2. Frá tilraun til gagna

Ef tölfræðileg rannsókn á að vera vel úr garði gerð er nauðsynlegt að gæta þess að ákveðin skilyrði séu uppfyllt. Þar ber helst að nefna úrtakshögun, blindun og endurtekningar en þessi atriði falla undir það sem tölfræðingar kalla tilraunahögun (e. experimental design).

Tilraunahögun er einn mikilvægasti þáttur hverrar rannsóknar og sé illa að henni staðið getur farið svo að rannsakendur geti ekki fylgt eftir neinum af þeim markmiðum sem þeir upphaflega settu sér. Léleg tilraunahögun getur jafnvel orsakað að rannsakendur haldi fram orsakasamböndum sem eru í raun röng.

Því miður eru fjölmörg dæmi um slíkt og oftar en ekki má skýra ,,furðufréttir“ af sérkennilegum útkomum rannsókna með lélegri hönnun tilraunarinnar. Enn fremur er oft ógerlegt að leiðrétta fyrir slæmri tilraunahögun. Í verstu tilfellunum eru allar mælingar ónothæfar og rannsóknin ónýt! Góðu fréttirnar eru þær að veigamestu atriðin sem hafa þarf í huga eru ekki mörg og mikilvægi þeirra er hægt að rökstyðja með einföldum dæmum.

Í þessum kafla fetum við í gegnum þau spor sem þarf að stíga frá því að tölfræðileg rannsókn er áformuð og þangað til gögn eru tilbúin til tölfræðilegrar úrvinnslu. Við byrjum á að kynnast hugtökunum þýði og úrtak í kafla 2.1 og ræðum því næst um breytur og ýmsar gerðir þeirra í kafla 2.2. Bjagi og breytileiki eru þau tvö meginhugtök sem torvelda okkur að draga ályktanir af tölulegum upplýsingum. Þau eru efni kafla 2.3. Meginvopn okkar í baráttunni við bjaga er úrtakshögun, sem verður tekin fyrir í kafla 2.4, og blindun, í kafla 2.5. Sé nægjanlega vel að þessum atriðum staðið er unnt að nota stýrða tilraun til að fullyrða um orsakasamband sem eru efni kafla 2.6.

2.1. Úrtak og þýði

2.1.1. Úrtak og þýði

Eitt af því fyrsta sem hafa ber í huga þegar tölfræðirannsókn er fyrirhuguð er að skilgreina nákvæmlega hver viðfangsefni rannsóknarinnar eru. Það köllum við að skilgreina hvert þýði rannsóknarinnar er.

2.1.1.1. Þýði (population)

Athugið

Þýði rannsóknar er safn allra viðfangsefna sem draga á ályktanir um.


Ef fjöldi þeirra viðfangsefna er óendanlegur segjum við að þýðið sé óendanlegt. Annars er það endanlegt. Til sumra rannsókna svarar eingöngu eitt þýði, til annarra svara mörg þýði sem við berum þá gjarnan saman. Yfirleitt er æði dýrt og stundum hreinlega ómögulegt að ætla sér að skrá mælingar hjá sérhverju viðfangsefni þýðisins. Því vinnum við nær undantekningarlaust aðeins með hluta þýðisins, sem við köllum úrtak.

2.1.1.2. Úrtak (sample)

Athugið

Úrtak er safn viðfangsefna sem eru valin úr tilteknu þýði.


Þýði og úrtak

Mynd 2.1: Þýði og úrtak

Ef þýðið okkar er til dæmis allir íslenskir ríkisborgarar þá er úrtak úr því þýði safn einstaklinga með íslenskan ríkisborgararétt, það er hluti af öllum þeim sem ríkisborgararéttinn hafa. Mynd 2.1 sýnir dæmigert þýði og úrtak. Þýðið er allir karlarnir á myndinni og þeir sem búið er að draga hring um eru úrtakið. Best er ef viðfangsefnin í úrtakinu eru valin á handahófskenndan hátt en þá tölum við um slembiúrtak.

Hvert úrtak getur eingöngu verið úr einu þýði, en það má taka mörg úrtök úr sama þýðinu. Ef við gerum rannsókn á fleiri en einu þýði tökum við að minnsta kosti eitt úrtak úr sérhverju þýðanna.

2.2. Breytur

2.2.1. Breytur

Þegar við höfum áttað okkur á því hvert þýði rannsóknarinnar er vaknar næsta spurning: Hvernig er best að lýsa því? Í tölfræðiúrvinnslu setjum við sérhvern eiginleika viðfangsefna okkar fram sem breytu.

2.2.1.1. Breyta (variable)

Athugið

Breyta er ákveðinn eiginleiki sem við skráum niður eða mælum á viðfangsefnunum í úrtakinu okkar.


Stundum skráum við eingöngu eina breytu hjá hverju viðfangsefni, stundum margar. Séu viðfangsefni okkar menn gætum við til dæmis skráð niður aldur, kyn, þyngd og blóðþrýsting hjá sérhverjum einstaklingi. Þá höfum við mælingar á fjórum breytum fyrir sérhvert viðfangsefni. Breytur skiptast gróflega í tvær gerðir, talnabreytur og flokkabreytur, eftir því hvort þær taka gildi sem eru mæld í tölulegum einingum eða ekki.

2.2.1.2. Flokkabreytur (categorical variables)

Athugið

Flokkabreytur (e. categorical variables) eru ekki mældar í tölulegum einingum, heldur segja, eins og nafnið gefur til kynna, til um það hvaða flokki viðfangsefnið tilheyrir.


Dæmi um flokkabreytur sem lýsa einstaklingum eru kyn, hæsta prófgráða sem viðkomandi hefur lokið, póstnúmer lögheimilis og hvort einstaklingurinn reyki eða sé reyklaus. Gildin sem flokkabreyta getur tekið eru oft kölluð flokkar hennar.

2.2.1.3. Röðuð flokkabreyta (ordinal categorical variable)

Athugið

Þegar flokkabreyta er röðuð (e. ordinal categorical variable) er flokkum hennar raðað í stærðarröð.


2.2.1.4. Óröðuð flokkabreyta (categorical variable)

Athugið

Þegar flokkabreyta er óröðuð (e. categorical variable) er flokkum hennar ekki raðað í stærðarröð.


