5. Líkindafræðileg undirstaða

Nú höfum við lokið umfjöllun okkar um lýsandi tölfræði en ályktunartölfræðin bíður enn. Í ályktunartölfræði lítum við svo á að mælingarnar okkar séu slembni háðar, hver svo sem orsökin er. Því geta mismunandi mælingar fengist í hvert sinn sem rannsóknin er endurtekin og um leið vitum við ekki hver gildi mælinganna verða fyrr en eftir að við höfum safnað þeim. Til að lýsa þessu fyrirbæri notum við líkindafræðilegt hugtak sem nefnum slembistærð sem er meginumfjöllunarefni þessa kafla.

Við byrjum á almennri umfjöllun um hugtakið slembistærð í kafla 5.1 og kynnumst þar afar mikilvægu hugtaki, líkindadreifingu slembistærða. Að því loknu (kafli 5.2) fjöllum við um mikilvæga stærðfræðilega eiginleika slembistærða og hefjum þar á eftir umfjöllun um slembistærðir sem lýsa strjálum breytum (kafli 5.3) og kynnumst tvíkosta líkindadreifingu og Poisson líkindadreifingu.

Í kafla 5.4 fjöllum við um slembistærðir sem lýsa samfelldum breytum. Að því loknu tekur við umfjöllun um fjórar gerðir samfelldra líkindadreifinga. Við byrjum á að fjalla um normaldreifinguna en hún er án efa sú dreifing sem mest er notuð innan tölfræðinnar.Að því loknu munum við fjalla um þrjár aðrar gerðir líkindadreifinga, \(t\)-dreifingu, \(\chi^2\)-dreifingu og \(F\)-dreifingu, sem við munum nota þegar kemur að ályktunartölfræði.

5.1. Slembistærðir

5.1.1. Slembistærðir

Í ályktunartölfræði lítum við svo á að þeim breytum sem við höfum áhuga á að draga ályktanir um megi lýsa með slembistærð.

5.1.1.1. Slembistærð (random variable)

Athugið

Slembistærð lýsir útkomu breytu áður en hún er mæld.


Hugsum okkur að við viljum framkvæma rannsókn þar sem við könnum hversu hátt hlutfall flugfarþega á Keflavíkurflugvelli hefur fartölvu meðferðis í flugið. Við framkvæmum litla tilraun þar sem við veljum nokkra flugfarþega af handahófi og skráum niður breytu sem tekur gildið 1 ef farþeginn hafði fartölvu meðferðis í flugið en 0 ef ekki. Slembistærðin sem lýsir þessari útkomu þessarar breytu myndi annars vegar segja okkur að eingöngu gildin 0 og 1 væru mögulegar útkomur og hins vegar hversu líklegt að útkoman sé 0 og hversu líklegt að hún sé 1 - áður en tilraunin er framkvæmd!

Slembistærðir eru ekki tölur í venjulegum skilningi heldur eins konar slembið fyrirbæri sem mun verða að einhverri tölu. Til að láta það ríma við mælingarnar okkar, þarf útkoman sem við skráum að vera tölur. Það þýðir að ef breytan sem við erum að mæla er flokkabreyta þá þurfum við að kóða flokkana yfir í tölur með einhverjum hætti. Séum við að mæla kyn gætum við til dæmis táknað útkomuna ,,karl“ með 0 og útkomuna ,,kona“ með ,,1“ og þar fram eftir götunum. Flest tölfræðiforrit gera það sjálfkrafa fyrir okkur.

Gætið þess að rugla ekki slembistærð saman við gildi sem hún hefur tekið. Áður en við mælum hvort að flugfarþegi er með fartölvu eða ekki getur slembistærðin sem því lýsir vissulega tekið gildið einn, en það er út í hött að kalla töluna 1 slembistærð - það er ekkert slembið við hana. Einn er alltaf einn og getur aldrei mögulega orðið núll. Til að gera greinarmun á slembistærð og þeim gildum sem hún hefur tekið erum við mjög nákvæm með rithátt.

5.1.1.2. Ritháttur slembistærða (syntax for random variables)

Athugið

Við táknum slembistærð með stórum staf, oft \(X\), eða staf úr gríska stafrófinu, t.d. \(\beta\).

Við táknum gildi sem slembistærð hefur tekið með litlum staf, oft \(x\), eða með því að setja hatt yfir stafinn, t.d \(\hat \beta\).


Víkjum nú aftur að flugfarþegunum. Við lítum svo á að til sé ein slembistærð sem lýsir því hvort að flugfarþegi af handahófi muni hafa fartölvu meðferðis. Köllum slembistærðina \(X\). Í hvert sinn sem kannað er hvort flugfarþegi sé með fartölvu, fæst ný útkoma sem að slembistærðin \(X\) hefur tekið. Þegar við höfum mörg gildi sem sama slembistærðin hefur tekið tölusetjum við gildin með vísum (\(x_1, x_2, x_3\) o.s.frv.). Takið eftir samræminu við tölusetningu margra mælinga á sömu breytunni í kafla 4. Þessi samsvörun er engin tilviljun. Við lítum á endurteknar mælingar á sömu breytunni sem mörg gildi sem sama slembistærðin hefur tekið.

5.1.2. Strjálar og samfelldar slembistærðir

Við flokkum slembistærðir í strjálar slembistærðir og samfelldar slembistærðir eftir því hvort breyturnar sem þær lýsa séu strjálar eða samfelldar.

5.1.2.1. Strjálar slembistærðir (discrete random variables)

Athugið

Strjálar slembistærðir lýsa strjálum breytum. Þær geta eingöngu tekið endanlega mörg gildi á sérhverju takmörkuðu bili.


Dæmi um strjálar slembistærðir eru til dæmis talan sem upp kemur í teningakasti eða fjöldi auglýsinga sem sýndar verða fyrir kvöldfréttir handahófsvalinn dag.

Í þessu riti er fjallað um tvær gerðir af strjálum slembistærðum. Önnur gerðin getur tekið hvaða heiltölugildi sem er. Hin gerðin getur eingöngu tekið endanlega mörg heiltölugildi sem ná frá 0 upp í einhverja tölu \(n\).

5.1.2.2. Samfelldar slembistærðir (continuous random variables)

Athugið

Samfelldar slembistærðir lýsa samfelldum breytum. Þær geta tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili.


Dæmi um samfellda slembistærð er hæð handahófsvalinna kvenna. Hún getur tekið hvaða gildi sem er á bilinu frá 50 cm upp í 250 cm. Annað dæmi er hitastig í Reykjavík handahófsvalinn dag. Það getur tekið hvaða gildi sem er á bilinu frá -30\(^\circ\)C upp í 30\(^\circ\)C.

5.1.3. Líkindadreifing slembistærða

Við getum reiknað líkurnar á því að útkoma slembistærða hljóti tiltekin gildi eða eitthvert gildi á tilteknu bili. Venjan er að nota ritháttinn hér að neðan til að tákna þessar líkur.

5.1.3.1. Ritháttur fyrir líkindi slembistærða

Athugið

\(P(X \leq a)\): Táknar líkur þess að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði
\(\qquad\)\(\qquad\)\(\text{ }\)\(\text{ }\) minni eða jöfn gildinu \(a\).
\(P(X \geq a)\): Táknar líkur þess að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði
\(\qquad\)\(\qquad\)\(\text{ }\)\(\text{ }\) stærri eða jöfn gildinu \(a\).
\(P(a \leq X \leq b)\): Táknar líkur þess að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði
\(\qquad\)\(\qquad\)\(\qquad\)\(\text{ }\) á milli \(a\) og \(b\), bæði gildin meðtalin.
\(P(X = a)\): Táknar líkur þess að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði
\(\qquad\)\(\qquad\)\(\text{ }\)\(\text{ }\) nákvæmlega gildið \(a\).

5.1.3.2. Sýnidæmi: Ritháttur fyrir líkindi slembistærða

Ábending

Notið rithátt fyrir líkindi slembistærða til að tákna eftirfarandi:

  1. líkurnar á því að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði minni eða jöfn 3.
  2. líkurnar á því að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði stærri eða jöfn 3.
  3. líkurnar á því að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði nákvæmlega -10.
  4. líkurnar á því að útkoma slembistærðarinnar \(X\) verði stærri eða jöfn 1, en þó ekki stærri en 3.
  1. \(P(X \leq 3)\)
  2. \(P(X \geq 3)\)
  3. \(P(X = -10)\)
  4. \(P(1 \leq X \leq 3)\)

Líkindadreifing slembistærðar gefur okkur líkur þess að útkomur hennar taki tiltekin gildi. Með þeim hætti gefur hún okkur allar þær upplýsingar sem hægt er að hafa um slembistærðina. Hún er skilgreind með ólíkum hætti fyrir samfelldar og strjálar slembistærðir.

5.1.3.3. Líkindadreifing slembistærða (probability distribution of random variables)

Athugið

Líkindadreifing slembistærðar er regla sem segir okkur hvaða gildi slembistærðin getur tekið og enn fremur:

\(P(X=a)\) fyrir öll gildi \(a\) sem hún getur tekið ef líkindadreifingin er strjál.

\(P(a \leq X \leq b)\) fyrir öll gildi \(a\) og \(b\) ef líkindadreifingin er samfelld.


Athugasemd

Skilgreininguna að ofan má líka orða svo:

Fyrir strjálar slembistærðir finnum við, fyrir hvaða mögulegu útkomu sem er, líkurnar á því að slembistærðin taki það gildi.

Fyrir samfelldar slembistærðir finnum við, fyrir hvaða bil sem er, líkurnar á að útkoma slembistærðarinnar verði á því bili.


5.1.3.4. Strjálar og samfelldar líkindadreifingar

Athugið

Ef slembistærð er strjál segjum við að líkindadreifing hennar sé strjál.

Ef slembistærð er samfelld segjum við að líkindadreifing hennar sé samfelld.


Þar sem slembni margra þeirra breyta sem við skoðum er svipuð í eðli sínu haga slembistærðirnar sem þær lýsa sér svipað og hafa þar af leiðandi svipaða líkindadreifingu. Við segjum þá að líkindadreifingar slembistærðanna séu af sömu gerð. Ein slík gerð er til dæmis normaldreifing sem margir kannast við.

Til eru nokkrar gerðir af bæði strjálum og samfelldum líkindadreifingum sem ná að lýsa stórum flokki breyta. Þeim þurfa allir sem nota og beita tölfræði að kunna skil á. Við munum fjalla um mikilvægustu gerðir bæði strjálla og samfelldra líkindadreifinga. Þá sjáum við jafnframt hvers vegna dreifingarnar eru skilgreindar á mismunandi hátt eftir því hvort þær eru strjálar eða samfelldar.

Hvort sem líkindadreifingar eru strjálar eða samfelldar þá eiga þær það sameiginlegt að þeim má lýsa með tölum sem kallast stikar líkindadreifingarinnar.

5.1.3.5. Stiki (parameter)

Athugið

Sérhverri gerð líkindadreifingar er lýst með tölum sem kallast stikar líkindadreifingarinnar. Mismunandi stikar lýsa mismunandi líkindadreifingum og yfirleitt eru stikarnir bara einn eða tveir. Ef við vitum af hvaða gerð líkindadreifing slembistærðar er þá gefa gildin á stikum hennar allar þær upplýsingar sem hægt er að fá um slembistærðina.


Til að geta talað stuttort og skýrt um þær slembistærðir sem fylgja algengustu líkindadreifingunum sem og stikunum sem lýsa þeim, hafa nokkrir bókstafir verið teknir frá fyrir þessar dreifingar, sem og stikana þeirra. Þannig er til dæmis bókstafurinn \(N\) notaður til að lýsa gerðinni normaldreifingu og grísku stafirnir \(\mu\) og \(\sigma^2\) lýsa stikunum tveimur sem henni er lýst með. Þannig segir fullyrðingin \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) að slembistærðin \(X\) fylgi normaldreifingu þar sem gildi stikanna eru \(\mu\) og \(\sigma^2\). Þessi ritháttur verður sýndur samhliða líkindadreifingunum sem kynntar eru.

