9. Varmaleiðnijafnan

9.1. Hitakjarninn

9.1.1. Hitakjarninn

Í þessum kafla ætlum við að fjalla um úrlausn á varmaleiðnijöfnunni á öllu rúminu. Við skulum byrja á því að leiða út formúlu fyrir lausn á einvíðu varmaleiðnijöfnunni með upphafsskilyrðum

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)={\varphi}(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

og beita Fourier-ummyndun til þess. Við gerum ráð fyrir að \(u\) sé heildanlegt fall af \(x\) fyrir fast \(t\), að \({\varphi}\) sé heildanlegt og látum \(\widehat u({\xi},t)\) og \(\widehat {\varphi}({\xi})\) vera Fourier-myndir \(u(x,t)\) og \({\varphi}(x)\) með tilliti til \(x\). Við gefum okkur einnig að

\[{{\cal F}}\{{\partial}_tu\}({\xi},t)= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix{\xi}}{\partial}_tu(x,t)\, dx =\partial_t \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix{\xi}}u(x,t)\, dx ={\partial}_t\widehat u({\xi},t).\]

Samkvæmt reiknireglu (ix) í grein 16.2 er

\[{{\cal F}}\{{\partial}_x^2u\}({\xi},t)= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix{\xi}}{\partial}_x^2u(x,t)\, dx =(i{\xi})^2\widehat u({\xi},t)= -{\xi}^2\widehat u({\xi},t).\]

Við tökum nú Fourier-mynd af öllum liðunum í (Link title) og fáum að \(\widehat u\) verður að uppfylla

\[\begin{split}\begin{cases} \partial_t\widehat u({\xi},t) +{\kappa}{\xi}^2\widehat u({\xi},t)=0, &{\xi}\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ \widehat u({\xi},0)=\widehat {\varphi}({\xi}), &{\xi}\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Þetta er fyrsta stigs afleiðujafna í \(t\), þar sem virkinn er \(D_t+{\kappa}{\xi}^2\). Lausnin er því ótvírætt ákvörðuð

\[\widehat u({\xi},t)=e^{-{\kappa}t{\xi}^2}\widehat {\varphi}({\xi}).\]

Í sýnidæmi 16.2.2 sáum við að \({{\cal F}}\{e^{-x^2}\}({\xi})= \sqrt {\pi}e^{-{\xi}^2/4}\). Samkvæmt reiknireglu (iv) í grein 16.2 er

\[\begin{split}\begin{aligned} \sqrt{\dfrac a \pi} {{\cal F}}\{e^{-ax^2}\}({\xi}) &=\sqrt{\dfrac a\pi} {{\cal F}}\{e^{-(\sqrt a x)^2}\}({\xi})\\ &=e^{-({\xi}/\sqrt a)^2/4}=e^{-{\xi}^2/4a}.\end{aligned}\end{split}\]

Ef við veljum \(a=1/4{\kappa}t\) í þessari formúlu, þá sjáum við að \(e^{-{\kappa}t{\xi}^2}\) er Fourier-myndin af fallinu \(E\) sem gefið er með formúlunni

\[\begin{split}E(x,t)=E_t(x)=\begin{cases} \dfrac 1{\sqrt{4{\pi}{\kappa}t}}e^{-x^2/4{\kappa}t}, &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ 0, &x\in {{\mathbb R}}, \ t\leq 0.\end{cases}\end{split}\]

9.1.1.1. Skilgreining

Fallið \(E\) nefnist hitakjarni eða varmaleiðnikjarni.


Varmaleiðnikjarninn.

Mynd: Varmaleiðnikjarninn.

Formúlan (Link title) segir okkur nú að \(\widehat u({\xi},t)= \widehat E_t({\xi})\widehat \varphi({\xi})\), og því gefur andhverfuformúla Fouriers og földunarreglan okkur að

\[\begin{split}u(x,t)=E_t\ast {\varphi}(x)=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{4{\pi}{\kappa}t}}e^{-(x-y)^2/4{\kappa}t}{\varphi}(y)\, dy, \qquad t>0.\end{split}\]

Áður en lengra er haldið skulum við rannsaka nokkra eiginleika hitakjarnans. Athugum fyrst að

\[\begin{split}\lim\limits_{t\to 0+} E_t(x) = \begin{cases} +{\infty}, &x=0,\\ 0, &x\neq 0,\end{cases}\end{split}\]

og

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} E_t(x)\, dx= \int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{4{\pi}{\kappa}t}}e^{-x^2/4{\kappa}t}\, dx =\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}\, dy = 1.\]

Af (Link title) leiðir síðan að fyrir samfelld takmörkuð föll \({\varphi}\) gildir