Kyn er gott dæmi um óraðaða flokkabreytu, þar sem ekki er eðlilegt að tala um hversu mikið einstaklingar hafi af kyni og að sama skapi er kynjunum ekki raðað í stærðarröð. Annað dæmi um óraðaða flokkabreytu væri breytan hárlitur sem hefði flokkana ljóst, dökkt og rautt. Breytan hæsta prófgráða er hins vegar gott dæmi um raðaða flokkabreytu. Algengt er að breytan hafi flokkana grunnskólapróf, stúdentspróf/iðnnám, BS/BA-próf, MS/MA-próf og að lokum doktorsgráða. Þar hefur einstaklingur með MA-gráðu lokið hærri prófgráðu heldur en einstaklingur með BA-gráðu og með því móti er flokkunum raðað í stærðarröð.

2.2.1.5. Talnabreytur (numerical variables)

Athugið

Talnabreytur (e. numerical variables) taka töluleg gildi sem eru mæld í tilteknum einingum.


Talnabreytur eru frábrugðnar flokkabreytum að því leyti að þær taka ætíð töluleg gildi sem eru mæld í tilteknum einingum. Dæmi um talnabreytur sem lýsa einstaklingum eru aldur (mældur í árum), hæð (mæld í cm), þyngd (mæld í kg) og púls (mæld í slögum á mínútu). Talnabreytum er sömuleiðis skipt upp í tvær gerðir, eftir því hvort þær eru samfelldar eða strjálar.

2.2.1.6. Samfelldar breytur (continuous variables)

Athugið

Þegar talnabreyta getur tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili þá segjum við að hún sé samfelld. Eingöngu talnabreytur geta verið samfelldar.


Sem dæmi um samfelldar breytur má nefna hárlengd, þyngd, líftíma og hitastig. Lengd á einu mannshári getur verið 20 cm. Hún getur líka verið 21 cm, 20.8, 20.4 cm eða hvaða tala sem er á milli 20 cm og 21 cm. Einu skorðurnar eru nákvæmni mælitækjanna okkar.

2.2.1.7. Strjálar breytur (discrete variables)

Athugið

Ef breytur eru ekki samfelldar segjum við að þær séu strjálar. Allar flokkabreytur eru strjálar og sumar talnabreytur.


Dæmi um strjálar talnabreytur eru til dæmis fjöldi eggja í hreiðri, gildi sem kemur upp í teningakasti og heildarfjöldi marka sem skoruð eru í knattspyrnuleik.

Sumar strjálar breytur geta tekið gífurlega mörg gildi. Hugsum okkur sem dæmi fjölda bíla í mismunandi löndum. Það er breyta sem getur tekið fjölmörg gildi, á mjög breiðu bili, en fjöldinn er samt alltaf heil tala. Því getur breytan ekki tekið hvaða gildi sem er á einhverju bili. Það er ekkert land með 1684927.4 bíla. Tölfræðiúrvinnsla á strjálum talnabreytum sem taka mjög mörg gildi getur verið snúin. Því er oft farin önnur af tveimur leiðum, að skipta breytunni upp í raðaða flokkabreytu eða þá að beita þeirri nálgun að líta á hana sem samfellda talnabreytu.

Að gefnu tilefni viljum við brýna muninn á strjálum talnabreytum og flokkabreytum sem taka töluleg gildi. Stundum eru flokkabreytur kóðaðar með tölum eins og til dæmis flokkabreytan póstnúmer lögheimils einstaklings. Þá er hætt við að þeim sé ruglað við strjálar talnabreytur. Góð leið til að forðast slíkan rugling er að skoða nánar mælieininginuna sem breytan er mæld í. Þegar breyta er talnabreyta hafa einingarnar sem hún er mæld í einhverja merkingu. Viðfangsefni sem hlýtur mælinguna 2 á tiltekinni breytu hefur tvöfalt meira af þeirri breytu en viðfangsefni með mælinguna 1. Þannig hefur tveggja ára barn lifað tvöfalt lengur en ársgamalt barn. Það er fráleitt að tala svo um flokkabreytuna póstnúmer, sem þó er kóðuð með tölum. Póstnúmerið 220 (Hafnarfjörður) er ekki það sama og tvöfalt magn af póstnúmerinu 110 (Árbær). Það er líka rangt að segja að sá sem býr í Árbæ hafi minna af póstnúmeri en sá sem býr í Hafnarfirði, þó talan 110 sé minni en talan 220. Tölulega gildið er flokkunartæki.

Þegar viðfangsefnunum er lýst með fleiri en einni breytu getum við stundum skipt breytunum upp í svarbreytur og skýribreytur.

2.2.1.8. Svarbreytur og skýribreytur (response and explanatory variables)

Athugið

Fyrir sérhvert viðfangsefni mun gildi skýribreytu þess hafa áhrif á það hvaða gildi svarbreytan mun taka. Til einnar svarbreytu geta svarað margar skýribreytur sem hafa áhrif á hana.


Hugsum okkur að verið sé að kanna áhrif saltlakkríss á blóðþrýsting. Fólk borðar mismikið magn af saltlakkrís og eftir klukkutíma er blóðþrýstingur þeirra mældur og munurinn kannaður. Þetta er skýrt dæmi um svarbreytu og skýribreytu. Við teljum að blóðþrýstingurinn, sem er svarbreytan, breytist eftir því sem magn skýribreytunnar saltlakkríss breytist. Takið eftir að gildi skýribreytu hafa áhrif á gildi svarbreytunnar, en ekki öfugt. Hár blóðþrýstingur lætur okkur ekki borða mikinn saltlakkrís, það er saltlakkrísinn sem veldur háum blóðþrýstingi. Þessi munur verður mikilvægur þegar við fjöllum um orsakasambönd seinna í kaflanum og aftur þegar við kynnumst aðhvarfsgreiningu í kafla 10.

2.2.2. Nýjar breytur búnar til

Oft getur verið gagnlegt að nota mælingarnar okkar til að búa til nýjar breytur í gagnasafnið. Það má gera á ýmsa vegu. Þegar unnið er með talnabreytur gætum viljum við sem dæmi oft skipta um einingu á breytunni okkar, eins og þegar lengdir eru mældar í tommum en við viljum vinna með lengdir í sentimetrum. Við gætum líka viljað beita formúlum á eina eða fleiri talnabreytu til þess að búa til nýja breytu, eins og þegar hæð og þyngd er notuð til að reikna líkamsþyngdarstuðul (BMI).

