Töluleg greining (STÆ405G)
1. Inngangur
1.1. Hvað er töluleg greining?
1.1.1. Tilraun að svari
1.2. Dæmi: Eldflaug
1.3. Samleitni runa
1.3.1. Nokkur atriði um samleitni runa
1.3.2. Skilgreining: Samleitni
1.3.3. Skilgreining
1.4. Setning Taylors
1.4.1. Ritháttur fyrir diffranleg föll
1.4.2. Nálgun með Taylor-margliðu
1.4.3. Setning Taylors
1.4.4. Viðbót
1.4.5. Sýnidæmi: Nálgun á fallgildum
\(x-\sin x\)
1.5. Skekkjur
1.5.1. Skekkja í nálgun á rauntölu
\(r\)
1.5.2. Fyrirframmat á skekkju
1.5.3. Eftirámat á skekkju
1.5.4. Ofurlínuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
1.5.5. Línuleg samleitni – Eftirámat á skekkju
1.5.6. Sýnidæmi
1.5.7. Útreikningur á samleitnistigi
1.6. Meira um skekkjur
1.6.1. Skilgreining: Markverðir stafir
1.6.2. Úrlausn annars stigs jöfnu
1.6.3. Áhrif gagnaskekkju
1.6.4. Sýnidæmi
1.6.5.
\(O\)
-ritháttur
1.6.6.
\(O\)
-ritháttur og skekkja í Taylor-nálgnum
1.6.7. Sýnidæmi
1.6.8.
\(O\)
-ritháttur fyrir runur
1.6.9. Tvö sýnidæmi
1.7. Fleytitalnakerfið
1.7.1. Framsetning á tölum
1.7.2. Mantissa
1.7.3. Markverðir
\(\beta\)
-stafir
1.7.4. Afrúningur talna
1.7.5. Fleytitölukerfi
1.7.6. IEEE staðlar
1.7.7. Útreikningur í tugakerfi
2. Núllstöðvar
2.1. Nálgun á núllstöð
2.1.1. Skilgreining
2.1.2. Dæmi
2.1.3. Athugasemd
2.2. Helmingunaraðferð
2.2.1. Milligildissetningin
2.2.2. Afleiðing
2.2.3. Skekkjumat í helmingunaraðferð
2.2.4. Fyrirframmat á skekkju
2.3. Fastapunktsaðferð
2.3.1. Skilgreining
2.3.2. Tenging við núllstöðvar
2.3.3. Reiknirit
2.3.4. Skilgreining: Herping
2.3.5. Setning
2.3.6. Fastapunktssetningin
2.3.7. Fastapunktsaðferð er að minnsta kosti línulega samleitin
2.4. Sniðilsaðferð
2.4.1. Reiknirit
2.4.2. Samleitin runa stefnir á núllstöð
\(f\)
2.4.3. Skekkjumat í nálgun á
\(f(x)\)
með
\(p_n(x)\)
2.4.4. Skekkjumat í sniðilsaðferð
2.4.5. Setning
2.5. Aðferð Newtons
2.5.1. Reiknirit
2.5.2. Upprifjun
2.5.3. Samleitin runa stefnir á núllstöð
\(f\)
2.5.4. Skekkjumat í nálgun á
\(f(x)\)
með
\(p_n(x)\)
