10. Dreififöll og veikar lausnir á hlutafleiðujöfnum

10.1. Inngangur

Í þessum stutta kafla kynnumst við örlítið veikum hlutafleiðum, veikum lausnum á hlutafleiðujöfnum og grunnlausnum á hlutafleiðujöfnum. Einnig sjáum við eðlisfræðilega túlkun á Green-föllum fyrir Laplace-virkjann.

10.2. Veik markgildi, veikar afleiður og föll Diracs

10.2.1. Veik markgildi, veikar afleiður og föll Diracs

Í setningu 7.5.2 og fylgisetningu 7.5.4 sáum við að lausnin á verkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} P(D)u=(a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0)u=f(t), &t\in {{\mathbb R}},\\ u(0)=u{{^{\prime}}}(0)=\cdots=u^{(m-1)}(0)=0, \end{cases}\end{split}\]

er gefin með formúlunni

\[u(t)=\int_0^t g(t-{\tau})f({\tau})\, d{\tau},\]

þar sem fallið \(g\) uppfyllir \(P(D)g=0\), \(g(0)=g{{^{\prime}}}(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0,\) og \(g^{(m-1)}(0)=1/a_m\). Nú skulum við athuga hvernig lausnin breytist með \(f\). Látum því \(f_j\) vera runu af samfelldum föllum á \({{\mathbb R}}\) og \(u_j\) vera lausnina á (Link title), sem gefin er með (Link title) með \(f_j\) í hlutverki \(f\). Ef \(f_j\) stefnir á \(f\) í jöfnum mæli á sérhverju takmörkuðu bili á \({{\mathbb R}}\), þá fáum við með því að skipta á heildi og markgildi að

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{j\to +{\infty}}u_j(t)&= \lim_{j\to +{\infty}} \int_0^tg(t-{\tau})f_j({\tau})\, d{\tau}\\ &=\int_0^tg(t-{\tau})\lim_{j\to +{\infty}}f_j({\tau})\, d{\tau}\\ &=\int_0^tg(t-{\tau})f({\tau})\, d{\tau}=u(t).\end{aligned}\end{split}\]

Það er raunar auðvelt að sannfæra sig um að \(u^{(k)}\to u^{(k)}\) í jöfnum mæli á sérhverju takmörkuðu bili á \({{\mathbb R}}\) ef \(0\leq k\leq m\).

Nú ætlum við að sjá hvað gerist ef við stingum ósamfelldu falli \(f\) inn í lausnarformúluna Link title. Til þess að einfalda útreikninga okkar þá skilgreinum við fallið \(E\) með

\[\begin{split}E(t)=H(t)g(t)=\begin{cases} g(t), &t\geq 0,\\ 0, &t<0,\end{cases}\end{split}\]

þar sem \(H\) táknar Heaviside-fallið

\[\begin{split}H(t)=\begin{cases} 1, &t\geq 0,\\ 0, &t<0,\end{cases}\end{split}\]
Heaviside-fallið

Mynd: Heaviside-fallið

Í því tilfelli að \(f(t)=0\) ef \(t<0\), þá er lausnarformúlan (Link title) ekkert annað en

\[u=E\ast f,\]

þar sem \({\varphi}\ast {\psi}\) táknar földun tveggja falla \({\varphi}\) og \({\psi}\),

\[{\varphi}\ast {\psi}(x)=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} {\varphi}(x-y){\psi}(y)\, dy.\]

Földun er ein af undirstöðuaðgerðunum í fallafræði og hún mun oft koma fyrir hjá okkur. Í útleiðslu okkar á lausnarformúlunni (Link title) gengum við út frá því að hægri hlið jöfnunnar \(f\) væri samfellt fall. Í margs konar útreikningum vilja menn setja inn föll sem eru ósamfelld. Lítum á eitt slíkt dæmi:

10.2.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Deyfðsveifla; framhald

Áður en við getum alhæft fallshugtakið þurfum við að innleiða nokkur ný hugtök. Ef \({\varphi}\) er samfellt fall á opnu hlutmengi \(X\) af \({{\mathbb R}}\), þá nefnist minnsta lokaða mengi sem inniheldur \(\{x\in X; {\varphi}(x)\neq 0\}\) stoðen: support.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins \({\varphi}\) og hún er táknuð með \({{\text{supp}\, }}{\varphi}\). Hlutmengi af \({{\mathbb R}}\) sem er bæði lokað og takmarkað er sagt vera þjappað. Við látum \(C_0^k(X)\), þar sem \(0\leq k\leq {\infty}\), tákna mengi allra \(k\) sinnum samfellt deildanlegra falla á \({{\mathbb R}}\) sem hafa þjappaða stoð í \(X\). Þetta er línulegt hlutrúm í \(C^k({{\mathbb R}})\). Rúmið \(C_0^{\infty}(X)\) er oft táknað með \({\cal D}(X)\) og stök þess eru oft nefnd prófunarföllen: test function.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Nú skulum við líta á fall \(f\) sem er heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\). Það skilgreinir á eðlilegan hátt línulega vörpun

\[u_f:C_0^{\infty}(X)\to {{\mathbb C}}, \qquad u_f({\varphi})=\int_Xf(x){\varphi}(x)\, dx.\]

Athugið að einungis er heildað yfir þjappað hlutmengi af \(X\), því sérhvert fall \({\varphi}\) í \(C_0^{\infty}(X)\) er \(0\) alls staðar nema á þjöppuðu hlutmengi. Ef við skilgreinum margfeldið \(f(x){\varphi}(x)\) sem \(0\) fyrir utan \({{\text{supp}\, }}{\varphi}\), þá breytist heildið ekki þó við skrifum \(\int_{-{\infty}}^{+{\infty}}\) í stað \(\int_X\). Það er einmitt með því að líta á þessar línulegu varpanir, sem okkur tekst að alhæfa fallshugtakið og þar með að gefa föllum eins og \({\delta}\) í (Link title) merkingu.

10.2.1.2. Skilgreining

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb R}}\). Línuleg vörpun

\[u:C_0^{\infty}(X)\to {{\mathbb C}}\]

nefnist dreififallen: cumulative distribution function.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á \(X\) ef hún er samfelld í þeim skilningi að

\[u({\varphi}_j)\to u({\varphi}), \qquad j\to +{\infty},\]

þar sem föllin \({\varphi}_j\) hafa öll stoð í sama þjappaða hlutmenginu \(K\) í \(X\) og \({\varphi}_j^{(k)}\to {\varphi}^{(k)}\) í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\) fyrir öll \(k=0,1,2\dots\). Mengi allra dreififalla á \(X\) táknum við með \({{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\).


