4. Töluleg diffrun

Nanny’s philosophy of life was to do what seemed like a good idea at the time, and do it as hard as possible. It had never let her down. – Terry Pratchett, Maskerade

4.1. Inngangur

4.1.1. Töluleg diffrun og heildun

Deildun og heildun eru meginaðgerðir stærðfræðigreiningarinnar.

Þess vegna er nauðsynlegt að geta nálgað

\[f'(a),f''(a),f'''(a),\dots \quad \text{ og } \quad \int_a^b f(x)\, dx,\]

þar sem \(f\) er fall sem skilgreint er á bili \(I\) sem inniheldur \(a\) og \(b\).

4.1.2. Meginhugmynd í öllum nálgunaraðferðunum

Látum \(p\) vera margliðu sem nálgar \(f\), og látum \(r(x)=f(x)-p(x)\) tákna skekkjuna í nálgun á \(f(x)\) með \(p(x)\). Þá er

\[f'(x)=p'(x)+r'(x), \quad f''(x)=p''(x)+r''(x), \dots\]

og

\[\int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b p(x)\, dx+\int_a^b r(x)\, dx.\]

Nú þurfum við að gera tvennt:

1. Finna heppilegar nálgunarmargliður og reikna út

   \[p'(a), \ p''(a),\dots, \qquad \int_a^b p(x)\, dx\]

2. Meta skekkjurnar

   \[r'(a), \ r''(a), \dots \int_a^b r(x)\, dx\]

Byrjum á að leiða út nokkrar nálgunarformúlur með skekkjumati.

4.2. Aðferðirnar

Látum \(f : I \to \mathbb R\) vera fall á bili \(I \subset \mathbb R\) og \(a\) vera punkt í \(I\). Afleiða \(f\) í punktinum \(a\) er skilgreind með

\[f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

ef markgildið er til. Við skrifum því oft

\[f'(a) \approx \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

Þessi nálgun er kölluð frammismunur því oftast hugsar maður sér að \(h > 0\) og þá er \(a+h\) lítið skref áfram frá \(a\).

Við þurfum skekkjumat fyrir þessa formúlu ef við eigum að geta notað hana.

4.2.1. Frammismunur

Við fáum mat á skekkjuna í nálguninni með að skoða Taylor-margliðu \(f\) í \(a\). Samkvæmt setningu Taylors er til \(\xi\) á milli \(a\) og \(a+h\) þannig að

\[f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \frac{1}{2} f''(\xi)h^2.\]

Þá fæst að skekkjan í nálgun á \(f'(a)\) með

\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f[a,a+h]\]

er

\[e = f'(a) - \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = -\frac{1}{2} f''(\xi) h\]

Með öðrum orðum

\[\min_{t\in [0,h]} -\frac 12 f''(t)h \leq e \leq \max_{t\in [0,h]} -\frac 12 f''(t)h.\]

Við sjáum því að \(e=O(h)\) þegar \(h \to 0\).

4.2.2. Bakmismunur

Við getum sett \(a-h\) í stað \(a+h\) í skilgreininguna á afleiðu. Þá fæst svokallaður bakmismunur

\[f'(a) \approx \frac{f(a)-f(a-h)}{h}\]

og ljóst er að sama skekkjumat gengur fyrir þessa nálgun og fyrir nálgun með frammismun.

4.2.3. Miðsettur mismunakvóti

Lítum nú á þriðja stigs Taylor nálgun

\[\begin{split}\begin{aligned} f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\tfrac 12 f''(a)h^2+\tfrac 16 f'''(\alpha)h^3,\\ f(a-h)&=f(a)-f'(a)h+\tfrac 12 f''(a)h^2-\tfrac 16 f'''(\beta)h^3,\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(\alpha\) er á milli \(a\) og \(a+h\) og \(\beta\) er á milli \(a\) og \(a-h\).

Tökum nú mismuninn og fáum

\[f(a+h)-f(a-h)=f'(a)\cdot 2h+\tfrac 16\big(f'''(\alpha)+f'''(\beta)\big)h^3\]

Ef \(f'''\) er samfellt fall, þá gefur milligildissetningin okkur að til er \(\xi\) á milli \(\alpha\) og \(\beta\) þannig að \(f'''(\xi)=\tfrac 12 (f'''(\alpha)+f'''(\beta))\)

Niðurstaðan verður

\[f'(a)=\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}-\tfrac 16f'''(\xi)h^2.\]

Þannig að skekkjan er

\[e = -\frac 16 f'''(\xi) h^2,\]

og jafnframt er \(e = O(h^2)\) þegar \(h\to 0\).