Takið eftir að ef við vitum af hvaða gerð líkindadreifing slembistærðar er þá gefa gildin á stikum hennar allar þær upplýsingar sem hægt er að fá um slembistærðina. Því kemur það ekki á óvart að stikar munu spila stórt hlutverk þegar við förum í ályktunartölfræði í kafla 6.

Tökum nú saman það sem við fórum yfir í þessum hluta. Hægt er að reikna líkur þess að slembistærðir taki tiltekin gildi. Þeim líkum er lýst með líkindadreifingu slembistærðanna sem gefa okkur allar mögulegar upplýsingar um þær. Margar slembistærðir hafa líkindadreifingar af ákveðnum þekktum gerðum. Hverri gerð líkindadreifingar er lýst með tölum sem kallast stikar og til hverrar gerðar af líkindadreifingum tilheyra mismunandi stikar. Ef við vitum af hvaða gerð líkindadreifing er þá gefa gildi stika hennar allar þær upplýsingar sem hægt er að fá um líkinadreifinguna.

5.2. Stærðfræðilegir eiginleikar slembistærða

5.2.1. Óháðar og einsdreifðar slembistærðir

Nú munum við fjalla um hugtök sem lýsa sambandi tveggja eða fleiri slembistærða en ekki hverri einstakri slembistærð. Þessi hugtök eru hæði, óhæði og einsdreifni.

5.2.1.1. Óháðar slembistærðir (independent random variables)

Athugið

Við segjum að tvær slembistærðir séu óháðar ef útkoma annarrar slembistærðarinnar hefur engin áhrif á hver útkoma hinnar slembistærðarinnar verður.


Ímyndum okkur að við ætlum að kasta teningi og krónu. Látum slembistærðina \(X\) vera útkomuna úr teningakastinu en slembistærðina \(Y\) vera útkomuna úr krónukastinu. Við trúum því að það séu allar útkomur jafnlíklegar í hvert sinn sem teningi er kastað og þá skiptir engu máli hvaða útkoma kom úr krónukastinu. Það getum við orðað sem svo að við trúum því að útkoman í teningakastinu sé óháð útkomunni í krónukastinu, það er að slembistærðirnar \(X\) og \(Y\) séu óháðar.

5.2.1.2. Háðar slembistærðir (dependent random variables)

Athugið

Við segjum að tvær slembistærðir séu háðar ef þær eru ekki óháðar, það er ef útkoma annarrar breytunnar veldur því að einhverjar útkomur hinnar breytunnar verði líklegri eða ólíklegri en ella.


Fjöldinn allur af slembistærðum eru háðar. Hugsum okkur nú að slembistærðin \(X\) sé hæð skólabarns sem valið er af handahófi úr fyrsta bekk í Melaskóla og að slembistærðin \(Y\) sé þyngd sama barns. Ef útkoma \(X\) er há tala (hávaxið barn), þá er útkoma \(Y\) líklegri til að vera sömuleiðis há tala (þyngra barn) - og öfugt. Því eru slembistærðirnar \(X\) og \(Y\) háðar.

Ef óháðar slembistærðir hafa allar sömu líkindadreifingu þá segjum við að þær séu óháðar og einsdreifðar.

5.2.1.3. Óháðar og einsdreifðar slembistærðir (iid random variables)

Athugið

Við segjum að slembistærðir \(X_1, \ldots, X_n\) séu óháðar (e. indipendent) ef hver þeirra er óháð öllum hinum og einsdreifðar (e. identically distributed) ef þær hafa allar sömu líkindadreifingu.


Þegar slembistærðir eru óháðar og einsdreifðar gerum við engan greinarmun á því að sjá tíu útkomur tíu ólíkra slembistærða, þ.e.a.s. eina útkomu fyrir hverja slembistærð, eða að sjá tíu mismunandi útkomur sem að sama slembistærðin tók. Þá notum við stundum orðalagið að hafa óháðar mælingar á sömu slembistærðinni. Skoðum nú aftur flugfarþegana okkar. Ef að flugfarþegarnir eru valdir af algjöru handahófi eru líkurnar á því að einn flugfarþegi hafi fartölvu meðferðis óháðar líkunum á því að einhver annar hafi fartölvu meðferðis. Því getum við litið svo á að við höfum tíu óháðar mælingar á sömu slembistærðinni.

Úrvinnsla okkar í tölfræði byggist æði oft á því að mælingarnar okkar séu útkomur óháðra og einsdreifðra slembistærða. Það er, við teljum að við höfum í höndunum útkomur endurtekinna mælinga á sömu breytunni og enn fremur trúum við að útkoma einnar mælingar hafi ekki áhrif á útkomu hinna mælinganna og þar af leiðandi séu mælingarnar óháðar. Óhæði og einsdreifni mælinga verður eingöngu tryggð með góðri úrtakshögun sem farið var í í kafla 2.4.

5.2.2. Lögmál mikils fjölda

Það er óhætt að fullyrða að meðaltal sé algengasta lýsistærðin sem við vinnum með. Bæði er einfalt að reikna og skilja útkomu meðaltals og ekki er verra að meðaltal hefur afskaplega góða stærðfræðilega eiginleika. Sá fyrsti sem við munum kynnast er lögmál mikils földa. . Látum \(X\) vera slembistærðina sem tekur gildið 0 ef upp kemur þorskur þegar krónu er kastað, en 1 ef landvættirnir koma upp. Krónunni var kastað 20 sinnum og upp komu þessar útkomur:

\[1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0\]

Skoðum nú hvernig meðaltal mælinganna breytist eftir því sem mælingunum fjölgar. Meðaltal fyrstu mælingar er einungis einn. Meðaltal fyrstu tveggja er (1+1)/2, sem er líka einn. Meðaltal fyrstu þriggja er (1+1+0)/3 sem er tveir þriðju. Alls fáum við eftirfarandi niðurstöður:

Fjöldi: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Meðaltal: 1.00 1.00 0.67 0.75 0.80 0.83 0.71 0.62 0.67 0.60
                     
Fjöldi: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Meðaltal: 0.55 0.50 0.54 0.57 0.53 0.56 0.53 0.56 0.58 0.55
Lögmál mikils fjölda

Mynd 5.1: Lögmál mikils fjölda

Vinstra megin á mynd 5.1 má sjá myndrænt hvernig meðaltalið á dæminu hér að ofan breytist. Hægra megin á sömu mynd má sjá svipaða tilraun þeirri hér að ofan en nú var krónunni kastað 1000 sinnum. Á myndinni má sjá hvernig meðaltal útkomanna okkar færðist nær og nær einu ákveðnu gildi eftir því sem fleiri og fleiri útkomur voru notaðar til að reikna meðaltalið. Þetta ákveðna gildi má líta á sem raunverulegt meðaltal slembistærðarinnar. Í tölfræði köllum við þetta gildi væntigildi slembistærðarinnar, og þegar við á, meðaltal þýðisins.

5.2.2.1. Væntigildi slembistærða (Expected value)

Athugið

Væntigildi slembistærðar er raunverulegt meðaltal slembistærðarinnar. Það er ýmist táknað með \(\mu\) eða \(E[X]\). Það er einnig kallað meðaltal þýðis (e. population mean) þegar við á.


Hugsum okkur nú að við viljum meta meðalhæð Íslendinga með slembiúrtaki tekið úr þýðinu Íslendingar. Það er handahófskennt hvaða einstaklingar veljast í úrtakið hverju sinni. Ef við tökum fleiri en eitt úrtak mun meðaltal mælinganna breytast í hvert sinn sem nýtt úrtak er valið. Hins vegar fyrirfinnst eitthvert eitt raunverulegt gildi, sem við fyndum ef við mældum hæð allra Íslendinga og reiknuðum meðaltalið. Það er meðaltal þýðisins og væntigildi slembistærðarinnar ,,meðalhæð Íslendinga“. Það er sjaldnast svo að við þekkjum meðaltal þýðisins.

Skoðum einnig krónukastið hér að ofan. Við vitum aldrei hvort upp kemur þorskur eða landvættir en þó munu þau koma upp álíka oft ef krónunni er kastað nægjanlega oft. Hér á ekki við að tala um meðaltal þýðis, heldur er nær að tala um hið raunverulega meðaltal krónukastanna. Þar sem það er jafnlíklegt að upp komi þorskur eða landvættir, er jafnlíklegt að slembistærðin taki gildið 0 eða 1, svo raunverulegt meðaltal slembistærðarinnar ,,krónukast“ er 1/2.

Við sáum jafnframt í krónukastinu hvernig meðaltal mælinganna færðist nær og nær 1/2 eftir því sem fjöldi mælinga jókst. Þetta er lögmál mikils fjölda.

5.2.2.2. Lögmál mikils fjölda (law of large numbers)

Athugið

Eftir því sem fjöldi mælinga á slembistærð \(X\) eykst þá stefnir meðaltal mælinganna, táknað \(\bar x\), nær væntigildi slembistærðarinnar, táknað \(\mu\) eða \(E[X]\).


Lögmál mikils fjölda segir okkur að eftir því sem við höfum stærra úrtak því nær meðaltali þýðisins verður meðaltal útkomanna okkar. Það segir okkur líka að eftir því sem við höfum fleiri mælingar á breytu, því nær raunverulegu meðaltali breytunnar verður meðaltal mælinganna.

Stundum viljum við fjalla samtímis um væntigildi tveggja slembistærða, til dæmis \(X\) og \(Y\). Þá er vonlaust að nota sama táknið, \(\mu\), fyrir væntigildi þeirra beggja. Það vandamál má leysa á tvo vegu. Annars vegar með því að láta \(\mu_X\) tákna væntigildi slembistærðarinnar \(X\) og \(\mu_Y\) væntigildi slembistærðarinnar \(Y\) en hins vegar með því að láta \(E[X]\) tákna væntigildi slembistærðarinnar \(X\) og samsvarandi \(E[Y]\) fyrir \(Y\).

5.2.2.3. Dreifni slembistærða, \(Var[X]\)

Athugið

Á sama hátt og slembistærðir hafa raunverulegt meðaltal, hafa þær einnig raunverulega dreifni. Hana táknum við ýmist með \(\sigma^2\), eða \(Var[X]\). Hún er einnig kölluð dreifni þýðis (e. population variance) þegar við á.


5.2.3. Línuleg umbreyting á samfelldum slembistærðum

Oft eru mælingar á samfelldum breytum ekki á þeim kvarða sem við hefðum viljað. Oftar en ekki dugar línuleg umbreyting til að koma gögnunum á kvarða sem við skiljum.

5.2.3.1. Línuleg umbreyting (Linear transformation)

Athugið

Línuleg umbreyting slembistærðarinnar \(X\) með samlagningarstuðulinn \(a\) og margföldunarstuðulinn \(b\) er slembistærðin \(a + bX\).


Við margföldum sem sagt sérhvert gildi með tölunni \(b\) og leggjum sérhverja útkomu við töluna \(a\).

5.2.3.2. Að breyta til baka

Athugið

Ef slembistærðin \(Y\) er fengin með línulegu umbreytingunni \(Y = a + bX\), þá er slembistærðin \(X\) fengin með formúlunni:

\[X = \frac{Y - a}{b}\]

5.2.3.3. Væntigildi og dreifni eftir línulega umbreytingu

Athugið

Ef \(X\) er slembistærð og \(a\) og \(b\) eru gefnar tölur, þá eru væntigildi og dreifni línulegu umbreytingarinnar \(a + bX\) stærðirnar:

\[E[a + bX] = a + b\cdot E[X]\]

og

\[Var[a + bX] = b^2 Var[X]\]

5.3. Strjálar líkindadreifingar

Núna skulum við skoða nánar strjálar líkindadreifingar, þ.e.a.s. líkindadreifingar sem að lýsa strjálum breytum. Strjálum líkindadreifingum er best lýst með massafalli.