Þessi skilgreining kann að virðast erfið við fyrstu sýn, en í flestum dæmum sem við tökum er auðvelt að staðfesta að (Link title) gildi. Þannig er línulega vörpunin \(u_f\) í (Link title) dreififall, því

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{j\to+{\infty}} u_f({\varphi}_j)&= \lim_{j\to+{\infty}} \int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\varphi}_j(x)\, dx\\ &=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x)\lim_{j\to+{\infty}}{\varphi}_j(x)\, dx\\ &=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\varphi}(x)\, dx=u_f({\varphi}),\end{aligned}\end{split}\]

því við megum skipta á heildi og markgildi, þegar við höfum samleitni í jöfnum mæli. Athugum að tvö föll \(f\) og \(g\) skilgreina sama dreififallið, \(u_f=u_g\), ef

\[u_f({\varphi})=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\varphi}(x)\, dx =\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} g(x){\varphi}(x)\, dx=u_g({\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X).\]

Þetta þýðir samt ekki að \(f(x)=g(x)\) í sérhverjum punkti \(x\in X\), því þessi heildi breytast ekki, þó gildum fallanna \(f\) og \(g\) sé breytt í einstaka punktum.

\({{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\) er greinilega línulegt rúm, þar sem summa tveggja dreififalla \(u\) og \(v\) er skilgreind með

\[\big(u+v\big)({\varphi})=u({\varphi})+v({\varphi}),\]

og margfeldi tölunnar \({\alpha}\in {{\mathbb C}}\) og \(u\) er skilgreint með

\[\big({\alpha}u\big)({\varphi})={\alpha}u({\varphi}).\]

Ef \({\psi}\in C^{\infty}(X)\), þá skilgreinum við margfeldi \({\psi}\) og \(u\) með

\[\big({\psi}u)({\varphi})=u({\psi}{\varphi}).\]

Þetta er eðlileg alhæfing á margföldun fallanna \(f\) og \({\psi}\), því

\[\big({\psi}u_f\big)({\varphi}) =u_f({\psi}{\varphi}) =\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\psi}(x){\varphi}(x)\, dx = u_{f{\psi}}({\varphi}).\]

10.2.1.3. Skilgreining

Látum \(a\in {{\mathbb R}}\) og skilgreinum \({\delta}_a\) með

\[{\delta}_a({\varphi})={\varphi}(a),\]

þar sem \({\varphi}\) er samfellt í einhverri grennd um \(a\). Greinilega er \({\delta}_a\) dreififall á sérhverju opnu mengi sem inniheldur \(a\) og það nefnist \({\delta}\)-fall Diracs í punktinum \(a\) eða Dirac-delta-fall í punktinum \(a\). Ef \(a=0\), þá skrifum við aðeins \({\delta}\) í stað \({\delta}_0\).


Í mörgum bókum er \({\delta}\)-fall Diracs skilgreint, sem fallið sem uppfyllir skilyrðin

\[\begin{split}\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} {\delta}_a(t)\, dt=1, \qquad \text{ og } \qquad {\delta}_a(t)=\begin{cases} +{\infty}, &t=a,\\ 0, & t\neq a.\end{cases}\end{split}\]

Eins og við gátum um í sýnidæmi Link title, þá fá þessi skilyrði ekki staðist saman, því síðara skilyrðið hefur í för með að heildið er \(0\). Hins vegar er rétt að muna eftir þessum tveimur skilyrðum, þegar verið er að túlka niðurstöður útreikninga með dreififöllum, þar sem \({\delta}\)-föll koma fyrir.

10.2.1.4. Skilgreining

Látum \(u_j\) vera runu í \({{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\). Við segjum að \(u_j\) stefni á \(u\in {{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\) og táknum það með \(u_j\to u\) og \(\lim_{j\to +{\infty}}u_j=u\), ef

\[\lim_{j\to +{\infty}} u_j({\varphi})=u({\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X).\]

Ef öll dreififöllin \(u_j\) eru af gerðinni \(u_{f_j}\), þar sem \(f_j\) eru heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\), þá segjum við að \(f_j\) stefni á \(u\) í veikum skilningi eða að \(f_j\) stefni á \(u\) í skilningi dreififalla. Þetta þýðir að

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f_j(x){\varphi}(x)\, dx \to u({\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X),\]

og við táknum þessa samleitni einnig með \(f_j\to u\) og \(\lim_{j\to+{\infty}} f_j=u\).


Ef \(u_{\varepsilon}\) eru dreififöll sem háð eru breytunni \({\varepsilon}\in {{\mathbb R}}\) þá skilgreinum við \(\lim_{{\varepsilon}\to 0}u_{\varepsilon}\) með hliðstæðum hætti. Sama er að segja um \(\lim_{t\to +{\infty}}u_t\) ef \(u_t\) eru dreififöll sem háð eru samfelldu breytunni \(t\) og \(t\) stefnir á \(+{\infty}\). Það er enginn vandi að finna runur af föllum sem stefna á \({\delta}_a\):

10.2.1.5. Setning

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé heildanlegt fall á \({{\mathbb R}}\), að \(\int_{-{\infty}}^{+{\infty}}f(x)\, dx=1\) og skilgreinum \(f_{\varepsilon}(x)={\varepsilon}^{-1}f((x-a)/{\varepsilon})\). Þá stefnir \(f_{\varepsilon}\) á \({\delta}_a\) í skilningi dreififalla ef \({\varepsilon}\to 0\).

10.2.1.6. Sönnun

Sýna sönnun

10.2.1.7. Setning

Ef \(f_{\varepsilon}\) er fjölskylda af föllum á \({{\mathbb R}}\), \(0<{\varepsilon}<{\varepsilon}_0\), og \(f_{\varepsilon}\to {\delta}\) í veikum skilningi, þá gildir

\[\lim\limits_{{\varepsilon}\to 0} f_{\varepsilon}\ast {\varphi}(x) ={\varphi}(x), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}}), \quad x\in {{\mathbb R}}.\]

10.2.1.8. Sönnun

Sýna sönnun

10.2.1.9. Setning

Ef \(a\) er punktur í opna menginu \(X\subset {{\mathbb R}}\) og \({\psi}\in C^{\infty}(X)\), þá er \({\psi}{\delta}_a={\psi}(a){\delta}_a\), þ.e. aðgerðin að margfalda \({\delta}_a\) með fallinu \({\psi}\) er sú sama og að margfalda \({\delta}_a\) með tvinntölunni \({\psi}(a)\).

10.2.1.10. Sönnun

Sýna sönnun

10.2.1.11. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Deyfð sveifla;framhald

Látum nú \(f\in C^1({{\mathbb R}})\) og lítum á dreififallið \(u_{f{{^{\prime}}}}\). Það uppfyllir

\[\begin{split}\begin{aligned} u_{f{{^{\prime}}}}({\varphi})&= \int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f{{^{\prime}}}(x){\varphi}(x)\, dx\\ &=\bigg[f(x){\varphi}(x)\bigg]_{-{\infty}}^{+{\infty}} -\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\varphi}{{^{\prime}}}(x)\, dx\\ &=-\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x){\varphi}{{^{\prime}}}(x)\, dx =-u_f({\varphi}{{^{\prime}}}).\end{aligned}\end{split}\]

Nú er ljóst að \({\varphi}\mapsto -u_f({\varphi}{{^{\prime}}})\) er línuleg vörpun og að hún skilgreinir dreififall. Ef \(f\in C^k({{\mathbb R}})\), þá fáum við með ítrekaðri hlutheildun að

\[u_{f^{(k)}}({\varphi})=(-1)^ku_f({\varphi}^{(k)}).\]

Þessa formúlu leggjum við til grundvallar á skilgreiningu á afleiðum dreififalla:

10.2.1.12. Skilgreining

Látum \(u\in {{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\) vera dreififall á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb R}}\). Þá er afleiða þess \(u{{^{\prime}}}\) skilgreind sem dreififallið

\[u{{^{\prime}}}({\varphi})=-u({\varphi}{{^{\prime}}}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X),\]

og fyrir sérhverja heiltölu \(k>0\) skilgreinum við \(k\)-tu afleiðuna \(u^{(k)}\) af \(u\) sem dreififallið

\[u^{(k)}({\varphi})=(-1)^k u({\varphi}^{(k)}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X).\]

Ef \(u=u_f\), þar sem fallið \(f\) er heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\), þá nefnist \((u_f){{^{\prime}}}\) veika afleiðan af \(f\) eða afleiða \(f\) í skilningi dreififalla og við skrifum þá \(f{{^{\prime}}}\) í stað \((u_f){{^{\prime}}}\), þegar ekki er um að villast að átt er við veiku afleiðuna.


