sem hlutföll mælinga sem hljóta tiltekið gildi flokkabreytu eru borin saman milli tveggja þýða. Dæmi um slíkt væri að kanna hvort hlutfall kvenna sem styður ríkistjórnina sé jafnt hlutfalli karla sem séu þeirrar skoðunar.

Þegar bera á saman hlutföll í tveimur þýðum er, til þæginda, venjan að kalla það þýði sem úrtakshlutfallið er hærra þýði 1 og hitt þýði 2. Við köllum hlutföll heppnaðra tilrauna í þýðunum tveimur $p_1$ og $p_2$. Tekin eru slembiúrtök úr þýðunum tveimur af stærð $n_1$ og $n_2$ og úrtakshlutföllin, $\hat{p}_1$ og $\hat{p}_2$ notuð til að meta þýðishlutföllin $p_1$ og $p_2$. Jöfnur þeirra eru

(7.5)\[\begin{aligned} \hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1}\end{aligned}\]

(7.6)\[\begin{aligned} \hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2}\end{aligned}\]

þar sem $x_1$ og $x_2$ eru fjöldi heppnaðra tilrauna í úrtökunum tveimur.

Tilgátuprófið í þessum hluta prófar núlltilgátuna hvort hlutföllin í hópunum tveimur séu jöfn. Núlltilgátuna ritum við $H_0: p_1 = p_2$.

Líkt og þegar við könnum hlutfall eins þýðis notum við normalnálgun til að bera saman hlutföll tveggja þýða. Í þessu tilviki notum við þumalputtaregluna að séu $n_1 \hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2 \hat{p}_2$ og $n_2(1-\hat{p}_2)$ eru öll stærri en 15 má beita normalnálgun . Ef skilyrðin eru ekki uppfyllt má nota tilgátupróf endurvalsaðferð til að meta tilgátuprófið eða framkvæma svokallað Fishers próf. Hvoruga aðferðina má reikna í höndunum en þær eru útfærðar í öllum helstu tölfræðihugbúnuðum.

7.2.1.1. Öryggisbil fyrir hlutföll tveggja þýða

Athugið

Séu skilyrðin fyrir að nota normalnálgunina uppfyllt, þ.e.a.s. ef $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$ og $n_2(1-\hat{p}_2)$ eru öll stærri en 15 má reikna neðra öryggismark fyrir muninn á $p_1$ og $p_2$ með:

(7.7)\[\hat{p}_1 - \hat{p}_2 - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]

og efra öryggismarkið með

(7.8)\[\hat{p}_1 - \hat{p}_2 + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]

þar sem $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1}$, $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2}$ og $z_{1-\alpha/2}$ fæst með að fletta upp í töflu stöðluðu normaldreifingarinnar í kafla T.1.

7.2.1.2. Tilgátupróf fyrir hlutföll tveggja þýða

Athugið

Séu skilyrðin fyrir að nota normalnálgunina uppfyllt, þ.e.a.s. ef $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$ og $n_2(1-\hat{p}_2)$ eru öll stærri en 15 má nota eftirfarandi tilgátupróf:

Núlltilgátan er:

\[\text{H}_0: p_1 = p_2\]

Prófstærðin er:

(7.9)\[\hspace{5mm} Z = \frac{\frac{X_1}{n_1} - \frac{X_2}{n_2}}{\sqrt{\hat p(1- \hat p)\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}}, \ \ \text{þar sem} \ \ \hat p = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2}\]

Ef núlltilgátan er sönn fylgir prófstærðin stöðluðu normaldreifingunni, eða $Z \sim N(0,1)$. Gagntilgátan getur verið einhliða eða tvíhliða og má sjá þær ásamt höfnunarsvæðunum hér að neðan.

Gagntilgáta	Hafna $H_0$ ef:
$H_1: p_1 < p_2$	$Z < -z_{1-\alpha}$
$H_1: p_1 > p_2$	$Z > z_{1-\alpha}$
$H_1: p_1 \neq p_2$	$Z < -z_{1-\alpha/2}$ eða $Z > z_{1-\alpha/2}$

7.2.1.3. Sýnidæmi: Ályktanir um hlutföll tveggja þýða

Ábending

Skoðum aftur dæmi 7.1.2.3. Við fáum nú að vita að í raun voru úrtökin tvö, 4375 konur og 4375 karlar. Niðurstaðan var að af þeim 8750 sem spurðir voru “styður þú ríkisstjórnina“ sögðu 4530 já og 4220 nei. Af þeim 4530 sem sögðust styðja ríkistjórnina voru 2337 konur. Finnið 95% öryggisbil fyrir mun á hlutföllum kvenna og karla sem styðja ríkisstjórnina og kannið hvort munur sé á hlutföllum kvenna og karla sem styðja ríkisstjórnina. Notið $\alpha = 0.05$. Taka skal fram að þetta dæmi er uppspuni.

Skilyrðin um normalnálgun eru uppfyllt þar sem $n_1\hat{p}_1$, $n_1(1-\hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$ og $n_2(1-\hat{p}_2)$ eru öll stærri en 15.