5.3.1. Massafall

5.3.1.1. Massafall (mass function)

Athugið

Með massafalli (e. mass function) reiknum við líkur stakra útkoma strjálla slembistærða. Við táknum massafallið með \(f(x)\) og það má skrifa sem

\[f(x) = P(X = x)\]
(5.1)

Um massafallið gildir að

\[\begin{aligned} f(x) &\geq 0\end{aligned}\]
(5.2)
\[\begin{aligned} \sum_{\text{yfir öll x}} f(x) & = 1 \end{aligned}\]
(5.3)

Við notum stöplarit, sjá kafla 3.1, til að lýsa massafalli myndrænt.


Athugasemd

Jöfnu 5.1 má lesa sem ,,massafallið gefur líkurnar á að slembistærðin \(X\) taki gildið \(x\)“, þar sem \(x\) getur verið hvaða tala sem er. Jafna 5.2 segir okkur að massafallið er alltaf stærra eða jafnt og núll og jafna 5.3 segir okkur að ef við leggjum saman gildin sem massafall \(X\) tekur fyrir öll gildi á \(x\) verði útkoman einn.


Dæmigert stöplarit sem lýsir massafalli má sjá á mynd 5.2. Á x-ásnum má sjá mögulegar útkomur slembistærðarinnar og á y-ásnum má sjá líkurnar á þessum útkomum.

Stöplarit massafalls

Mynd 5.2: Stöplarit massafalls

Takið eftir samsvörunni milli strjálla slembistærða og strjálla breyta. Við notum stöplarit til að lýsa strjálum slembistærðum myndrænt á sama hátt og við notum stöplarit til að lýsa strjálum breytum myndrænt, hvort sem þær eru talna- eða flokkabreytur.

5.3.2. Reiknireglur fyrir strjálar slembistærðir

Áður en við ræðum um strjálar líkindadreifingar og reiknum út líkur á að slembistærð taki ákveðið gildi, skulum við skoða nokkrar reglur sem munu koma að góðum notum síðar í kaflanum. Þessar reglur sýna okkur hvernig umrita má líkur svo auðveldara verði fyrir okkur að reikna þær.

5.3.2.1. Reiknireglur fyrir strjálar slembistærðir

Athugið

Þegar reikna á líkur fyrir strjála slembistærð \(X\) má oft auðvelda útreikninga með því að snúa líkunum við

\[\begin{aligned} P(X \leq k) = & 1 - P(X > k)\end{aligned}\]
(5.4)
\[\begin{aligned} %= 1 - P(X \geq {k+1}) P(X < k) = & 1 - P(X \geq k)\end{aligned}\]
(5.5)
\[\begin{aligned} P(X \geq k) = & 1 - P(X < k)\end{aligned}\]
(5.6)
\[\begin{aligned} %= 1 - P(X \leq k-1) P(X > k) = & 1 - P(X \leq k)\end{aligned}\]
(5.7)

þar sem \(k\) getur verið hvaða mögulega útkoma sem \(X\) getur tekið.


Athugasemd

Nota skal jöfnu 5.4 ef reikna á líkurnar að gildi slembistærðarinnar \(X\) verði minna eða jafnt tölunni \(k\).

Nota skal jöfnu 5.5 ef reikna á líkurnar að gildi slembistærðarinnar \(X\) verði minna en talan \(k\).

Nota skal jöfnu 5.6 ef reikna á líkurnar að gildi slembistærðarinnar \(X\) verði stærra eða jafnt tölunni \(k\).

Nota skal jöfnu 5.7 ef reikna á líkurnar að gildi slembistærðarinnar \(X\) verði stærra en talan \(k\).


5.3.3. Tvíkostadreifingin

Mörg tölfræðileg viðfangsefni fjalla um sams konar tilraunir sem eru endurteknar mörgum sinnum. Ef hver og ein þessara tilrauna uppfyllir skilyrðin í kassa 5.3.3.1, flokkast þær hver og ein sem Bernoulli tilraun og þá má reikna líkur alls kyns mögulegra uppákoma á þægilegan hátt.

5.3.3.1. Bernoulli tilraun (Bernoulli trial)

Athugið

Sérhver tilraun í safni endurtekinna tilrauna flokkast sem Bernoulli tilraun ef eftirfarandi gildir:

  1. Hver tilraun hefur aðeins tvær mögulegar útkomur. Það er venja að kalla þessar útkomur jákvæða útkomu (e. success) og neikvæða útkomu (e. failure).
  2. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru þær sömu í hverri tilraun fyrir sig.
  3. Útkoma í einni tilraun hefur ekki áhrif á útkomu í annarri tilraun, þ.e.a.s. mælingarnar eru óháðar (e. independent).

Athugasemd

Skilyrði 2 er jafngilt því að líkurnar á neikvæðri útkomu séu þær sömu í hverri tilraun fyrir sig, þar sem líkurnar á neikvæðri útkomu eru ávallt 1 mínus líkurnar á jákvæðri útkomu.


Oft höfum við eingöngu áhuga á því að reikna hversu oft við sjáum jákvæða útkomu meðal safns Bernoulli tilrauna. Við gætum til dæmis viljað reikna líkurnar á því að fá tvær sexur (sem væru þá jákvæða útkoman) þegar teningi er kastað fimm sinnum. Þá er þægilegt að líta á heildarfjölda jákvæðra útkoma sem eina slembistærð, \(X\). Hún hefur þekkta líkindadreifingu, sem kallast tvíkostadreifingin og er henni lýst með stikunum \(n\), sem er fjöldi Bernoulli tilrauna sem framkvæmdar eru, og \(p\) sem er líkurnar á því að hver og ein Bernoulli tilraun heppnist.

5.3.3.2. Tvíkostadreifingin (binomial distribution)

Athugið

Látum \(X\) fylgja tvíkostadreifingu með stikana \(n\) og \(p\), táknað \(X \sim B(n, p)\). Ef \(k\) er eitthvert gildanna \(\{0,1,2,...\)n\(\}\) má reikna líkurnar á að slembistærðin \(X\) taki gildið \(k\) með massafalli tvíkostadreifingarinnar :

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \hspace{1cm} k = 0,1,2,...n\]
(5.8)

þar sem \(\binom{n}{k}\) er tvíliðustuðullinn. Sjá kassa 5.3.3.3.


Athugasemd

Slembistærðin \(X\) táknar fjölda jákvæðra tilrauna úr \(n\) Bernoulli tilraunum þar sem \(p\) eru líkurnar á jákvæðri útkomu í hverri tilraun fyrir sig. Mögulegur fjöldi jákvæðra útkoma spannar frá 0 til \(n\) svo \(X\) getur mögulega tekið gildin \(\{0,1,2,...\)n\(\}\).


5.3.3.3. Tvíliðustuðullinn (binomial coefficient)

Athugið

Tvíliðustuðullinn (e. binomial coefficient) er táknaður með \(\binom{n}{k}\). Hann er jafn fjölda möguleika á að fá \(k\) jákvæðar útkomur í \(n\) tilraunum og er reiknaður með

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\]
(5.9)

þar sem \(k! = k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdot ... \cdot(1)\). Sér í lagi er \(0! = 1\).


5.3.3.4. Sýnidæmi: Tvíliðustuðullinn

Ábending

Á hve marga vegu má fá nákvæmlega tvo þorska þegar krónu er kastað fjórum sinnum?

Táknum útkomuna landvætti með L og útkomuna þorsk með Þ og skrifum útkomurnar í sömu röð og þær koma fyrir í krónukastinu. Mögulegar leiðir til að fá tvær jákvæðar útkomur eru þá

LLÞÞ ÞÞLL ÞLLÞ LÞÞL LÞLÞ ÞLÞL

Þetta eru sex mögulegar leiðir. Munið að tvíliðustuðullinn gefur okkur á hversu marga vegu við getum fengið \(k\) jákvæðar útkomur í \(n\) tilraunum. Í þessu tilviki er \(k=2\) og \(n=4\) svo við hefðum einnig getað reiknað beint \(\binom{4}{2} = 6\).

5.3.3.5. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Hvaða líkindadreifingu fylgir slembistærðin \(X\), sem lýsir því hversu oft sexa kemur upp þegar teningi er kastað fimm sinnum?

Þar sem teningnum er kastað fimm sinnum er \(n=5\). Líkurnar á því að upp komi sexa í hvert og eitt skipti eru \(1/6\) og því er \(p=1/6\). Þá getum við sagt að \(X\) fylgi tvíkostadreifingu með stuðlana \(p = 1/6\) og \(n=5\) eða \(X \sim B(5,1/6)\).

5.3.3.6. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Benni hefur gaman af því að kasta krónum. Hverjar eru líkurnar á því að Benni fái nákvæmlega tvo þorska þegar hann kastar krónu fjórum sinnum?

Látum \(X\) tákna fjölda þorska sem upp koma (við skilgreinum þorsk sem jákvæða útkomu). Áður en við reiknum líkurnar þurfum við að finna hvaða líkindadreifingu \(X\) fylgir.

Að kasta upp krónu er Bernoulli tilraun þar sem það eru aðeins tvær mögulegar útkomur þorskur, jákvæð og landvættir, neikvæð. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru þær sömu í hverri tilraun fyrir sig (líkurnar eru alltaf 0.5) og útkomurnar eru óháðar.

Þar sem við framkvæmum Bernoulli tilraunir 4 sinnum fylgir \(X\) tvíkostadreifingu með \(n\) = 4, \(p\) = 0.5 og við getum skrifað \(X \sim B(4,0.5)\). Við getum því notað jöfnu 5.8 til að reikna líkurnar. Byrjum á að reikna út gildið á tvíliðustuðlinum með jöfnu 5.9

\[\binom{n}{k} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2\cdot 1 \cdot(2 \cdot 1)} = 6\]

og reiknum svo líkurnar með jöfnu 5.8

\[P(X = 2) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{4}{2} 0.5^2 (1-0.5)^{4-2} = 6 \cdot 0.5^2 \cdot 0.5^2 = 0.3750\]

Líkurnar á að fá 2 þorska þegar krónu er kastað 4 sinnum eru því 37.5%.

5.3.3.7. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Teiknið upp massafall slembistærðarinnar \(X\) sem táknar fjölda jákvæðra útkoma þegar krónu er kastað fjórum sinnum.

Við sáum í dæmi 5.3.3.6\(X\) fylgir tvíkostadreifingu með stikana \(p=0.5\) og \(n = 4\).

Til þess að teikna massafallið þurfum við að reikna líkurnar fyrir allar mögulegar útkomur \(X\), það er að segja við þurfum að finna auk \(P(X=2)\) sem við fundum í dæmi 5.3.3.6, \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=3)\) og \(P(X=4)\). Þetta gerum við á sama máta og í dæmi 5.3.3.6 og við fáum að

\[P(X=0) = 0.0625, \ P(X=1)= 0.25, \ P(X=3)= 0.25, \ P(X=4) = 0.0625\]

Massafallið má sjá hér að neðan.

Mynd

5.3.3.8. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Ólöf kastar teningi þrisvar sinnum. Hverjar eru líkurnar á að hún fái einu sinni sexu í þessum þremur köstum?

Köllum nú \(X\) fjölda skipta þegar upp kemur sexa. Áður en við reiknum líkurnar þurfum við að finna hvaða líkindadreifingu \(X\) fylgir.

Hér er um Bernoulli tilraun að ræða þar sem við lítum svo á að það séu aðeins tvær mögulegar útkomur (fá sexu, jákvæð, og fá ekki sexu, neikvæð) líkurnar á jákvæðri útkomu eru þær sömu í hverri tilraun fyrir sig (líkurnar eru alltaf 1/6) og útkomurnar eru óháðar.