Eins og fram hefur komið, þá er veika \(k\)-ta afleiðan af \(f\in C^k(X)\) ekkert annað en dreififallið sem \(f^{(k)}\) skilgreinir, þ.e.a.s.

\[(u_f)^{(k)}=u_{f^{(k)}},\]

og því getum við litið á afleiður dreififalla sem alhæfingu á afleiðum venjulegra falla.

10.2.1.13. Sýnidæmi

Sýna dæmi

10.2.1.14. Setning

Ef \(u\in {{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\) og \({\psi}\in C^{\infty}(X)\) þá gildir regla Leibniz

\[\big({\psi}u){{^{\prime}}}={\psi}{{^{\prime}}}u+{\psi}u{{^{\prime}}}\]

10.2.1.15. Sönnun

Sýna sönnun

10.2.1.16. Setning

Látum \(f\in PC^1(X)\), þar sem \(X\) er opið hlutmengi í \({{\mathbb R}}\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé deildanlegt alls staðar á \(X\) nema í punktunum \(a_1,a_2,\dots,a_N\). Látum \(f{{^{\prime}}}(x)\) vera skilgreint sem afleiðuna af \(f\) í punktum, þar sem \(f\) er deildanlegt, og gerum ráð fyrir að \(f{{^{\prime}}}\) taki einhver önnur gildi í punktunum \(a_j\). Þá er

\[\big(u_f\big){{^{\prime}}}= u_{f{{^{\prime}}}} + \sum_j \big(f(a_j+)-f(a_j-)\big) {\delta}_{a_j}.\]

Ef \(f\in PC^1(X)\cap C(X)\), þá er

\[\big(u_f\big){{^{\prime}}}= u_{f{{^{\prime}}}}.\]

10.2.1.17. Sönnun

Sýna sönnun

10.2.1.18. Sýnidæmi

Sýna dæmi

10.2.1.19. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Nú þegar við höfum skilgreint afleiður af dreififöllum, þá getum við skilgreint afleiðuvirkjann \(D^k\) sem úthlutar dreififallinu \(u\) afleiðunni \(u^{(k)}\), \(D^ku=u^{(k)}\). Í framhaldi af því getum við síðan skilgreint línulega afleiðuvirkja

\[\begin{split}\begin{aligned} P(D)u&=\big(a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0\big)u \\ &=a_mu^{(m)}+\cdots+a_1u{{^{\prime}}}+a_0u\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

og myndað afleiðujöfnur fyrir dreififöll

\[P(D)u=f,\]

þar sem \(f\) er gefið dreififall. Stuðlarnir \(a_j\) geta staðið fyrir tvinntölur eða jafnvel föll í \(C^{\infty}(X)\). Dreififallalausn er síðan \(u\in {{\mathbb D}}{{^{\prime}}}(X)\) sem uppfyllir jöfnuna.

10.2.1.20. Skilgreining

Látum \(P(D)\) vera afleiðuvirkja með fastastuðla. Dreififall \(u\) sem uppfyllir jöfnuna

\[P(D)u={\delta}\]

nefnist grunnlausnen: basic solution.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
afleiðuvirkjans \(P(D)\).

10.2.1.21. Sýnidæmi

Sýna dæmi: RLC-rás; framhald

10.2.1.22. Setning

Látum \(P({\lambda})=a_m{\lambda}^m+\cdots+a_1{\lambda}+a_0\) vera margliðu með tvinntölustuðla og \(a_m\neq 0\). Látum \(G\) tákna Green-fall virkjans \(P(D)\), \(G(t,{\tau})=g(t-{\tau})\), þar sem \(g\) er fallið sem uppfyllir \(P(D)g=0\), \(g(0)=g{{^{\prime}}}(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0\) og \(g^{(m-1)}(0)=1/a_m\). Þá er fallið \(E=H\cdot g\) grunnlausn virkjans \(P(D)\).

10.2.1.23. Sönnun

Sýna sönnun

Í setningu 14.6.4 voru sett fram fjögur skilyrði, sem einkenna Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið

\[P(x,D)u=f, \qquad Bu=0.\]

Með samskonar útreikningum og í sönnuninni á Link title fáum við að skilyrðin (i)-(iii) gefa

\[P(x,D_x)G_B(x,{\xi})={\delta}_{\xi}, \qquad {\xi}\in ]a,b[,\]

og skilyrðið (iv) gefur síðan að \(G_B(x,{\xi})\) sem fall af \(x\) er lausnin á jaðargildisverkefninu

\[P(x,D)u={\delta}_{\xi}, \qquad Bu=0.\]

10.3. Veik markgildi og \({\delta}\)-föll Diracs

10.3.1. Veik markgildi og \({\delta}\)-föll Diracs

Í grein 20.2 sáum við fyrst skilgreiningu og túlkun á Dirac-fallinu \({\delta}_a\). Það á sér hliðstæða skilgreiningu í hærri víddum.

10.3.1.1. Skilgreining

Látum \(a\in {{\mathbb R}}^n\) og skilgreinum \({\delta}_a\) með

\[{\delta}_a({\varphi})={\varphi}(a),\]

þar sem \({\varphi}\) er samfellt í einhverri grennd um \(a\). Við getum litið á \({\delta}_a\) sem línulega vörpun \(C(X)\to {{\mathbb C}}\) á sérhverju opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\) sem inniheldur \(a\). Vörpunin \({\delta}_a\) nefnist \({\delta}\)-fall Diracs í punktinum \(a\) eða Dirac-delta-fall í punktinum \(a\). Ef \(a=0\), þá skrifum við aðeins \({\delta}\) í stað \({\delta}_0\).


Dirac-fallið \({\delta}_a\) er oft skilgreint í bókum, sem fallið á \({{\mathbb R}}^n\) sem uppfyllir

\[\begin{split}{\delta}_a(x)= \begin{cases} +{\infty}, &x=a,\\ 0, &x\neq a,\end{cases} \qquad \text{ og } \qquad \int_{{{\mathbb R}}^n}{\delta}_a(x)\, dx=1.\end{split}\]

Alveg eins og í einvíða tilfellinu fá þessi skilyrði ekki staðist stærðfræðilega, því fall sem skilgreint er með fyrri formúlunni hefur heildi jafnt \(0\), sem stangast á við síðara skilyrðið. Þess vegna er \({\delta}\)-fall ekki fall í venjulegum skilningi og við verðum að notast við skilgreininguna Link title. Hins vegar er gott að muna eftir skilyrðunum (Link title) þegar verið er að framkvæma og túlka útreikninga.