2.5.5. Skekkjumat í aðferð Newtons
2.5.6. Setning
2.6. Samanburður á aðferðum
3. Brúun
3.1. Inngangur
3.1.1. Markmiðið
3.1.2. Brúun
3.1.3. Afhverju margliður?
3.1.4. Margliður
3.1.5. Mismunandi leiðir á framsetningu
3.1.6. Newton-form margliðu
3.1.7. Reiknirit Horners
3.2. Margliðubrúun: Lagrange-form
3.2.1. Margliðubrúun
3.2.2. Setning: Brúunarmargliðan er ótvírætt ákvörðuð
3.2.3. Setning: Brúunarmargliðan er til
3.2.4. Lagrange-form brúunarmargliðunnar
3.2.5. Lagrange-margliður, tilfellin
\(m=0,1,2\)
3.2.6. Lagrange-margliður almenna tilfellið
3.2.7. Sýnidæmi
3.3. Margliðubrúun: Newton-form
3.3.1. Formúla fyrir
\(c_0, \ldots, c_m\)
3.3.2. Mismunakvótar
3.3.3. Upprifjun á tilvistarsönnuninni
3.3.4. Mismunakvótatöflur fyrir
\(m=0,1,2,3\)
3.3.5. Sýnidæmi
3.3.6. Samantekt
3.3.7. Samantekt – Newton-form
3.3.8. Samantekt – Lagrange-margliður
3.4. Samantekt
3.4.1. Lagrange-margliður
3.4.2. Newton-margliður
3.5. Margliðubrúun: Margfaldir punktar
3.5.1. Margfeldni punktanna
3.5.2. Sértilfelli
3.5.3. Upprifjun
3.5.4. Ótvíræðni lausnarinnar
3.5.5. Tilvist á lausn
3.5.6. Samantekt
3.5.7. Brúunarmargliðan fundin
3.6. Skynsamlegir skiptipunktar og Chebyshev margliður
3.6.1. Um val á brúunarpunktum
3.6.2. Dæmi um óheppilega skiptipunkta
3.6.3. Val á brúunarpunktum
3.6.4. Skilgreining
3.6.5. Verkefnið
3.6.6. Skilgreining: Chebyshev margliður
3.6.7. Setning
3.6.8. Staðlaðar Chebyshev margliður
3.6.9. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bilið
\([-1,1]\)
3.6.10. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
3.6.11. Skynsamlegir skiptipunktar fyrir bil
\([a,b]\)
3.6.12. Lágmörkun á skekkju með tilliti til
\(\ell_2\)
3.6.13. Skilgreining: Legendre margliðurnar
3.6.14. Setning
3.6.15. Setning
3.6.16. Skilgreining: Staðlaðar Legendre margliður
3.6.17. Setning: Lágmörkun með Legendre margliðunum
3.6.18. Núllstöðvar
\(P_n\)
, fyrir
\(n=1,\ldots,10\)
3.6.19. Dæmi um óheppilega skiptipunkta skoðað aftur
3.6.20. Athugasemd um
\(\ell_\infty\)
og
\(\ell_2\)
3.7. Skekkjumat
3.7.1. Nálgun á föllum með margliðum
3.7.2. Nálgun á fallgildum
3.7.3. Skekkjumat
3.7.4. Tilfellið þegar við höfum aðeins einn punkt
3.7.5. Margfeldni núllstöðva
3.7.6. Setning: Skekkjumat
3.7.7. Samantekt
3.7.8. Sýnidæmi
3.8. Splæsibrúun
3.8.1. Almennt um splæsibrúun
3.8.2. Fyrsta stigs splæsibrúun:
3.8.3. Þriðja stigs splæsibrúun
3.8.4. Jöfnuhneppið
3.8.5. Tilfelli 1: Ekki-hnúts endaskilyrði
3.8.6. Tilfelli 2: Þvinguð endaskilyrði
3.8.7. Tilfelli 3: Náttúrleg endaskilyrði
3.8.8. Tilfelli 4: Lotubundið endaskilyrði
3.8.9. Teikning á ferlum í planinu
3.9. Aðferð minnstu fervika
3.9.1. Jafna bestu línu
3.9.2. Smávegis línuleg algebra
3.9.3. Jafna bestu línu
3.9.4. Jafna bestu annars stigs margliðu