Byrjum á að finna $\hat{p}_1$ og $\hat{p}_2$. Gefið er í dæminu að fjöldi karla og fjöldi kvenna er jafn, $n_1 = n_2 = 4375$. Einnig var gefið að fjöldi kvenna sem sagðist styðja ríkisstjórnina er 2337 og fjöldi karla því 4530-2337 = 2193, því eru $x_1 = 2337$ og $x_2 = 2193$.

Reiknum nú $\hat{p}_1$ og $\hat{p}_2$ með jöfnum (7.5) og (7.6)

\[\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{2337}{4375} = 0.5342 \ \ \text{og} \ \ \hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{2193}{4375} = 0.5013\]

Nú má reikna neðra öryggismark með jöfnu (7.7)

\[\hat{p}_1 - \hat{p}_2 - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}=\]

\[0.5342 - 0.5013 - 1.96\sqrt{\frac{0.5342(1-0.5342)}{4375} + \frac{0.5013(1-0.5013)}{4375}} = 0.0119\]

og efra öryggismark með jöfnu (7.8)

\[\hat{p}_1 - \hat{p}_2 + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} =\]

\[0.5342 - 0.5013 + 1.96\sqrt{\frac{0.5342(1-0.5342)}{4375} + \frac{0.5013(1-0.5013)}{4375}} = 0.0537\]

Öryggisbilið má því skrifa sem

\[0.0119 < \ p_1 - p_2 \ < 0.0537\]

Til að kanna hvort munur sé á hlutföllunum förum við eftir samantektinni um framkvæmd tilgátuprófa.

Við ætlum að álykta um mun á tveimur hlutföllum og notum við því próf fyrir mismun hlutfalla tveggja þýða. Við notum normalnálgun þar sem $n_1 \hat{p}_1$, $n_1(1 - \hat{p}_1)$, $n_2\hat{p}_2$ og $n_2(1-\hat{p}_2)$ eru öll stærri en 15.
Við fengum uppgefið að nota $\alpha = 0.05.$
Við eigum að kanna hvort munur sé á hlutföllum karla og kvenna sem styðja ríkisstjórnina. Við notum því tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} H_0&:& p_1 = p_2\\ H_1&:& p_1 \neq p_2\end{aligned}\end{split}\]
Við vitum að $\hat{p}_1 = 0.5342$ og $\hat{p}_2 = 0.5013$. Reiknum nú $\hat p$, sjá jöfnu (7.9), þar sem $\hat p$ kemur fyrir í prófstærðinni

\[\hat p= \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{4530}{8750} = 0.5177\]

Prófstærðina má svo reikna með jöfnu (7.9)

\[z = \frac{\frac{x_1}{n_1} - \frac{x_2}{n_2}}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} = \frac{0.5342 - 0.5013}{\sqrt{0.5177(1-0.5177)\left(\frac{1}{4375} + \frac{1}{4375} \right)}} = 3.08\]
Við notum töflu stöðluðu normaldreifingarinnar til að finna höfnunarsvæðin: $z_{1-\alpha/2}$ = $z_{0.975}$ = 1.96. Við höfnum því núlltilgátunni ef $z> 1.96$ eða ef $z < -1.96$. Við sjáum að $z> 1.96$ svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.
Við höfnum núlltilgátunni og ályktum því að munur sé á hlutföllum kvenna og karla sem styðja ríkisstjórnina.

7.3. Ályktanir um hlutföll fleiri þýða

7.3.1. Ályktanir um hlutföll fleiri þýða

Tilgátuna úr síðasta hluta má útvíkka þannig að hægt sé að bera saman hlutföll fleiri en tveggja þýða. Þá er ekki lengur hægt að nota aðferðir byggðar á nálgun normaldreifingarinnar heldur er stuðst við svokölluð kí-kvaðrat próf ($\chi^2$-próf). Aðferðina má einnig nota þegar bera á saman hlutföll tveggja þýða eins og í hlutanum hér að framan, þó aðeins ef gagntilgátan er tvíhliða. Þá munu Kí-kvaðrat prófið og prófið sem byggir á normalnálgun alltaf gefa sömu niðurstöðuna.

Tilgátuprófið í þessum hluta prófar hvort hlutföll allra $d$ þýðanna séu jöfn. Hana ritum við $H_0: p_1 = p_2 = ... = p_d$. Ef við höfnum henni getum við ályktað að hlutföllin séu ekki öll jöfn hvort öðru en það felur ekki endilega í sér að þau séu öll ólík. Beita þyrfti þróaðri tölfræðiaðferðum, utan efni þessar bókar, til að komast að raun um það.

Eins og áður þurfa viss skilyrði að vera uppfyllt til að beita megi kí-kvaðrat prófi. Þeim skilyrðum er þó torvelt að lýsa án þess að þekkja aðferðina og því munum við koma aftur að þeim síðar. Kí-kvaðrat aðferðinni er sömuleiðis auðveldara að lýsa með dæmi en í orðum og förum við því þá leið hér á eftir.