Hugtakið dreififall er skilgreint eins og í einvíða tilfellinu, en áður en við getum sett skilgreininguna fram þurfum við að innleiða nokkur ný hugtök. Ef \({\varphi}\) er samfellt fall á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\), þá nefnist minnsta lokaða mengi sem inniheldur \(\{x\in X; {\varphi}(x)\neq 0\}\) stoð fallsins \({\varphi}\) og hún er táknuð með \({{\text{supp}\, }}{\varphi}\). Hlutmengi af \({{\mathbb R}}^n\) sem er bæði lokað og takmarkað er sagt vera þjappað. Við látum \(C_0^k(X)\), þar sem \(0\leq k\leq {\infty}\), tákna mengi allra \(k\) sinnum samfellt deildanlegra falla á \({{\mathbb R}}^n\) sem hafa þjappaða stoð í \(X\). Þetta er línulegt hlutrúm í \(C^k({{\mathbb R}}^n)\). Rúmið \(C_0^{\infty}(X)\) er oft táknað með \({\cal D}(X)\) og stök þess eru oft nefnd prófunarföll.

Nú skulum við líta á fall \(f\) sem er heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\). Það skilgreinir á eðlilegan hátt línulega vörpun

\[u_f:C_0^{\infty}(X)\to {{\mathbb C}}, \qquad u_f({\varphi})=\int_Xf(x){\varphi}(x)\, dx.\]

Athugið að einungis er heildað yfir þjappað hlutmengi af \(X\), því sérhvert fall \({\varphi}\) í \(C_0^{\infty}(X)\) er \(0\) alls staðar nema á þjöppuðu hlutmengi. Ef við skilgreinum margfeldið \(f(x){\varphi}(x)\) sem \(0\) fyrir utan \({{\text{supp}\, }}{\varphi}\), þá breytist heildið ekki þó við skrifum \(\int_{{{\mathbb R}}^n}\) í stað \(\int_X\). Nú kemur skilgreiningin óbreytt frá einvíða tilfellinu:

10.3.1.2. Skilgreining

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb R}}^n\). Línuleg vörpun

\[u:C_0^{\infty}(X)\to {{\mathbb C}}\]

nefnist dreififall á \(X\) ef hún er samfelld í þeim skilningi að

\[u({\varphi}_j)\to u({\varphi}), \qquad j\to +{\infty},\]

fyrir sérhverja runu \({\varphi}_j\) í \(C_0^{\infty}(X)\), þar sem föllin \({\varphi}_j\) hafa öll stoð í sama þjappaða hlutmenginu \(K\) í \(X\) og um sérhvern hlutafleiðuvirkja \({\partial}^{\alpha}\) gildir að \({\partial}^{\alpha}{\varphi}_j\to {\partial}^{\alpha}{\varphi}\) í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}^n\). Mengi allra dreififalla á \(X\) táknum við með \({\cal D}'(X)\). Við skrifum einnig \({{\langle u,\varphi\rangle}}\) í staðinn fyrir \(u({\varphi})\).


Dirac-föll koma oft fyrir sem veik markgildi af föllum, þar sem hugtakið veik samleitni er skilgreint eins og í einni vídd:

10.3.1.3. Skilgreining

Látum \(u_j\) vera runu í \({\cal D}'(X)\). Við segjum að \(u_j\) stefni á \(u\in {\cal D}'(X)\), og táknum það með \(u_j\to u\) og \(\lim_{j\to +{\infty}}u_j=u\), ef

\[\lim_{j\to +{\infty}} u_j({\varphi})=u({\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X).\]

Ef öll dreififöllin \(u_j\) eru af gerðinni \(u_{f_j}\), þar sem \(f_j\) er heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\), þá segjum við að \(f_j\) stefni á \(u\) í veikum skilningi eða að \(f_j\) stefni á \(u\) í skilningi dreififalla. Þetta þýðir að

\[\int_{{{\mathbb R}}^n} f_j(x){\varphi}(x)\, dx \to u({\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X),\]

og við táknum þessa samleitni einnig með \(f_j\to u\) og \(\lim_{j\to+{\infty}} f_j=u\).


Ef \(u_{\varepsilon}\) eru dreififöll sem háð eru breytunni \({\varepsilon}\in {{\mathbb R}}\) þá skilgreinum við \(\lim_{{\varepsilon}\to 0}u_{\varepsilon}\) með hliðstæðum hætti. Sama er að segja um \(\lim_{t\to +{\infty}}u_t\) ef \(u_t\) eru dreififöll sem háð eru samfelldu breytunni \(t\).

10.3.1.4. Setning

Ef \(f_{\varepsilon}\to {\delta}_0\), þá gildir

\[\lim\limits_{{\varepsilon}\to 0} f_{\varepsilon}\ast {\varphi}(x) ={\varphi}(x), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}}^n), \quad x\in {{\mathbb R}}^n.\]

10.3.1.5. Sönnun

Sýna sönnun

Auðvelt er að finna föll sem stefna á \({\delta}\)-föll í veikum skilningi:

10.3.1.6. Setning

Látum \(f\) vera heildanlegt fall á \({{\mathbb R}}^n\) með heildi jafnt \(1\) og setjum \(f_{\varepsilon}(x)={\varepsilon}^{-n}f(x/\varepsilon)\). Þá stefnir \(f_{\varepsilon}\) á \({\delta}_0\) í veikum skilningi ef \({\varepsilon}\to 0\).

10.3.1.7. Sönnun

Sýna sönnun

10.3.1.8. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðnikjarninn

10.3.1.9. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Poisson-kjarninn á efra hálfplaninu

Snúum okkur nú að eðlisfræðilegum líkönum, þar sem \({\delta}\)-föll koma fyrir á náttúrulegan hátt:

10.3.1.10. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Massaþéttleiki, þyngdarmætti

10.3.1.11. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Hleðsluþéttleiki, rafstöðumætti

10.4. Veikar afleiður og grunnlausnir

10.4.1. Veikar afleiður og grunnlausnir

Látum nú \(f\in C^1({{\mathbb R}}^n)\) og lítum á dreififallið \(u_{{\partial}_jf}\). Með því að hlutheilda með tilliti til breytistærðarinnar \(x_j\), þá fáum við

\[u_{{\partial}_jf}({\varphi})= \int_{{{\mathbb R}}^n} {\partial}_jf(x){\varphi}(x)\, dx =-\int_{{{\mathbb R}}^n} f(x){\partial}_j{\varphi}(x)\, dx =-u_f({\partial}_j{\varphi}).\]

Nú er ljóst að \({\varphi}\mapsto -u_f({\partial}_j{\varphi})\) er línuleg vörpun og að hún skilgreinir dreififall. Ef \(f\in C^k({{\mathbb R}}^n)\), þá fáum við með ítrekaðri hlutheildun að

\[u_{{\partial}^{\alpha}f}({\varphi}) =(-1)^{|{\alpha}|}u_f({\partial}^{\alpha}{\varphi}).\]

