2. Fourier-raðir

2.1. Inngangur

Rifjum upp að ef við höfum grunn af vigrum \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) í \(\mathbb{R}^n\) má rita sérhvern vigur \(y\) sem

\[y = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n\]

þar sem stuðlarnir \(a_1,\ldots,a_n\) eru ótvírætt ákvarðaðir. Við munum nú spyrja okkur spurningarinnar, er hægt að gera eitthvað sambærilegt þegar vigurrúmið er óendanlega vítt, t.d. þegar það samanstendur af föllum. Við þekkjum dæmi um slíkt, þegar rita má óendanlega oft diffranlegt fall \(f\) með Taylor-röð þess

\[f(x) = a_0\cdot 1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots, \qquad \text{þar sem} \quad a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.\]

Í þessum kafla munum við skilgreina svokallaðar Fourier-raðir sem líta svipað út en í stað fallanna \(1,x,x^2,\ldots\) munum við liða lotubundin föll \(f\) í grunn sem samanstendur af hornaföllum (eða jafngilt, veldisvísisföllum), finna formúlur fyrir stuðlunum í framsetningunni og loks skoða hvernig má nota raðirnar við lausn hlutafleiðujafna.

2.1.1. Skilgreining

Skilgreining

Fall \(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) er sagt vera \(T\)-lotubundið ef \(f(x+T) = f(x)\) fyrir öll \(x\in\mathbb{R}\).

2.2. Fourier-raðir

Við munum skoða tilfellið þegar föllin eru lotubundin með lotu \(2\pi\) og sjá hvaða skilyrði tryggja að hægt sé að liða slík föll í grunn sem samanstendur af hornaföllunum \(\sin(nx)\) og \(\cos(nx)\) annars vegar eða \(e^{nix}\) hins vegar, þar sem \(n\geq 0\).

2.2.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(I\subseteq \mathbb{R}\) vera bil.

1. Rúmið \(L^1(I)\) er mengi þeirra falla \(f: I \to \mathbb{C}\) þannig að

\[\int_I |f(x)| dx < \infty.\]

2. Rúmið \(L^2(I)\) er mengi þeirra falla \(f: I \to \mathbb{C}\) þannig að

\[\int_I |f(x)|^2 dx < \infty.\]

Ef \(f\) og \(g\) eru föll í \(L^2(I)\) kallast

\[\langle f, g \rangle = \frac{1}{|I|} \int_I f(x) \overline{g(x)} dx\]

innfeldi þeirra (misjafnt er hvort deilt er með \(|I|\), lengdinni á \(I\), í skilgreiningunni). Ef \(\langle f, g \rangle = 0\) segjum við að \(f\) og \(g\) séu hornrétt.

Athugasemd

\(L^j(I)\), \(j=1,2\) eru vigurrúm, af því að

1. Ef \(f \in L^j(I)\) og \(g \in L^j(I)\) þá er fallið \(f+g \in L^j(I)\)

2. Ef \(f \in L^j(I)\) þá er \(\alpha f \in L^j(I)\), þar sem \(\alpha \in\mathbb R\)

2.2.2. Skilgreining

Skilgreining

Ef \(f \in L^1([-\pi,\pi])\) er \(2\pi\)-lotubundið þá skilgreinum við Fourier-stuðla þess með

\[c_n = c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-inx} f(x) dx, \quad n = \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,\]

Fourier-kósínus-stuðla \(f\) með

\[a_n = a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) dx, \quad n = 0,1,2,\ldots,\]

og Fourier-sínus-stuðla \(f\) með

\[b_n = b_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx, \quad n = 1,2,\ldots.\]

Raðirnar

\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n\geq 1} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right) \quad \text{og} \quad \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\]

kallast Fourier-raðir \(f\) og til aðgreiningar er sú fyrri oft nefnd hornafallaröð \(f\).

\(2\pi\)-lotubundna fallið er skilgreint með því að gefa formúlu fyrir því á bilinu \([0,2\pi]\).