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim\limits_{t\to 0+} E_t\ast {\varphi}(x) &=\lim\limits_{t\to 0+} \int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{4{\pi}{\kappa}t}}e^{-(x-y)^2/4{\kappa}t}{\varphi}(y)\, dy \\ &=\lim\limits_{t\to 0+} \int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}{\varphi}(x-\sqrt{4{\kappa}t}y)\, dy\\ &=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}\lim\limits_{t\to 0+} {\varphi}(x-\sqrt{4{\kappa}t}y)\, dy\\ &={\varphi}(x)\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac 1{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}\, dy ={\varphi}(x).\end{aligned}\end{split}\]

Þessi formúla segir okkur að \(E_t\) stefni á \(\delta_0\) í veikum skilningi ef \(t\to 0+\). Það er auðveldur reikningur að sannfæra sig um að \(E\) uppfylli varmaleiðnijöfnuna

\[\begin{split}({\partial}_t-{\kappa}{\partial}_x^2)E(x,t)=0, \qquad t>0,\end{split}\]

því

\[\begin{split}\begin{aligned} {\partial}_tE(x,t)&=-\dfrac 1{2t}E(x,t)+\dfrac{x^2}{4{\kappa}t^2}E(x,t),\\ {\partial}_xE(x,t)&= -\dfrac x{2{\kappa}t}E(x,t),\\ {\partial}_x^2E(x,t)&= -\dfrac 1{2{\kappa}t}E(x,t)-\dfrac x{2{\kappa}t}{\partial}_xE(x,t),\\ &= -\dfrac 1{2{\kappa}t}E(x,t)+\dfrac {x^2}{4{\kappa}^2t^2}E(x,t).\end{aligned}\end{split}\]

Af (Link title) leiðir nú að fallið \(u\) sem gefið er með (Link title) er lausn á varmaleiðnijöfnunni, því

\[({\partial}_t-{\kappa}{\partial}_x^2)u(x,t) =\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} ({\partial}_t-{\kappa}{\partial}_x^2)E(x-y,t) {\varphi}(y)\, dy=0.\]

Hér þarf lesandinn aðeins að staldra við og sannfæra sig um að setning Lebesgues í viðauka C gefi að það megi taka afleiður með tilliti til \(x\) og \(t\) undir földunarheildið. Niðurstaða þessara útreikninga okkar er:

9.1.1.2. Setning

Upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=\lim_{t\to 0+}u(x,t)={\varphi}(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(\varphi\) er gefið samfellt og takmarkað fall á \({{\mathbb R}}\), hefur lausn \(u\) sem gefin er með formúlunni

\[\begin{split}u(x,t)=E_t\ast \varphi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}E_t(x-\xi)\varphi(\xi)\, d\xi, \qquad x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\end{split}\]

þar sem hitakjarninn er gefinn með formúlunni

\[E(x,t)=E_t(x)=H(t) \dfrac 1{\sqrt{4{\pi}{\kappa}t}}e^{-x^2/4{\kappa}t}, \qquad (x,t)\neq (0,0).\]

9.2. Hliðraða varmaleiðnijafnan

9.2.1. Hliðraða varmaleiðnijafnan

Þá snúum við okkur að hliðruðu varmaleiðnijöfnunni og leysum hana með óhliðruðu upphafsskilyrði

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=0, &x\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Með því að beita Fourier-ummyndun eins og áður, þá fáum við verkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \partial_t\widehat u({\xi},t) +{\kappa}{\xi}^2\widehat u({\xi},t)=\widehat f({\xi},t), &{\xi}\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ \widehat u({\xi},0)=0, &{\xi}\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Þetta er fyrsta stigs hliðruð afleiðujafna í \(t\) með óhliðruð upphafsskilyrði. Virkinn er \(D_t+\kappa\xi^2\) og Green-fall hans er \(G_\xi(t,\tau)=e^{-\kappa(t-\tau)\xi^2}=\widehat E_{t-\tau}(\xi)\). Lausnin er því

\[\widehat u({\xi},t)=\int_0^te^{-{\kappa}(t-{\tau})x^2}\widehat f({\xi},t)\, d{\tau} = \int_0^t\widehat E_{t-{\tau}}({\xi})\widehat f({\xi},t)\, d{\tau}.\]

Nú beitum við andhverfuformúlu Fouriers og földunarreglunni og fáum

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t)&=\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \bigg(\int_0^t\widehat E_{t-{\tau}}({\xi})\widehat f({\xi},{\tau})\, d{\tau} \bigg)\, d{\xi}\\ &=\int_0^t\bigg( \dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat E_{t-{\tau}}({\xi})\widehat f({\xi},{\tau})\, d{\xi}\bigg)\, d{\tau}\\ &=\int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} E_{t-{\tau}}(x-y)f(y,{\tau})\, dy d{\tau}\\ &=\int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} E(x-y,t-\tau)f(y,{\tau})\, dy d{\tau}.\end{aligned}\end{split}\]