Þessa formúlu leggjum við til grundvallar á skilgreiningu á afleiðum dreififalla:

10.4.1.1. Skilgreining

Látum \(u\) vera dreififall á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\). Þá er hlutafleiða þess \({\partial}_ju\) skilgreind með

\[{\partial}_ju({\varphi})=-u({\partial}_j{\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X),\]

og fyrir sérhvert fjölnúmer \({\alpha}\) skilgreinum við afleiðuna \({\partial}^{\alpha}u\) af \(u\) sem dreififallið

\[{\partial}^{\alpha}u({\varphi}) =(-1)^{|{\alpha}|} u({\partial}^{\alpha}{\varphi}), \qquad {\varphi}\in C_0^{\infty}(X).\]

Ef \(u=u_f\), þar sem fallið \(f\) er heildanlegt á sérhverju þjöppuðu hlutmengi af \(X\), þá nefnist \({\partial}^{\alpha}(u_f)\) veika \({\alpha}\) hlutafleiðan af \(f\) eða \({\alpha}\) hlutafleiða \(f\) í skilningi dreififalla og við skrifum þá \({\partial}^{\alpha}f\) í stað \({\partial}^{\alpha}(u_f)\), þegar ekki er um að villast að átt er við veiku hlutafleiðuna.


Eins og fram hefur komið, þá er veika \({\alpha}\) hlutafleiðan af \(f\in C^k(X)\) ekkert annað en dreififallið sem \({\partial}^{\alpha}f\) skilgreinir, þ.e.a.s.

\[{\partial}^{\alpha}(u_f)=u_{{\partial}^{\alpha}f},\]

og því getum við litið á hlutafleiður dreififalla sem alhæfingu á afleiðum venjulegra falla.

Við skilgreinum síðan hlutafleiðuvirkjann \({\partial}^{\alpha}\), en hann úthlutar dreififallinu \(u\) hlutafleiðunni \({\partial}^{\alpha}u\). Í framhaldi af því getum við síðan skilgreint línulega hlutafleiðuvirkja

\[P({\partial})= \sum\limits_{|{\alpha}|\leq m} a_{\alpha}{\partial}^{\alpha}\]

og myndað afleiðujöfnur fyrir dreififöll

\[P({\partial})u=f,\]

þar sem \(f\) er gefið dreififall. Stuðlarnir \(a_{\alpha}\) geta staðið fyrir tvinntölur eða jafnvel föll í \(C^{\infty}(X)\). Dreififallalausn eða veik lausn er síðan \(u\in {\cal D}'(X)\) sem uppfyllir jöfnuna.

10.4.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Veikar lausnir bylgjujöfnunnar

10.4.1.3. Skilgreining

Látum \(P({\partial})\) vera afleiðuvirkja með fastastuðla. Dreififall \(E\) sem uppfyllir jöfnuna

\[P({\partial})E={\delta}\]

nefnist grunnlausn afleiðuvirkjans \(P({\partial})\).


Grunnlausnir hlutafleiðuvirkja eru mjög mikilvægar vegna þess að með þeim er hægt að ákvarða sérlausnir. Til þess að sjá það skulum við athuga að ef \({\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}}^n)\), þá er

\[{\partial}^{\alpha} u({\varphi}) ={{\langle {\partial}^{\alpha}u,\varphi\rangle}} =(-1)^{|{\alpha}|}{{\langle u,{\partial}^{\alpha}{\varphi}\rangle}} ={{\langle u,(-{\partial})^{\alpha}{\varphi}\rangle}}\]

og þar með er

\[{{\langle P({\partial})u,\varphi\rangle}} ={{\langle \sum a_{\alpha} {\partial}^{\alpha}u,\varphi\rangle}} ={{\langle u,\sum a_{\alpha} \big(-{\partial}\big)^{\alpha}{\varphi}\rangle}} ={{\langle u,P(-{\partial}){\varphi}\rangle}}.\]

Athugum nú að fyrir fall \(F\), sem er heildanlegt á þjöppuðum hlutmengjum í \({{\mathbb R}}^n\) er földunin \(F\ast {\varphi}\) vel skilgreind ef \({\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}}^n)\) með formúlunni

\[F\ast {\varphi}(x)=\int_{{{\mathbb R}}^n} F(y){\varphi}(x-y)\, dy\]

og greinilegt er að \(F\ast {\varphi}\in C^{\infty}({{\mathbb R}}^n)\), því við megum taka afleiður með tilliti til \(x\) undir heildið. Við fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} P({\partial}) \, F\ast {\varphi}(x) &=\int_{{{\mathbb R}}^n} F(y) P({\partial}_x){\varphi}(x-y)\, dy\\ &=\int_{{{\mathbb R}}^n} F(y) P(-{\partial}_y){\varphi}(x-y)\, dy\\ &={{\langle u_F,P(-{\partial}){\varphi}(x-\cdot)\rangle}}\\ &={{\langle P({\partial})u_F,{\varphi}(x-\cdot)\rangle}}.\end{aligned}\end{split}\]

Hér táknar \(P(-{\partial}){\varphi}(x-\cdot)\) að hlutafleiðuvirkinn \(P(-{\partial})\) er látinn verka á \({\varphi}(x-y)\) með tilliti til \(y\). Ef dreififallið \(E=u_F\) er grunnlausn hlutafleiðuvirkjans \(P({\partial})\), þá fáum við

\[P({\partial}) \, F\ast {\varphi}(x) ={{\langle P({\partial})u_F,{\varphi}(x-\cdot)\rangle}} ={{\langle \delta,{\varphi}(x-\cdot)\rangle}}={\varphi}(x).\]

Þar með er \(u=F\ast {\varphi}\) lausn á hliðruðu jöfnunni \(P({\partial})u={\varphi}\).

10.4.1.4. Skilgreining

Ef \(u\in {\cal D}'({{\mathbb R}}^n)\) og \({\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}}^n)\), þá skilgreinum við földun \(u\) og \({\varphi}\) með formúlunni

\[u\ast {\varphi}(x)=u({\varphi}(x-\cdot))={{\langle u,{\varphi}(x-\cdot)\rangle}}.\]

Það er ekki erfitt að sýna fram á að \(u\ast {\varphi}\in C^{\infty}({{\mathbb R}}^n)\). Ef \(E\in {\cal D}'({{\mathbb R}}^n)\) er grunnlausn hlutafleiðuvirkjans \(P({\partial})\), þá er \(u=E\ast {\varphi}\) sérlausn jöfnunnar \(P({\partial})u={\varphi}\). Þegar eiginleikar grunnlausnarinnar \(E\) eru þekktir þá er oft hægt að skipta á fallinu \({\varphi}\) og falli \(f\) sem er ekki eins oft deildanlegt og \({\varphi}\) og jafnvel ekki með þjappaða stoð, þannig að \(u=E\ast f\) sé vel skilgreind lausn á \(P({\partial})u=f\).