Athugasemd

Þegar \(T\)-lotubundið fall er heildað yfir eina lotu skiptir ekki máli hvar upphafspunktur heildisins er valinn, þ.e.

\[\int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx = \int_\alpha^{\alpha + T}f(x)dx, \quad \text{fyrir öll $\alpha\in\mathbb{R}$.}\]

2.2.3. Setning - Reiknireglur

Reiknireglur

Látum \(f,g\in L^1([-\pi,\pi])\) vera \(2\pi\)-lotubundin föll.

1. Fourier-stuðlarnir eru línulegar varpanir á \(L^1([-\pi,\pi])\),

\[\begin{split}\begin {align*} a_n(\alpha f+\beta g) &= \alpha a_n(f) + \beta a_n(g) \\ b_n(\alpha f+\beta g) &= \alpha b_n(f) + \beta b_n(g) \\ c_n(\alpha f+\beta g) &= \alpha c_n(f) + \beta c_n(g) \end{align*}\end{split}\]

2. Eftirfarandi samband gildir

\[\begin{split}\begin {align*} a_0 &= 2c_0, \qquad a_n = c_n + c_{-n}, \qquad b_n = i(c_n-c_{-n}), \\ c_0 &= \frac{a_0}{2}, \qquad c_n = \frac{1}{2}(a_n-ib_n), \qquad c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n+ib_n), \quad n\geq 1. \end {align*}\end{split}\]

3. Ef \(g(x) = f(x+\alpha)\) , þar sem \(\alpha \in \mathbb{R}\) þá er \(c_n(g) = e^{i n\alpha} c_n(f)\) fyrir öll \(n=0,\pm 1,\pm2,\ldots\).

4. Ef \(f\) er raungilt fall þá eru \(a_n(f)\) og \(b_n(f)\) rauntölur og \(c_{-n}(f) = \overline{c_n(f)}\).

5. Ef \(f\) er jafnstætt fall þá er \(b_n(f) = 0\) fyrir öll \(n=1,2,3,\ldots\) og

\[a_n(f) = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) dx.\]

6 Ef \(f\) er oddstætt fall þá er \(a_n(f) = 0\) fyrir öll \(n=0,1,2,\ldots\) og

\[b_n(f) = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) dx.\]

7. Ef \(f,f',\ldots,f^{(m)}\) eru í \(L_1([-\pi,\pi])\) þá er

\[c_n(f^{(k)}) = (in)^k c_n(f), \quad 0\leq k \leq m, \quad n \in \mathbb{Z}.\]

2.2.4. Skilgreining

Skilgreining

Ef \(f \in L^1([-T/2,T/2])\) er \(T\)-lotubundið þá setjum við \(\omega = 2\pi/T\) og skilgreinum Fourier-stuðla þess með

\[c_n = c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{-in \omega x} f(x) dx, \quad n = \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,\]

Fourier-kósínus-stuðla \(f\) með

\[a_n = a_n(f) = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(n\omega x) dx, \quad n = 0,1,2,\ldots,\]

og Fourier-sínus-stuðla \(f\) með

\[b_n = b_n(f) = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(n\omega x) dx, \quad n = 1,2,\ldots.\]

Raðirnar

\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n\geq 1} \left(a_n \cos(n\omega x) + b_n \sin(n\omega x)\right) \quad \text{og} \quad \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{in\omega x}\]

kallast Fourier-raðir \(f\) og til aðgreiningar er sú fyrri oft nefnd hornafallaröð \(f\).

Athugasemd

Sambærilegar reiknireglur fyrir \(T\)-lotubundin fást út frá reglunum fyrir \(2\pi\)-lotubundin föll, með því að „skipta \(2\pi\) út fyrir \(T\) “ á viðeigandi stöðum.

