7. Jaðargildisverkefni

The pen is mightier than the sword if the sword is very short, and the pen is very sharp. – Terry Pratchett

7.1. Inngangur

7.1.1. Jaðargildisverkefni

Við ætlum að finna nálgunarlausnir á verkefnum af gerðinni

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=f(x,y,y'), \qquad a\leq x\leq b,\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3,\\ \beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3. \end{gathered}\end{split}\]

Lausn á verkefninu er þá fall $y(x):[a,b]\to \mathbb R$ sem er þannig að $y$ uppfyllir

afleiðujöfnuna $y''(x) = f(x,y(x),y'(x))$,
jaðarskilyrðin $\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3$ í $x=a$ og
jaðarskilyrðin $\beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3$ í $x=b$.

Afleiðujafnan er sögð vera línuleg ef $f$ er á forminu

\[y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad x\in [a,b].\]

7.1.2. Þrjár tegundir jaðarskilyrða

Venjulega eru jaðarskilyrðin flokkuð í þrjá flokka.

	Dirichlet-jaðarskilyrði: (Fallsjaðarskilyrði:)	$y(a)=\alpha$, $y(b)=\beta$

	Neumann-jaðarskilyrði: (Afleiðujaðarskilyrði:) (Flæðisjaðarskilyrði:)	$y'(a)=\alpha$, $y'(b)=\beta$


	Robin-jaðarskilyrði: (Blandað jaðarskilyrði:)	$\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3$ $\beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3$ $(\alpha_1,\alpha_2)\neq (0,0)$

Athugasemd

Athugið að Robin jaðarskilyrði með $\alpha_2=0$ (eða $\beta_2=0$) er Dirichlet skilyrði með $\alpha=\alpha_3/\alpha_1$ (eða $\beta=\beta_3/\beta_1$).

Athugið að Robin jaðarskilyrði með $\alpha_1=0$ (eða $\beta_1=0$) er Neumann skilyrði með $\alpha=\alpha_3/\alpha_2$ (eða $\beta=\beta_3/\beta_2$).

7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði

7.2.1. Skiptipunktar

Gefum okkur jafna skiptingu á bilinu $[a,b]$, $x_j=a+hj$, $j=0,\ldots,N$ þar sem $h=(b-a)/N$. Þá er

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_N=b.\]

Við nefnum $x_j$ skiptipunkta skiptingarinnar.

Punktarnir $a=x_0$ og $b=x_N$ nefnast endapunktar skiptingarinnar og $x_j$, með $j=1,\dots,N-1$, nefnast innri punktar skiptingarinnar.

Við ætlum aðeins að nálga lausnir á línulegum jöfnum

\[y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad x\in [a,b],\]

Við munum reiknum út nálgun á réttu lausninni $y(x)$ í skiptipunktunum $x_j$. Rétta gildið í punktinum $x_j$ táknum við með $y_j$ og nálgunargildið með $w_j$,

\[y_j=y(x_j)\approx w_j.\]

Eins skrifum við

\[p_j=p(x_j), \qquad q_j=q(x_j), \qquad r_j=r(x_j).\]

Aðvörun

Ólíkt upphafsgildisverkefnunum í kaflanum á undan þá táknum við breytuna hér með $x$ og fallgildið með $y$. Þetta er eðlilegur ritháttur hér því í jaðargildisverkefnum þá er $y$ oftast fall af staðsetningu en ekki tíma, t.d. hiti í röri, sveigja burðarbita, o.s.fr.

7.2.2. Línulegar afleiðujöfnur

Nú leiðum við út nálgunarjöfnur, eina fyrir hvern innri skiptipunkt. Við byrjum á því að stinga punkti $x_j$ inn í afleiðujöfnuna

\[\big\{ y''(x)= p(x)y'(x)+q(x)y(x) + r(x)\big\}_{x=x_j}.\]

Næst skiptum við afleiðunum $y''$ og $y'$ út fyrir miðsettan mismunakvóta fyrir aðra afleiðuna og miðsettan mismunakvóta fyrir fyrstu afleiðuna. Þá fæst

\[\dfrac{y_{j+1}-2y_j+y_{j-1}}{h^2} +O(h^2) =p_j\dfrac{y_{j+1}-y_{j-1}}{2h}+q_jy_j+r_j+ O(h^2).\]

Nú fellum við niður leifaliðina og setjum nálgunargildin í stað réttu gildanna

\[\dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} =p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j\]

Hér fáum við eina jöfnu fyrir sérhvern innri skiptipunkt $j=1,\dots,N-1$.

7.2.3. Dirichlet-jaðarskilyrði

Við erum komin með $N-1$ nálgunarjöfnu til þess að finna $N+1$ nálgunargildi $w_0,\dots,w_N$ fyrir $y_0,\dots,y_N$.