Þegar unnið er með flokkabreytur er algengt að flokkabreytan sé óþarflega fínskipt. Dæmi um slíkt væri ef við hefðum spurt hvert póstnúmer einstaklings væri en okkur nægði í raun að vita í hvaða sveitarfélagi hann byggi. Þá er okkur óhætt að búa til nýja breytu þar em við sameinum alla flokka sem tilheyra saman sveitafélaginu. Sú breyta lýsir þá sveitarfélagi en ekki póstnúmeri.

Að lokum eru flokkabreytur einnig búnar til með því að beita skilyrðum á eina eða fleiri talnabreytu eða flokkabreytu. Sem dæmi þá skilgreinir alþjóðaheilbrigðismálastofnunin (WHO) einstakling með háþrýsting ef að annað hvort slagbilsþrýstingur er yfir 140 mm Hg og/eða lagbilsþrýstingur er yfr 90 mm Hg. Við gætum viljað nota mælingar á talnabreytunum slagbilsþrýstingur og lagbilsþrýstingur til að búa til nýja flokkabreytu, háþrýstingur sem segir til um hvort einstaklingur er með háþrýsting eða ekki.

2.3. Bjagi og breytileiki

2.3.1. Bjagi og breytileiki

Tölfræðilega eru tvö meginatriði sem torvalda okkur að meta eðli þeirra breyta sem við erum að kanna. Þau eru bjagi og breytileiki mælinganna, sjá mynd 2.2.

2.3.1.1. Breytileiki (variability)

Athugið

Breytileiki verður vegna þess að breyturnar sem við erum að skoða eru slembni háðar og því geta útkomur mælinganna breyst í hvert sinn sem tilraunin er framkvæmd.


Við beitum tölfræði vegna þess að mælingarnar sem við skoðum eru alltaf háðar einhverri slembni (e. randomness). Slembnin getur átt sér ýmsar orsakir. Algengasta orsökin er sú að við vinnum með úrtök en ekki allt þýðið. Það er slembið hvaða viðfangsefni veljast í úrtakið hverju sinni sem veldur því að niðurstöðurnar geta breyst í hvert sinn sem nýtt úrtak er valið og rannsóknin endurtekin.

Þeim meiri breytileika sem mælingar hafa, þeim mun erfiðara er að átta sig á þeim lögmálum sem þær lúta. Breytileiki mælinga er bundinn eðli þeirra viðfangsefna sem verið er að skoða og við höfum engar leiðir til að minnka hann. Hins vegar gera endurtekningar okkur kleift að fá skýrari mynd af þeirri reglu sem mælingarnar fylgja. Ef við framkvæmum mælingu á eingöngu einu viðfangsefni er engin leið fyrir okkur að meta hversu stór sá breytileiki er. Um leið og við höfum mælingu á fleiri en einu viðfangsefni, það er endurtekningu, höfum við einhverja hugmynd um það á hvaða bili mælingarnar geta legið. Því fleiri endurtekningar, því betur vitum við hversu breytilegar mælingarnar geta verið. Þessi breytileiki er lykilatriði í allri ályktunartölfræði, sem er stærsti hluti þeirrar tölfræði sem þessi bók fjallar um.

2.3.1.2. Bjagi (bias)

Athugið

Bjagi verður þegar aðferðirnar gefa markvisst bjagaða mynd af þýðinu sem verið er að skoða.


Bjagi er í eðli sínu gerólíkur breytileika. Á meðan breytileiki er bundinn í eðli mælinganna og þannig á vissan hátt ,,sannur“ í eðli sínu, veldur bjagi því að við fáum kerfisbundið skakka mynd af viðfangsefnunum sem við erum að skoða og því viljum við lágmarka hann með öllum ráðum. Sá bjagi sem við munum fjalla um getur átt sér tvennar orsakir. Annars vegar verður hann þegar viðfangsefnin í úrtakinu eru valin á kerfisbundið bjagaðan hátt. Þá er talað um úrtaksbjaga. Úrtakshögun snýr að því að lágmarka úrtaksbjaga og er hún viðfangsefni kafla 2.4. Hins vegar geta væntingar bæði rannsakanda og viðfangsefna valdið kerfisbundið bjöguðum mælingum. Þá er um rannsakandabjaga og lyfleysuáhrif að ræða. Blindun er notuð til að lágmarka þann bjaga og er hún viðfangsefni kafla 2.5.

Bjagi og breytileiki

Mynd 2.2: Bjagi og breytileiki

2.4. Úrtakshögun

2.4.1. Úrtakshögun

Fyrsta viðfangsefni tilraunahögunar sem við tökum fyrir er úrtakshögun (e. sampling). Úrtakshögun snýr bæði að því hvernig úrtak er valið úr þýði en einnig hvaða viðfangsefnum er úthlutað hvaða inngrip. Markmið úrtakshögunar er ætíð það sama fyrir allar gerðir rannsókna, að lágmarka úrtaksbjaga (e. sampling bias).

2.4.1.1. Úrtaksbjagi (Sampling bias)

Athugið

Úrtaksbjagi verður þegar ákveðin viðfangsefni þýðis eru líklegri til að vera valin í úrtak heldur en önnur.


Því meiri sem úrtaksbjaginn er því verr endurspeglar úrtakið þýðið. Sé bjaginn of mikill verður ekki hægt að álykta um þýðið út frá úrtakinu og því engin ályktunartölfræði möguleg! Besta leiðin til að forðast úrtaksbjaga er að velja slembiúrtak, því slembiúrtök eru laus við bjaga. Athugið að séum við að framkvæma tilraun þar sem viðfangsefnum er skipt í hópa sem hljóta ólík inngrip þurfum við ekki eingöngu að gæta þess hvernig úrtakið er valið heldur einnig að gæta þess hvernig viðfangsefnum er skipt upp í hópa.

2.4.1.2. Slembival (randomization)

Athugið

Það að velja slembið, eða slembival, þýðir að velja handahófskennt þannig að öll viðfangsefni eru jafnlíkleg til að vera valin.


Úrtak sem er valið með slembivali kallast slembiúrtak (e. random sample). Við munum fjalla um þrjár gerðir af slembiúrtökum: einfalt slembiúrtak, lagskipt slembiúrtak og parað slembiúrtak.

2.4.2. Einfalt og lagskipt slembiúrtak

2.4.2.1. Einfalt slembiúrtak (simple random sample)

Athugið

Þegar við framkvæmum einfalt slembiúrtak veljum við einstaklinga af handahófi úr öllu þýðinu.