4.2.4. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu

Við getum útfært þessa sömu hugmynd til þess að reikna út aðra afleiðu, en þá byrjum við með fjórða stigs Taylor-nálgun

\[\begin{split}\begin{aligned} f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\tfrac 12 f''(a)h^2+\tfrac 16 f'''(a)h^3 +\tfrac 1{24}f^{(4)}(\alpha)h^4,\\ f(a-h)&=f(a)-f'(a)h+\tfrac 12 f''(a)h^2-\tfrac 16 f'''(a)h^3 +\tfrac 1{24}f^{(4)}(\beta)h^4,\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(\alpha\) er á milli \(a\) og \(a+h\) og \(\beta\) er á milli \(a\) og \(a-h\).

Nú leggjum við saman og fáum

\[f(a+h)+f(a-h)=2f(a) +f''(a)h^2+\tfrac 1{24}\big(f^{(4)}(\alpha)+f^{(4)}(\beta)\big)h^4.\]

Nú þurfum við að gefa okkur að \(f^{(4)}\) sé samfellt fall, þá gefur milligildissetningin okkur að til er \(\xi\) á milli \(\alpha\) og \(\beta\) þannig að \(f^{(4)}(\xi)=\tfrac 12 (f^{(4)}(\alpha)+f^{(4)}(\beta))\).

Niðurstaðan verður

\[f''(a)=\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}-\tfrac 1{12}f^{(4)}(\xi)h^2\]

Með Taylor-margliðum má leiða út fleiri nálgunarformúlur fyrir afleiður.

Við ætlum ekki að halda lengra í þessa átt heldur snúa okkur að almennu aðferðinni.

4.3. Skekkjumat

4.3.1. Almennt um nálganir á afleiðum

Ef \(x_0,\ldots, x_n\) eru punktar í \(I\) (hugsanlega með endurtekningum) og \(p\) er margliðan sem brúar \(f\) í þeim, þá er

\[f(x) = p(x) + r(x),\]

þar sem skekkjuliðurinn \(r(x)\) er gefinn með formúlunni

\[r(x)=f[x_0,\ldots,x_n,x](x-x_0)\cdots(x-x_n)\]

Ef við tökum \(p'(a)\) sem nálgun á \(f'(a)\) er skekkjan

\[r'(a) = f'(a) - p'(a).\]

4.3.2. Skekkjumat

Munið að formúlan fyrir afleiðu af margfeldi margra þátta er

\[\begin{split}\begin{gathered} (\varphi_1\varphi_2\varphi_3\cdots\varphi_m)'(a)\\ =\varphi_1'(a)\varphi_2(a)\varphi_3(a)\cdots\varphi_m(a) +\varphi_1(a)\varphi_2'(a)\varphi_3(a)\cdots\varphi_m(a) +\cdots\\ \cdots+\varphi_1(a)\varphi_2(a)\cdots \varphi_{m-1}(a)\varphi_m'(a)\\\end{gathered}\end{split}\]

Horfum nú á skekkjuliðinn \(r(x)\). Hann er svona margfeldi með \(\varphi_1(x)=f[x_0,\dots,x_n,x]\), \(\varphi_2(x)=x-x_0\), \(\varphi_3(x)=x-x_1\) o.s.frv.

Athugum nú að ef \(a\) er einn af gefnu punktunum \(x_k\), þá er \(\varphi_{k+2}(x)=(x-x_k)\) sem gefur \(\varphi_{k+2}(x_k)=0\) og \(\varphi_{k+2}'(x_k)=1\).

Þetta segir okkur að ef við tökum \(a=x_k\), þá eru allir liðirnir í summunni í hægri hliðinni \(0\) nema einn, þ.e. við sitjum eftir með þann sem inniheldur \({\varphi}_{k+2}'\).

Niðurstaðan verður því að skekkjan í nálgun á \(f'(a)\) með \(p'(a)\) er

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(a) - p'(a) &= r'(a) =f[x_0,\dots,x_n,x_k] \prod_{\stackrel{j=0}{j \not= k}} (x_k-x_j)\\ &=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{\stackrel{j=0}{j \not= k}} (a-x_j)\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(a=x_k\).