3.9.5. Sýnidæmi: besta annars stigs margliða
4. Töluleg diffrun
4.1. Inngangur
4.1.1. Töluleg diffrun og heildun
4.1.2. Meginhugmynd í öllum nálgunaraðferðunum
4.2. Aðferðirnar
4.2.1. Frammismunur
4.2.2. Bakmismunur
4.2.3. Miðsettur mismunakvóti
4.2.4. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
4.3. Skekkjumat
4.3.1. Almennt um nálganir á afleiðum
4.3.2. Skekkjumat
4.3.3. Frammismunur
4.3.4. Miðsettur mismunakvóti
4.3.5. Miðsettur mismunakvóti fyrir aðra afleiðu
4.4. Richardson útgiskun
4.4.1. Útleiðsla á miðsettum mismunakvóta
4.4.2. Helmingun á skrefinu
4.4.3. Fjórða stigs nálgun
4.4.4. Hægt er að halda áfram útgiskun
4.4.5. Sjötta stigs skekkja
4.4.6. Almenn rakningarformúla
4.4.7. Reiknirit
4.4.8. Skekkjumat
4.4.9. Útleiðsla á fyrirframmati
4.4.10. Sýnidæmi
5. Töluleg heildun
5.1. Aðferðirnar
5.1.1. Newton-Cotes heildun
5.1.2. Sýnidæmi
5.1.3. Trapisureglan
5.1.4. Miðpunktsreglan
5.1.5. Regla Simpsons
5.2. Samsettar útgáfur
5.2.1. Inngangur
5.2.2. Samsetta trapisureglan
5.2.3. Samsetta miðpunktsreglan
5.2.4. Samsett regla Simpsons
5.3. Skekkjumat
5.3.1. Inngangur
5.3.2. Meðalgildissetningin fyrir heildi
5.3.3. Trapisureglan
5.3.4. Samsetta trapisureglan
5.3.5. Miðpunktsregla
5.3.6. Samsetta miðpunktsreglan
5.3.7. Regla Simpsons
5.3.8. Samsett regla Simpsons
5.4. Romberg-útgiskun
5.4.1. Euler-Maclauren-formúlan
5.4.2. Afleiðing af Euler-Maclaurin-formúlunni
5.4.3. Ítrekun á samsettu trapisureglunni með helmingun
5.4.4. Reikniritið fyrir Romberg-heildun
5.4.5. Skekkjumat í Romberg heildun
6. Upphafsgildisverkefni
6.1. Inngangur
6.1.1. Fyrsta stigs afleiðujafna með upphafsgildi
6.1.2. Útskýring og dæmi
6.1.3. Tilvist og ótvíræðni lausna
6.1.4. Upphafsgildisverkefni fyrir hneppi
6.1.5. Jöfnur af stigi
\(>1\)
og jafngild hneppi
6.1.6. Tilvist og ótvíræðni lausna á hneppum
6.1.7. Ritháttur
6.1.8. Grunnhugmyndin í nálgunaraðferðum
6.1.9. Beinar og óbeinar aðferðir
6.1.10. Eins skrefs aðferðir og fjölskrefaaðferðir
6.2. Aðferðir með fasta skrefastærð
6.2.1. Aðferð Eulers
6.2.2. Aðferð Eulers: Matlab-forrit
6.2.3. Aðferð Eulers: Dæmi
6.2.4. Endurbætt aðferð Eulers
6.2.5. Aðferð Heun
6.2.6. Forsagnar- og leiðréttingarskref
6.2.7. Annars stigs Runge-Kutta-aðferð
6.2.8. Klassíska (fjórða stigs) Runge-Kutta aðferðin
6.2.9. Klassíska Runge-Kutta aðferðin: Dæmi
6.3. Skekkjumat, samleitni og stöðugleiki
6.3.1. Skekkja
6.3.2. Staðarskekkja í aðferð Eulers
6.3.3. Stýring á staðarskekkju og breytileg skrefastærð
6.3.4. Mat á skrefastærð
6.4. Aðferðir með breytilega skrefastærð
6.4.1. Reiknirit fyrir Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45)
6.4.2. Runge-Kutte-Fehlberg (RKF45) prófuð
6.5. Fjölskrefaaðferðir
6.5.1.