Ef við erum að leysa línulegt jaðargildisverkefni með Dirichlet-jaðarskilyrðum,

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad a\leq x\leq b,\\ y(a)=\alpha \quad \text{ og } \quad y(b)=\beta, \end{gathered}\end{split}\]

þá fæst nálgunin með því að leysa línulega jöfnuhneppið

\[\begin{split}\begin{aligned} w_0&=\alpha,\\ \dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} &=p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j, \qquad j=1,\dots,N-1,\\ w_N&=\beta. \end{aligned}\end{split}\]

7.2.4. Jafngild framsetning á hneppinu

Við lítum aftur á línulegu nálgunarjöfnurnar

\[\dfrac{w_{j+1}-2w_j+w_{j-1}}{h^2} =p_j\dfrac{w_{j+1}-w_{j-1}}{2h}+q_jw_j+r_j.\]

Margföldum alla liði með $-h^2$ og röðum síðan óþekktu stærðunum vinstra mengin jafnaðarmerkisins. Þá fæst línulega jöfnuhneppið

\[\big(-1-\tfrac 12 h p_j\big)w_{j-1} +\big(2+h^2q_j\big) w_j +\big(-1+\tfrac 12 h p_j\big)w_{j+1} =-h^2\, r_j\]

fyrir $j=1,2,3,\dots,N-1$.

7.2.5. Línulega jöfnuhneppið á fylkjaformi

Nú er hægt að skrifa jöfnuhneppið á fylkjaformi

\[A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}\]

Hér er

\[\begin{split}A=\left[\begin{matrix} 1&0\\ l_1&d_1&u_1\\ &l_2&d_2&u_2\\ &&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&&l_{N-2}&d_{N-2}&u_{N-2} \\ &&&&&&l_{N-1}&d_{N-1}&u_{N-1} \\ &&&&&&&0&1 \end{matrix}\right]\end{split}\]

þar sem stuðlarnir $l_j$, $d_j$ og $u_j$ eru gefnir með

\[\begin{split}\begin{aligned} l_j&=-1-\tfrac 12 hp_j\\ d_j&=2+h^2q_j\\ u_j&=-1+\tfrac 12 hp_j\end{aligned}\end{split}\]

og vigrarnir eru

\[\begin{split}{\mbox{${\bf w}$}}=\left[ \begin{matrix} w_0\\ w_1\\ w_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ w_{N-2}\\ w_{N-1}\\ w_N \end{matrix}\right] \qquad \text{ og } \qquad {\mbox{${\bf b}$}}=\left[ \begin{matrix} \alpha \\ -h^2r_1\\ -h^2r_2\\ \cdot \\ \cdot\\ \cdot\\ -h^2r_{N-2}\\ -h^2r_{N-1}\\ \beta \end{matrix}\right]\end{split}\]

Við þekkjum allar tölurnar í $A$ og $\bf b$, þannig að við getum leyst jöfnuhneppið og með því fundið nálgunargildin $\bf w$.

7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði

7.3.1. Felugildi

Við skulum gera ráð fyrir að rétta lausnin $y(x)$ uppfylli blandað jaðarskilyrði í $x=a$,

\[\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3.\]

Til þess að líkja eftir afleiðujöfnunni í punktinum $x=a$ þá hugsum við okkur að við bætum við einum skiptipunkti $x_{-1}=a-h$ og látum $w_f$ tákna ímyndað gildi lausnarinnar í $x_{-1}$.

Svona punktur $x_{-1}$ utan við skiptinguna er kallaður felupunktur við skiptinguna og ímyndað gildi $w_f$ í felupunkti er kallað felugildi.

Takið eftir því að lausnin er ekki til í felupunktinum, en við reiknum eins og $w_f$ sé gildi hennar þar.

Mismunajafnan sem líkir eftir afleiðujöfnunni í punktinum $x_0$ er

\[\big(-1-\tfrac 12 hp_0\big)w_f+\big(2+h^2 q_0\big)w_0 +\big(-1+\tfrac 12 hp_0\big)w_1=-h^2r_0\]

Mismunajafnan sem líkir eftir jaðarskilyrðinu er

\[\alpha_1w_0+\alpha_2 \dfrac{w_1-w_f}{2h}=\alpha_3.\]

7.3.2. Jafna fyrir felugildið

Jafnan sem líkir eftir jaðarskilyrðinu er:

\[\alpha_1w_0+\alpha_2 \dfrac{w_1-w_f}{2h}=\alpha_3.\]

Út úr henni leysum við

\[w_f=w_1-\dfrac{2h}{\alpha_2}\big(\alpha_3-\alpha_1w_0\big)\]

Við stingum síðan þessu gildi inn í jöfnuna sem líkir eftir afleiðujöfnunni

\[\big(-1-\tfrac 12 hp_0\big)w_f+\big(2+h^2 q_0\big)w_0 +\big(-1+\tfrac 12 hp_0\big)w_1=-h^2r_0\]

Út fæst fyrsta jafna hneppisins

\[\bigg(2+h^2q_0-\big(2+hp_0\big)h\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\bigg)w_0 -2w_1=-h^2r_0-\big(2+hp_0\big)h\dfrac{\alpha_3}{\alpha_2}.\]

Með því að innleiða felupunkt $x_{N+1}=b+h$ hægra megin við skiptinguna, tilsvarandi felugildi $w_f$ og leysa saman tvær jöfnur þá fáum við síðustu jöfnu hneppisins

\[-2w_{N-1} +\bigg(2+h^2q_N+\big(2-hp_N\big)h\dfrac{\beta_1}{\beta_2}\bigg)w_N =-h^2r_N-\big(2-hp_N\big)h\dfrac{\beta_3}{\beta_2}\]

Við erum því aftur komin með $(N+1)\times (N+1)$-jöfnuhneppi.