2.4.2.2. Lagskipt slembiúrtak (stratified random sample)

Athugið

Þegar við framkvæmum lagskipt slembiúrtak er þýðinu fyrst skipt niður í nokkur lög eða hópa og síðan eru viðfangsefni valin með einföldu slembiúrtaki úr hverju lagi fyrir sig. Fjöldi viðfangsefna sem valinn er úr hverju lagi verður að vera ákveðinn fyrirfram en hann má vera mismikill eftir lögum.


Lagskipting getur komið að góðum notum þegar verið er að rannsaka fyrirbæri þar sem utanaðkomandi breytur, aðrar en þær sem ætlunin er að rannsaka, hafa áhrif á mælingarnar á viðfangsefnunum. Dæmi um slíkt væri ef bera ætti orkuinnihald í matarræði saman við ákefð hreyfingar Íslendinga. Orkuþörf og þar af leiðandi orkuinnihald í mat er ólík eftir kynjunum og því myndum við fá skýrari mynd af sambandi orkuneyslu og hreyfingar ef við hefðum jafnt kynjahlutfall í mælingunum okkar. Það myndum við gera með því að velja lagskipt slembiúrtak, t.d. 20 karlmenn af handahófi og 20 konur af handahófi og bera saman orkuneyslu og hreyfingu hjá þeim hóp. Lagskipt slembiúrtak getur einnig verið afar gagnlegt þegar viðfangsefnin skiptast niður í svo misstóra hópa að ef við myndum velja einfalt slembiúrtak úr öllum lögunum væri hætta á að velja sárafá eða engin viðfangsefni úr minnstu hópunum.

Hugsum okkur til dæmis að við vildum kanna mun á árstekjum eftir sveitarfélögum. Ef við veldum fólk af handahófi úr þjóðskrá myndu gróflega 2/3 viðfangsefnanna koma af höfuðborgarsvæðinu. Því myndum við heldur kjósa að velja af handahófi úr hverju sveitarfélagi fyrir sig. Takið þó vel eftir því að það má alls ekki slaka á kröfunum um að velja slembið úr hverjum hópi fyrir sig sem í þessu tilviki eru sveitarfélögin.

2.4.3. Parað slembiúrtak

2.4.3.1. Parað slembiúrtak (paired random sample)

Athugið

Parað slembiúrtak fæst þegar viðfangsefnin í þýðinu eru pöruð saman tvö og tvö og síðan er ákveðinn fjöldi para valinn af handahófi í úrtakið.


Paraðar mælingar koma líkt og lagskipt slembiúrtök að góðum notum þegar mælingarnar okkar eru mjög breytilegar vegna áhrifa utanaðkomandi breyta, annarra en þeirra sem ætlunin var að rannsaka. Sér í lagi eru paraðar mælingar vinsælar þegar slíkar utanaðkomandi breytur eru mjög margar og jafnvel erfitt að festa hönd á þær. Sú er oft raunin þegar verið er að rannsaka fólk og aðrar flóknar lífverur.

Með pöruðu slembiúrtaki lágmörkum við áhrif utanaðkomandi breyta með því að para saman viðfangsefni sem hafa mjög lík eða sömu gildi á utanaðkomandi breytum. Raunverulega mælingin sem við höfum þá áhuga á að skoða er mismunur mælinganna hjá hverju og einu pari. Stundum eru viðfangsefnin jafnvel pöruð við sig sjálf. Þá er til dæmis fyrst framkvæmd mæling án inngrips og síðan önnur mæling að inngripi loknu og þær tvær mælingar paraðar saman, ef slíkt er við hæfi.

Hugsum okkur að við höfum tvær gerðir af hlaupaskóm og viljum kanna hvort þær hafi mismikil áhrif á hlaupahraða. Við gætum valið af handahófi tvo hópa af fólki, látið annan hópinn hlaupa kílómeter í einni gerðinni og hinn hópinn hlaupa sömu vegalengd í hinni gerðinni. Að því loknu myndum við kanna muninn á meðaltíma hópanna tveggja. Slíkt væri dæmi um óparaðar mælingar og þá myndum við líta á hópana tvo sem sitt hvort úrtakið, hvort úr sínu þýði. Vandamál þeirrar aðferðar er að hlaupahraði fólks er mjög breytilegur og því gæti þurft mikinn fjölda einstaklinga í hvorn hóp til að meta með góðu móti þann mun sem má rekja til hlaupaskónna en ekki annarra utanaðkomandi þátta. Við gætum einnig framkvæmt sömu tilraun með pöruðum mælingum. Þá myndi hver hlaupari hlaupa kílómeterinn tvisvar, eina ferð í hvoru pari, og að lokum væri munurinn á hlaupahraða hvers einstaklings reiknaður. Að vísu gæti tíminn í fyrri ferðinni verið betri, vegna þess að þá væri hlauparinn óþreyttur en þann bjaga má leiðrétta með því að láta helming hlauparanna hlaupa fyrst í annarri gerðinni en hinn helminginn hlaupa fyrst í hinni gerðinni. Með þessu móti hverfur sá breytileiki í mælingunum sem rekja má til ólíkrar hlaupagetu viðfangsefnanna og því þarf ekki eins stórt úrtak til að fá skýra mynd af áhrifum hlaupaskónna.

Við munum fjalla nánar um paraðar mælingar og ályktanir um mun á meðaltölum þeirra í kafla 8.2.3.

2.4.4. Hvað ef slembiúrtak er ógerlegt?

Stundum valda erfiðleikar í framkvæmd því að við getum ómögulega valið slembiúrtak úr þýði. Þá er farin önnur af tveimur leiðum:

  1. Að skilgreina þýðið upp á nýtt þannig að úrtakið verði slembiúrtak.

    Dæmi um slíkt væri að skilgreina þýði Íslendinga sem eru skráðir í símaskrána í stað þýðis allra Íslendinga. Vandamálið við þá aðferð er það að þá eiga ályktanir okkar eingöngu við um þá Íslendinga sem eru skráðir í símaskrána sem er ef til vill ekki það sem við viljum.

  2. Að sætta sig við bjagann.

    Þá þurfum við að gera grein fyrir úrtaksbjaganum í umfjöllun okkar og ræða ítarlega hvaða afleiðingar hann getur haft í för með sér. Stundum getum við leyft okkur að gera ráð fyrir því að bjaginn sé léttvægur með tilliti til þess sem við erum að rannsaka. Þá getur verið meira viðeigandi að sætta sig við bjagann heldur en að skilgreina þýðið upp á nýtt.