Ef við framlengjum skilgreiningarsvæði fallsins \(f\) þannig að \(f(x,t)=0\) ef \(t\leq 0\), þá sjáum við að

\[\begin{split}u(x,t)=E\ast f(x,t), \qquad t>0.\end{split}\]

Við skulum nú taka saman útreikninga okkar:

9.2.1.1. Setning

Látum \(f\) vera samfellt fall á opna efra hálfplaninu \(\{(x,t); t>0\}\), sem er takmarkað á lokuninni \(\{(x,t); t\geq 0\}\) og tekur gildið \(0\) á neðra hálfplaninu \(\{(x,t); t<0\}\) og látum \({\varphi}\) vera samfellt takmarkað fall á \({{\mathbb R}}\). Þá hefur upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=\lim\limits_{t\to 0+}u(x,t)={\varphi}(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

ótvírætt ákvarðaða lausn \(u\), sem gefin er með formúlunni

\[\begin{split}u(x,t)=E_t\ast {\varphi}(x)+E\ast f(x,t), \qquad x\in {{\mathbb R}},\ t>0,\end{split}\]

þar sem \(E\) táknar hitakjarnann, sem skilgreindur er með formúlunni (Link title).


Það er einfalt að alhæfa þetta verkefni fyrir varmaleiðnijöfnuna í hvaða rúmvídd sem er,

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{\partial t} -{\kappa}\Delta u=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}^n, \ t>0,\\ u(x,0)=\lim\limits_{t\to 0+}u(x,t)={\varphi}(x), &x\in {{\mathbb R}}^n, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\) er samfellt fall á \(\{(x,t)\in {{\mathbb R}}^n\times {{\mathbb R}}; t\geq 0\}\), \({\varphi}\) er samfellt fall á \({{\mathbb R}}^n\) og bæði \(f\) og \({\varphi}\) eru takmörkuð. Hitakjarninn verður

\[E(x,t)=E_t(x)=H(t) \dfrac 1{\big(4{\pi}{\kappa}t\big)^{n/2}}e^{-x^2/4{\kappa}t}, \qquad x\in {{\mathbb R}}^n,\ (x,t)\neq (0,0),\]

og lausnarformúlan alhæfist í

\[\begin{split}u(x,t)=E_t\ast {\varphi}(x)+E\ast f(x,t), \qquad x\in {{\mathbb R}}^n, t>0.\end{split}\]

Við eftirlátum lesandanum að staðfesta að (Link title) gefi lausn á (Link title).

9.3. Úrlausn á varmaleiðnijöfnum með Laplace-ummyndun

9.3.1. Úrlausn á varmaleiðnijöfnum með Laplace-ummyndun

Við höfum áður séð hvernig hægt er að beita Laplace-ummyndun til þess að leysa bylgjujöfnuna með óhliðruðum upphafsskilyrðum og hliðruðum jaðarskilyrðum á hálfás. Við byrjum á hliðstæðu verkefni fyrir varmaleiðnijöfnuna:

9.3.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni á hálflínu

9.3.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Laplace-mynd varmaleiðnikjarnans

9.4. Æfingardæmi

9.4.1. Æfingardæmi

9.4.1.1. Dæmi

Beitið Fourier-ummyndun til þess að reikna út lausn á upphafsgildisverkefninu:

\[\dfrac{{\partial}u}{{\partial}t} -{\kappa}\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2} +r\dfrac{{\partial}u}{{\partial}x}=f(x,t), \qquad u(x,0)=\varphi(x).\]

9.4.1.2. Dæmi

Beitið Fourier-ummyndun til þess að reikna út lausn á upphafsgildisverkefninu:

\[\dfrac{{\partial}u}{{\partial}t} -{\kappa}\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2} +au=f(x,t), \qquad u(x,0)=\varphi(x).\]

9.4.1.3. Dæmi

Beitið speglunaraðferð til þess að finna formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=0, &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), &x>0,\\ u(0,t)=0, &t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(\varphi\) er takmarkað fall á \({{\mathbb R}}\) og sýnið fram á að hægt sé að skrifa hana sem

\[u(x,t)=\int_{0}^{+{\infty}}(E_t(x-y)-E_t(x+y))\varphi(y)\, dy,\]

þar sem \(E_t\) táknar hitakjarnann. Finnið einnig formúlu fyrir lausn verkefnisins, þar sem jaðarskilyrðinu \(u(0,t)=0\) er breytt í \({\partial}_xu(0,t)=0\) og sýnið hvernig þetta heildi breytist.