Þar sem við framkvæmum Bernoulli tilraunir 3 sinnum fylgir \(X\) tvíkostadreifingu með \(n\) = 3, \(p\) = 1/6 og við getum skrifað \(X \in B(3,1/6)\). Við getum því notað jöfnu 5.8 til að reikna líkurnar og fáum

\[P(X = 1) = \binom{3}{1} (1/6)^1 (1-1/6)^{3-1} = 3 \cdot (1/6)^1 \cdot (5/6)^2 = 0.3472\]

Líkurnar eru því um 34.7%.

Teiknum að lokum massafall \(X\), \(X \in B(3,1/6)\).

Mynd

5.3.3.9. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Jói er mikið fyrir radísur og ákveður því að prófa að gróðursetja nokkur radísufræ. Jói hefur aldrei komið nálægt garðrækt og ákveður því að fara rólega í sakirnar í byrjun og gróðursetur 8 radísufræ. Hann hringir svo stoltur í móður sína sem er radísusérfræðingur mikill. Af áralangri reynslu veit hún að líkurnar á að radísufræ verði að fullvaxta radísu eru \(75\%\) miðað við aðstæðurnar í garðinum hans Jóa. Hverjar eru líkurnar á að öll fræin hans Jóa verði að fullvaxta radísum og hvaða forsendur þurfa að gilda svo útreikningarnir séu réttir?

Reikna má líkurnar með að því að nota tvíkostadreifinguna en þá verður að gilda að atburðirnir séu óháðir. Gerum ráð fyrir at atburðirnir séu óháðir og notum jöfnu 5.8 til að reikna líkurnar. Notum \(X\) til að tákna fjölda radísufræja sem verða að radísu, \(X \in B(8,0.75)\).

\[P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.75)^8 (1-0.75)^{8-8} = 0.10\]

Líkurnar eru því 10% en útreikningarnir gilda aðeins ef atburðirnir eru óháðir.

5.3.3.10. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Stjórnendur framleiðslufyrirtækis hér í bæ huga mikið að gæðamálum og halda þeir fram að líkurnar á að vara sem framleidd er í fyrirtækinu sé gölluð séu 0.1%. Séu 100 vörur frá fyrirtækinu valdar af handahófi, hverjar eru líkurnar á að engin þeirra sé gölluð? Gerið ráð fyrir að atburðirnir séu óháðir.

Látum \(X\) tákna fjölda gallaðra vara, \(X \in B(100,0.001)\). Við notum jöfnu 5.8 til að reikna líkurnar á að engin vara sé gölluð:

\[P(X = 0) = \binom{100}{0} (0.001)^0 (1-0.001)^{100-0} = 0.999^{100} = 0.90\]

Líkurnar eru því 90%.

Við höfum nú séð að reikna má líkurnar á að slembistærðin \(X\) taki eitthvert ákveðið gildi \(k\) með jöfnu 5.8. Auk þess að reikna \(P(X=k)\) höfum við oft áhuga á að reikna \(P(a \leq X \leq b)\), \(P(a < X < b)\), \(P(X \leq k))\), \((X < k)\), \(P(X \geq k))\) eða \((X > k)\). Við getum reiknað allar þessar líkur með jöfnu 5.8 ásamt því að nota reglurnar í kassa 5.3.2.1. Skoðum nú nokkur dæmi sem sýna hvernig þetta er gert.

5.3.3.11. Sýnidæmi: Tvíkostadreifingin

Ábending

Sigga kastar krónu 10 sinnum. Táknum fjölda þorska með \(X\), \(X \sim B(10,0.5)\).

  1. Hverjar eru líkurnar á því að Sigga fái á milli 4 og 6 þorska?
  2. Hverjar eru líkurnar á því að Sigga fái 3 eða færri þorska?
  3. Hverjar eru líkurnar á því að Sigga fái 8 eða fleiri þorska?
  4. Hverjar eru líkurnar á því að Sigga fái fleiri en 2 þorska?
  5. Teiknið massafall \(X\).

a. Finnum nú líkurnar á því að fjöldi þorska verði á milli 4 og 6: \(P(4 \leq X \leq 6)\)

Til að reikna þessar líkur verðum við að leggja saman líkurnar á því að fá 4, 5 og 6 þorska eða

\[P(4 \leq X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)\]

Við notum jöfnu 5.8 og fáum

\[P(4 \leq X \leq 6) = 0.2051 + 0.2461 + 0.2051 = 0.6563\]

Líkurnar á því að fá milli 4 og 6 þorska þegar krónu er kastað 10 sinnum eru því um 65.6%.

b. Finnum nú líkurnar á því að fjöldi þorska verði 3 eða færri: \(P(X \leq 3)\).

Til að reikna þessar líkur verðum við að leggja saman líkurnar að fá 0, 1, 2 og 3 þorska eða

\[P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\]

Við notum jöfnu 5.8 og fáum

\[P(X \leq 3) = 0.0010 + 0.0098 + 0.0439 + 0.1172 = 0.1719\]

Líkurnar eru því um 17.2%.

VARÚÐ: Ef beðið hefði verið um líkurnar á að fá færri en 3 þorska væru líkurnar:

\[P(X<3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0527\]

c. Finnum nú líkur þess að fjöldi þorska verði 8 eða fleiri: \(P(X \geq 8)\).

Til að reikna þessar líkur verðum við að leggja saman líkurnar á því að fá 8, 9, eða 10 þorska (við köstum krónunni 10 sinnum og því getur fjöldi þorska ekki verið fleiri en 10) eða

\[P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)\]

Við notum jöfnu 5.8 og fáum

\[P(X \geq 8) = 0.0439 + 0.0098 + 0.0010 = 0.0547\]

Líkurnar eru því um 5.5%.

VARÚÐ: Ef beðið hefði verið um líkurnar á að fá fleiri en 8 þorska væru líkurnar

\[P(X>8) = P(X = 9) + P(X = 10) = 0.0108\]

d. Finnum nú líkur á því að fjöldi þorska verði fleiri en 2: \(P(X > 2)\).

Við getum reiknað þessar líkur sem

\[P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = 10)\]

en auðveldara er að nota jöfnu 5.7 til að umskrifa líkurnar

\[P (X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0))\]

Við notum jöfnu 5.8 og fáum

\[P (X > 2) = 1 - (0.0439 + 0.0098 + 0.0010) = 0.9453\]

Líkurnar á að fá fleiri en tvo þorska eru því um 94.5%.

e. Teiknum nú massafall slembibreytunnar \(X\), \(X \in B(10,0.5)\).

Mynd

5.3.3.12. Væntigildi og dreifni tvíkostadreifingarinnar

Athugið

Ef \(X\) fylgir tvíkostadreifingu, \(X \sim B(n,p)\) þá gildir

\[\begin{aligned} \text{E}[X] & = np\end{aligned}\]
(5.10)
\[\begin{aligned} \text{Var}[X] & = np(1-p)\end{aligned}\]
(5.11)

5.3.3.13. Sýnidæmi: Væntigildi og dreifni tvíkostadreifingarinnar

Ábending

Árni Pétur ætlar að kasta teningi 900 sinnum. Látum \(X\) tákna fjölda skipta sem fjarki kemur upp, \(X \sim B(900,1/6)\). Finnið \(\text{E}[X]\) og \(\text{Var}[X]\).

Við notum jöfnur 5.10 og 5.11 og fáum

\[\begin{aligned} \text{E}[X] & = np \ = \ 900 \cdot 1/6 = 150\\ \text{Var}[X] & = np(1-p) \ = \ 125 \end{aligned}\]

5.3.4. Poisson dreifingin

Poisson dreifingin er oft notuð til að lýsa fjölda slembinna atvika sem eiga sér stað á ákveðinni einingu en mögulegar útkomur hafa engin efri mörk. Einingarnar geta sem dæmi verið tímabil, svæði eða einhver hlutur. Sem dæmi má nefna fjölda símtala til nemendaskrár á mínútu, fjölda hreindýra á ferkílómetra og fjölda innsláttarvillna á blaðsíðu.

Poisson dreifingin hefur bara einn stika sem er táknaður með \(\lambda\). Hann lýsir því hvað við væntum að margar jákvæðar útkomur eigi sér stað að meðaltali á tiltekinni mælieiningu. Við setjum engar skorður á hvaða heiltölugildi slembistærð \(X\), sem fylgir Poisson dreifingu, getur tekið. Sama hvað við skoðum hátt gildi eru ætíð einhverjar líkur á því að \(X\) taki það gildi (þó þær geti verið agnarsmáar).

5.3.4.1. Poisson dreifingin (Poisson distribution)

Athugið

Látum \(X\) fylgja Poisson dreifingu með stikann \(\lambda\), táknað \(X \sim \text{Pois}(\lambda)\). Ef \(k\) er eitthvert jákvætt heiltölugildi (núll meðtalið) má reikna líkurnar á að slembistærðin \(X\) taki gildið \(k\) með massafalli Poisson dreifingarinnar :

\[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]
(5.12)

Athugasemd

Slembistærðin \(X\) lýsir fjölda jákvæðra útkoma á tiltekna mælieiningu, þar sem \(\lambda\) er meðafjöldi jákvæðra útkoma á hverja einingu. Það eru engin efri mörk á fjölda jákvæðra útkoma svo \(X\) getur mögulega tekið hvaða gildi \(\{0,1,2,...\}\) sem er.

Bókstafurinn \(e\) í jöfnu 5.12, stendur fyrir ákveðna tölu, sem er kölluð \(e\). Gildi hennar er um það bil 2.72. Töluna \(e\) má, líkt og töluna \(\pi\), finna á flestum vasareiknum. Hún er þá yfirleitt táknuð með \(e^x\).


5.3.4.2. Sýnidæmi: Poisson dreifingin

Ábending

Anna Vigdís er á hraðferð og veltir því fyrir sér hversu löng biðröðin verði á hraðkassanum í Krónunni úti á Granda. Meðalfjöldi kúnna sem koma að hraðkassanum er 1.5 á mínútu. Hvaða líkindadreifingu má nota til að lýsa fjölda kúnna sem koma að hraðkassanum á hverri mínútu?

Það eru engin efri mörk á því hve margir kúnnar geta staðið við kassann hverju sinni og við vitum meðalfjöldann sem kemur að kassanum á hverri mínútu. Því notum við Poisson dreifinguna til að lýsa fjölda kúnna sem koma að kassanum á hverri mínútu með stikann \(\lambda = 1.5\) eða \(X \sim \text{Pois}(1.5)\)

Jafna 5.12 sýnir okkur hvernig reikna má líkurnar á að slembistærð \(X\) sem fylgir Poisson dreifingunni taki eitthvert ákveðið gildi \(k\). Eins og með tvíkostadreifinguna höfum við oft áhuga á að reikna aðrar líkur eða \(P(a \leq X \leq b)\), \(P(a < X < b)\), \(P(X \leq k)\), \(P(X < k)\), \(P(X \geq k)\) eða \(P(X > k)\). Við getum reiknað allar þessar líkur með jöfnu 5.12 ásamt því að nota reglurnar í kassa 5.3.2.1.

5.3.4.3. Sýnidæmi: Poisson dreifingin

Ábending

Nú fjöllum við aftur um Önnu Vigdísi og fjölda kúnna sem koma að hraðkassanum í Krónunni á hverri mínútu. Meðalfjöldi kúnna sem koma að kassanum er 1.5 á mínútu.

Finnið líkurnar á að

  1. 3 kúnnar komi að kassanum á einni mínútu.
  2. í mesta lagi 2 kúnnar komi að kassanum á einni mínútu.
  3. í minnsta lagi 1 kúnni komi að kassanum á einni mínútu.
  1. Finnum líkurnar á að 3 kúnnar komi að kassanum á einni mínútu.