Hugsum okkur að við viljum kanna stafakunnáttu 4 ára barna á Íslandi. Ein leið til þess væri að velja slembiúrtak leikskólabarna. Vissulega eru ekki öll 4 ára börn í leikskólum, svo úrtakið verður bjagað. Við gætum sagt sem svo að þýðið sé eingöngu leikskólabörn á Íslandi. Hin leiðin væri sú að tiltaka að undantekningarnar séu svo fáar, langflest 4 ára börn eru í leikskóla svo við getum fært rök fyrir því að bjaginn verði ekki mikill.

2.4.5. Algengar úrtaksaðferðir sem ekki eru slembiúrtök

Sjálfboðaliðaúrtök (e. voluntary response sampling) og aðgengisúrtök (e. convenience sampling) eru tvö dæmi um úrtaksaðferðir sem gefa ekki slembiúrtök en eru þó mikið notaðar.

Sjálboðaliðaúrtök eiga við þegar viðfangsefnin eru fólk og þá eru eingöngu framkvæmdar mælingar á þeim sem bjóða sig fram til þess. Hér verður úrtaksbjagi vegna þess að ákveðin viðfangsefni geta verið líklegri til að bjóða sig fram en önnur. Oft getur sá bjagi orðið svo mikill að lítið er hægt að álykta út frá þeim mælingum sem fengnar eru.

19. október 2010 var spurt í Reykjavík síðdegis: ,,Hversu sammála eða ósammála ertu að banna þjóðkirkjunni aðgang að grunn- og leikskólum? “ Könnunin er dæmigerð ,,netkönnun“, hýst á léninu visir.is en allir lesendur vefsíðunnar geta svarað spurningunni. Slíkar netkannanir eru klassískt dæmi um sjálfboðaliðaúrtök og eru stórkostlega bjagaðar. Í fyrsta lagi sjá eingöngu lesendur síðunnar spurninguna og þeir eru svo sannarlega ekki slembiúrtak úr þjóðinni. Í öðru lagi svara lesendur yfirleitt eingöngu spurningum sem höfða til þeirra. Í þessu tiltekna dæmi er sennilegt að áhugafólk um trúmál vilji koma skoðun sinni á framfæri sem og kennarar og foreldrar barna.

Aðgengisúrtök eru fengin þegar eingöngu eru framkvæmdar mælingar á þeim viðfangsefnum sem eru (þægilega) aðgengileg rannsakendum. Þar verður úrtaksbjagi vegna þess að ákveðin viðfangsefni þýðisins eru líklegri til að vera aðgengileg rannsakendum en önnur. Sá bjagi getur verið mikill og valdið því að ekki er hægt að draga ályktanir út frá fengnum mælingum.

Dæmi um slíkt væri að velja í úrtak vegfarendur í Kringlunni frá klukkan 17 til 19 á fimmtudegi. Slíkt þýði er augljóslega bjagað. Í því eru væntanlega að megninu til íbúar í nærliggjandi hverfum sem ekki vinna á kvöldin og svo mætti lengi telja. Að minnsta kosti er ljóst að slíkt úrtak getur ekki verið lýsandi fyrir alla Íslendinga.

2.4.6. Vöntun mælinga

2.4.6.1. Vöntun mælinga (missing values)

Athugið

Ef ekki tekst að framkvæma mælingu á öllum þeim viðfangsefnunum sem hafa verið valin í úrtak er sagt að það vanti mælingu fyrir viðkomandi viðfangsefni.


Vöntun mælinga snýr því ekki að því hvernig úrtak er valið og ætti því strangt til tekið ekki að eiga heima í kafla um úrtakshögun. Hins vegar má oft sjá rannsóknir þar sem vöntun mælinga er mjög mikil, jafnvel vantar upp undir helming allra mælinga. Þá má ekki framkvæma tölfræðiúrvinnslu eingöngu á þeim viðfangsefnum sem hægt var að framkvæma mælingar á, eins og ekkert hefði í skorist, því það er í raun sambærilegt því að minnka úrtakið eftir á. Það getur verið stórkostlega vafasamt því oft er líklegra að það vanti frekar mælingar hjá ákveðnum viðfangsefnum heldur en öðrum og þá er um leið líklegra að þau viðfangsefni lendi ekki í minnkaða ,,úrtakinu“ sem veldur úrtaksbjaga!

Það er til dæmis vel þekkt að kjósendur eru ekki allir búnir að gera upp hug sinn, eða tilbúnir til að gefa upp afstöðu sína, nokkrum dögum fyrir þingkosningar og að atkvæði þeirra skiptast öðruvísi heldur en atkvæði annarra kjósenda. Þetta útskýrir að miklu leyti þann mun sem ætíð má finna í skoðanakönnunum fyrir kosningar og svo kosningaúrslitunum sjálfum. Að sjálfsögðu má tína til aðra þætti en þeir verða ekki tíundaðir hér.

2.5. Blindun

Þegar við framkvæmum tilraun viljum við geta tryggt að sjáist munur á mælingunum okkar megi rekja hann til inngripanna sem við beitum en ekki annarra utanaðkomandi áhrifa. Þið hafið nú séð hvernig val á viðfangsefnum í úrtök getur valdið bjaga ef ekki er nægilega vel að gætt. Þann bjaga kölluðum við úrtaksbjaga.

Nú munum við áfram fjalla um atriði sem bjaga mælingar en nú eiga þau sér aðrar orsakir. Annars vegar verður bjaginn vegna þess að rannsakandinn býst við því að sjá mismunandi niðurstöður eftir því hvaða inngripum er beitt. Hins vegar vegna þess að viðfangsefnin geta sýnt mun í mælingum vegna þess að þau telja að inngripið hafi áhrif á þann eiginleika sem verið er að mæla. Yfirleitt valda báðir þessir bjagar því að meiri áhrif mælast af beitingu inngrips en raunverulega eru. Í slæmum tilvikum orsakar það að rannsakendur draga ranglega ályktanir um ágæti gagnslausra inngripa.

2.5.1. Rannsakandabjagi og lyfleysuáhrif

2.5.1.1. Rannsakandabjagi (experimenters bias)

Athugið

Rannsakandabjagi verður þegar væntingar rannsakanda um áhrif inngrips hafa áhrif á mælingarnar á viðfangsefnunum.