Áður en hægt er að framkvæma kí-kvaðrat próf er gott að búa til þrjár töflur sem hjálpa okkur við að reikna prófstærðina sem notuð er í prófinu. Í kassa 7.3.1.1 má sjá hvernig búa má til þessar þrjár töflur og í kassa 7.3.1.2 má sjá tilgáturnar og prófstærðina sem notuð er til að prófa tilgáturnar.

7.3.1.1. Töflur fyrir kí-kvaðrat próf

Athugið

Þegar framkvæma á kí-kvaðrat próf er gott að búa til þrjár töflur:

Tafla mældrar tíðni: Inniheldur tíðni sem við fáum úr rannsókninni, táknuð með $o$.
Tafla væntanlegrar tíðni: Inniheldur væntanlega tíðni, táknuð með $e$. Gildin fást með því að margfalda samtalstölurnar úr töflu mældrar tíðni úr þeim dálki og þeirri línu sem við erum stödd í og deila með heildarfjölda. Allar tölur í þessari töflu verða að vera hærri en 5 annars er ekki hægt að nota prófið.
Tafla prófstærðar: Inniheldur framlag til prófstærðar reiknað með $\frac{(o-e)^2}{e}$. Að lokum eru allar tölurnar í töflu prófstærðar lagðar saman til að fá gildið á prófstærðinni (sjá kassa 7.3.1.2).

7.3.1.2. Kí-kvaðrat próf fyrir hlutföll

Athugið

Tilgáturnar eru:

\[H_0: p_1 = p_2 = ... = p_d\]

\[H_1: \text{hlutföllin eru ekki öll jöfn}\]

Prófstærðin er:

(7.10)\[\chi^2 = \sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{d} \frac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\]

þar sem $l$ er fjöldi lína, $d$ er fjöldi dálka, $o$ er mæld tíðni og $e$ er væntanleg tíðni.

Sé núlltilgátan sönn fylgir prófstærðin $\chi^2$-dreifingu með ($l$ - 1) $\cdot$ ($d$ - 1) fjölda frígráða.

Hafna skal núlltilgátunni sé $\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha,((l - 1) \cdot (d - 1))}$.

Þegar við vinnum með tvö þýði getum við hvort heldur notað aðferðina úr síðasta hluta sem byggði á normalnálgun eða kí-kvaðrat próf. Notum nú dæmið um ríkisstjórnina úr síðasta hluta (dæmi 7.2.1.3) til að skoða hvernig við búum til töflurnar þrjár sem við notum til að framkvæma kí-kvaðrat prófið.

7.3.1.3. Tafla mældrar tíðni

Fjöldi kvenna í úrtaki var 4375, fjöldi í karla úrtaki var 4375, fjöldi kvenna sem voru fylgjandi ríkisstjórninni voru 2337 og fjöldi karla sem voru fylgjandi ríkisstjórninni voru 2139. Setjum nú þessar upplýsingar sem við köllum mælda tíðni (e. observed frequency), upp í töflu. Köllum nú þessa töflu töflu mældrar tíðni og táknum gildi hennar með $o$.

Tafla mældrar tíðni	Konur	Karlar	Samtals
Fylgjandi ríkisstjórninni	2337	2193	4530
Ekki fylgjandi ríkisstjórninni	2038	2182	4220
Samtals	4375	4375	8750

Látum $d$ tákna fjölda dálka í töflu sem þessari og $l$ fjölda lína, að samtalsdálknum og samtalslínunni undanskildri. Þá köllum við töflu sem þessa $l$x$d$-töflu. Taflan hér að ofan er því 2x2-tafla.

7.3.1.4. Tafla væntanlegrar tíðni

Því næst búum við til aðra töflu sem inniheldur svonefnda væntanlega tíðni (e. expected frequency). Hún inniheldur þann fjölda sem búast mætti við að sjá í hverjum hóp ef núlltilgátan væri sönn. Sú tafla er þar af leiðandi af sömu stærð og tafla mældrar tíðni, í þessu tilviki 2x2. Köllum þessa töflu töflu væntanlegrar tíðni og táknum gildi hennar með $e$.

Gildin í töflu væntanlegrar tíðni fást með því að margfalda samtalstölurnar úr töflu mældrar tíðni úr þeim dálki og þeirri línu sem við erum stödd í og deila með heildarfjölda. Skilyrðið sem þarf að gilda til að framkvæma megi kí-kvaðrat próf er að tölurnar í þessari töflu séu stærri en 5.