2.3. Samleitni Fourier-raða

Í þessari grein fjöllum við um skilyrði sem tryggja samleitni Fourier-raða falls og hvenær og í hvaða skilningi fallið er jafnt Fourier-röð sinni. Við munum notast talsvert við innfeldið sem skilgreint er á \(L^2([-\pi,\pi])\) og setjum því fram nokkrar reiknireglur um innfeldi

2.3.1. Reiknireglur um innfeldi

Ef \(u,v,w\in L^2([-\pi,\pi])\) og \(\alpha,\beta \in \mathbb{C}\) þá gilda eftirfarandi reiknireglur

\[\begin{split}\begin{gathered} {{\langle \alpha u + \beta v,w\rangle}}= \alpha{{\langle u,w\rangle}} + \beta {{\langle v,w\rangle}},\\ {{\langle u,\alpha v + \beta w\rangle}}= \overline\alpha {{\langle u,v\rangle}} + \overline \beta {{\langle u,w\rangle}},\\ {{\langle u,v\rangle}} = \overline{{{\langle v,u\rangle}}},\\ {{\langle u,u\rangle}}\geq 0.\end{gathered}\end{split}\]

Síðasta reglan leyfir okkur að skilgreina lengd eða staðal fallsins \(u\) sem

\[\| u\|= \sqrt{{{\langle u,u\rangle}}}.\]

Ein mikilvægasta ójafna stærðfræðinnar er Cauchy-Schwarz ójafnan

2.3.2. Cauchy-Schwarz ójafna

Fyrir \(u,v\in L^2([-\pi,\pi])\) gildir

\[|\langle u,v \rangle| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |u(x)v(x)|dx \leq \| u\|\| v\|.\]

Athugum nú að föllin \(e^{inx}\) og \(e^{imx}\) eru hornrétt ef \(n\neq m\) því þá gildir

\[\langle e^{inx},e^{imx}\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{(n-m)ix} dx = \left[\frac{e^{(n-m)ix}}{i(n-m)}\right]_{-\pi}^\pi = 0.\]

Ef \(n=m\) gildir hins vegar að \(\langle e^{inx},e^{imx}\rangle = 1\).

Ef rita má \(2\pi\)-lotubundið fall \(f\) með röð á forminu

\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\]

og ef víxla má á heildi og óendanlegri summu í eftirfarandi reikningum þá fæst

\[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-imx} dx = \langle f,e^{imx} \rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \langle e^{inx},e^{-imx} \rangle = c_m.\]

Þar með eru stuðlarnir \(c_n\) ótvírætt ákvarðaðir og jafnir Fourier-stuðlum fallsins \(f\) og \(f\) er jafnt Fourier-röð sinni. Í framhaldinu munum við fjalla betur um þessa reikninga og undir hvaða skilyrðum þeir eru rættlætanlegir.

2.3.3. Regla Pýþagórasar

Regla Pýþagórasar

Ef \(u, v\in L^2[-\pi,\pi]\) eru hornrétt, þá er

\[\| u+v\|^2 = \|u\|^2 + \| v\|^2.\]

Nokkuð einfalt er að sanna eftirfarandi ójöfnu.

2.3.4. Bessel-ójafnan

Ef \(f\in L^2([-\pi,\pi])\) er \(2\pi\)–lotubundið og hefur Fourier-stuðla \(c_n=c_n(f)\), þá er

\[\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2 \leq \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\, dx.\]

Losaralegir reikningar leyfa okkur að færa rök fyrir því að sterkari niðurstaða gildir, ójafnan er í raun jafna:

Ef rita má

\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\]

og að því gefnu að víxla megi á óendanlegum summum og heildum í eftirfarandi reikningum þá er

\[\begin{split}\begin {align*} \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\, dx &= \langle f, f\rangle = \langle \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}, \sum_{m=-\infty}^\infty c_m e^{imx}\rangle \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty \sum_{m=-\infty}^\infty c_n \overline{c_m} \langle e^{inx}, e^{imx}\rangle = \sum_{n=-\infty}^\infty \sum_{m=-\infty}^\infty c_n \overline{c_m} \delta_{nm} = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2. \end{align*}\end{split}\]

Táknið \(\delta_{nm}\) sem kallast Kronecker-\(\delta\) og uppfyllir \(\delta_{mn} = 1\) ef \(m=n\) en \(\delta_{mn}=0\) annars. Það er talsvert flóknara að réttlæta þessa niðurstöðu með fullnægjandi hætti en það er hægt og við ræðum niðurstöðuna aftur þegar við fjöllum um Parseval-jöfnuna.