Rannsakandabjagi getur komið til á bæði beina og óbeina vegu. Bein áhrif verða þegar væntingar rannsakanda valda bjaga í því hvernig hann skráir niður mælingarnar. Óbein áhrif verða þegar væntingar rannsakandans valda breytingum á viðfangsefninu sjálfu. Sem dæmi um bein áhrif má nefna að búist rannsakandi við lágum mælingum gæti hann frekar lesið að málband sýni 15.4 cm en 15.5 cm þegar mælingin er nákvæmlega mitt á milli. Sem dæmi um óbein áhrif gæti rannsakandi átt erfitt með að leyna undrun sinni þegar svör viðmælenda (sem væru þá mælingarnar) eru í mótsögn við kenningar rannsakandans. Viðmælandinn gæti skynjað þá undrun og því ósjálfrátt efast um svör sín og jafnvel breytt þeim, eða öðrum sem á eftir fylgja.

Þrátt fyrir að rannsakandinn sjálfur valdi rannsakandabjaga á mælingunum, má alls ekki skilja sem svo að munurinn í mælingunum komi til vegna ásetnings rannsakandans. Að sjálfsögðu göngum við út frá því að sérhver rannsakandi vilji vanda gerð rannsóknar sinnar sem mest hann má og forðast allt það sem gæti bjagað niðurstöðurnar. Rannsakandabjagi er því ekki ætlunarverk rannsakanda heldur óhjákvæmileg afleiðing og ekkert annað en góð tilraunahögun getur komið í veg fyrir hann. Það er að rannsakandinn viti ekki hvort viðfangsefnið hafi hlotið inngrip eða ekki.

Væntingar rannsakandans eru ekki einar um að geta valdið bjöguðum niðurstöðum, væntingar viðfangsefnanna geta sömuleiðis haft mikil áhrif á útkomur mælinga. Góð leið til að komast hjá þeim bjaga er að nota lyfleysur.

2.5.1.2. Lyfleysa (placebo)

Athugið

Lyfleysa er sérhvert inngrip sem viðfangsefni telur ranglega að sé inngripið sem mæla á.


Lyfleysa getur verið hveititafla í stað blóðþrýstingslyfs, ,,nikótínplástur“ með engu nikótíni, ,,gerviheilun“, það er að segja hvað eina sem viðfangsefnið getur ekki greint mun á hvort sé ,,alvöru“ inngrip - eða plat!

2.5.1.3. Lyfleysuáhrif (placebo effect)

Athugið

Þann mun í mælingum viðfangsefna sem við sjáum fyrir og eftir lyfleysuinngrip köllum við lyfleysuáhrif.


Hugsum okkur hóp fólks sem þjáist af höfuðverk. Hópnum er skipt í tvennt og öðrum hópnum gefið virkt höfuðverkjalyf en hinum hópnum gefin lyfleysa. Fólkið er svo beðið um að meta hversu mikið höfuðverkurinn batnaði við inntöku. Munur á höfuðverk fyrir og eftir að lyfleysan er gefin eru lyfleysuáhrif.

Yfirleitt eru rannsóknir framkvæmdar með það fyrir augum að staðfesta að tilteknir eiginleikar inngrips hafi merkjanleg áhrif á ákveðna eiginleika viðfangsefnanna. Í dæminu hér að ofan væri markmiðið að sýna að virku efnin í höfuðverkjalyfinu hafi merkjanleg áhrif á höfuðverk hjá viðkomandi einstaklingum. Takið eftir því að bæði hópurinn sem fékk lyfið og sá sem fékk lyfleysuna verða fyrir lyfleysuáhrifum. Það er báðir hóparnir töldu sig vera að hljóta tiltekið inngrip og trú þeirra á að inngripið virki hafði áhrif á matið sem fékkst. Sá munur sem skýrist með virku efnunum í lyfjunum er því eingöngu munurinn á hópunum tveimur eftir að inngripinu var beitt, sjá mynd 2.3. Því er þess krafist af lyfjum að þau sýni virkni umfram lyfleysuáhrif.

Lyfleysuáhrif

Mynd 2.3: Lyfleysuáhrif

Mörgum gæti þótt það smámunasemi að þurfa að leiðrétta fyrir lyfleysuáhrifum, enda ætla margir að þau áhrif séu hér um bil hverfandi. Því er síður en svo farið og eru smáskammtalækningar (hómópatía) ágætt dæmi. Smáskammtalækningar hafa ávallt verið mjög umdeildar og hafa fjölmargar rannsóknir sýnt fram á að áhrif þeirra séu engu meiri en lyfleysuáhrif [1]. Neðri deild breska þingsins hefur í því tilliti lýst því yfir að flokka skuli smáskammtalækningar sem lyfleysuinngrip [2]. Þrátt fyrir það starfar fjöldi manns við smáskammtalækningar hér á landi sem og annars staðar í heiminum.

Athugið einnig að notkun lyfleysu er eitt og sér ekki nægjanlegt skilyrði til að sýna fram á virkni inngripa heldur þarf tilraunin einnig að uppfylla ákveðnar kröfur um úrtakshögun sem þið kynntust í kafla 2.4 og nægjanlegan fjölda endurtekinna mælinga. Þessi skilyrði verða tekin saman í kafla 2.6.

2.5.2. Einblindar og tvíblindar rannsóknir

Þar sem rannsakandabjagi og lyfleysuáhrif geta verið töluverð, flokkum við tilraunir eftir því hvort gerðar eru ráðstafanir til að lágmarka þann bjaga. Þeir tveir flokkar sem notaðir eru kallast annars vegar einblindar rannsóknir og hins vegar tvíblindar rannsóknir.

2.5.2.1. Tvíblindar rannsóknir (double-blind trials)

Athugið

Þegar rannsókn er tvíblind vita hvorki rannsakandi né viðfangsefni tilraunarinnar hvaða inngrip hvert viðfangsefni hlýtur. Athugið að inngrip getur verið lyfleysuinngrip.


Með öðrum orðum eru bæði rannsakandinn og viðfangsefnið blind á það hvaða inngripi var beitt í hverju tilviki. Stundum verðum við að sætta okkur við að ekki sé hægt að dylja það fyrir rannsakandanum hvaða inngripi var beitt, það sé til dæmis augljóst í hverju tilviki. Þá er tvíblind rannsókn ekki möguleg en hins vegar væri hægt að framkvæma einblinda rannsókn.