Hér notuðum við skekkjumatið fyrir Newton aðferðina sem segir að til er \(\xi\) á minnsta bilinu sem inniheldur \(x_0,\ldots,x_n,x_k\) sem uppfyllir

\[f[x_0,\ldots,x_n,x_k] = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.\]

4.3.3. Frammismunur

Nálgum \(f\) með fyrsta stigs brúunarmargliðunni gegnum punktana \((a,f(a))\) og \((a+h,f(a+h))\) (þ.e. \(x_0 = a\) og \(x_1 = a+h\)),

\[f(x)=f[a]+f[a,a+h](x-a)+f[a,a+h,x](x-a)(x-a-h)\]

Af þessu leiðir formúlan sem við vorum áður komin með

\[f'(a)=f[a,a+h]+f[a,a+h,a](a-a-h) =\dfrac{f(a+h)-f(a)}h-\tfrac 12 f''(\xi)h\]

Þar sem \(\xi\) er á milli \(a\) og \(a+h\) og uppfyllir að \(f[a,a+h,a]=f[a,a,a+h]=\tfrac 12f''(\xi)\). Hér erum við að notafæra okkur aftur skekkjumatið sem við sönnuðum í kaflanum um brúunarmargliður.

4.3.4. Miðsettur mismunakvóti

Tökum þriggja punkta brúunarformúlu með \(a-h\), \(a+h\) og \(a\). Þá er

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=f[a-h]+f[a-h,a+h](x-a+h)\\ &+f[a-h,a+h,a](x-a+h)(x-a-h)\\ &+f[a-h,a+h,a,x](x-a+h)(x-a-h)(x-a)\end{aligned}\end{split}\]

Athugum að afleiðan af annars stigs þættinum

\[x\mapsto (x-a+h)(x-a-h)=(x-a)^2-h^2\]

er \(0\) í punktinum \(a\) og því er

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(a)&=f[a-h,a+h]+f[a-h,a+h,a,a](-h^2)\\ &=\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}-\tfrac 16 f'''(\xi)h^2 \end{aligned}\end{split}\]

Hér nýttum við okkur að til er \(\xi\) á milli \(a-h\) og \(a+h\) þannig að \(f[a-h,a+h,a,a]=\tfrac 16 f'''(\xi)\).

4.3.5. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu

Áfram heldur leikurinn. Nú skulum við leiða aftur út formúluna fyrir nálgun á \(f''(a)\) með miðsettum mismunakvóta

Þá tökum við þriggja punkta brúunarformúlu með \(a-h\), \(a+h\) og \(a\) með \(a\) tvöfaldan. Þá er

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=f[a-h]+f[a-h,a+h](x-a+h)\\ &+f[a-h,a+h,a](x-a+h)(x-a-h)\\ &+f[a-h,a+h,a,a](x-a+h)(x-a-h)(x-a)\\ &+f[a-h,a+h,a,a,x](x-a+h)(x-a-h)(x-a)^2\end{aligned}\end{split}\]

Gætum þess að halda liðnum \((x-a)\). Þá fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=f[a-h]+f[a-h,a+h](x-a+h)\\ &+f[a-h,a+h,a]\big((x-a)^2-h^2)\big)\\ &+f[a-h,a+h,a,a]\big((x-a)^3-h^2(x-a))\big)\\ &+f[a-h,a+h,a,a,x]\big((x-a)^4-h^2(x-a)^2)\big)\end{aligned}\end{split}\]

Nú þurfum við að reikna aðra afleiðu í punktinum \(a\). Athugum að önnur afleiða af annars stigs þættinum

\[x\mapsto (x-a+h)(x-a-h)=(x-a)^2-h^2\]

er fastafallið \(2\), önnur afleiða af þriðja stigs liðnum

\[x\mapsto (x-a)^3-h^2(x-a)\]

er \(0\) í punktinum \(a\) og önnur afleiða af fjórða stigs liðnum

\[x\mapsto (x-a)^4-h^2(x-a)^2\]

er fastafallið \(-2h^2\).

Við höfum því

\[f''(a)=2f[a-h,a+h,a]+f[a-h,a+h,a,a,a](-2h^2)\]

Nú er til punktur \(\xi\) á minnsta bili sem inniheldur \(a-h\), \(a+h\) og \(a\) þannig að \(f[a-h,a+h,a,a,a]=\tfrac 1{24}f^{(4)}(\xi)\).