2.3.5. Skilgreining

Skilgreining

Fall \(f\) á \(\mathbb{R}\) er sagt vera samfellt deildanlegt á köflum ef skipta má \(\mathbb{R}\) í endanlega mörg bil með skiptipunktum \(x_1,x_2,\ldots, x_k\) þannig að fallið er samfellt diffranlegt á opnu bilunum \(]x_j,x_{j+1}[\) og afleiðan hefur markgildi frá hægri í vinstri endapunkti bils og markgildi frá vinstri í hægri endapunkti bils. Mengi falla sem eru samfellt deildanleg á köflum er táknað með \(PC^1(\mathbb{R})\).

Við munum skoða föll sem eru \(2\pi\)-lotubundin og tilheyra menginu \(PC^1(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R})\), þ.e. eru samfellt diffranleg á köflum og samfelld. Dæmi um slíkt fall er \(2\pi\)-lotubundna fallið sem er skilgreint með formúlunni \(f(x) = x^2\) á \([-\pi,\pi]\).

2.3.6. Setning

Setning

Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) er \(2\pi\)–lotubundið, þá er \(c_n(f{{^{\prime}}})=inc_n(f)\),

\[\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|< +\infty,\]

og þar með er Fourier–röðin \(\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx}\) samleitin í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\).

Meginniðurstaða þessarar greinar er eftirfarandi setning sem sýnir undir hvaða skilyrðum og í hvaða skilningi fall er jafnt Fourier-röð sinni. Rifjum upp ritháttinn

\[f(x+) = \lim_{y \to x^+} f(y) \quad \text{og} \quad f(x-) = \lim_{y \to x^-} f(y)\]

2.3.7. Setning - Andhverfuformúla Fouriers

Setning

Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\) er \(2\pi\)–lotubundið fall með Fourier–stuðla \(c_n=c_n(f)\), Fourier-kósínus–stuðla \(a_n=a_n(f)\) og Fourier–sínus–stuðla \(b_n=b_n(f)\), þá gildir

\[\begin{split}\begin{aligned} \tfrac 12\big(f(x+)+f(x-)\big) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{inx} = \lim\limits_{N\to+\infty}\sum\limits_{n=-N}^{N} c_ne^{inx}\\ &=\tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n \cos nx + b_n\sin nx\big).\end{aligned}\end{split}\]

Í punktum \(x\) þar sem \(f\) er samfellt gildir \(f(x)=\tfrac 12\big(f(x+)+f(x-)\big)\) og þar með er

\[f(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{inx} =\tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n \cos nx + b_n\sin nx\big).\]

Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\), þá eru raðirnar samleitnar í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\).

Þegar \(2\pi\)-lotubundið fall \(f\in L^2([-\pi,\pi])\) er ósamfellt gildir almennt ekki að það sé jafnt Fourier-röð sinni í ósamfelldnipunktunum. Við getum samt spurt okkur hvort hægt sé að tala um að fallið sé jafnt Fourier-röð sinni í einhverjum öðrum skilningi. Eftirfarandi setning segir okkur að hlutsumman

\[s_N = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{in x}\]

stefnir á fallið \(f\) í staðlinum \(\|\cdot\|\) á \(L^2([-\pi,\pi])\).

2.3.8. Setning - Parseval-jafnan

Setning

Ef \(f\in L^2[-\pi,\pi]\) er \(2\pi\)–lotubundið, þá gildir

\[\|f-s_N\|^2=\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-\sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{in x}|^2\, dx \to 0, \qquad N\to +\infty\]

og af þessu leiðir jafna Parseval

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx,\]

Athugasemd

Mismunurinn \(\|f-\sum_{n=-N}^{N} c^\ast_n e^{in x}\|^2\) nefnist ferskekkja nálgunar \(f\) með \(\sum_{n=-N}^{N} c^\ast_n e^{in x}\). Hægt er að sýna að lágmarks ferskekkja fæst með því að velja stuðlana \(c^\ast_n = c_n(f)\).

2.4. Úrlausn á hlutafleiðujöfnum

Í þessari grein munum við líta á dæmi þar sem hagnýta má Fourier-raðir við lausn jaðargildisverkefna. Byrjum á tveimur mikilvægum skilgreiningum.