Tafla væntanlegrar tíðni	Konur	Karlar
Fylgjandi ríkisstjórninni	$\frac{4375\cdot 4530}{8750} = 2265$	$\frac{4375\cdot 4530}{8750} = 2265$
Ekki fylgjandi ríkisstjórninni	$\frac{4375\cdot 4220}{8750} = 2110$	$\frac{4375\cdot 4220}{8750} = 2110$

7.3.1.5. Tafla prófstærðar

Til að reikna út prófstærðina fyrir kí-kvaðrat prófið er best að búa til töflu sem inniheldur framlag til prófstærðarinnar. Köllum hana töflu prófstærðar. Taflan er að sömu stærð og töflunar hér að framan, í þessu tilfelli 2x2. Fyrir hvert pláss í töflunni reiknum við $\frac{(o-e)^2}{e}$ þar sem $o$ og $e$ eru gildin í töflu mældrar tíðni og töflu væntanlegrar tíðni sem eru á sama stað í töflunum og það gildi sem verið er að reikna út. Skoðum nú aftur fyrstu töflurnar tvær og hvernig reikna má út gildin í töflu prófstærðar.

Tafla mældrar tíðni ($o$)	Konur	Karlar
Fylgjandi	2337	2193
Ekki fylgjandi	2038	2182

Tafla væntanlegrar tíðni ($e$)	Konur	Karlar
Fylgjandi	2265	2265
Ekki fylgjandi	2110	2110

Reiknum nú gildin í töflu prófstærðar með $\frac{(o-e)^2}{e}$.

Tafla prófstærðar	Konur	Karlar
Fylgjandi	$\frac{(2337 - 2265)^2}{2265} = 2.29$	$\frac{(2193 - 2265)^2}{2265} = 2.29$
Ekki fylgjandi	$\frac{(2038 - 2110)^2}{2110} = 2.46$	$\frac{(2182 - 2110)^2}{2110} = 2.46$

Til að reikna prófstærðina þurfum við að lokum að leggja saman allar tölurnar í töflu prófstærðar.

7.3.1.6. Sýnidæmi: Kí-kvaðrat próf - 2x2 tafla

Ábending

Skoðum aftur dæmið um ríkisstjórnina frá dæmi 7.2.1.3. Kannið nú hvort munur sé á stuðningi við ríkisstjórnina milli kynja með að nota kí-kvaðrat próf.

Í dæmi sem þessu þarf að byrja á að búa til töflurnar þrjár. Við höfum þegar gert það fyrir þessi gögn og getum við því hafist handa við tilgátuprófið.

Við ætlum að álykta um mun á tveimur hlutföllum með að nota kí-kvaðrat próf. Í töflunni fyrir væntanlega tíðni eru allar tölurnar stærri en 5 og því er í lagi að nota prófið.
Notum $\alpha = 0.05.$
Við eigum að kanna hvort munur sé á hlutfalli karla og kvenna sem styðja ríkisstjórnina. Við notum því tvíhliða próf. Tilgáturnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} H_0&:& p_1 = p_2\\ H_1&:& p_1 \neq p_2\end{aligned}\end{split}\]
Við notum töflu prófstærðar til að finna gildin sem fara inn í útreikningana fyrir prófstærðina. Prófstærðin er:

\[\chi^2 = \sum \sum \frac{(o-e)^2}{e} = 2.29 + 2.29 + 2.46 + 2.46 = 9.50\]
Við flettum upp í kí-kvaðrat töflu með einni frígráðu til að finna höfnunarsvæðið. $\chi^2_{1-\alpha,((l-1)\cdot(d-1))}$ = $\chi^2_{0.95,(1)}$ = 3.84. Við höfnum því núlltilgátunni ef $\chi^2> 3.84$. Við sjáum að $\chi^2> 3.84$ svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.
Við höfnum núlltilgátunni og ályktum því að munur sé á hlutfalli kvenna og karla sem styðja ríkisstjórnina.

Aðferðirnar tvær, að nota normalnálgun og kí-kvaðrat prófið, munu alltaf gefa sömu niðurstöðu. Það gildir nefnilega að kí-kvaðrat prófstærðin er jöfn z-prófstærðinni í öðru veldi. Skoðum nú annað dæmi þar sem hóparnir sem við erum að skoða eru fleiri en 2.

7.3.1.7. Sýnidæmi: Kí-kvaðrat próf - 2x3 tafla

Ábending

Eftirfarandi gögn eru niðurstöður könnunar þar sem slembiúrtak úr þremur ráðuneytum hér á landi var tekið og fólk spurt hvort það væri ánægt með eftirlaunaáætlun ríkisins. Úrtak af stærð 100 var tekið úr fyrsta ráðuneytinu og úrtök af stærð 150 úr hinum tveimur.

	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3
Ánægt með áætlun	66	85	108
Ekki ánægt með áætlun	34	65	42

Í dæmi sem þessu þarf að byrja á að búa til töflurnar þrjár. Fyrsta taflan er sú sama og hér að ofan nema við bætum við samtalsdálki og -línu.

Mæld tíðni - $o$	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3	Samtals
Ánægt	66	85	108	259
Ekki ánægt	34	65	42	141
Samtals	100	150	150	400

Gildin í töflu væntanlegrar tíðni fást með því að margfalda samtalstölurnar úr töflu mældrar tíðni úr þeim dálki og þeirri línu sem við erum stödd í og deila með heildarfjölda.