\(k\)
-skrefa Adams-Bashforth aðferð
6.5.2. Tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
6.5.3. Forrit fyrir tveggja skrefa Adams-Bashforth-aðferð
6.5.4. Þriggja skrefa Adams-Bashforth
6.5.5. Fjögurra skrefa Adams-Bashforth
6.6. Greining á samleitni og stöðugleika
6.6.1. Skekkja
6.6.2. Samleitni
6.6.3. Samræmi
6.6.4. Samræmi endurbættu Euler-aðferðarinnar
6.6.5. Samræmi beinna eins skrefs aðferða
6.6.6. Stöðugleiki
6.6.7. Lipschitz-samfelldni
6.6.8. Setning um stöðugleika og samleitni
7. Jaðargildisverkefni
7.1. Inngangur
7.1.1. Jaðargildisverkefni
7.1.2. Þrjár tegundir jaðarskilyrða
7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði
7.2.1. Skiptipunktar
7.2.2. Línulegar afleiðujöfnur
7.2.3. Dirichlet-jaðarskilyrði
7.2.4. Jafngild framsetning á hneppinu
7.2.5. Línulega jöfnuhneppið á fylkjaformi
7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði
7.3.1. Felugildi
7.3.2. Jafna fyrir felugildið
7.3.3. Hneppið á fylkjaformi
7.3.4. Fyrsta og síðasta lína hneppisins
7.3.5. Hægri hlið hneppisins
7.3.6. Samantekt
8. Jöfnuhneppi
8.1. Línuleg jöfnuhneppi
8.1.1. Verkefnið
8.1.2. Lausnir
8.1.3. Fjöldi aðgerða
8.1.4. Vandamál með stöðugleika
8.2. Vending (e. pivoting)
8.2.1. Inngangur
8.2.2. Hlutvending (e. partial pivoting)
8.2.3. Vankantar
8.2.4. Sköluð hlutvending (e. scaled partial pivoting)
8.2.5. Athugasemd
8.3. Fylkjastaðall
8.3.1. Að mæla fjarlægð milli hluta
8.3.2. Vigurstaðall
8.3.3. Dæmi um staðla
8.3.4. Fylkjastaðall
8.3.5. Fylkjastaðall skilgreindur út frá vigurstaðli
8.3.6. Dæmi um fylkjastaðal
8.3.7. Eigingildi
8.3.8. Róf og rófgeisli
8.3.9. Setning um rófgeisla
8.4. Skekkjumat og ástandstala
8.4.1. Hvernig á að mæla skekkju
8.4.2. Skekkjumat
8.4.3. Ástandstala fylkis og mat á hlutfallslegri skekkju
8.4.4. Áhrif gagnaskekkju
8.5. LU-þáttun
8.5.1. Nokkrar skilgreiningar
8.5.2. Úrlausn á jöfnuhneppi með neðra þríhyrningsfylki
8.5.3. Fjöldi aðgerða
8.5.4. Úrlausn á jöfnuhneppi með efra þríhyrningsfylki
8.5.5. Línuaðgerðir
8.5.6. Ný sýn á Gauss-eyðingu
8.5.7. Nánar um
\(M_i\)
8.5.8. LU-þáttun
8.5.9.
\(LU\)
-þáttun og sköluð hlutvending
8.5.10. Jöfnuhneppi leyst með LU-þáttun
8.5.11. Fjöldi reikniaðgerða fyrir
\(LU\)
-þáttun
8.5.12. Mörg jöfnuhneppi
8.6. Fastapunktsaðferðir fyrir línuleg jöfnuhneppi
8.6.1. Ítrekunaraðferðir til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
8.6.2. Fastapunktsítrekun til þess að leysa línuleg jöfnuhneppi
8.6.3. Fastapunktsítrekun - skekkjumat
8.6.4. Skilyrði fyrir samleitni
8.6.5. Skiptingaraðferð (e. splitting method)
8.6.6. Jacobi-aðferð
8.6.7. Gauss-Seidel-aðferð
8.6.8. SOR-aðferð (e. successive over-relaxation)
8.6.9. Setning um samleitni Gauss-Seidel-aðferðarinnar
8.7. Newton-aðferð fyrir jöfnuhneppi
8.7.1. Jacobi-fylki
8.7.2. Aðferð Newtons fyrir hneppi
8.7.3. Matlab-forrit fyrir hneppi
9. Eigingildisverkefni