Við þurfum að reikna út fyrri mismunakvótann

\[\begin{split}\begin{aligned} f[a-h,a+h,a]&=f[a-h,a,a+h]=\dfrac{f[a,a+h]-f[a-h,a]}{2h}\\ &=\dfrac 1{2h}\bigg(\dfrac{f(a+h)-f(a)}h-\dfrac{f(a)-f(a-h)}h\bigg)\\ &=\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{2h^2} \end{aligned}\end{split}\]

Við höfum því leitt aftur út formúluna

\[f''(a)=\dfrac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}-\tfrac 1{12}f^{(4)}(\xi)h^2\]

4.4. Richardson útgiskun

Það ætti að vera ljóst að töluleg deildun er nokkuð óstöðug aðferð því ef skrefastærðin \(h\) er lítil eru tölurnar \(f(a+h), f(a), f(a-h)\) nálægt hver annarri og við getum lent í styttingarskekkjum.

Því er ekki hægt að búast við að fá alltaf betri nálgun á \(f'(a)\) við að minnka skrefalengdina \(h\).

Leiðin er Richardson útgiskun (e. extrapolation), sem er aðferð til að bæta nálganir.

Til eru mjög almennar útgáfur þessarar aðferðar en við munum aðeins skoða þau sértilfelli sem nýtast okkur mest.

4.4.1. Útleiðsla á miðsettum mismunakvóta

Við skulum byrja á að að leiða aftur út formúluna fyrir miðsettann mismunakvóta til að fá betri upplýsingar um skekkjuliðinn. Fyrir fall \(f\) sem er nógu oft deildanlegt má beita Taylor til að skrifa

\[\begin{split}\begin{aligned} f(a+h) &= f(a) + f'(a)h + \ldots + \frac{f^{(2n)}(a)}{(2n!)}h^{2n} + \frac{f^{(2n+1)}(a)}{(2n+1)!)}h^{2n+1} + O(h^{2n+2}) \\ f(a-h) &= f(a) - f'(a)h + \ldots + \frac{f^{(2n)}(a)}{(2n!)}h^{2n} - \frac{f^{(2n+1)}(a)}{(2n+1)!)}h^{2n+1} + O(h^{2n+2})\end{aligned}\end{split}\]

Ef við drögum seinni jöfnuna frá þeirri fyrri fæst

\[f(a+h)-f(a-h) = 2f'(a)h + 2\frac{f'''(a)}{3!}h^3 + \ldots + 2\frac{f^{(2n+1)}(a)}{(2n+1)!}h^{2n+1} + O(h^{2n+2})\]

svo ef við einangrum \(f'(a)\) sjáum við að

\[f'(a) = R_1(h) + a_2 h^2 + a_4 h^4 + \ldots + a_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\]

þar sem

\[R_1(h) = \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} \quad \text{og} \quad a_k = -\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}, \quad k = 2,4,\ldots,2n.\]

4.4.2. Helmingun á skrefinu

Hér er minnsta veldi í skekkjuliðnum \(h^2\), svo nálgunin \(f'(a) \approx R_1(h)\) er \(O(h^2)\), eins og við höfum reyndar séð áður. Helmingum nú skrefalengdina \(h\), þá fæst

\[f'(a) = R_1(h/2) + a_2 \left(\frac{h}{2}\right)^2 + a_4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + \ldots + a_{2n} \left(\frac{h}{2}\right)^{2n} + O(h^{2n+1}).\]

Nú berum við saman þessi tvö skref:

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(a) &= R_1(h/2) + \tfrac 14 a_2 h^2 + a_4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + \ldots + a_{2n} \left(\frac{h}{2}\right)^{2n} + O(h^{2n+1}),\\ f'(a) &= R_1(h) + a_2 h^2 + a_4 h^4 + \ldots + a_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\\\end{aligned}\end{split}\]

Margföldum efri jöfnuna með \(4\) og drögum þá síðari frá. Þá stendur eftir

\[\begin{split}\begin{aligned} 3f'(a) &= 4 R_1(h/2) - R_1(h) + a_4 \left( \frac{4}{2^4} - 1 \right)h^4 \\ &+ a_6 \left( \frac{4}{2^6} - 1 \right)h^6 + \ldots + a_{2n} \left( \frac{4}{2^{2n}} - 1 \right)h^{2n} + O(h^{2n+1})\end{aligned}\end{split}\]

4.4.3. Fjórða stigs nálgun

Nú erum við komin með nýja formúlu:

\[f'(a) = R_2(h) + b_4 h^4 + b_6 h^6 + \ldots + b_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\]