Þegar fengist er við ákveðnar tegundir jaðargildisverkefna getur verið gagnlegt að skilgreina lotubundna framlengingu af falli á bili sem annað hvort er oddstæð eða jafnstæð. Með þeim hætti má skilgreina raðir sem uppfylla sjálfkrafa jaðarskilyrðin sem gefin eru.

2.4.1. Jafnstæð framlenging og kósínus-röð

Ef \(L>0\) og \(f: [0,L]\to \mathbb{C}\) er fall á endanlegu bili skilgreinum við jafnstæða \(2L\)-lotubundna framlengingu á \(f\) með því að setja

\[\begin{split}f_J(x)=\begin{cases} f(x), & x\in [0,L],\\ f(-x), & x\in [-L,0],\end{cases}\end{split}\]

og framlengja \(f_J\) í \(2L\)-lotubundið fall.

Mynd 2.1 Jafnstæð framlenging falls \(f:[0,L]\to \mathbb{C}\) í \(2L\) -lotubundið fall \(f_J\).

Fourier-stuðlar \(f_J\) eru gefnir með

\[\begin{split}\begin{aligned} a_n(f_J)&=\dfrac 1L \int_{-L}^L f_J(x)\cos \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f_J(x)\cos \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\cos\dfrac {n\pi}L x \, dx, \qquad n=0,1,2,\dots,\\ b_n(f_J)&=0 \qquad \qquad \qquad\qquad n=1,2,3,\dots.\end{aligned}\end{split}\]

Stuðlarnir \(a_n\) nefnast Fourier–kósínus–stuðlar fallsins \(f\) og röðin

\[\tfrac 12 a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \dfrac {n\pi} L x\]

kallast Fourier–kósínus–röð fallsins \(f\).

2.4.2. Oddstæð framlenging og sínus-röð

Ef \(L>0\) og \(f: [0,L]\to \mathbb{C}\) er fall á endanlegu bili skilgreinum við oddstæða \(2L\)-lotubundna framlengingu á \(f\) með því að setja

\[\begin{split}f_O(x)=\begin{cases} f(x), & x\in ]0,L],\\ 0, & x=0,\\ -f(-x), & x\in ]-L,0[,\end{cases}\end{split}\]

og framlengja \(f_O\) í \(2L\)-lotubundið fall.

Mynd 2.2 Oddstæð framlenging falls \(f:[0,L]\to \mathbb{C}\) í \(2L\) -lotubundið fall \(f_O\).

Fourier-stuðlar \(f_O\) eru gefnir með

\[\begin{split}\begin{aligned} a_n(f_O)&=0 \qquad\qquad\qquad \qquad n=0,1,2,\dots,\\ b_n(f_O)&=\dfrac 1L \int_{-L}^L f_O(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f_O(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx, \qquad n=1,2,\dots.\\\end{aligned}\end{split}\]

Stuðlarnir \(b_n\) nefnast Fourier–sínus–stuðlar fallsins \(f\) og röðin

\[\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \dfrac {n\pi} L x\]

kallast Fourier–sínus–röð fallsins \(f\).

Athugasemd

Hægt er að yfirfæra allar reiknireglur og fræðilegar niðurstöður líkt og t.d. andhverfusetninguna beint á Fourier-kósínus og Fourier-sínus raðir. Vísað er í kennslubók fyrir frekari smáatriði.

2.4.3. Setning

Setning

Látum \(P\) vera margliðu af stigi \(m\) og lítum á jöfnuna

\[P(D)u=(a_mD^m+a_{m-1}D^{m-1}+\cdots+a_1 D +a_0)u=f(x),\]

þar sem \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) er \(T\)–lotubundið fall og setjum \(\omega=2\pi/T\). Ef \(c_n(f)=0\) fyrir öll \(n\) þannig að \(P(in\omega)=0\), þá fæst \(T\)–lotubundin lausn af gerðinni

\[\begin{split}u(x)=\sum_{\substack{n=-\infty\\ P(in\omega)\neq 0}}^{+\infty} \dfrac{c_n(f)} {P(in\omega)} e^{in\omega x}, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\end{split}\]

Eftirfarandi dæmi má finna í kennslubók og þar eru reikningar framkvæmdir í smáatriðum.