Við vitum að meðalfjöldi kúnna á mínútu er 1.5. Því er \(\lambda = 1.5\). Við notum jöfnu 5.12 og fáum

\[P(X = 3) = \frac{e^{-1.5}1.5^3}{3!} = 0.1255\]

Líkurnar eru því um 12.5%.

b. Finnum líkurnar á að í mesta lagi 2 kúnnar komi að kassanum á einni mínútu.

Til að reikna líkurnar á að í mesta lagi 2 kúnnar komi að kassanum þurfum við að leggja saman líkurnar á að það komi enginn, ein eða tvær manneskjur að kassanum á einni mínútu. Við notum jöfnu 5.12

\[\begin{aligned} P(X \leq 2) &=& P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\\ &=& 0.2231 + 0.3347 + 0.2510 \\ &=& 0.8088 \end{aligned}\]

Líkurnar eru því um 80.9%.

c. Finnum líkurnar á að í minnsta lagi 1 kúnni komi að kassanum á einni mínútu.

Líkurnar á að í minnsta lagi einn kúnni komi að kassanum má skrifa sem

\[P(X \geq 1)\]

Þessar líkur getum við ekki reiknað beint þar sem það eru engin efri mörk. Við notum því jöfnu 5.6 til að umskrifa líkurnar og fáum

\[\begin{aligned} P(X \geq 1) &=& 1 - P(X < 1)\\ &=& 1 - P(X = 0)\\ &=& 1 - 0.2231\\ &=& 0.7769 \end{aligned}\]

Líkurnar eru því um 77.7%.

Teiknum að lokum massafall slembibreytunnar \(X\), \(X \in P(1.5)\).

Mynd

Þegar reikna á líkur á að slembistærð sem fylgir Poisson dreifingu taki eitthvert gildi fáum við \(\lambda\) oft gefið sem fjölda á annarri einingu en þeirri sem við viljum vinna með. Við gætum til dæmis vitað fjölda tilkynntra bilana af fólksbílagerð á hverjum degi en við viljum lýsa fjölda tilkynntra bilana á viku. Þá væri gefna einingin dagur en einingin sem við viljum vinna með er vika. Þá þarf að laga \(\lambda\) að nýrri einingu.

5.3.4.4. Poisson dreifingin löguð að nýrri einingu

Athugið

Gerum ráð fyrir að slembistærðin \(X \sim \text{Pois}(\lambda)\) lýsi fjölda jákvæðra útkoma á tiltekinni einingu. Þá lýsir slembistærðin \(Y \sim \text{Pois}(a\cdot\lambda)\) fjölda jákvæðra útkoma á \(a\) einingum.


5.3.4.5. Sýnidæmi: Poisson dreifingin löguð að nýrri einingu

Ábending

Gerum ráð fyrir að fjöldi tilkynntra bilana af ákveðinni fólksbílagerð fylgi Poisson dreifingu með stikann \(\lambda = 8\). Hvaða líkindadreifingu fylgir fjöldi tilkynntra bilana á hverri viku?

Látum slembistærðina \(X\) tákna fjölda tilkynntra bilana á hverjum degi. Þá er gildir að \(X \sim \text{Pois}(8)\). Látum slembistærðina \(Y\) tákna fjölda tilkynntra bilana á hverri viku. Þar sem það eru 7 dagar í hverri viku, er meðalfjöldi bilana á hverri viku \(7\cdot8\) = 56. Því fylgir \(Y\) Poisson dreifingu með stikann \(\lambda = 7\cdot 8=56\) eða \(Y \sim \text{Pois}(56)\).

5.3.4.6. Sýnidæmi: Poisson dreifingin löguð að nýrri einingu

Ábending

Enn fjöllum við um Önnu Vigdísi og fjölda kúnna sem koma að hraðkassanum í Krónunni á hverri mínútu. Meðalfjöldi kúnna sem koma að kassanum er 1.5 á mínútu. Hverjar eru líkurnar á því að 4 kúnnar komi að kassanum á tveimur mínútum.

Við vitum að meðalfjöldi kúnna á einni mínútu er 1.5 = \(\lambda\). Nú eigum við að reikna líkurnar á að 4 kúnnar komi að kassanum á tveimur mínútum og þarf því að aðlaga \(\lambda\) að nýrri einingu.

Þar sem meðalfjöldi kúnna á einni mínútu er 1.5 reiknum við með því að á meðaltali komi \(2 \cdot 1.5 = 3\) kúnnar á tveimur mínútum. Við notum því \(\lambda = 3\). Notum jöfnu 5.12 og fáum

\[P(X = 4) = \frac{e^{-3}3^4}{4!} = 0.1680\]

Líkurnar eru því um 16.8%.

5.3.4.7. Sýnidæmi: Poisson dreifingin

Ábending

Gerum ráð fyrir að fjöldi fæðinga á spítala nokkrum fylgi Poisson dreifingu með meðaltal 3 fæðingar á vakt.

  1. Hverjar eru líkurnar á að á einni vakt fæðast fleiri en eitt barn?
  2. Hverjar eru líkurnar á að á tveimur vöktum fæðist sex börn?
  1. Við vitum að meðalfjöldi fæðinga er 3. Því er \(\lambda = 3\). Við gerum ekki reiknað líkurnar beint þar sem það eru engin efri mörk. Við notum því jöfnu 5.7 til að umskrifa líkurnar og jöfnu 5.12 til að reikna líkurnar og fáum

    \[\begin{aligned} P(X > 1) &=& 1 - P(X \leq 1)\\ &=& 1 - P(X = 1) - P(X = 0)\\ &=& 1 - 0.15 - 0.05 = 0.80 \end{aligned}\]

    Líkurnar eru því 80%.

  2. Við eigum að finna líkurnar á að á tveimur vöktum fæðist sex börn, því notum við \(\lambda = 2\cdot 3 = 6\). Við reiknum líkurnar með jöfnu 5.12

    \[P(Y = 6) = \frac{e^{-6}6^6}{6!} = 0.16\]

    Líkurnar eru því 16%.

5.3.4.8. Væntigildi og dreifni Poisson dreifingar

Athugið

Ef \(X\) fylgir Poisson dreifingu, \(X \in \text{Pois}(\lambda)\) þá gildir

\[\begin{aligned} \text{E}[X] & = \lambda\end{aligned}\]
(5.13)
\[\begin{aligned} \text{Var}[X] & = \lambda \end{aligned}\]
(5.14)

5.3.4.9. Sýnidæmi: Poisson dreifingin

Ábending

Látum \(X\) tákna slembistærð sem fylgir Poisson dreifingu með \(\lambda = 2\). Finnið væntigildi og dreifni \(X\).

Notum jöfnur 5.13 og 5.14 og fáum

\[\begin{aligned} \text{E}[X] & = & \lambda \ = \ 2\\ \text{Var}[X] & = & \lambda \ = \ 2 \end{aligned}\]

5.3.4.10. Samanburður á tvíkosta- og Poisson dreifingunni

Oft vill vefjast fyrir fólki hvort tvíkostadreifingin eða Poisson dreifingin eigi betur við til að lýsa strjálum breytum. Því viljum við skerpa á hvaða tilfelli eiga við hvora dreifingu:

  • Tvíkostadreifinguna notum við þegar við höfum endanlegan fjölda tilrauna og við vitum líkurnar á því að hver og ein tilraun heppnist.
  • Poisson dreifinguna notum við þegar við höfum engin efri mörk á fjölda tilrauna og við vitum meðalfjölda jákvæðra útkoma á tiltekna einingu.

Poisson dreifinguna má, líkt og tvíkostadreifinguna, tengja við Bernoulli tilraunir sjá kassa 5.3.3.1. Það gerum við þó einungis þegar fjöldi tilrauna er gríðarmikill og líkurnar á að hver og ein Bernoulli tilraun sé jákvæð eru litlar. Í því tilviki fáum við mjög svipaðar niðurstöður með því að nota Poisson dreifinguna í stað tvíkostadreifingarinnar. Það er mun auðveldara að reikna tilteknar líkur með Poisson dreifingunni heldur en tvíkostadreifingunni þegar \(n\) er mjög stórt og því kjósum við heldur að nota Poisson dreifinguna í þeim tilfellum. Þetta má orða sem svo að Poisson dreifingin sé góð nálgun (e. approximation) á tvíkostadreifingunni þegar \(n\) er mjög stórt.

5.4. Samfelldar líkindadreifingar

5.4.1. Samfelldar líkindadreifingar

Meginmunur samfelldra og strjálla slembistærða er sá að samfelldar slembistærðir geta tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili. Þar af leiðandi eru líkurnar á að samfelld slembistærð taki eitthvert eitt tiltekið gildi engar, þ.e.

\[P(X = x) = 0\]
(5.15)

Athugið að þetta gildir um hvert eitt og einasta gildi sem slembistærðin getur tekið! Því gildir að

\[P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b)\]

þegar \(X\) er samfelld. Munið að þetta gildir almennt ekki um strjálar slembistærðir, samanber kassa 5.3.2.1.

5.4.1.1. Reiknireglur fyrir samfelldar slembistærðir

Athugið

Um samfellda slembistærð \(X\) gildir að:

\[P(X > a) = 1 - P(X < a)\]
(5.16)
\[P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a)\]
(5.17)

Við sáum hvernig sérhverri strjálli dreifingu er lýst með massafalli sem við notum til að reikna líkur á að slembistærð sem fylgir strjálli dreifingu taki ákveðið gildi. Sú aðferð er hins vegar ónothæf til að lýsa samfelldum slembistærðum, þar sem líkurnar á því að þær taki ákveðið stakt gildi eru alltaf núll, sama hvert gildið er, samanber jöfnu 5.15. Þess í stað lýsum við líkunum á því að samfelldar slembistærðir taki gildi á tilteknum bilum.

Skoðum nú aftur reiknireglurnar í kassa 5.4.1.1. Þær fela í sér að ef við viljum reikna líkurnar á því að \(X\) lendi á tilteknu bili, þá dugir okkur að geta reiknað \(P(X < x)\) fyrir hvaða \(x\) sem er. Með öðrum orðum, reiknað líkurnar á því að slembistærðin taki gildi sem er minna en eitthvað ákveðið viðmiðunargildi \(x\), fyrir hvaða viðmiðunargildi \(x\) sem er. Dreififall (e. distribution function) er einmitt fallið sem reiknar þessar líkur.

5.4.1.2. Dreififall (Distribution function)

Athugið

Með dreififalli reiknum við líkurnar á að samfelld slembistærð \(X\) taki gildi sem er minna en viðmiðunargildið \(x\). Við táknum dreififallið með \(F(x)\) og það má skrifa sem

\[F(x) = P(X < x)\]

Athugasemd

Við stingum viðmiðunargildi \(x\) inn í fallið og fáum út líkurnar á því að slembistærðin \(X\), sem dreififallið lýsir, taki gildi sem er minna en \(x\).


Ekki er til lokuð formúla til að lýsa dreififalli margra algengra líkindadreifinga, eins og t.d. normaldreifingarinnar. Þess í stað er henni lýst með þéttifalli líkindadreifingarinnar.

5.4.1.3. Þéttifall og þéttiferill (Density function and density curve)

Athugið

Þéttifall (e. density function) er táknað með \(f(x)\) og kallast graf þess þéttiferill (density curve). Flatarmálið undir þéttiferlinum milli tveggja stærða \(a\) og \(b\) er jafnt \(P(a<X<b)\), líkunum á því að slembistærðin taki gildi á milli \(a\) og \(b\). Þetta er sýnt á mynd 5.3.


Athugasemd

Þar sem líkurnar á að slembistærð taki hvaða gildi sem er eru 100% eða 1, er heildarflatarmálið undir þéttiferlinum öllum alltaf 1. Ef þið þekkið til heildunar þá hafið þið kannski áttað ykkur á því að dreififallið er einmitt stofnfall þéttifallsins.


