8. Bylgjujafnan

8.1. Inngangur

Við höfum séð í ýmsum sýnidæmum að bylgjujafnan er ákaflega mikilvæg í eðlisfræðinni. Í einni rúmvídd geta lausnir hennar lýst sveiflum strengs og langsveiflum í bitum, í tveimur rúmvíddum geta lausnirnar lýst sveiflum himnu og í þremur víddum geta lausnir hennar verið rafsegulbylgjur, hljóðbylgjur í lofti og þrýstibylgjur í vökvum. Við höfum fram til þessa mest fengist við að reikna út lausnir á bylgjujöfnunni, sem eru skilgreindar á takmörkuðum svæðum í rúminu, og beittum Fourier-röðum og eiginfallaröðum til þess. Nú ætlum við að fjalla um formúlur sem gilda um lausnir á öllu rúminu.

8.2. Einvíða bylgjujafnan á öllu rúminu

8.2.1. Einvíða bylgjujafnan á öllu rúminu

Við tökum nú fyrir einvíðu bylgjujöfnuna,

\[\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\]

og byrjum á því að finna almenna lausn á henni sem er skilgreind fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}\) og öll \(t\in {{\mathbb R}}\). Aðferðin byggir á þeirri einföldu staðreynd að hægt er að þátta hlutafleiðuvirkjann í samskeytingu tveggja línulegra fyrsta stigs virkja

\[\partial_t^2-c^2\partial_x^2= (\partial_t+c\partial_x) (\partial_t-c\partial_x)= (\partial_t-c\partial_x) (\partial_t+c\partial_x).\]

Við sjáum nú að sérhvert fall af gerðinni

\[u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct),\]

þar sem \(f,g\in C^2({{\mathbb R}})\) er lausn á bylgjujöfnunni, því \((\partial_t-c\partial_x)f(x+ct)=0\) og \((\partial_t+c\partial_x)g(x-ct)=0\). Til þess að sýna fram á að sérhver lausn sé af þessari gerð, þá skiptum við yfir í svokölluð kennihnit, en það felst í því að innleiða hnit þannig að hnitaásarnir verði kennilínur fyrsta stigs virkjanna í þáttuninni hér að framan. Við skilgreinum

\[\xi=x+ct, \qquad \eta=x-ct,\]

leysum síðan \(x\) og \(t\) út úr þessum jöfnum

\[x=(\xi+\eta)/2, \qquad t=(\xi-\eta)/2c\]

og skilgreinum fallið \(v(\xi,\eta)=u((\xi+\eta)/2,(\xi-\eta)/2c)=u(x,t)\). Keðjureglan gefur

\[\begin{split}\begin{aligned} \partial_\xi v(\xi,\eta)&= \dfrac 12 \partial_x u(x,t)+\dfrac 1{2c}\partial_tu(x,t)\\ &=\dfrac 1{2c}\big( \partial_t u(x,t)+ c\partial_xu(x,t)\big),\\ \partial_\eta v(\xi,\eta)&= \dfrac 12 \partial_x u(x,t)-\dfrac 1{2c}\partial_tu(x,t)\\ &=-\dfrac 1{2c}\big( \partial_t u(x,t)-c\partial_xu(x,t)\big).\end{aligned}\end{split}\]

Þessi útreikningur segir okkur að \(\partial_t+c\partial_x=2c\partial_\xi\) og \(\partial_t-c\partial_x=-2c\partial_{\eta}\). Þar með er

\[\big(\partial_t^2-c^2\partial_x^2\big)u(x,t)= -4c^2\partial_\xi\partial_\eta v(\xi,\eta).\]

Nú sjáum við að \(u\) er lausn á bylgjujöfnunni þá og því aðeins að \(\partial_\xi\partial_\eta v=0\). Þetta segir okkur að \(\partial_\eta v\) sé óháð \(\xi\), \(\partial_\eta v(\xi,\eta)=h(\eta)\). Við heildum nú þessa jöfnu,

\[v(\xi,\eta)=f(\xi)+\int_0^\eta h(\tau)\, d\tau=f(\xi)+g(\eta).\]

Hér er heildunarfastinn \(f(\xi)\) háður \(\xi\) og \(g(\eta)\) er stofnfall af \(h\). Með því að skipta aftur yfir í \((x,t)\)-hnitin, þá fæst niðurstaðan:

8.2.1.1. Setning

Sérhver lausn \(u\in C^2({{\mathbb R}}^2)\) á bylgjujöfnunni \(\partial_t^2u-c^2\partial_x^2u=0\) er af gerðinni \(u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)\), þar sem \(f,g\in C^2({{\mathbb R}})\). Ef \(u(x,t)=f_1(x+ct)+g_1(x-ct)\) er önnur slík framsetning á lausninni, þá er til fasti \(A\) þannig að \(f_1(x)=f(x)+A\) og \(g_1(x)=g(x)-A\).