Væntanleg tíðni - $e$	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3
Ánægt	$\frac{100\cdot 259}{400} = 64.75$	$\frac{150\cdot 259}{400} = 97.13$	$\frac{150\cdot 259}{400} = 97.13$
Ekki ánægt	$\frac{100\cdot 141}{400} = 35.25$	$\frac{150\cdot 141}{400} = 52.88$	$\frac{150\cdot 141}{400} = 52.88$

Reiknum nú gildin í töflu prófstærðar með $\frac{(o-e)^2}{e}$

Prófstærð	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3
Ánægt	$\frac{(66-64.75)^2}{64.75} = 0.02$	$\frac{(85-97.13)^2}{97.13} = 1.51$	$\frac{(108-97.13)^2}{97.13} = 1.22$
Ekki ánægt	$\frac{(34-35.25)^2}{35.25} = 0.04$	$\frac{(65-52.88)^2}{52.88} = 2.78$	$\frac{(42-52.88)^2}{52.88} = 2.24$

Nú erum við tilbúin að hefjast handa við tilgátuprófið.

Við ætlum að álykta um mun á þremur hlutföllum með því að nota kí-kvaðrat próf. Í töflunni fyrir væntanlega tíðni eru allar tölurnar stærri en 5 og því er í lagi að nota prófið.
Notum $\alpha = 0.05.$
Við eigum að kanna tilgátuna hvort munur sé milli ráðuneyta á ánægju með eftirlaunaáætlun. Tilgáturnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} H_0&:& p_1 = p_2 = p_3\\ H_1&:& \text{$p_1, p_2, p_3,$ eru ekki öll jöfn}\end{aligned}\end{split}\]
Við notum töflu prófstærðar til að finna gildin sem fara inn í útreikningana fyrir prófstærðina. Prófstærðin er:

\[\begin{split}\begin{aligned} \chi^2 = & \sum \sum \frac{(o-e)^2}{e} = 0.02 + 1.51 + 1.22 + 0.04 + 2.78 + 2.24\\ = & 7.81 \end{aligned}\end{split}\]
Við flettum upp í kí-kvaðrat töflu með tveimur frígráðum til að finna höfnunarsvæðið. $\chi^2_{1-\alpha,((l-1)\cdot(d-1))}$ = $\chi^2_{0.95,(2)}$ = 5.99. Við höfnum því núlltilgátunni ef $\chi^2 > 5.99$. Við sjáum að $\chi^2> 5.99$ svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.
Við höfnum núlltilgátunni og ályktum því að munur sé á hlutfalli þeirra sem eru ánægðir með eftirlaunaáætlunina í ráðuneytunum þremur.

7.3.2. Mátgæðapróf

Aðferðina í þessum hluta má einnig nota til að framkvæma svokölluð mátgæðapróf (e. goodness of fit tests). Þeim prófum beitum við þegar við höfum fyrirfram ákveðnar kenningar um það hver hlutföllin $p_1, \ldots, p_d$ eigi að vera og við viljum kanna hvort að mælingarnar okkar samræmist þeirri kenningu.

Tilgátuprófið er framkvæmt á nákvæmlega sama hátt, nema það verður einfaldara að reikna væntanlegu tíðnina, $e$, í töflu væntanlegrar tíðni. Væntanlega tíðnin í hverjum dálki er einfaldlega $n\cdot p_i$, þ.e. heildarfjöldi mælinga sinnum það hlutfall sem við gerum ráð fyrir að gildi fyrir þennan flokk. Prófstærðin er reiknuð á sama hátt en núna miðum við hana við gildið $\chi^2_{1-\alpha, d-1}$.

Mátgæðapróf eru sérstök að því leyti að við viljum yfirleitt ekki hafna núlltilgátunni. Við notum þau því ekki til að draga miklar ályktanir, því ef við höfum fáar mælingar höfum við sennilega of lítinn styrk til að hafna núlltilgátunni þrátt fyrir að hún sé í raun ósönn og ef við höfum margar mælingar getum við hafnað núlltilgátunni þrátt fyrir að frávikin séu ekki ýkja mikil. Því notum við mátgæðapróf eingöngu til að fá vísbendingu um hvort niðurstöðurnar séu nokkuð í hrópandi mótsögn við kenningarnar okkar.

7.4. Tengslatöflur

7.4.1. Tengslatöflur

Í hluta 7.3 sáum við hvernig bera má saman skiptingu flokkabreytu í mismunandi þýðum. Í þessum hluta munum við sjá hvernig bera má saman tvær flokkabreytur þar sem gögnum er aflað úr sama þýðinu. Til þess eru notaðar svokallaðar tengslatöflur og prófin ganga út á að svara spurningunni hvort breyturnar tvær séu óháðar. Prófstærðin sem notast er við er sú sama og áður og eru allir útreikningar því eins. Tilgáturnar eru þó settar fram á annan máta.