Þéttiferill þéttifalls samfelldrar dreifingar

Mynd 5.3: Þéttiferill þéttifalls samfelldrar dreifingar

5.4.2. Normaldreifing

Eins og nefnt var í upphafi kaflans er normaldreifingin mest notaða líkindadreifing tölfræðinnar. Lýsa má margs konar breytum með normaldreifingu svo sem hæð, blóðþrýstingi, þyngd og svo mætti lengi telja og mikilvægi hennar verður enn ljósara þegar farið verður í höfuðsetningu tölfræðinnar í kafla 6. Normaldreifingunni er lýst með stikunum \(\mu\), sem er meðaltal hennar og \(\sigma^2\) sem er dreifni hennar.

5.4.2.1. Normaldreifingin (normal distribution)

Athugið

Gerum ráð fyrir að slembistærðin \(X\) fylgi normaldreifingu með meðaltal \(\mu\) og dreifni \(\sigma^2\), táknað \(X \sim N(\mu , \sigma^2)\). Þá er þéttifall hennar, táknað með \(\phi(x)\), gefið með

\[f(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\]
(5.18)

Dreififall normaldreifingarinnar er táknað með \(\Phi(x)\).


Athugasemd

Meðaltal normaldreifingarinnar er táknað með \(\mu\) en dreifni hennar er táknuð með \(\sigma^2\). Staðalfrávik hennar er þar af leiðandi \(\sigma\). Dreififallið \(\Phi(x)\) er jafnt \(P(X < x)\) og gefur því líkurnar á að slembistærðin \(X\) taki gildi sem er minna en \(x\). Það er ekki hægt að skrifa einfalda jöfnu fyrir \(\Phi(x)\).


Til að ná góðum tökum á normaldreifingunni er mikilvægt að átta sig á því hvernig þéttiferill hennar lítur út og hvaða áhrif stikarnir \(\mu\) og \(\sigma^2\) hafa á hann. Þéttiferillinn er samhverfur og bjöllulaga og miðja hans er \(\mu\), meðaltal dreifingarinnar. Dreifnin, \(\sigma^2\) stýrir því hins vegar hversu flatur ferillinn er. Þeim stærri sem \(\sigma^2\) er, þeim flatari er ferillinn og toppur hans lægri.

Á mynd 5.4 má sjá tvær normaldreifingar. Meðaltal dreifinganna, \(\mu\), er það sama þar sem miðja þeirra er á sama stað. Dreifni dreifingar 1 er hins vegar minni en dreifni dreifingar 2. Á mynd 5.5 má sjá þrjár normaldreifingar sem allar hafa sömu dreifnina. Meðaltal dreifingar 1 er það lægsta og meðaltal dreifingar 3 það hæsta.

Tvær normaldreifingar með sama meðaltal en ólíka dreifni

Mynd 5.4: Tvær normaldreifingar með sama meðaltal en ólíka dreifni

Þrjár normaldreifingar með sömu dreifni en ólík meðaltöl

Mynd 5.5: Þrjár normaldreifingar með sömu dreifni en ólík meðaltöl

5.4.2.2. 68-95-99.7% reglan

Athugið

Fyrir sérhverja normaldreifingu með meðaltal \(\mu\) og dreifni \(\sigma^2\) og þar af leiðandi staðalfrávik \(\sigma\) gildir að

  • u.þ.b. 68% mælinga munu liggja innan við eitt staðalfrávik frá meðaltalinu
  • u.þ.b. 95% mælinga munu liggja innan við tvö staðalfrávik frá meðaltalinu
  • u.þ.b. 99.7% mælinga munu liggja innan við þrjú staðalfrávik frá meðaltalinu

Þetta má sjá á mynd 5.6


68-95-99.7% reglan

Mynd 5.6: 68-95-99.7% reglan

5.4.2.3. Stöðluð normaldreifing

Normaldreifing með meðaltal \(\mu = 0\) og dreifni \(\sigma^2 = 1\) er kölluð staðlaða normaldreifingin. Hefð er fyrir því að tákna slembibreytur sem fylgja stöðluðu normaldreifingunni með bókstafnum \(Z\).

5.4.2.4. Staðlaða normaldreifingin (Standardized normal distribution)

Athugið

Ef slembistærðin \(X\) fylgir normaldreifingu með meðaltal \(\mu\) og dreifni \(\sigma^2\), skrifað

\[X \sim N(\mu,\sigma^2)\]

þá fylgir

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]
(5.19)

normaldreifingu með meðaltal 0 og dreifni 1, skrifað

\[Z \sim N(0,1)\]

5.4.2.5. Samband \(X\) og \(Z\)

Athugið

Ef slembistærðin \(X\) fylgir normaldreifingu með meðaltal \(\mu\) og dreifni \(\sigma^2\), \(X \in N(\mu,\sigma^2)\), og slembistærðin \(Z\) fylgir stöðluðu normaldreifingunni, \(Z \in N(0,1)\), þá gildir að

\[P(X \leq x) = P(Z \leq z)\]
(5.20)

þar sem \(z = \frac{x- \mu}{\sigma}\).


Aðgerðina \(z = \frac{x- \mu}{\sigma}\) köllum við að staðla og í kassa 5.4.2.7 sjáum við hvernig nota má hana til að reikna líkur fyrir hvaða normaldreifðu slembistærð sem er út frá stöðluðu normaldreifingunni.

5.4.2.6. Líkur normaldreifðra slembistærða

Dreififallið \(\Phi(z)\) gefur líkurnar á að normaldreifing sem fylgir stöðluðu normaldreifingunni taki gildi sem er minna en \(z\), þ.e.

\[\Phi(z) = P(Z < z)\]

Viðmiðunargildið \(z\) sem við reiknum líkurnar fyrir er kallað \(z\) -gildið. Mynd 5.7 sýnir samband dreififallsins \(\Phi(z)\) og þéttiferils normaldreifingarinnar. Líkurnar \(\Phi(z)\) eru jafnar flatarmálinu undir þéttiferlinum vinstra megin við \(z\)-gildið.

Staðalaða normaldreifingin.

Mynd 5.7: Staðalaða normaldreifingin.

Þar sem ekki er hægt að skrifa einfalda formúlu fyrir \(\Phi(z)\) eru búnar til gildistöflur þar sem útkoma dreififallsins hefur verið reiknuð fyrir fjölmörg viðmiðunargildi \(z\). Umræddar gildistöflur eru eingöngu birtar fyrir stöðluðu normaldreifinguna og því þarf að staðla gildin okkar áður en flett er upp í töflunni. Sú aðferð er útskýrð í kassa 5.4.2.7. Í kafla T.1 má finna gildistöflu fyrir stöðluðu normaldreifinguna.

Ef finna á líkurnar

\[P(Z > z)\]

notum við okkur jöfnu 5.16

\[P(Z > z) = 1 - P(Z < z)\]

Þetta er sýnt vinstra megin á mynd 5.8. Ef finna á líkurnar á að \(Z\) liggi á bilinu frá \(a\) til \(b\) notum við jöfnu 5.17

\[P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)\]

Þetta er sýnt hægra megin á mynd 5.8. Munið að töfluna er eingöngu hægt að nota fyrir stöðluðu normaldreifinguna.

:math:`P(Z > z)` og :math:`P(a < Z < b)` þar sem :math:`Z \sim N(0,1)`

Mynd 5.8: \(P(Z > z)\) og \(P(a < Z < b)\) þar sem \(Z \sim N(0,1)\)

5.4.2.7. Notkun töflu stöðluðu normaldreifingarinnar

Athugið

Hægt er að nota töfluna á tvo vegu:

  1. Ef við viljum finna líkurnar sem svara til ákveðins viðmiðunargildis: Ef gildið er fengið úr staðlaðri normaldreifingu er það gildi sjálft \(z\)-gildið. Ef gildið er ekki fengið úr staðlaðri normaldreifingu finnum við staðlaða \(z\)-gildið með

    \[z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

    Við finnum \(z\)-gildið í töflunni (feitletrað) og líkurnar eru \(\Phi(z)\) gildið því á hægri hlið.

  2. Ef við viljum finna hvaða viðmiðunargildi svarar til ákveðinna líkinda: Við finnum líkurnar, eða þær líkur sem þeim eru næstar, meðal \(\Phi(z)\)-gildanna í töflunni og z-gildið stendur (feitletrað) því á vinstri hlið.

    Ef viðmiðunargildið er ekki fengið úr staðlaðri normaldreifingu þurfum við að varpa \(z\)-gildinu aftur í upphaflegu dreifinguna, svo tilsvarandi gildi verður

    \[x = \mu + z \sigma\]
    (5.21)

Skoðum nú með tveimur dæmum hvernig nota skal töfluna. Í fyrra dæminu (í þremur liðum) þekkjum við viðmiðunargildið og viljum finna líkurnar en í því seinna þekkjum við líkurnar en viljum finna viðmiðunargildið.

5.4.2.8. Sýnidæmi: Normaldreifingin

Ábending

Í USA þurfa nemendur að þreyta staðlað próf, svokallað SAT próf, áður en þeir fara í menntaskóla. Gera má ráð fyrir því að einkunnir nemenda á prófinu séu u.þ.b. normaldreifðar með meðaltal 1026 og staðalfrávik 209. Köllum nú einkunnirnar \(X\), \(X \sim N(1026,209^2).\)

  1. Reiknið líkurnar á að einkunn nemanda sem þreytir prófið og valinn er af handahófi sé lægri en 720, þ.e.a.s. \(P(X \leq 720)\).
  2. Reiknið líkurnar á að einkunn nemanda sem þreytir prófið og valinn er af handahófi sé hærri en 820, þ.e.a.s. \(P(X \geq 820).\)
  3. Reiknið líkurnar á að einkunn nemanda sem þreytir prófið og valinn er af handahófi sé á bilinu 720 og 820, þ.e.a.s. \(P(720 \leq X \leq 820).\)
  1. Við höfum \(X \sim N(1026,209^2)\) og viljum reikna
\[P(X < 720)\]

Áður en við getum notað töfluna þurfum við að staðla:

\[\frac{720 - 1026}{209} = -1.46\]

Þá fæst, skv. jöfnu 5.20

\[P(X < 720) = P(Z < -1.46)\]

Við notum töfluna og finnum að \(\Phi(z) = 0.0721\) eða u.þ.b. 7% líkur.

Mynd
  1. Við höfum \(X \sim N(1026,209^2)\) og viljum reikna
\[P(X > 820)\]

Áður en við getum notað töfluna þurfum við að staðla:

\[\frac{820 - 1026}{209} = -0.99\]

Þá fæst, skv. jöfnum 5.16 og 5.20

\[P(X > 820) = P(Z > -0.99) = 1 - P(Z < -0.99)\]

\(\Phi(-0.99) = 0.1611\), svo líkurnar eru 1-0.1611 = 0.8389 eða u.þ.b. 84%.

Mynd
  1. Við höfum \(X \sim N(1026,209^2)\) og viljum reikna
\[P(720 < X < 820)\]

Við náum í stöðluðu gildin frá í a) og b) lið.

Við fáum þá, skv. jöfnum 5.16 og 5.20:

\[P(720 < X < 820) = P(-1.46 < Z < -0.99) = P(Z < - 0.99) - P(Z < -1.46)\]

Við vorum búin að fletta upp að \(\Phi(-0.99) = 0.1611\) og \(\Phi(-1.46) = 0.0721\) svo líkurnar eru

\[0.1611 - 0.0721 = 0.089\]

eða u.þ.b. 9%.

Mynd

5.4.2.9. Sýnidæmi: Normaldreifingin

Ábending

Hvaða einkunn þarf nemandi að ná í SAT prófinu ætli hann sér að vera í hópi 10\(\%\) efstu nemendanna?