2.5.2.2. Einblindar rannsóknir (single-blind trials)

Athugið

Þegar rannsókn er einblind vita annað hvort viðfangsefnin eða rannsakandinn ekki hvaða inngripi er beitt.


2.6. Orsakasamband

2.6.1. Orsakasamband

Tölfræðilegar rannsóknir geta verið af ýmsum toga. Ein mikilvæg gerð rannsókna er stýrð tilraun.

2.6.1.1. Stýrð tilraun (controlled experiment)

Athugið

Til að rannsókn geti flokkast sem stýrð tilraun þurfa tvö atriði að vera til staðar:

  1. Rannsakandinn getur stýrt því hvaða viðfangsefni hljóta hvaða inngrip.
  2. Mælingar eru framkvæmdar á viðfangsefnum bæði fyrir og eftir að inngripinu er beitt.

Ímyndum okkur að við ætlum að kanna samband reykinga og líkamsþyngdar með því að framkvæma mælingar á 100 viðfangsefnum sem væri skipt í tvo jafnstóra hópa. Ein aðferð væri að velja af handahófi 50 reykingamenn og 50 reyklausa einstaklinga og mæla líkamsþyngd þeirra. Sú aðferð myndi þó ekki flokkast undir stýrða tilraun. Dæmi um stýrða tilraun væri að velja 100 reyklausa einstaklinga og mæla líkamsþyngd þeirra. Velja síðan 50 þeirra af handahófi og láta þá reykja einn pakka af sígarettum á dag á meðan hinir 50 myndu ekki reykja. Að ári liðnu yrði líkamsþyngd beggja hópa könnuð aftur.

Ef við höfum framkvæmt stýrða tilraun stjórnum við því alfarið hvaða inngrip viðfangsefnin hljóta en mælingin er ekki framkvæmd fyrr en eftir að við höfum tekið þá ákvörðun. Því eru mælingarnar ætíð svarbreytur en inngripin skýribreytur. Inngripin geta haft áhrif á mælingarnar en ekki öfugt.

2.6.1.2. Hvaða skilyrði ætti stýrð tilraun að uppfylla?

Athugið

Sérhver rannsakandi ætti að leitast við að tilraun hans uppfylli eftirfarandi skilyrði:

  1. Úrtakshögun.

    Viðfangsefni eru valin úr þýðinu með slembiúrtaki og/eða skipt í hópa með slembivali.

  2. Blindun.

    Rannsóknin er tvíblind en einblind ef því verður ekki komið við.

  3. Endurtekningar.

    Inngripinu er beitt á endurtekinn fjölda viðfangsefna.


Markmið margra rannsókna er að geta fullyrt hvaða áhrif tiltekin inngrip hafa á viðfangsefnin okkar. Uppfylli stýrð tilraun skilyrðin í kassa 2.6.1.2 verður sá munur sem greinist á mælingunum eingöngu skýrður með inngripunum sem beitt var en ekki öðrum utanaðkomandi áhrifum. Þannig er hægt að fullyrða að tilteknu inngripin hafi valdið þeim mun á eiginleika viðfangsefnanna sem mældur var. Það getum við orðað sem svo að við getum fullyrt um orsakasamband inngripanna á þær breytur sem við mælum hjá viðfangsefnunum okkar.

2.6.1.3. Orsakasamband (causation)

Athugið

Orsakasamband milli tveggja breyta er þegar gildi einnar breytu hefur áhrif á þau gildi sem önnur breyta mun taka. Eingöngu verður sýnt fram á orsakasamband með stýrðum tilraunum.


Skýrt dæmi um samband, sem þó er ekki orsakasamband, er samband milli drukknana og íssölu á Benidorm. Einstaklingur er ekki líklegri til að drukkna í sjónum þótt hann hafi borðað ís fyrr um daginn. Þó drukkna fleiri þá daga sem íssala er mikil en þegar íssala er lítil. Ástæðan er einfaldlega sú að þegar hlýtt er úti flykkist fólk á ströndina, þar sem það getur drukknað. Þá daga selst jafnframt mikið af ís. Á köldum dögum er enginn í sjónum og því lítill möguleiki á að drukkna. Þá daga selst minna af ís.

Mynd 2.4 lýsir sambandi tveggja breyta, \(x\) og \(y\). Vinstra megin á myndinni er orsakasamband milli breytanna en ekki á myndinni hægra megin. Myndin hægra megin lýsir dæminu hér að ofan þar sem \(x\) og \(y\) eru drukknanir og ísát en \(z\) er hitastig.

Orsakasamband

Mynd 2.4: Orsakasamband

2.7. Dæmi

2.7.1. Dæmi

Birgir er mikill listakokkur og almennur áhugamaður um matarvenjur Íslendinga. Hann framkvæmir könnun þar sem hann velur handahófskennt úrtak 20 manna og 20 kvenna og spyr þau hversu oft í viku þau borði heitan mat í hádeginu. Birgir listakokkur skráir mælinguna 1 hjá tilteknu viðfangsefni ef það borðar heitan hádegismat einu sinni í viku, 2 ef það borðar heitan mat tvisvar í viku og svo framvegis. Að hámarki skráir hann mælinguna 7 ef viðfangsefnin borða heitan hádegismat alla daga vikunnar.

  1. Er breytan sem Birgir skráir talnabreyta eða flokkabreyta?
  2. Er breytan sem Birgir skráir samfelld eða strjál?

2.7.2. Dæmi

Hverjar af eftirtöldum breytum eru samfelldar og hverjar eru strjálar?

  1. Fjöldi eggja í andahreiðrum við Tjörnina.
  2. Stjörnumerki nemenda í Vogaskóla
  3. Fjöldi alþingismanna sem eiga jeppa.
  4. Lengd höfuðhára á nýfæddum börnum.
  5. Þyngd jólatrjáa sem seld eru hjá Flugbjörgunarsveitinni.

2.7.3. Dæmi

Heiða Dóra kannar hvort samband sé á milli skulda einstaklinga og fæðingarmánaða þeirra. Hún skoðar skuldastöðu 100 handahófsvaldra einstaklinga og skráir tvær breytur. Önnur þeirra er heildarupphæð sem einstaklingarnir skulda. Hin breytan tekur gildi frá 1 upp í tólf eftir því í hvaða mánuði einstaklingarnir eru fæddir (1 fyrir janúar, 2 fyrir febrúar o.s.frv). Af hvaða gerð væri réttast að skrá breyturnar sem Heiða Dóra mælir?