7.3.3. Hneppið á fylkjaformi

\[A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}\]

\[\begin{split}A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ l_1&d_1&u_1\\ &l_2&d_2&u_2\\ &&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&\cdot&\cdot&\cdot \\ &&&&&l_{N-2}&d_{N-2}&u_{N-2} \\ &&&&&&l_{N-1}&d_{N-1}&u_{N-1} \\ &&&&&&&a_{N+1,N}&a_{N+1,N+1} \end{matrix}\right]\end{split}\]

Þar sem stuðlarnir $l_j$, $d_j$ og $u_j$ fyrir $j=1,2,3\dots,N-1$ eru þeir sömu og áður.

\[\begin{split}\begin{aligned} l_j&=-1-\tfrac 12 hp_j\\ d_j&=2+h^2q_j\\ u_j&=-1+\tfrac 12 hp_j\end{aligned}\end{split}\]

7.3.4. Fyrsta og síðasta lína hneppisins

\[\begin{split}\begin{aligned} a_{11}&= \begin{cases} 1,&\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ d_0&\text{Neumann í } x=a: \alpha_1=0, \alpha_2\neq 0,\\ d_0+2hl_0\alpha_1/\alpha_2&\text{Robin í } x=a: \alpha_2\neq 0. \end{cases} \\ a_{12}&= \begin{cases} 0,&\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ -2,&\text{annars}. \end{cases} \\ a_{N+1,N+1}&= \begin{cases} 1,&\text{Dirichlet í } x=b: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ d_N&\text{Neumann í } x=b: \beta_1=0, \beta_2\neq 0,\\ d_N-2hu_N\beta_1/\beta_2&\text{Robin í } x=a: \beta_2\neq 0. \end{cases} \\ a_{N+1,N}&= \begin{cases} 0,&\text{Dirichlet í } x=b: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ -2&\text{annars}. \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

7.3.5. Hægri hlið hneppisins

\[\begin{split}{\mbox{${\bf b}$}}=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ -h^2r_1\\ -h^2r_2\\ \cdot \\ \cdot\\ \cdot\\ -h^2r_{N-2}\\ -h^2r_{N-1}\\ b_{N+1} \end{matrix}\right]\end{split}\]

\[\begin{split}b_{1}= \begin{cases} \alpha=\alpha_3/\alpha_1, &\text{Dirichlet í } x=a: \alpha_1\neq 0, \alpha_2=0,\\ -h^2r_0+2hl_0\alpha_3/\alpha_2 &\text{Neumann í } x=a: \alpha_1=0, \alpha_2\neq 0,\\ -h^2r_0+2hl_0\alpha_3/\alpha_2&\text{Robin í } x=a: \alpha_2\neq 0. \end{cases}\end{split}\]

\[\begin{split}b_{N+1}= \begin{cases} \beta=\beta_3/\beta_1, &\text{Dirichlet í } x=a: \beta_1\neq 0, \beta_2=0,\\ -h^2r_N-2hu_N\beta_3/\beta_2&\text{Neumann í } x=a: \beta_1=0, \beta_2\neq 0,\\ -h^2r_N-2hu_N\beta_3/\beta_2&\text{Robin í } x=a: \beta_2\neq 0. \end{cases}\end{split}\]

7.3.6. Samantekt

Gildi lausnarinnar $y(x)$ á línulega jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{gathered} y''=p(x)y'+q(x)y+r(x), \qquad a\leq x\leq b,\\ \alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3,\\ \beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3 \end{gathered}\end{split}\]

í punktunum $x_j=a+jh$, þar sem $h=(b-a)/N$ og $j=0,\dots,N$, eru nálguð með

\[w_j\approx y(x_j)=y_j\]

Dálkvigurinn

\[{\mbox{${\bf w}$}}=[w_0,w_1,\dots,w_N]^T\]

er lausn á línulegu jöfnuhneppi $A{\mbox{${\bf w}$}}={\mbox{${\bf b}$}}$.

Stuðlum $(N+1)\times(N+1)$ fylkisins $A$ og $(N+1)$-dálkvigursins ${\mbox{${\bf b}$}}$ hefur verið lýst hér að framan.

	Dirichlet-jaðarskilyrði: (Fallsjaðarskilyrði:)	\(y(a)=\alpha\), \(y(b)=\beta\)

	Neumann-jaðarskilyrði: (Afleiðujaðarskilyrði:) (Flæðisjaðarskilyrði:)	\(y'(a)=\alpha\), \(y'(b)=\beta\)


	Robin-jaðarskilyrði: (Blandað jaðarskilyrði:)	\(\alpha_1y(a)+\alpha_2 y'(a)=\alpha_3\) \(\beta_1 y(b)+\beta_2y'(b)=\beta_3\) \((\alpha_1,\alpha_2)\neq (0,0)\)