Sé nemandi í hópi \(10\%\) efstu nemendanna eru \(90\%\) nemenda með lægri einkunn en hann. Við viljum því finna hvaða viðmiðunargildi svarar til þess að líkur þess að taka gildi minna en það séu \(90\%\).

Til þess þurfum við að finna það \(z\)-gildi sem er þannig að \(\Phi(z)\) sé sem næst 0.9. Við sjáum i töflunni að það gildi sem kemst næst því er \(z=1.28\) en \(\Phi(1.28) = 0.8997\) sem er mjög nærri 0.9.

Einkunnir nemendanna fylgdu ekki stöðluðu normaldreifingunni heldur var \(X \sim N(1026,209^2)\) svo við verðum að varpa \(z\)-gildinu í upphaflegu dreifinguna með því að nota jöfnu 5.21

\[x = \mu + z \sigma\]

Lágmarkseinkunnin er því \(1026 + 1.28 \cdot 209 = 1292.5 \ \text{stig}\).

Mynd

5.4.2.10. Rithátturinn \(z_{a}\)

Síðar í þessari bók, þegar farið verður í ályktunartölfræði, munum við nota töflu stöðluðu normaldreifingarinnar mikið. Því kynnum við til sögunnar þægilegan rithátt sem við munum nota héðan í frá. Í tilviki stöðluðu normaldreifingarinnar er hann \(z_{a}\) en þið munuð síðar í þessum kafla sjá dæmi um þennan rithátt fyrir fleiri líkindadreifingar.

5.4.2.11. Rithátturinn \(z_{a}\)

Athugið

Með \(z_{a}\) táknum við það \(z\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir stöðluðu normaldreifingunni hefur líkurnar \(a\) að taka gildi sem er minna en \(z_{a}\).


Athugasemd

Þetta má skrifa sem:

\[a = P(Z < z_a),\]

þar sem \(Z\) fylgir stöðluðu normaldreifingunni. \(z_{a}\) er því \(a\)-ta prósentumark (sjá kafla 4.3.6) stöðluðu normaldreifingarinnar.


5.4.2.12. Sýnidæmi: Rithátturinn \(z_{a}\)

Ábending

Notið töflu staðlaðrar normaldreifingar í kafla T.1 til að finna \(z_{0.95}\).

Hér þekkjum við líkurnar en okkur vantar \(z\)-gildið. Við finnum því 0.95 meðal \(\Phi\)-gildanna í töflunni og lesum z-gildið við hlið þess. Í töflunni má sjá að

\[\Phi(1.64) = 0.95\]

svo

\[z_{0.95} = 1.64\]

5.4.2.13. Normaldreifingarrit

Margar tölfræðilegar aðferðir eru háðar því að gögnin sem þeim er beitt á fylgi normaldreifingu. Áður en aðferðirnar eru notaðar þarf því að ganga úr skugga um að svo sé raunin. Ýmsar aðferðir finnast til þess og er algengt að nota svonefnt normaldreifingarrit. Normaldreifingarrit er myndræn aðferð til að kanna hvort gögn fylgi normaldreifingu eða ekki. Normaldreifingarrit eru sjaldan gerð í höndunum heldur er notast við tölfræðiforrit en mikilvægt er að kunna að túlka þau.

5.4.2.14. Normaldreifingarrit (normal probability plot)

Athugið

Ef punktarnir á normaldreifingarritinu liggja nálægt beinu línunni sem sýnd er á ritinu og endapunktarnir báðum megin sveigjast ekki afgerandi upp eða niður þá er ásættanlegt að gera ráð fyrir að gögnin fylgi normaldreifingu.


Á mynd 5.9 má sjá stuðlarit og normaldreifingarrit af þremur gagnasöfnum. Ekki er hægt að gera ráð fyrir að gagnasöfn 1 og 3 fylgi normaldreifingu þar sem punktarnir eru ekki nægilega nálægt beinu línunni. Það má aftur á móti gera ráð fyrir að gagnasafn 2 fylgi normaldreifingu þar sem punktarnir á normaldreifingarritinu liggja nálægt beinu línunni.

Normaldreifingarrit

Mynd 5.9: Normaldreifingarrit

5.4.3. Aðrar samfelldar líkindadreifingar

Nú tekur við umfjöllun um aðrar líkindadreifingar en normaldreifinguna. Sú fyrsta sem við munum fjalla um er t-dreifingin, eða Student’s t. Hún er samfelld líkindadreifing sem minnir á normaldreifinguna. Hún er bjöllulaga og samhverf um meðaltal dreifingarinnar sem er 0. Við munum nota t-dreifinguna til að framkvæma ályktunartölfræði í köflum 8 og 10.

5.4.3.1. t-dreifing

t-dreifingin hefur einn stika sem kallast frígráður . Hann ræður lögun hennar. Við táknum fjölda frígráða með bókstafnum \(k\). t-dreifingu með \(k\) frígráður táknum við með \(t_{(k)}\).

t-töflu má finna í kafla T.2. Við flettum upp í töflunni eftir fjölda frígráða. Gildin sem við fáum út úr töflunni táknum við með \(t_{a,(k)}\). Um \(t_{a,(k)}\) gildir að slembistærð sem fylgir t-dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) að taka gildi sem er minna en \(t_{a,(k)}\). Dálkur er valinn eftir \(a\)-gildinu en lína eftir fjölda frígráða.

5.4.3.2. Rithátturinn \(t_{a,(k)}\)

Athugið

Með \(t_{a,(k)}\) táknum við það \(t\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir t-dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) að taka gildi sem er minna en \(t_{a,(k)}\). Þetta má skrifa sem:

\[a = P(T < t_{a,(k)}),\]

þar sem \(T\) fylgir t-dreifingu með \(k\) frígráður. \(t_{a,(k)}\) er því \(a\)-ta prósentumark t-dreifingar með \(k\) frígráður.


Eftir því sem fjöldi frígráða eykst því meira líkist t-dreifingin stöðluðu normaldreifingunni. Á mynd 5.10 má sjá nokkrar t-dreifingar ásamt stöðluðu normaldreifingunni.

Nokkrar t-dreifingar

Mynd 5.10: Nokkrar t-dreifingar

5.4.3.3. Sýnidæmi: Flett upp í t-töflu

Ábending

Finnið \(t_{0.95,(17)}\).

Við notum t-töfluna í kafla T.2. Við veljum \(a = 0.95\) dálkinn og \(k = 17\) línuna í töflunni og fáum út að \(t_{0.95,(17)}\) = 1.740.

Mynd

5.4.3.4. \(\chi^2\)-dreifing

\(\chi^2\)-dreifingin, lesist kí-kvaðrat dreifingin, er samfelld líkindadreifing og er hún mikið notuð í ályktunartölfræði. Hún er ekki samhverf eins og normaldreifingin. \(\chi^2\)-dreifingin hefur einn stika, kallaður frígráður, sem ræður lögun hennar. Eins og í t-dreifingunni notum við \(k\) til að tákna fjölda frígráða. \(\chi^2\)-dreifingu með \(k\) frígráður táknum við með \(\chi^2_{(k)}\). Meðaltal \(\chi^2\)-dreifingar er jafnt fjölda frígráða hennar. Á mynd 5.11 má sjá nokkrar \(\chi^2\)-dreifingar.

Nokkrar :math:`\chi^2`-dreifingar

Mynd 5.11: Nokkrar \(\chi^2\)-dreifingar

\(\chi^2\)-töflu má finna í kafla T.3. Við flettum upp í töflunni eftir fjölda frígráða. Gildin sem við fáum út úr töflunni táknum við með \(\chi^2_{a,(k)}\). Um \(\chi^2_{a,(k)}\) gildir að slembistærð sem fylgir \(\chi^2\)-dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(\chi^2_{a,(k)}\). Við veljum dálk eftir \(a\)-gildinu en línu eftir fjölda frígráða.

5.4.3.5. Rithátturinn \(\chi^2_{a,(k)}\)

Athugið

Með \(\chi^2_{a,(k)}\) táknum við það \(\chi^2\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir \(\chi^2\)-dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) að taka gildi sem er minna en \(\chi^2_{a,(k)}\). Þetta má skrifa sem:

\[a = P(\chi^2 < \chi^2_{a,(k)}),\]

þar sem \(\chi^2\) fylgir \(\chi^2\)-dreifingu með \(k\) frígráður. \(\chi^2_{a,(k)}\) er því \(a\)-ta prósentumark \(\chi^2\)-dreifingar með \(k\) frígráður.


5.4.3.6. Sýnidæmi: Flett upp í \(\chi^2\)-töflu

Ábending

Finnið \(\chi^2_{0.95,(4)}\).

Við notum \(\chi^2\)-töfluna í kafla T.3. Við veljum \(a = 0.95\) dálkinn og \(k = 4\) línuna í töflunni og fáum út að \(\chi^2_{0.95,(4)}\) = 9.488.

_images/chisq2.svg

5.4.3.7. F-dreifing

F-dreifingin er samfelld líkindadreifing sem við munum nota þegar kemur að ályktunartölfræði. Líkt og \(\chi^2\)-dreifingin er hún ekki samhverf. F-dreifingin hefur tvo stika sem við köllum frígráður og táknum með \(v_1\) og \(v_2\). Lögun dreifingarinnar ræðst af fjölda frígráða. F-dreifingu með \(v_1\) og \(v_2\) fjölda frígráða táknum við með \(F_{(v_1,v_2)}\).

Fjórar F-töflur má finna í kafla T.4 til T.7 og þarf að passa vel að nota þá réttu hverju sinni. Töflurnar fjórar eru fyrir fjögur mismunandi \(a\)-gildi, \(a = 0.90\), \(a = 0.95\), \(a = 0.975\) og \(a = 0.99\). Dálkarnir í töflunum tákna mismunandi gildi á \(v_1\) og línurnar mismunandi gildi á \(v_2\). Gildin sem við fáum út úr töflunni táknum við svo með \(F_{a,(v_1,v_2)}\). Um \(F_{a,(v_1,v_2)}\) gildir að slembistærð sem fylgir F-dreifingu með \(v_1\) og \(v_2\) frígráður hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(F_{a,(v_1,v_2)}\). Á mynd 5.12 má sjá nokkrar F-dreifingar.

Nokkrar F-dreifingar

Mynd 5.12: Nokkrar F-dreifingar

5.4.3.8. Rithátturinn \(F_{a,(v_1,v_2)}\)

Athugið

Með \(F_{a,(v_1,v_2)}\) táknum við það \(F\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir \(F\)-dreifingu með \(v_1\) og \(v_2\) frígráður hefur líkurnar \(a\) að taka gildi sem er minna en \(F_{a,(v_1,v_2)}\). Þetta má skrifa sem:

\[a = P(F < F_{a,(v_1,v_2)}),\]

þar sem \(F\) fylgir \(F\)-dreifingu með \(v_1\) og \(v_2\) frígráður. \(F_{a,(v_1,v_2)}\) er því \(a\)-ta prósentumark \(F\)-dreifingar með \(v_1\) og \(v_2\) frígráður.


5.4.3.9. Sýnidæmi: Flett upp í F-töflu

Ábending

Finnið \(F_{0.95,(7,12)}\).

Við notum \(F\)-töfluna í kafla T.5 þar sem \(a = 0.95\). Við veljum dálk \(v_1 = 7\) og línu \(v_2 = 12\) og fáum út að \(F_{0.95,(7,12)}\) = 2.913.

Mynd

5.5. Dæmi

5.5.1. Dæmi

Hvert er gildi tvíliðustuðulsins \(\binom{8}{2}\)?

5.5.2. Dæmi

Framkvæmum eftirfarandi tilraun: Við köstum teningi fjórum sinnum. Látum \(X\) tákna fjölda skipta sem annað hvort fimma eða sexa koma upp. \(X\) fylgir þá tvíkostadreifingu með stikana \(n\) og \(p\). Hver eru gildin á \(n\) og \(p\)?