10.5. Grunnlausn bylgjuvirkjans

Í setningu 18.5.1 er að finna lausn einvíðu bylgjujöfnunnar \({\partial}_t^2-c^2{\partial}_x^2u=f\) með upphafsskilyrðum \(u(x,0)={\varphi}(x)\) og \({\partial}_tu(x,0)={\psi}(x)\). Hún er gefin með d’Alembert-formúlunni

\[u(x,t)={\partial}_t\big(E_t\ast {\varphi}\big)(x)+ E_t\ast {\psi}(x)+E\ast f(x,t),\]

þar sem fallið \(E\) er gefið með

\[\begin{split}E(x,t)=\dfrac 1{2c} H(ct-x)H(ct+x)= \begin{cases} 1/2c, &|x|\leq ct,\\ 0, &|x|>ct.\end{cases}\end{split}\]

Þetta fall reynist vera grunnlausn bylgjuvirkjans. Til þess að staðfesta það, þurfum við að sýna að

\[{{\langle \big(\partial_t^2-c^2\partial_x^2\big)E,\varphi\rangle}} ={{\langle E,\big(\partial_t^2-c^2\partial_x^2\big)\varphi\rangle}}=\varphi(0,0), \qquad \varphi\in C_0^\infty({{\mathbb R}}^2).\]

Við notum nú sama rithátt og í grein 18.2, skiptum yfir í kennihnit og fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle \big(\partial_t^2-c^2\partial_x^2\big)E,\varphi\rangle}} &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac 1{2c}H(ct-x)H(ct+x) \big(\partial_t^2-c^2\partial_x^2\big)\varphi(x,t)\, dxdt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac 1{2c}H(-\eta)H(\xi)(-4c^2\partial_\xi\partial_\eta\psi(\xi,\eta)) \dfrac 1{2c}\, d\xi d\eta\\ &=-\int_{-\infty}^{0}\bigg(\int_{0}^{+\infty} \partial_\xi\partial_\eta\psi(\xi,\eta)\, d\xi\bigg)\, d\eta\\ &=\int_{-\infty}^{0} \partial_\eta\psi(0,\eta)\, d\eta=\psi(0,0)=\varphi(0,0).\end{aligned}\end{split}\]

10.6. Grunnlausn varmaleiðnivirkjans

Varmaleiðnikjarninn \(E\) reynist vera grunnlausn varmaleiðnijöfnunnar. Við skulum sýna fram á það í tilfellinu \(n=1\). Tilfellið \(n>1\) gengur nánast eins fyrir sig. Til þess þurfum við að sýna að

\[{{\langle \big(\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) E,\varphi\rangle}} ={{\langle E,\big(-\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) \varphi\rangle}}=\varphi(0,0), \qquad \varphi\in C_0^\infty({{\mathbb R}}^2).\]

Við athugum að \(E(x,t)=0\) ef \(t<0\), svo

\[{{\langle \big(\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) E,\varphi\rangle}} =\lim_{\varepsilon\to 0+} \int_\varepsilon^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(x,t)\big(-\partial_t\varphi(x,t)-\kappa\partial_x^2\varphi(x,t)\big) \, dxdt.\]

Ef \(x\) er haldið föstu og heildað er með tilliti til \(t\), þá fæst

\[\int_\varepsilon^{+\infty}E(x,t)\big(-\partial_t\varphi(x,t)\big)\, dt =-\bigg[ E(x,t)\varphi(x,t) \bigg]_\varepsilon^{+\infty} +\int_\varepsilon^{+\infty}\partial_tE(x,t)\varphi(x,t)\, dt.\]

Nú skulum við halda \(t\) föstu og hlutheilda með tilliti til \(x\) tvisvar sinnum. Fyrst \(\varphi=0\) fyrir utan takmarkað mengi, þá er

\[\int_{-\infty}^{+\infty} E(x,t) \partial_x^2\varphi(x,t)\, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} \partial_x^2 E(x,t) \varphi(x,t)\, dx.\]

Nú notfærum við okkur (Link title) og (Link title) í (Link title) og fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle \big(\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) E,\varphi\rangle}} &=\lim_{\varepsilon\to 0+}\bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} E(x,\varepsilon) \varphi(x,\varepsilon)\, dx\\ &+\int_\varepsilon^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \big(\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) E(x,t)\varphi(x,t) \, dxdt \bigg)\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0+}\bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac 1{\sqrt{4\pi\kappa\varepsilon}}e^{-x^2/4\kappa\varepsilon} \varphi(x,\varepsilon)\, dx\bigg).\end{aligned}\end{split}\]

Hér höfum við notfært okkur að \(E\) er lausn á varmaleiðnijöfnunni ef \(t>0\). Nú skiptum við um breytistærð og fáum að lokum

\[{{\langle \big(\partial_t-\kappa\partial_x^2\big) E,\varphi\rangle}} =\lim_{\varepsilon\to 0+}\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{\pi}}e^{-y^2} \varphi(\sqrt{4\kappa\varepsilon}\, y,\varepsilon)\, dy =\varphi(0,0).\]

10.7. Grunnlausn Laplace-virkjans

10.7.1. Grunnlausn Laplace-virkjans

Nú snúum við okkur að Laplace-virkjanum. Í útreikningum okkar á Green-föllum í grein 17.7, gegndi fallið \(E\), sem skilgreint er með

\[\begin{split}E(x)=\begin{cases} \dfrac 1{2{\pi}} \ln |x|, & x\in {{\mathbb R}}^n\setminus{{\{0\}}}, \ n=2,\\ \dfrac {-1}{4{\pi}|x|}, & x\in {{\mathbb R}}^n\setminus {{\{0\}}}, \ n=3, \end{cases}\end{split}\]

lykilhlutverki. Það reynist vera grunnlausn Laplace-virkjans. Við byrjum á tilfellinu \(n=2\). Athugum að formúlan yfir Laplace-virkjann í pólhnitum í viðauka D gefur að fyrir föll \(v\) af gerðinni \(v(x_1,x_2)=g(r)\) er

\[\Delta v= \dfrac 1{r^2}\bigg(r\partial_r\big(r\partial_r\big) +\partial_\theta^2 \bigg)g(r) =\dfrac 1r \big(rg{{^{\prime}}}(r)\big){{^{\prime}}},\]

svo það er greinilegt að \(\Delta E=0\) á \({{\mathbb R}}^2\setminus\{(0,0)\}\). Til þess að staðfesta að \(E\) sé grunnlausn, þá þurfum við að sanna að

\[{{\langle \Delta E,\varphi\rangle}}={{\langle E,\Delta\varphi\rangle}}=\delta(\varphi)= \varphi(0,0), \qquad \varphi\in C_0^\infty({{\mathbb R}}^2).\]

Við snúum þessari formúlu yfir í pólhnit og setjum \(\psi(r,\theta)=\varphi(r\cos \theta,r\sin \theta)\). Þá fáum við að

\[{{\langle \Delta E,\varphi\rangle}}={{\langle E,\Delta\varphi\rangle}} =\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} \ln r\bigg[\dfrac 1r\partial_r\big(r\partial_r\psi\big) +\dfrac 1{r^2}\partial_\theta^2\psi \bigg] r\, drd\theta.\]

Fallið \(\psi\) er \(2\pi\)-lotubundið í \({\theta}\) og því er heildið af seinni liðnum \(0\). Við höfum einnig að \(\psi(r,\theta)=0\), ef \(r\) er nógu stórt, og því fáum við með hlutheildun