Eins og í hluta 7.3 má ekki framkvæma tilgátuprófið ef einhverjar tölur í töflu væntanlegrar tíðni eru minni en fimm. Þá má annað hvort framkvæma endurvalsaðferð til að framkvæma prófið eða þá að framkvæma Fishers próf. Þær aðferðir er sem fyrr ekki hægt að framkvæma í höndunum. Einnig er algengt að fara þá leið að sameina suma flokka annarrar eða beggja flokkabreytanna eins og lýst var í undirkafla 2.2.2. Er það einungis gert ef að skipting flokkanna í flokkabreytunni var óþarflega fín og flokkarnir tveir eða fleiri sem sameinaðir eru séu mjög líkir að eiginleikum.

7.4.1.1. Tengslatöflur (contingency tables)

Athugið

Tengslatöflur eru notaðar til að kanna hvort samband sé á milli tveggja flokkabreyta . Tilgáturnar eru

\[\begin{split}\begin{aligned} H_0&:& \text{Það er ekki samband á milli breytanna tveggja}\\ H_1&:& \text{Það er samband á milli breytanna tveggja}\end{aligned}\end{split}\]

Prófstærðin er

(7.11)\[\chi^2 = \sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{d} \frac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\]

þar sem $l$ er fjöldi lína, $j$ er fjöldi dálka, $o$ er mæld tíðni og $e$ er væntanleg tíðni. Sé núlltilgátan sönn fylgir prófstærðin $\chi^2$-dreifingu með ($l$ - 1) $\cdot$ ($d$ - 1) fjölda frígráða. Hafna skal núlltilgátunni sé $\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha,((l - 1) \cdot (d - 1))}$.

7.4.1.2. Sýnidæmi: Tengslatöflur

Ábending

Fyrirtæki hafði áhuga á að kanna hvort það væri samband á milli þess hvernig starfsmenn stæðu sig í þjálfunarprógrammi og hvernig þeir stæðu sig svo í vinnunni. Til að kanna hvort svo væri var tekið slembiúrtak af stærð 400. Niðurstöðurnar má sjá hér að neðan.

		Þjálfunarprógram
		Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals
Vinna	Neðan meðals	24	59	29
	Meðal	24	79	64
	Ofan meðals	12	49	60

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort samand sé á milli hvernig starfsmenn stæðu sig í þjálfunarprógrammi og hvernig þeir stæðu sig svo í vinnunni.

Byrjum á að búa til töflurnar þrjár. Fyrsta taflan er sú sama og hér að ofan nema við bætum við samtalsdálki og -línu.

Mæld tíðni - $o$	Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals	Samtals
Neðan meðals	24	59	29	112
Meðal	24	79	64	167
Ofan meðals	12	49	60	121
Samtals	60	187	153	400

Gildin í töflu væntanlegrar tíðni fást með því að margfalda samtalstölurnar úr töflu mældrar tíðni úr þeim dálki og þeirri línu sem við erum stödd í og deila með heildarfjölda.

Væntanleg tíðni - $e$	Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals
Neðan meðals	$\frac{60 \cdot 112}{400} = 16.80$	$\frac{187 \cdot 112}{400} = 52.36$	$\frac{153 \cdot 112}{400} = 42.84$
Meðal	$\frac{60 \cdot 167}{400} = 25.05$	$\frac{187 \cdot 167}{400} = 78.07$	$\frac{153 \cdot 167}{400} = 63.88$
Ofan meðals	$\frac{60 \cdot 121}{400} = 18.15$	$\frac{187 \cdot 121}{400} = 56.57$	$\frac{153 \cdot 121}{400} = 46.28$

Reiknum gildin í töflu prófstærðar með $\frac{(o-e)^2}{e}$

Prófstærð	Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals
Neðan meðals	$\frac{(24 - 16.80)^2}{16.80} = 3.09$	$\frac{(59 - 52.36)^2}{52.36} = 0.84$	$\frac{(29 - 42.84)^2}{42.84} = 4.47$
Meðal	$\frac{(24 - 25.05)^2}{25.05} = 0.04$	$\frac{(79 - 78.07)^2}{78.07} = 0.01$	$\frac{(64 - 63.88)^2}{63.88} = 0.00$
Ofan meðals	$\frac{(12 - 18.15)^2}{18.15} = 2.08$	$\frac{(49 - 56.57)^2}{56.57} = 1.01$	$\frac{(60 - 46.28)^2}{46.28} = 4.07$

Nú erum við tilbúin að hefjast handa við tilgátuprófið.