8.2.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Lausnin \(u\) í þessari setningu samanstendur af tveimur bylgjum, sem hreyfast eftir \(x\)-ásnum sem föll af tíma. Graf fallsins \(x\mapsto f(x+ct)\) er hliðrum á grafi fallsins \(f\) um \(-ct\) og sú færsla með tíma er lýsing á bylgju, sem berst til vinstri á ásnum með hraðanum \(-c\). Graf fallsins \(x\mapsto g(x-ct)\) er hliðrun á grafi fallsins \(g\) um \(ct\) og því lítum við á það sem bylgju, sem berst til hægri á ásnum með hraðanum \(c\).

8.3. Bylgjujafnan með upphafsskilyrðum

8.3.1. Bylgjujafnan með upphafsskilyrðum

Nú skulum við snúa okkur að upphafsgildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &x\in {{\mathbb R}},\ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Hér á að túlka upphafsgildin þannig að

\[\lim\limits_{t\to 0+}u(x,t)=\varphi(x) \qquad \text{ og } \qquad \lim\limits_{t\to 0+}\partial_tu(x,t)=\psi(x).\]

Sérhverja lausn \(u\) á bylgjujöfnunni má rita sem \(u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)\) og því segja upphafskilyrðin að

\[u(x,0)=f(x)+g(x)=\varphi(x), \qquad \partial_tu(x,0)=cf{{^{\prime}}}(x)-cg{{^{\prime}}}(x)=\psi(x).\]

Þessar jöfnur gefa síðan

\[f{{^{\prime}}}(x)+g{{^{\prime}}}(x)=\varphi{{^{\prime}}}(x), \qquad f{{^{\prime}}}(x)-g{{^{\prime}}}(x)={\psi}(x)/c.\]

Við leysum þær og fáum

\[f{{^{\prime}}}(x)=\dfrac 12 \varphi{{^{\prime}}}(x)+\dfrac 1{2c}\psi(x), \qquad g{{^{\prime}}}(x)=\dfrac 12 \varphi{{^{\prime}}}(x)-\dfrac 1{2c}\psi(x).\]

Að lokum fáum við með heildun

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=\dfrac 12\varphi(x)+\dfrac 1{2c}\int_0^x\psi(y)\, dy+A,\\ g(x)&=\dfrac 12\varphi(x)-\dfrac 1{2c}\int_0^x\psi(y)\, dy+B,\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(A\) og \(B\) eru heildunarfastar. Skilyrðið \(u(x,0)=f(x)+g(x)=\varphi(x)+A+B\) segir okkur að \(A+B=0\) og þar með er niðurstaðan fengin:

8.3.1.1. Setning

Upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &x\in {{\mathbb R}},\ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

hefur ótvírætt ákvarðaða lausn

\[u(x,t)=\dfrac 12\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big) +\dfrac 1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi({\xi})\, d{\xi}.\]

Athugum að fyrri liðurinn í þessari lausnarformúlu er meðaltalið af gildum fallsins \({\varphi}\) í punktunum \(x+ct\) og \(x-ct\) og síðari liðurinn er margfeldið af \(t\) og meðaltalinu af gildum \({\psi}\) á bilinu \([x-ct,x+ct]\). Heildið í formúlunni er unnt að rita sem földun

\[\dfrac 1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(y)\, dy =\int_{-\infty}^{+\infty}E_t(x-y)\psi(y)\, dy = \big(E_t\ast \psi\big)(x),\]

þar sem fallið \(E\) er skilgreint með

\[\begin{split}E_t(x)=E(x,t)= \begin{cases} 1/2c, &|x|\leq ct,\\ 0, &|x|>ct.\end{cases}\end{split}\]