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle E,\Delta \varphi\rangle}}&= \dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} \big(\ln r\big) \partial_r\big(r\partial_r\psi\big) \, dr d\theta\\ &=\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigg( \bigg[ \big(\ln r\big) r\partial_r\psi\bigg]_0^\infty -\int_0^\infty \partial_r\psi\, dr \bigg) d\theta\\ &=\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\psi(0,\theta)\, d\theta =\varphi(0,0)\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\, d\theta = \varphi(0,0).\end{aligned}\end{split}\]

Í tilfellinu \(n=3\) er \(E\) gefið með formúlunni

\[E(x)=\dfrac{-1}{4\pi r}, \qquad r=|x|, \quad x\in {{\mathbb R}}^3\setminus{{\{0\}}}.\]

Til þess að sýna fram á að þetta sé grunnlausn, þá snúum við yfir í kúluhnit og setjum \(\psi(r,\theta,\phi)= \varphi(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)\). Laplace-virkinn í kúluhnitum er gefinn í viðauka D. Þar með er

\[\begin{split}\begin{gathered} {{\langle E,\Delta \varphi\rangle}} =\dfrac {-1}{4\pi}\int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\\ \dfrac 1r\bigg[ \dfrac 1{r^2}\partial_r\big(r^2\partial_r\psi\big) +\dfrac 1{r^2\sin \theta} \partial_\theta\big(\sin \theta\partial_\theta\psi\big) +\dfrac 1{r^2\sin^2\theta}\partial_\phi^2\psi \bigg] r^2\sin\theta\, dr d\theta d\phi.\end{gathered}\end{split}\]

Nú er \(\psi\) \(2\pi\)-lotubundið sem fall af \(\phi\) og því er heildið af síðasta liðnum \(0\). Við höfum einnig að

\[\int_0^\pi\dfrac 1{r^2\sin\theta} \partial_\theta\big(\sin \theta\partial_\theta\psi\big)r^2\sin\theta\, d\theta = \bigg[\sin \theta\partial_\theta\psi\bigg]_0^\pi=0.\]

Eftir stendur því

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle \Delta E,\varphi\rangle}} &= -\dfrac 1{4\pi} \int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\pi} \dfrac 1r \partial_r\big(r^2\partial_r\psi\big) \sin\theta\, dr d\theta d\phi\\ &= -\dfrac 1{4\pi} \int_0^\pi\int_0^{2\pi} \bigg( \bigg[\dfrac 1r r^2\partial_r\psi\bigg]_0^\infty +\int_0^\infty \partial_r\psi \, dr \bigg) \sin\theta\, d\theta d\phi\\ &= \dfrac 1{4\pi} \int_0^\pi\int_0^{2\pi} \psi(0,\theta,\phi) \, \sin\theta\, d\theta d\phi=\varphi(0).\end{aligned}\end{split}\]

10.7.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Hleðsluþéttleiki á línu og grunnlausn Laplace-virkjans

10.7.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Green-föll í rafstöðufræði

10.8. Fourier-ummyndun af dreififöllum og grunnlausnir

10.8.1. Fourier-ummyndun af dreififöllum og grunnlausnir

Við ætlum nú að reifa mjög lauslega hvernig Fourier-ummyndun er alhæfð yfir á dreififöll. Við skulum byrja á því að taka \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) og \({\varphi}\in C_0^{\infty}({{\mathbb R}})\). Þá segir reikniregla (xii) að

\[u_{\widehat f}({\varphi})=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \widehat f(x){\varphi}(x) \, dx =\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} f(x)\widehat {\varphi}(x) \, dx =u_f(\widehat {\varphi}).\]

Út frá þessari formúlu gæti maður í fljótheitum ályktað að hægt sé að skilgreina Fourier-mynd \(\widehat u\) af hvaða dreififalli \(u\in {{\mathbb D}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\) sem er með formúlunni \(\widehat u({\varphi})=u(\widehat {\varphi})\). Það er rangt, því \(\widehat {\varphi}\notin C_0^{\infty}({{\mathbb R}})\) og þar með er \(u(\widehat {\varphi})\) ekki skilgreint. Við skilgreinum nú nýtt fallarúm sem inniheldur \(C_0^{\infty}({{\mathbb R}})\):

10.8.1.1. Skilgreining

Rúm allra falla \({\varphi}\in C^{\infty}({{\mathbb R}})\), sem uppfylla

\[\begin{split}\max\limits_{x\in {{\mathbb R}}} |x^{\mu}{\varphi}^{({\nu})}(x)|<+{\infty}, \qquad {\mu},{\nu}=0,1,2,\dots,\end{split}\]

nefnist fallarúm Schwartz eða Schwartz-fallarúmið. Við táknum það með \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\).


Athugið að \(C_0^{\infty}({{\mathbb R}})\subset {{\cal S}}({{\mathbb R}})\) og að skilyrðið (Link title) segir að sérhver afleiða af falli í \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\) stefni hraðar á \(0\) í \(\pm {\infty}\) en hvaða neikvætt veldi af \(x\) sem er. Dæmi um fall \({\varphi}\in {{\cal S}}({{\mathbb R}})\setminus C_0^{\infty}({{\mathbb R}})\) er \({\varphi}(x)=e^{-x^2}\).

10.8.1.2. Skilgreining

Línuleg vörpun \(u:{{\cal S}}({{\mathbb R}}) \to {{\mathbb C}}\), nefnist Schwartz-dreififall , ef hún er samfelld í þeim skilningi að

\[u({\varphi}_j)\to u({\varphi}), \qquad j\to +{\infty},\]

þar sem \({\varphi}_j\to {\varphi}\) í \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\), en með því er átt við að

\[\max\limits_{x\in {{\mathbb R}}} |x^{\mu}({\varphi}_j^{({\nu})}(x)-{\varphi}^{({\nu})}(x))|\to 0, \qquad j\to +{\infty},\]

fyrir öll \({\mu},{\nu}=0,1,2,\dots\). Rúm allra Schwartz-dreififalla nefnum við dreififallrúm Schwartz eða Schwartz-dreififallarúmið og við táknum það með \({{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\).


Sérhvert stak í \({{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\) skilgreinir sjálfkrafa stak í \({{\mathbb D}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\) og því getum við litið á \({{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\) sem hlutrúm í \({{\mathbb D}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\). Reiknireglurnar (ix) og (x) segja okkur að Fourier-ummyndunin sé gagntæk vörpun á \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\) og jafnframt að \(\widehat {\varphi}_j\to \widehat {\varphi}\) í \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\) ef \({\varphi}_j\to {\varphi}\) í \({{\cal S}}({{\mathbb R}})\). Þess vegna fæst eðlileg alhæfing á Fourier-ummyndun frá \(L^1({{\mathbb R}})\) yfir á \({{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\):

10.8.1.3. Skilgreining

Ef \(u\in {{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\), þá skilgreinum við Fourier-myndina \(\widehat u={{\cal F}}u\in {{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\) með formúlunni

\[\widehat u({\varphi}) = u(\widehat {\varphi}).\]

Það er ljóst að sérhvert fall \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) skilgreinir Schwartz-dreififall, \(u_f\in {{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\), og að (Link title) er alhæfing á (Link title).