9.1. Eigingildi og eiginvigrar
9.1.1. Nálgun á eigingildum og eiginvigrum
9.1.2. Gróf staðsetning á eigingildum: Skífusetning Gerschgorins
9.1.3. Fylgisetning
9.1.4. Eiginvigragrunnar
9.2. Veldaaðferð
9.2.1. Veldaaðferð
9.2.2. Reiknirit til þess að ákvarða stærsta eigingildi fylkis
9.2.3. Samleitni
9.2.4. Samhverf fylki
9.2.5. Setning um eigingildi og eiginvigra
9.2.6. Dæmi um veldaaðferð
9.3. Andhverf veldaaðferð
9.3.1. Reiknirit til þess að nálga eigingildi og eiginvigra
9.3.2. Dæmi um öfuga veldaaðferð
10. Monte Carlo hermanir
10.1. Inngangur
10.1.1. Nálgun á pi
10.2. Heildi í einni breytistærð
10.2.1. Nálgun á heildi
10.3. Margföld heildi og rúmmál
10.3.1. Margföld heildi
10.3.2. Margföld heildi: Dæmi
10.4. Hermun
10.4.1. Nál Buffons
Viðauki
Kennsluáætlun
Skipulag námskeiðsins
Kennsla
Kennsluefni
Matlab/Octave
Heimadæmi og dæmatímar
Verkefni
Lokapróf
Námsmat
Frágangur heimadæma
Gagnlegir tenglar
Töluleg greining (STÆ405G)
Töluleg greining (STÆ405G), Háskóli Íslands
Edit on GitHub
Töluleg greining (STÆ405G), Háskóli Íslands
Höfundar efnis: Benedikt Magnússon <
bsm
@
hi
.
is
> og Ragnar Sigurðsson <
ragnar
@
hi
.
is
>.
1. Inngangur
1.1. Hvað er töluleg greining?
1.2. Dæmi: Eldflaug
1.3. Samleitni runa
1.4. Setning Taylors
1.5. Skekkjur
1.6. Meira um skekkjur
1.7. Fleytitalnakerfið
2. Núllstöðvar
2.1. Nálgun á núllstöð
2.2. Helmingunaraðferð
2.3. Fastapunktsaðferð
2.4. Sniðilsaðferð
2.5. Aðferð Newtons
2.6. Samanburður á aðferðum
3. Brúun
3.1. Inngangur
3.2. Margliðubrúun: Lagrange-form
3.3. Margliðubrúun: Newton-form
3.4. Samantekt
3.5. Margliðubrúun: Margfaldir punktar
3.6. Skynsamlegir skiptipunktar og Chebyshev margliður
3.7. Skekkjumat
3.8. Splæsibrúun
3.9. Aðferð minnstu fervika
4. Töluleg diffrun
4.1. Inngangur
4.2. Aðferðirnar
4.3. Skekkjumat
4.4. Richardson útgiskun
5. Töluleg heildun
5.1. Aðferðirnar
5.2. Samsettar útgáfur
5.3. Skekkjumat
5.4. Romberg-útgiskun
6. Upphafsgildisverkefni
6.1. Inngangur
6.2. Aðferðir með fasta skrefastærð
6.3. Skekkjumat, samleitni og stöðugleiki
6.4. Aðferðir með breytilega skrefastærð
6.5. Fjölskrefaaðferðir
6.6. Greining á samleitni og stöðugleika
7. Jaðargildisverkefni
7.1. Inngangur
7.2. Dirichlet-jaðarskilyrði
7.3. Neumann og Robin -jaðarskilyrði
8. Jöfnuhneppi
8.1. Línuleg jöfnuhneppi
8.2. Vending (e. pivoting)
8.3. Fylkjastaðall
8.4. Skekkjumat og ástandstala
8.5. LU-þáttun
8.6. Fastapunktsaðferðir fyrir línuleg jöfnuhneppi
8.7. Newton-aðferð fyrir jöfnuhneppi
9. Eigingildisverkefni
9.1. Eigingildi og eiginvigrar
9.2. Veldaaðferð
9.3. Andhverf veldaaðferð
10. Monte Carlo hermanir
10.1. Inngangur
10.2. Heildi í einni breytistærð
10.3. Margföld heildi og rúmmál
10.4. Hermun
Viðauki
Kennsluáætlun
Skipulag námskeiðsins
Kennsla
Kennsluefni
Matlab/Octave
Heimadæmi og dæmatímar
Verkefni
Lokapróf
Námsmat
Frágangur heimadæma
Gagnlegir tenglar
Atriðaskrá