þar sem

\[R_2(h) = \frac{4 R_1(h/2) - R_1(h)}{3} \quad \text{og} \quad b_k = \frac{a_k}{3} \cdot \left(\frac{4}{2^k}-1\right), \ k = 4,6,\ldots,2n.\]

Ef við berum þetta saman við jöfnuna sem við byrjuðum með

\[f'(a) = R_1(h) + a_2 h^2 + a_4 h^4 + \ldots + a_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\]

þá sjáum við að minnsta veldi í skekkjuliðnum er \(h^4\), svo nálgunin \(f'(a) \approx R_2(h)\) uppfyllir

\[f'(a) - R_2(h) = O(h^4)\]

og er því betri nálgun en áður.

Þetta ferli heitir Richardson útgiskun.

4.4.4. Hægt er að halda áfram útgiskun

Næsta takmark er að eyða liðnum \(b_4h^4\) úr þessari formúlu með því að líta á

\[f'(a) = R_2(h/2) + b_4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + b_6 \left(\frac{h}{2}\right)^6 + \ldots + b_{2n} \left(\frac{h}{2}\right)^{2n} + O(h^{2n+1})\]

Síðan stillum við þessari jöfnu upp með þeirri síðari

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(a) &= R_2(h/2) + \tfrac 1{16}b_4 h^4 + \tfrac 1{64}b_6 h^6 + \ldots + \tfrac 1{2^{2n}}b_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\\ f'(a) &= R_2(h) + b_4 h^4 + b_6 h^6 + \ldots + b_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\end{aligned}\end{split}\]

Margföldum fyrri jöfnuna með \(16\) og drögum þá síðari frá

\[\begin{split}\begin{aligned} 15f'(a) &= 16 R_2(h/2) - R_2(h) + b_6 \left( \frac{16}{2^6} - 1 \right) h^6 \\ &+ b_8 \left( \frac{16}{2^8} - 1 \right) h^8 + \ldots + b_{2n} \left( \frac{16}{2^{2n}} - 1 \right) h^{2n} + O(h^{2n+1}).\end{aligned}\end{split}\]

4.4.5. Sjötta stigs skekkja

\[\begin{split}\begin{aligned} 15f'(a) &= 16 R_2(h/2) - R_2(h) + b_6 \left( \frac{16}{2^6} - 1 \right) h^6 \\ &+ b_8 \left( \frac{16}{2^8} - 1 \right) h^8 + \ldots + b_{2n} \left( \frac{16}{2^{2n}} - 1 \right) h^{2n} + O(h^{2n+1}).\end{aligned}\end{split}\]

Því er

\[f'(a) = R_3(h) + c_6 h^6 + c_8 h^8 \ldots + c_{2n} h^{2n} + O(h^{2n+1})\]

þar sem

\[R_3(h) = \frac{16 R_2(h/2) - R_2(h)}{15}, \quad \text{og} \quad c_k = \frac{b_k}{15} \cdot \left( \frac{16}{2^k} - 1 \right), \quad k = 6,8,\ldots,2n.\]

Nýja nálgunin uppfyllir

\[f'(a) - R_3(h) = O(h^6)\]

og er því enn betri en áður, en við þurfum líka að reikna út \(R_1(h/4)\) til að reikna \(R_2(h/2)\).

4.4.6. Almenn rakningarformúla

Richardson-útgiskunin heldur áfram og út kemur

\[R_{i+1}(h) = \frac{4^i R_i(h/2) - R_i(h)}{4^i-1} = R_i(h/2) + \frac{R_i(h/2)-R_i(h)}{4^i-1}\]

fyrir \((i+1)\)-tu Richardson útgiskun og \(R_{i+1}(h)\) uppfyllir að

\[f'(a) - R_{i+1}(h) = O(h^{2i+2}),\]

en á móti kemur að til að reikna út \(R_{i+1}(h)\) þurfum við að hafa reiknað út tölurnar

\(R_1(h)\), \(R_1(h/2)\), \(\ldots\), \(R_1(h/2^i)\) auk

\(R_2(h)\), \(R_2(h/2)\), …, \(R_2(h/2^{i-1})\) og svo framvegis að

\(\qquad \vdots\)

\(R_i(h)\) og \(R_i(h/2)\).