Við höfum tengslatöflu og notum því kí-kvaðrat próf. Við höfum tengslatöflu því við erum að kanna hvort samband sé á milli tveggja breyta í einu þýði. Í töflunni fyrir væntanlega tíðni eru allar tölurnar stærri en 5 og því er í lagi að nota prófið.
Notum $\alpha = 0.05.$
Við eigum að kanna hvort samband sé á milli árangurs í þjálfunarprógrammi og vinnu. Tilgáturnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} H_0&:& \text{Það er ekki samband á milli frammistöðu í þjálfun og vinnu}\\ H_1&:& \text{Það er samband á milli frammistöðu í þjálfun og vinnu}\end{aligned}\end{split}\]
Við notum töflu prófstærðar til að finna gildin sem fara inn í útreikningana fyrir prófstærðina. Prófstærðin er:

\[\begin{split}\begin{aligned} \chi^2 &= \sum \sum \frac{(o-e)^2}{e} = 3.09 + 0.84 + 4.47 \\ &+ 0.04 + 0.01 + 0.00 + 2.09 + 1.01 + 4.07 = 15.62 \end{aligned}\end{split}\]
Við flettum upp í kí-kvaðrat töflu með fjórum frígráðum til að finna höfnunarsvæðið. $\chi^2_{1-\alpha,((l-1)\cdot(d-1))}$ = $\chi^2_{0.95,(4)}$ = 9.488. Við höfnum því núlltilgátunni ef $\chi^2 > 9.488$. Við sjáum að $\chi^2 > 9.488$ svo prófstærðin fellur á höfnunarsvæði.
Við höfnum núlltilgátunni og ályktum því að samband sé á milli frammistöðu í þjálfunarprógrammi og vinnu.

7.5. Dæmi

7.5.1. Dæmi

Í tilraun með áhrif mismunandi fóðrunar á frjósemi sauðfjár voru tveir fóðurflokkar kannaðir, A og B og fékkst eftirfarandi fjöldi einlembdra og tvílembdra áa í hvorum flokki:

	Fóðurflokkur A	Fóðurflokkur B
Einlembdar	60	82
Tvílembdar	132	108

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort munur sé á milli frjósemi eftir fóðurflokkum. Notið $\alpha = 0.05$.

7.5.2. Dæmi

Um áramótin 2009 var gerð könnun meðal 2500 landsmanna um afstöðu þeirra til byggingar Norðlingaölduveitu. Niðurtöður könnunarinnar var sú að 1577 sögðust hlynntir og 923 á móti. Finnið 95% öryggisbil fyrir hlutfall landsmanna sem hlyntir eru Norðlingaölduveitu.

7.5.3. Dæmi

Skólayfirvöld í skóla nokkrum höfðu stóðu fyrir tilraun þar sem 230 stúdentar voru valdir af handahófi og þeir spurðir tveggja spurninga. Fyrri spurningin var hvort þau ættu börn eða ekki og sú seinni var hvort þau væru í fullu námi eða ekki. Niðurstöðurnar má sjá hér að neðan:

Tafla mældrar tíðni	Á börn	Á ekki börn
Í fullu námi	31	170
Ekki í fullu námi	15	14

Skólayfirvöld í skólanum ætla nú að greina þessi gögn með kí-kvaðrat prófi.

Hér að neðan má sjá töflu væntanlegrar tíðni en það vantar eitt gildi. Hvert er gildið?

Tafla væntanlegrar tíðni

Á börn

Á ekki börn

Í fullu námi

160.8

Ekki í fullu námi

5.8

23.2
Hér að neðan má sjá töflu prófstærðar en það vantar eitt gildi. Hvert er gildið?

Tafla prófstærðar

Á börn

Á ekki börn

Í fullu námi

2.105

0.526

Ekki í fullu námi

14.593
Hvaða gagntilgáta er viðeigandi fyrir gögn af þessu tagi?

7.5.4. Dæmi

Lalli lífefnafræðingur er að vinna með 4x4 tengslatöflu. Hversu margar frígráður hefur prófstærðin sem hann á að nota?

7.5.5. Dæmi

8. apríl 2011 stóð fyrirtæki nokkurt fyrir skoðanakönnun þar sem spurt var: ,,Ef kosið yrði um nýjustu Icesave lögin í dag, hvort myndir þú kjósa með eða á móti?“ 722 tóku afstöðu og af þeim sögðust 414 ætla að kjósa á móti lögunum. Göngum út frá að tilrunahögunin hafi verið í lagi.

Hvert er mat þitt á hlutfalli kjósenda sem ætluðu sér að kjósa á móti lögunum?
Finnið neðra mark 95% öryggisbils fyrir hlutfall kjósenda sem ætluðu sér að kjósa á móti lögunum.

7.5.6. Dæmi

Fyrirtæki hér í bæ stóð fyrir skoðanakönnun þar sem fylgi forsetans var kannað. 200 einstaklingar sem búsettir eru á landsbyggðinni og 200 einstaklingar búsettir á höfuðborgasvæðinu voru spurðir hvort þeir styðji forsetann. Af þeim einstaklingum sem búsettir eru á landsbyggðinni sögðust 108 styðja forsetann en 95 af þeim sem búa á höfuðborgarsvæðinu.

Finnið efra mark 95% öryggisbils fyrir mun á hlutfalli þeirra sem styðja forsetann á landsbyggðinni og hlutfalli þeirra sem styðja forsetann á höfuðborgarsvæðinu.
Hvert er höfnunarsvæðið ef kanna á hvort hlutfall fólks sem styður forsetann sé mismunandi á landsbyggðinni og á höfuðborgarsvæðinu (notið $\alpha = 0.05$)?