2.4.4. Dæmi

Dæmi

Notum Fourier-raðir til að leysa jaðargildisverkefnið

\[u{{^{\prime\prime}}}+{\omega}^2 u=f(x), \qquad u(0)=u(1)=0.\]

Það hefur ótvírætt ákvarðaða lausn fyrir sérhvert \(f\) ef og aðeins ef \({\omega}\) er ekki heiltölumargfeldi af \({\pi}\). Prófum að liða \(u\) í Fourier-sínus-röð en þá eru jaðarskilyrðin uppfyllt.

Lausnin er

\[u(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{f_n}{{\omega}^2-n^2{\pi}^2} \sin (n{\pi}x)\]

þar sem \(f_n\) eru Fourier-sínus-stuðlar fallsins \(f\).

2.4.5. Dæmi - Sveiflandi strengur

Dæmi

Lítum á einvíðan streng af lengd \(L\) sem festur er í báða enda. Táknum frávik hans frá jafnvægi í punkti \(x\) á tíma \(t\) með \(u(x,t)\). Fallið \(u(x,t)\) uppfyllir þá bylgjujöfnuna í einni rúmbreytu ásamt jaðarskilyrðunum

\[\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}- c^2\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}=0, \qquad u(0,t)=u(L,t)=0.\]

Gerum einnig ráð fyrir því að upphafsstaðan og hraðinn séu þekkt

\[u(x,0)=\varphi(x), \qquad {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x), \qquad x\in ]0,L[.\]

Þetta verkefni má leysa með því að liða \(u(x,t)\) í Fourier-sínus–röð með miðað við breytuna \(x\). Þannig eru jaðarskilyrðin sjálfkrafa uppfyllt.

Lausnin verður

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(\varphi_n\cos\big(n{\pi}ct/L\big) + \dfrac{{\psi}_nL}{n{\pi}c} \sin\big(n{\pi}ct/L\big)\bigg) \sin(n{\pi}x/L)\]

þar sem \(\phi_n\) og \(\psi_n\) eru Fourier-sínus-stuðlar fallanna \(\phi\) og \(\psi\).

Lausnina má einnig rita

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n\cos\big(n{\pi}ct/L-{\alpha}_n\big) \sin(n{\pi}x/L)\]

þar sem

\[C_n=\sqrt{\varphi_n^2+({\psi}_nL/n{\pi}c)^2}\]

kallast sveifluvídd og \({\alpha}_n\) kallast fasahliðrun og uppfyllir

\[\cos{\alpha}_n= \varphi_n/C_n, \qquad \sin{\alpha}_n= ({\psi}_nL)/(n{\pi}cC_n).\]

2.4.6. Dæmi - Varmaleiðni

Dæmi

Reiknum út hitastig \(u(x,t)\), í punkti \(x\) á tíma \(t\), í einvíðri stöng af lengd \(L\), sem er einangruð í báðum endapunktunum. Jaðarskilyrðin eru þá að ekkert varmaflæði er í endapunktum stangarinnar, sem þýðir að afleiða hitastigsins er núll í jaðarpunktunum 0 og \(L\). Fallið \(u\) uppfyllir varmaleiðnijöfnuna og við höfum því eftirfarandi jaðargildisverkefni

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{{\partial}t}-{\kappa} \dfrac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2}=f(x,t), &0<x<L, \quad t>0,\\ {\partial}_xu(0,t)={\partial}_xu(L,t)=0, &t>0 \end{cases}\end{split}\]

með upphafsskilyrðinu

\[u(x,0)=\varphi(x), \qquad x\in ]0,L[.\]

Föllin \(f\) og \(\phi\) eru ótiltekin.

Fallið \(u\) er liðað í Fourier-kósínus-röð til þess að jaðarskilyrði séu uppfyllt. Þá má sýna að lausnin er

\[u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} \bigg(\varphi_ne^{-{\kappa}(n{\pi}/L)^2t}+ \int_0^te^{-{\kappa}(n{\pi}/L)^2(t-{\tau})}f_n({\tau})\, d{\tau}\bigg) \cos(n{\pi}x/L)\]

þar sem \(\phi_n\) og \(f_n\) eru Fourier-kósínus-stuðlar fallanna \(\phi\) og \(f\).