10.8.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi

10.8.1.5. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Reiknireglurnar (ix) og (x) eru óbreyttar fyrir Fourier-myndir Schwartz-dreififalla, því

\[{{\cal F}}\{u{{^{\prime}}}\}=i{\xi}{{\cal F}}u, \qquad {{\cal F}}\{x u\}=i\big({{\cal F}}u\big){{^{\prime}}},\]

með þrepun fæst,

\[{{\cal F}}\{u^{(k)}\}=(i{\xi})^k{{\cal F}}u, \qquad {{\cal F}}\{x^k u\}=i^k\big({{\cal F}}u\big)^{(k)},\]

og að lokum

\[{{\cal F}}\{P(D)u\}=P(i{\xi}) {{\cal F}}u,\]

ef \(P(D)\) er afleiðuvirki með fastastuðla. Látum nú \(E\) vera grunnlausn virkjans \(P(D)\) og gerum ráð fyrir að \(E\in {{\cal S}}{{^{\prime}}}({{\mathbb R}})\). Þá uppfyllir \(E\) jöfnuna \(P(D)E={\delta}\). Ef við tökum Fourier-mynd beggja vegna jafnaðarmerkisins og gefum okkur að \({\xi}\mapsto P(i{\xi})\) hafi enga núllstöð á raunásnum, þá fáum við

\[\widehat E({\xi}) =\dfrac 1{P(i{\xi})}.\]

Við reiknuðum út andhverfu Fourier-myndina af þessu falli í setningu 16.5.3. Niðurstaðan verður því:

10.8.1.6. Setning

Látum \(P\) vera margliðu af stigi \(\geq 2\), gerum ráð fyrir að \(P\) hafi engar núllstöðvar á þverásnum og látum \(E\) vera andhverfu Fourier-myndina af fallinu \({\xi}\mapsto 1/P(i{\xi})\), sem gefið er með formúlunni (Link title). Þá er \(E\) grunnlausn afleiðuvirkjans \(P(D)\).

10.9. Æfingardæmi

10.9.1. Æfingardæmi

10.9.1.1. Dæmi

Látum \(\varphi:{{\mathbb R}}\to {{\mathbb R}}\) vera fallið, sem skilgreint er með \(\varphi(x)=x^{-a}e^{-1/x}\) ef \(x>0\) og \(\varphi(x)=0\) ef \(x\leq 0\), þar sem \(a\in {{\mathbb R}}\). Sýnið að \(\varphi\in C^{\infty}({{\mathbb R}})\). [Leiðbeining: Sýnið með þrepun að \(\varphi^{(n)}(x)=x^{-a}P_n(1/x)e^{-1/x}\), \(x>0\), þar sem \(P_n\) er margliða og að af því leiði að \(\varphi^{(n)}(0)\) er til fyrir öll \(n\).]

:math:`e^{-1/x}`

Mynd: \(e^{-1/x}\)

10.9.1.2. Dæmi

Látum \(a\) og \(b\) vera tvær rauntölur, \(a<b\). Notið niðurstöðuna úr dæmi 1 til þess að sýna að til sé fall \(\varphi\in {{\mathbb C}}^{\infty}({{\mathbb R}})\) þannig að \(\varphi(x)>0\), ef \(x\in ]a,b[\), \(\varphi(x)=0\), ef \(x\not\in ]a,b[\) og \(\int_{-{\infty}}^{+{\infty}}\varphi(x)\, dx=1\).

10.9.1.3. Dæmi

Látum \(a,b\in {{\mathbb R}}\), \(a<b\) og \({\varepsilon}>0\). Sýnið að til sé fall \({\psi}\in C^{\infty}_0([a-{\varepsilon},b+{\varepsilon}])\) þannig að \({\psi}(x)=1\) ef \(x\in [a,b]\). [Leiðbeining: Látum \(\varphi\) vera fallið í dæmi 2, þar sem skipt er á \(a\) og \(-{\varepsilon}/2\) og \(b\) og \({\varepsilon}/2\) og látum fallið \({\chi}\) vera skilgreint sem \({\chi}(x)=1\) ef \(x\in[a-{\varepsilon}/2,b+{\varepsilon}/2]\) og \({\chi}(x)=0\) ef \(x\notin[a-{\varepsilon}/2,b+{\varepsilon}/2]\). Setjið síðan \({\psi}(x)={\chi}\ast \varphi(x)\).]

:math:`\psi (x)`

Mynd: \(\psi (x)\)

10.9.1.4. Dæmi

Látum \(f,g\in C(X)\), þar sem \(X\) er opið mengi á \({{\mathbb R}}\) og gerum ráð fyrir að \(u_f=u_g\). Sýnið að \(f=g\).

10.9.1.5. Dæmi

Fyrir sérhvert \(t\in {{\mathbb R}}\) skilgreinum við \(f_t(x)=t^Ne^{itx}\), þar sem \(N\) er jákvæð heiltala. Sýnið að \(f_t\to 0\) í veikum skilningi ef \(t\to \pm{\infty}\).

[Leiðbeining: Hlutheildið þar til veldið á \(t\) hefur lækkað niður í \(-1\).]

10.9.1.6. Dæmi

Látum \(f_t\) vera fallið \(f_t(x)=tH(x)e^{itx}\), \(x\in {{\mathbb R}}\), þar sem \(H\) er Heaviside-fallið. Sýnið að \(f_t\to i{\delta}\) í veikum skilningi ef \(t\to +{\infty}\).

10.9.1.7. Dæmi

Sýnið að \(f_t(x)=t^2|x|\cos(tx) \to -2{\delta}\) í veikum skilningi ef \(t \to +{\infty}\).

10.9.1.8. Dæmi

Reiknið út \(x^j{\delta}_0^{(k)}\) fyrir allar heilar tölur \(j\geq 0\) og \(k\geq 0\).

10.9.1.9. Dæmi

Ákvarðið allar veikar lausnir á \({{\mathbb R}}\) á jöfnunum:

(i) \(xu{{^{\prime}}}={\delta}_0\),

(ii) \(xu{{^{\prime}}}={\delta}_1-{\delta}_{-1}\),

(iii) \(u{{^{\prime\prime}}}={\delta}_0{{^{\prime}}}-2{\delta}_1\).

10.9.1.10. Dæmi

Reiknið út Fourier-myndir dreififallanna \(u_f\) þar sem \(f(x)\) er gefið með formúlunum

a. \(\sin x\), b. \(x^k\), c. \((1+x)^6\).

10.9.1.11. Dæmi

Reiknið út Fourier-myndir dreififallanna \(u\), sem gefin eru og skrifið \(\widehat u({\xi})=F({\xi})\) ef Fourier-myndin er á forminu \(u_F\), þar sem \(F\) er fall:

a. \({\delta}_a^{(k)}\), b. \({\delta}_a-{\delta}_{-a}\), c. \({\delta}_a+{\delta}_{-a}\).

10.9.1.12. Dæmi

abcd) Sýnið með beinum reikningum að föllin \(E\), sem fengust í dæmi 6.5.3 séu grunnlausnir afleiðuvirkjanna \(P(D)\).