7.5.7. Dæmi

Í boltalandinu í IKEA eru rauðir og bláir boltar. Siggi sæti veltir fyrir sér hvort jafnmargir boltar séu af hvorum lit og ákveður að nota tölfræðiþekkingu sína til að rannsaka það. Hann velur af handahófi 200 bolta og telur allar rauðu boltana. Boltalandið í IKEA er mjög stórt og þar eru miklu fleiri en 200 boltar. Í úrtakinu hans Sigga sæta voru 104 rauðir boltar.

Hvert er mat Sigga sæta á hlutfalli rauðra bolta í boltalandinu?
Hvert er $95\%$-öryggisbil fyrir hlutfall rauðra bolta?

7.5.8. Dæmi

Til að kanna hvort hlutfall karla og kvenna með of hátt kólestról í blóðinu sé mismunandi hátt voru valdir af handahófi 500 karlmenn og 600 konur og kólesteról í blóði þeirra mælt. 131 karlmaður mældist með of hátt kólesteról og 118 konur. Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort hlutfall karla með of hátt kólesteról í blóði sé frábrugðið hlutfalli kvenna. ($\alpha = 0.05$).

7.5.9. Dæmi

Skoðunarkönnun var framkvæmd í Bandaríkjunum til að kanna hvort samaband væri á milli kyns og stjórnmálaskoðana. 300 manns tóku þátt í könnuninni og talið hversu margir konur og karlar kjósa Demókrata, Repúblikana og voru óháðir. Niðurstöðurnar má sjá hér að neðan:

	Demókrati	Repúblikani	Óháður
Kona	68	56	32
Karl	52	72	20

Kannið með viðeigandi tilgátuprófi hvort samband sé á milli kyns og stjórnmálaskoðana. Notið $\alpha = 0.05$.

Gagntilgáta	Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: p < p_0\)	\(Z < -z_{1-\alpha}\)
\(H_1: p > p_0\)	\(Z > z_{1-\alpha}\)
\(H_1: p \neq p_0\)	\(Z < -z_{1-\alpha/2}\) eða \(Z > z_{1-\alpha/2}\)

Gagntilgáta	Hafna \(H_0\) ef:
\(H_1: p_1 < p_2\)	\(Z < -z_{1-\alpha}\)
\(H_1: p_1 > p_2\)	\(Z > z_{1-\alpha}\)
\(H_1: p_1 \neq p_2\)	\(Z < -z_{1-\alpha/2}\) eða \(Z > z_{1-\alpha/2}\)

Væntanleg tíðni - \(e\)	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3
Ánægt	\(\frac{100\cdot 259}{400} = 64.75\)	\(\frac{150\cdot 259}{400} = 97.13\)	\(\frac{150\cdot 259}{400} = 97.13\)
Ekki ánægt	\(\frac{100\cdot 141}{400} = 35.25\)	\(\frac{150\cdot 141}{400} = 52.88\)	\(\frac{150\cdot 141}{400} = 52.88\)

Væntanleg tíðni - \(e\)	Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals
Neðan meðals	\(\frac{60 \cdot 112}{400} = 16.80\)	\(\frac{187 \cdot 112}{400} = 52.36\)	\(\frac{153 \cdot 112}{400} = 42.84\)
Meðal	\(\frac{60 \cdot 167}{400} = 25.05\)	\(\frac{187 \cdot 167}{400} = 78.07\)	\(\frac{153 \cdot 167}{400} = 63.88\)
Ofan meðals	\(\frac{60 \cdot 121}{400} = 18.15\)	\(\frac{187 \cdot 121}{400} = 56.57\)	\(\frac{153 \cdot 121}{400} = 46.28\)

Prófstærð	Neðan meðals	Meðal	Ofan meðals
Neðan meðals	\(\frac{(24 - 16.80)^2}{16.80} = 3.09\)	\(\frac{(59 - 52.36)^2}{52.36} = 0.84\)	\(\frac{(29 - 42.84)^2}{42.84} = 4.47\)
Meðal	\(\frac{(24 - 25.05)^2}{25.05} = 0.04\)	\(\frac{(79 - 78.07)^2}{78.07} = 0.01\)	\(\frac{(64 - 63.88)^2}{63.88} = 0.00\)
Ofan meðals	\(\frac{(12 - 18.15)^2}{18.15} = 2.08\)	\(\frac{(49 - 56.57)^2}{56.57} = 1.01\)	\(\frac{(60 - 46.28)^2}{46.28} = 4.07\)

Prófstærð	Ráðuneyti 1	Ráðuneyti 2	Ráðuneyti 3
Ánægt	\(\frac{(66-64.75)^2}{64.75} = 0.02\)	\(\frac{(85-97.13)^2}{97.13} = 1.51\)	\(\frac{(108-97.13)^2}{97.13} = 1.22\)
Ekki ánægt	\(\frac{(34-35.25)^2}{35.25} = 0.04\)	\(\frac{(65-52.88)^2}{52.88} = 2.78\)	\(\frac{(42-52.88)^2}{52.88} = 2.24\)