5.5.3. Dæmi

Sé teningi kastað 8 sinnum. Hverjar eru líkurnar að fá:

  1. þrisvar sinnum fimmu?
  2. tvo eða færri ása?
  3. færri en þrjár sexur?
  4. slétta tölu í öllum köstunum?

5.5.4. Dæmi

Atli líkindafræðingur ákveður að spila í happdrætti þar sem margir vinningar eru í boði. Líkurnar á að vinna á hvern miða í happdrættinu eru 1/100 eða 0.01. Atli ákveður að freista gæfunnar og kaupir 10 miða.

  1. Hverjar eru líkurnar á að Atli vinni vinning á nákvæmlega einn af miðunum?
  2. Hverjar eru líkurnar á að Atli vinni vinning á að minnsta kosti einn af miðunum?

5.5.5. Dæmi

Gerum ráð fyrir að fjöldi Kötlugosa á öld fylgi Poisson dreifingu með stikann \(\lambda\) = 2. Hverjar eru líkurnar á að minnsta kosti eitt Kötlugos verði á öld?

5.5.6. Dæmi

Líkurnar á að harður diskur af ákveðinni gerð bili á fyrsta árinu eftir að hann er tekinn í notkun er 0.1 eða \(10\%\). Tökum nú úrtak af stærð 20 og gerum ráð fyrir að hörðu diskarnir séu óháðir. Við fylgjumst með diskunum í eitt ár og að ári loknu teljum við fjölda bilaðra diska. Látum nú \(X\) tákna fjölda harðra diska sem bila á fyrsta árinu.

  1. Hvaða dreifingu fylgir slembistærðin \(X\), fjöldi harðra diska sem bila á fyrsta árinu?
  2. Hvert er væntigildi \(X\), fjölda harðra diska sem bila á fyrsta árinu?
  3. Hverjar eru líkurnar á að nákvæmlega þrír diskar úr úrtakinu muni bila á fyrsta árinu?

5.5.7. Dæmi

Gerum ráð fyrir að meðalfjöldi marka á mínútu í handboltaleik sé 0.8. Notum nú \(Y\) til að tákna fjölda marka á mínútu.

  1. Hvaða dreifingu er eðlilegt er að gera ráð fyrir að slembistærðin \(Y\), fjöldi marka á mínútu, fylgi?
  2. Hverjar eru líkurnar á að í handboltaleik séu skoruð nákvæmlega tvö mörk á mínútu?
  3. Hverjar eru líkurnar á að í handboltaleik séu skoruð nákvæmlega fimm mörk á þremur mínútum?

5.5.8. Dæmi

Hlutfall kvenkyns eðla af ákveðinni gerð sem fæðast á hitabeltiseyju langt langt í burtu er 0.48. Hverjar eru líkurnar á að í sex (einbura) fæðingum fæðist nákvæmlega þrjár kvenkyns eðlur?

5.5.9. Dæmi

Á hversu marga máta má fá þrjá þorska sé krónu kastað sjö sinnum?

5.5.10. Dæmi

Skiptiborðið í Arion banka fær að meðaltali 2.4 símtöl á mínútu. Reiknið líkurnar á að skiptiborðið fái:

  1. þrjú símtöl á einni mínútu.
  2. að minnsta kosti tvö símtöl á einni mínútu.
  3. fleiri en þrjú símtöl á einni mínútu.
  4. sex símtöl á tveimur mínútum.
  5. sjö símtöl á þremur mínútum.

5.5.11. Dæmi

Stefnt er að því að sólarrafvæða vita hér á landi á næstu árum. Því er haldið fram að spara megi rafmagnsnotkun vitanna um helming í 40% tilfella. Hverjar eru líkurnar á að rafmagnsnotkun minnki um helming í:

  1. fjórum af fimm vitum sem hafa verið sólarrafvæddir?
  2. að minnsta kosti fjórum af fimm vitum sem hafa verið sólarrafvæddir?
  3. færri en tveimur af fimm vitum sem hafa verið sólarrafvæddir?
  4. tveimur eða færri af fimm vitum sem hafa verið sólarrafvæddir?

5.5.12. Dæmi

Fjöldi bíla sem fer yfir kindahlið á sveitavegi nokkrum á Snæfellsnesi er að meðaltali 1.8 á mínútu. Reiknið líkurnar að á einni mínútu fari:

  1. enginn bíll yfir hliðið.
  2. tveir bílar yfir hliðið.
  3. færri en tveir bílar yfir hliðið.
  4. einn eða fleiri bílar yfir hliðið.

5.5.13. Dæmi

Að meðaltali seljast 1.8 Corny sælgætisstykki á hverjum klukkutíma í Select versluninni á Birkimel. Georg er samviskusamur starfsmaður og hefur tekið eftir því sér til skelfingar að öll Corny sælgætisstykkin eru búin í versluninni. Hann hringir í ofboði eftir fleiri stykkjum en þau eru ekki væntanleg fyrr en eftir klukkutíma.

  1. Hverjar eru líkurnar á því að Georg fá engan viðskiptavin sem hefði hug á því að kaupa sér Corny stykki á þeim tíma?
  2. Um leið og Georg hefur lagt niður símtólið uppgötvar hann sér til mikillar ánægju að eitt Corny stykki leynist í Kit-kat kassanum. Hverjar eru nú líkurnar á því að Georg geti fullnægt eftirspurn viðskiptavina um Corny sælgætisstykki, ef einhver verður, næsta klukkutímann.

5.5.14. Dæmi

Finnið eftirfarandi gildi í viðeigandi töflu:

  1. \(z_{0.975}\), \(z_{0.1}\), \(z_{0.05}\), \(z_{0.95}\).
  2. \(t_{0.95, (40)}\), \(t_{0.90, (3)}\), \(t_{0.975, (17)}\), \(t_{0.05, (12)}\).
  3. \(\chi^2_{0.95, (1)}\), \(\chi^2_{0.05, (2)}\), \(\chi^2_{0.975, (17)}\), \(\chi^2_{0.99, (3)}\).
  4. \(F_{0.95, (10,20)}\), \(F_{0.90, (20,10)}\), \(F_{0.975, (3,17)}\), \(F_{0.99, (5,5)}\).

5.5.15. Dæmi

Hvert er gildið á \(\Phi(z)\) þegar:

  1. z = -0.82?
  2. z = 1.96?
  3. z = 1.65?
  4. z = 0.0?

5.5.16. Dæmi

Ögmundur er að fást við normaldreifingu með meðaltal 8 og dreifni 4. Hann hefur gildið \(x\) = 10. Hvert er tilsvarandi staðlað z-gildi?

5.5.17. Dæmi

Slembistærðin \(Z\) fylgir staðlaðri normaldreifingu, \(Z \sim N(0,1)\). Reiknið:

  1. \(P(Z < 2.5)\).
  2. \(P(Z \leq 2.5)\).
  3. \(P(Z > 2.5)\).
  4. \(P(Z = 2.5)\).

5.5.18. Dæmi

Þyngd sex ára barna í landi nokkru fylgir normaldreifingu með meðaltal 21 kg og staðalfrávik 2.8 kg. Sé barn valið af handahófi, hverja eru líkurnar á að barnið sé:

  1. léttara en 20 kg?
  2. þyngra en 30 kg?
  3. á bilinu 17 til 19 kg?
  4. á bilinu 25 til 27 kg?
  5. 21 kg?

5.5.19. Dæmi

Gerum ráð fyrir að slembistærðin \(Z\) fylgi stöðluðu normaldreifingunni. Hvert er gildið á \(z\) ef \(P(Z > z) = 0.0287\)?

5.5.20. Dæmi

Sigrún er mikil áhugakona um samgöngumál og er mikið í mun að breyta samgönguvenjum stúdenta Háskóla Íslands. Hún hefur sér í lagi áhuga á að skoða hversu langa vegalengd stúdentar sem ferðast á einkabílum aka frá heimili sínu og í Háskólann. Sigrún hefur undir höndum metnaðarfulla skýrslu sem verkfræðistofa hér í bæ vann. Í henni segir að gera megi ráð fyrir vegalengd þeirra nemenda sem aka á einkabílum í Háskólann fylgi normaldreifingu með meðaltal 8.2 kílómetrar og staðalfrávik 2.2 kílómetrar.

  1. Sé nemandi sem notar einkabíl til að komast í Háskólann valinn af handahófi, hverjar eru líkurnar á að hann aki 8.2 kílómetra í skólann?
  2. Sé nemandi sem notar einkabíl til að komast í Háskólann valinn af handahófi, hverjar eru líkurnar að hann þurfi að aka meira en 10 kílómetra til að komast í skólann?
  3. Sé nemandi sem notar einkabíl til að komst í Háskólann valinn af handahófi, hverjar eru líkurnar á að hann þurfi að aka á milli 10 og 12 kílómetra til að komast í skólann?
  4. Sé nemandi sem notar einkabíl til að komst í Háskólann valinn af handahófi, hverjar eru líkurnar á að hann þurfi að aka minna en 3.7 kílómetra til að komast í skólann?
  5. Hversu langt þyrfti nemandi að aka að lágmarki til að vera í hópi þeirra 10% nemenda sem aka hve lengst í Háskólann?
  6. Hversu langt mætti nemandi að aka að hámarki til að vera í hópi þeirra 20% nemenda sem aka hve styst í Háskólann?

5.5.21. Dæmi

Vísindamaður nokkur frá fjarlægu landi hefur mikinn áhuga á simpönsum. Eftir áralanga rannsóknir á þessum frændum okkar þróaði vísindamaðurinn simpansagreindarvísitölu sem hann kallaði SIQ. Rannsóknir hans sýndu einnig að SIQ í ákveðnum hóp simpansa fylgir normaldreifingu með meðaltal 100 stig og staðalfrávik 16 stig.

  1. Sé simpansi valinn af handahófi úr hópnum, hverjar eru líkurnar á að hann hafi greindarvísitölu sem er hærri en 120 stig?
  2. Sé simpansi valinn af handahófi úr hópnum, hverjar eru líkurnar á að hann hafi greindarvísitölu á bilinu 90 til 120 stig?
  3. Hversu háa SIQ þarf simpansi að hafa til að vera meðal 10% greindustu simpansa í hópnum?

5.5.22. Dæmi

Normaldreifing nokkur hefur þéttifallið \(\displaystyle f(x)=\phi(x)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-10}{4})^2}.\) Hver eru meðaltal hennar og dreifni?

5.5.23. Dæmi

Þyngd íslenskra karlmanna á aldrinum 25 til 35 ára fylgir u.þ.b. normaldreifingu með meðaltal 85.6 kg og staðalfrávik 9.1 kg.

  1. Sé íslenskur karlmaður á aldrinum 25 til 35 ára valinn af handahófi hverjar eru líkurnar að hann sé þyngri en 100 kg?
  2. Sé íslenskur karlmaður á aldrinum 25 til 35 ára valinn af handahófi hverjar eru líkurnar að hann sé léttari en 75 kg?
  3. Sé íslenskur karlmaður á aldrinum 25 til 35 ára valinn af handahófi hverjar eru líkurnar að hann sé á milli 75 og 100 kg?
  4. Sé íslenskur karlmaður á aldrinum 25 til 35 ára valinn af handahófi hverjar eru líkurnar að hann sé nákvæmlega 85.6 kg?
  5. Sigga landfræðinema þykir bjórinn góður og er hann með dálítið stóra ístru fyrir vikið. Læknirinn hans hefur svolitlar áhyggjur af holdarfari Sigga og ráðleggur honum að megra sig. Siggi ákveður því að létta sig og setur sér það markmið að ná þeirri þyngd þannig að, að minnsta kosti 30% íslenskra karlmanna á aldrinum 25 til 35 ára séu þyngri en hann. Hvaða þyngd þarf Siggi að ná?