9.4.1.4. Dæmi

Beitið speglunaraðferð til þess að finna formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=f(x,t), &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=0, &x>0,\\ u(0,t)=0, &t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\) er takmarkað samfellt fall á \({{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}_+\).

9.4.1.5. Dæmi

Finnið formúlu fyrir lausnina á verkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=0, &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=0, &x>0,\\ u(0,t)=h(t), &t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(h\) er samfellt deildanlegt á jákvæða raunásnum.

[Leiðbeining: Setjið \(v(x,t)=u(x,t)-h(t)\) og sýnið að \(v\) sé lausn á hliðruðu varmaleiðnijöfnunni með hliðruðu upphafsskilyrði.]

9.4.1.6. Dæmi

Beitið speglunaraðferð til þess að finna formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=f(x,t), &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=0, &x>0,\\ \partial_xu(0,t)=0, &t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\) er takmarkað samfellt fall á \({{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}_+\).

9.4.1.7. Dæmi

Finnið formúlu fyrir lausnina á verkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=0, &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=0, &x>0,\\ {\partial}_xu(0,t)=h(t), &t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(h\) er samfellt deildanlegt á jákvæða raunásnum.

[Leiðbeining: Setjið \(v(x,t)=u(x,t)-xh(t)\) og sýnið að \(v\) sé lausn á hliðruðu varmaleiðnijöfnunni með hliðruðu upphafsskilyrði.]

9.4.1.8. Dæmi

Takið saman niðurstöður dæmanna 3-7 og skrifið upp lausnarformúlur fyrir lausnir verkefnanna

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=f(x,t), &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), &x>0,\\ u(0,t)=h(t), &t>0, \end{cases} \begin{cases} {\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=f(x,t), &x>0, \ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), &x>0,\\ {\partial}_xu(0,t)=h(t), &t>0, \end{cases}\end{split}\]

með sömu forsendum og áður um föllin \(f\), \(\varphi\) og \(h\).

9.4.1.9. Dæmi

Leysið verkefnið

\[\begin{split}{\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=0, \qquad u(x,0)=0, \quad u(0,t)=f(t), \qquad x>0, \ t>0.\end{split}\]

9.4.1.10. Dæmi

Notið niðurstöðuna úr sýnidæmi 19.3.1 til þess að sýna að

\[{{\cal L}}\{ {{\operatorname{erfc}}}\big({\alpha}/(2\sqrt t)\big)\}(s) = \dfrac 1s e^{-{\alpha}\sqrt s},\]

þar sem \({{\operatorname{erfc}}}=1-{{\operatorname{erf}}}\) og \({{\operatorname{erf}}}\) táknar skekkjufallið,

\[{{\operatorname{erf}}}(x)=\dfrac 2{\sqrt {\pi}} \int_0^x e^{-{\xi}^2}\, d{\xi}.\]

9.4.1.11. Dæmi

Varmaleiðni í stöng af lengd \(L\), með upphafshitastig \(0\), annan endann við hitastig \(0\) og hinn við \(f(t)\) er lausn á verkefninu

\[\begin{split}{\partial}_tu-{\kappa}{\partial}_x^2u=0, \qquad u(x,0)=0, \quad u(0,t)=0, \quad u(L,t)=f(t), \qquad x>0, \ t>0.\end{split}\]

(i) Sýnið að Laplace-mynd lausnarinnar \(u\) með tilliti til \(t\)

\[U(x,s)=F(s)\dfrac{\sinh\big(x\sqrt{s/{\kappa}}\big)} {\sinh\big(L\sqrt{s/{\kappa}}\big)},\]

þar sem \(F\) er Laplace-mynd \(f\).

(ii) Látum \(v(x,t)\) tákna lausn í sértifellinu þegar \(f\) er fastafallið \(1\). Sannið formúlu Duhamels,

\[u(x,t)=\dfrac{\partial}{\partial t}\bigg( \int_0^t v(x,t-{\tau})f({\tau})\, d{\tau} \bigg).\]

(iii) Notið niðurstöðuna úr dæmi 2 og sömu tækni og í sýnidæmi 18.8.2 til þess að sýna að

\[v(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \bigg( {{\operatorname{erf}}}\bigg(\dfrac{(2n+1)L+x}{\sqrt{4{\kappa} t}}\bigg)- {{\operatorname{erf}}}\bigg(\dfrac{(2n+1)L-x}{\sqrt{4{\kappa} t}}\bigg) \bigg).\]