2.7.4. Dæmi

Hverjar af eftirtöldum breytum eru talnabreytur og hverjar eru flokkabreytur?

  1. Innsláttarhraði unglinga á lyklaborði.
  2. Litur á jólaseríum í gluggum landsmanna.
  3. Fjöldi bifreiða sem aka um Suðurgötuna föstudaginn 3. febrúar 2012.
  4. Ferðamáti sálfræðinema til og frá Háskóla Íslands.
  5. Fjöldi innsláttavillna í þessari bók.

2.7.5. Dæmi

Fjóla rannsakar beinþynningu hjá íslenskum konum og kannar hvaða áhrif mataræði og hreyfing spila þar inn. Hún mælir beinþéttni handahófsvalinna kvenna (í \(mg/cm^2\)) og spyr þær einnig hversu mikið þær hreyfi sig (lítið, í meðallagi eða mikið) og hvort þær neyti mjólkurvara (aldrei, stundum, oft). Með hvaða hætti væri rétt að skrá þessar breytur?

2.7.6. Dæmi

María kannar hljóðvist í leikhússölum borgarinnar. Hún mætir á eina leiksýningu af hverju einasta verki sem sett er upp á Höfuðborgarsvæðinu í desember og skráir mesta hljóðstyrkinn sem mældist á sýningunni (í desíbelum). Af hvaða gerð er breytan sem María mælir?

2.7.7. Dæmi

Skráið niður dæmi um þrjár samfelldar og þrjár strjálar talnabreytur.

2.7.8. Dæmi

Hvort væri hentugra að skrá fjölda systkina sem einstaklingur á sem strjála eða samfellda talnabreytu? En fjölda barrnála á grenitré? Rökstyðjið svar ykkar.

2.7.9. Dæmi

Kári kannar gerðir kenninafna á Íslandi. Hann velur 1000 manna handahófsúrtak úr þjóskrá og kannar hvort einstaklingar beri ættarnöfn og hvort þeir kenni sig við móður eða föður. Af hvaða gerð er breytan sem Kári skráir?

2.7.10. Dæmi

Birgir er mikill listakokkur og almennur áhugamaður um matarvenjur Íslendinga. Hann framkvæmir könnun þar sem hann velur handahófskennt úrtak 20 manna og 20 kvenna og spyr þau hversu oft í viku þau borði heitan mat í hádeginu. Er úrtakið sem Birgir valdi dæmi um: lagskipt slembiúrtak, einfalt slembiúrtak, parað slembiúrtak eða sjálfboðaúrtak?

2.7.11. Dæmi

Finn langar að kanna meðalfjölda veitingastaða sem ferðamenn á gistihúsum heimsækja á meðan dvöl þeirra stendur. Til þess útbjó hann spurningalista sem lágu í móttöku allra gistihúsa á Höfuðborgarsvæðinu. Könnunin var auglýst mjög vel og gestir hvattir til að taka þátt og skila svörunum í þar til gerða kassa sem einnig lágu í móttökunni. Hvert er helsta vandamálið við tilraunahögun könnunarinnar hans Finns?

2.7.12. Dæmi

Gunnar Þór þrekþjálfari telur að það séu sterk tengsl milli matarvenja og heilsu. Hann framkvæmir því tilraun þar sem hann parar saman tvo og tvo nemendur sem honum þykir svipaðir að þreki. Hann lætur svo annan meðlim hvers pars á sérstakt mataræði á meðan hinn borðar eins og hann er vanur. Þáttakendur eru á þessu mataræði í 4 vikur en að því loknu eru framkvæmd þrekpróf á öllum einstaklingunum.

  1. Er úrtakið sem Gunnar Þór valdi dæmi um: lagskipt slembiúrtak, einfalt slembiúrtak, parað slembiúrtak eða sjálfboðaúrtak?
  2. Hverjir eru helstu vankantarnir á tilraunahögun Gunnars Þórs?

2.7.13. Dæmi

Agnar vill kanna hvers konar auglýsingar höfða best til viðskiptavina. Hann sendir því stuttan spurningalista á alla vini sína á Facebook en til að tryggja hátt svarhlutfall gefur hann öllum þeim sem svara könnuninni lítinn happdrættismiða þar sem í vinning er 10 þúsund króna inneign í útivistarbúð. Hvað er athugavert við tilraunahögun Agnars?

2.7.14. Dæmi

Fríðu langar að kanna meðalfjölda veitingastaða sem ferðamenn á gistihúsum heimsækja á meðan dvöl þeirra stendur. Hún hefur hins vegar þá kenningu að smekklega klæddir ferðamenn (að hennar mati) heimsæki fleiri veitingastaði heldur en þeir síður smekkvísu. Hún framkvæmir könnun þar sem hún velur 100 gesti af handahófi, spyr þá hversu marga veitingastaði þeir hafi heimsótt og skráir að því loknu hjá sér hversu smekklega henni finnst þeir klæddir (á skalanum 1 til 10). Hvert er helsta vandamálið við tilraunahögun könnuninarinnar hennar Fríðu?

2.7.15. Dæmi

Einar telur að of mikið sjónvarpsáhorf valdi offitu hjá börnum. Hann framkvæmir því rannsókn þar sem hann velur 100 börn af handahófi úr þjóðskrá, skráir nákvæmlega sjónvarpsáhorf þeirra og mælir líkamsfitu þeirra. Hann kemst að þeirri niðurstöðu að börn sem horfa á sjónvarp í meira en þrjár klukkustundir á dag eru tvöfalt líklegri til að þjást af offitu heldur en þau sem horfa skemur á sjónvarpið. Getur Einar fullyrt út frá þessari rannsókn að sjónvarpsáhorf valdi offitu hjá börnum? Rökstyðjið svar ykkar.


[1]Shang, A., Huwiler-Muntener, K., Nartey, L., Juni, P., Dorig, S., Sterne, J. A. og fleiri. 2005. ,,Are the clinical effects of homoeopathy placebo effects? Comparative study of placebo-controlled trials of homoeopathy and allopathy“, Lancet, 366: 726–732.
[2]House of Commons Science and Technology Committee. ,,Evidence Check 2: Homeopathy Fourth Report of Session 2009–10“.