Eins og áður sagði fara styttingarskekkjur á endanum að segja til sín í útreikningum á \(R_1(h)\), svo einhver takmörk eru fyrir hversu margar Richardson útgiskanir er hægt að framkvæma.

4.4.7. Reiknirit

Útreikningarnir að ofan eru yfirleitt settir fram í töflu

\[\begin{split}\begin{array}{ccccc} D(1,1) & & & & \\ D(2,1) & D(2,2) & & & \\ D(3,1) & D(3,2) & D(3,3) & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ D(n,1) & D(n,2) & D(n,3) & \ldots & D(n,n) \end{array}\end{split}\]

þar sem \(D(i,j) = R_j(h/2^{i-j})\) og þar með

\[\begin{split}D(i,j) = \begin{cases} \dfrac{f(a+h/2^{i-1})-f(a-h/2^{i-1})}{2\cdot h/2^{i-1}}, & j = 1 \\ D(i,j-1) + \dfrac{D(i,j-1)-D(i-1,j-1)}{4^{j-1}-1}, & j > 1 \end{cases}\end{split}\]

sem gerir okkur auðvelt að forrita Richardson útgiskun.

4.4.8. Skekkjumat

Finnum nú eftirámat fyrir \(D(i,j)\) með stærðunum \(D(i,j-1)\) og \(D(i-1,j-1)\). Hér á eftir er \(R_j(h/2)\) í hlutverki \(D(i,j-1)\) og \(R_i(h)\) í hlutverki \(D(i-1,j-1)\) (\(h\) er helmingað þegar við förum niður um eina línu).

Munum að \(R_i(h)\) uppfyllir að

\[f'(a) = R_j(h) + Kh^{2j} + O(h^{2j+1})\]

fyrir eitthvert \(K\) í \(\mathbb R\) og að

\[f'(a) = R_j(h/2) + K \left( \frac{h}{2} \right)^{2j} + O(h^{2j+1})\]

Ef við tökum mismun á hægri og vinstri hliðum þessara jafna, þá fáum við

\[0 = R_j(h) - R_j(h/2) + K \left(1 - \frac{1}{2^{2j}}\right)h^{2j} + O(h^{2j+1})\]

og ef við einangrum \(K\) fæst

\[K = -\frac{4^{j}}{h^{2j}} \cdot \frac{R_j(h)-R_j(h/2)}{4^{j}-1} + O(h^{2j+1}).\]

4.4.9. Útleiðsla á fyrirframmati

Þá er skekkjan í nálgun á \(f'(a)\) með \(R_j(h/2)\) jöfn

\[\begin{split}\begin{aligned} e_j(h/2) &= f'(a) - R_j(h/2) \\ &= K\left(\frac{h}{2}\right)^{2j} + O(h^{2j+1}) \\ &= -\frac{R_j(h)-R_j(h/2)}{4^{j}-1} + O(h^{2j+1}) \\ &\approx -\frac{R_j(h)-R_j(h/2)}{4^{j}-1}.\end{aligned}\end{split}\]

Þar sem \(R_j(h/2)\) er nálgun á \(f'(a)\) af stigi \(O(h^{2j+1})\), en \(R_{j+1}(h)\) er nálgun á \(f'(a)\) af stigi \(O(h^{2i+3})\) getum við slegið á \(e_{j+1}(h)\) með \(e_j(h/2)\). Ef við lækkum vísinn \(j+1\) um einn gefur það okkur matið

\[e_j(h) \approx \frac{R_{j-1}(h)-R_{j-1}(h/2)}{4^{j-1}-1} = \frac{D(i,j-1)-D(i-1,j-1)}{4^{j-1}-1}\]

sem er einmitt liðurinn í rakningarformúlunni fyrir \(D(i,j)\).

4.4.10. Sýnidæmi

Látum \(f(x)=x/(x^2+4)^{2/3}\) og \(a=-1\). Byrjum með \(h=1\) og notum svo rakningarformúluna til þess að fylla út útgiskunartöfluna.

\(h\)	\(D(i,1)\)	\(D(i,2)\)	\(D(i,3)\)	\(D(i,4)\)
1 .	0.25000000
0.5	0.25151838	0.25202451
0.25	0.25104655	0.25088928	0.25081360
0.125	0.25086355	0.25080254	0.25079676	0.25079649

Niðustaðan er: \(f'(-1)\approx 0.2507964\), með eftirámat á skekkju \(-3\cdot 10^{-7}\).

Rétt gildi er \(0.25079647217924889177\).