Í útreikningum okkar þurfum við ýmist að líta á \(E\) sem fall af tveimur breytistærðum \((x,t)\) eða sem fall af einni breytistærð \(x\) fyrir fast \(t\). Í fyrra tilfellinu skrifum við \(E(x,t)\), en í því síðara skrifum við \(E_t(x)\). Við sjáum einnig að fyrri liðurinn í hægri hlið í lausnarformúlunni er

\[\dfrac 12\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big) =\dfrac{\partial}{\partial t}\bigg( \dfrac 1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\varphi(y)\, dy \bigg) =\dfrac{\partial}{\partial t} E_t\ast \varphi(x).\]

Þar með er hægt að umskrifa lausnina í

\[u(x,t)=\dfrac{\partial}{\partial t}\big( E_t\ast \varphi\big)(x)+ E_t\ast \psi(x).\]
Lausn bylgjujöfnunnar með :math:`{\psi}=0`.

Mynd: Lausn bylgjujöfnunnar með \({\psi}=0\).

Nú er tilvalið að líta aftur á upphafsgildisverkefnið hér að framan og leiða lausnarformúlana út með því að beita Fourier-ummyndun. Athugum fyrst að

\[\begin{split}\begin{aligned} \widehat E_t(\xi)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}E_t(x)\, dx =\dfrac 1{2c}\int_{-ct}^{ct}e^{-ix\xi}\, dx\\ &=\dfrac 1{2c}\bigg[\dfrac{e^{-ix\xi}}{-i\xi}\bigg]_{-ct}^{ct} =\dfrac{\sin(ct\xi)}{c\xi}.\end{aligned}\end{split}\]

Nú gerum við ráð fyrir því að bæði föllin \(\varphi\) og \(\psi\) séu heildanleg og að lausnin \(u\) sé heildanlegt fall af \(x\) fyrir fast \(t\). Við látum \(\widehat u(\xi,t)\) tákna Fourier-myndina af \(u\) með tilliti til \(x\) fyrir fast \(t\). Við gerum einnig ráð fyrir að flytja megi afleiður af \(u\) með tilliti til \(t\) fram fyrir Fourier-heildið,

\[{{\cal F}}\{\partial_t^ju\}(\xi,t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}\partial_t^ju(x,t)\, dx =\partial_t^j\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}u(x,t)\, dx =\partial_t^j\widehat u(\xi,t).\]

Reikniregla (ix) fyrir Fourier-ummyndun gefur okkur

\[{{\cal F}}\{{\partial}_x^2u\}({\xi},t) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}\partial_x^2u(x,t)\, dx =(i{\xi})^2\widehat u({\xi},t)=-{\xi}^2\widehat u({\xi},t).\]

Ef vil tökum nú Fourier-mynd af öllum liðunum í

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &x\in {{\mathbb R}},\ t>0, \\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

þá fáum við að \(\widehat u({\xi},t)\) verður að uppfylla

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_t^2\widehat u({\xi},t)+c^2{\xi}^2 \widehat u({\xi},t)=0, &{\xi}\in {{\mathbb R}},\ t>0,\\ \widehat u({\xi},0)=\widehat\varphi({\xi}), \quad {\partial}_t\widehat u({\xi},t)=\widehat{\psi}({\xi}), &{\xi}\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Þetta er annars stigs venjuleg afleiðujafna í \(t\), fyrir fast \({\xi}\) með upphafsskilyrðum. Afleiðuvirkinn er \(D_t^2+c^2{\xi}^2\) og því er lausnin

\[\begin{split}\begin{aligned} \widehat u({\xi},t)&= \cos(ct{\xi})\widehat\varphi({\xi}) +\dfrac{\sin(ct{\xi})}{c{\xi}}\widehat{\psi}({\xi}) \\ &=\dfrac{\partial}{\partial t}\widehat E_t({\xi})\widehat\varphi({\xi}) +\widehat E_t({\xi})\widehat {\psi}({\xi}).\end{aligned}\end{split}\]

Nú beitum við andhverfuformúlu Fouriers og földunarreglunni (xi), og fáum sömu formúlu aftur

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) &=\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat u({\xi},t)\, d{\xi}\\ &=\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \dfrac{\partial}{\partial t}\widehat E_t({\xi}) \widehat \varphi({\xi})\, d{\xi} +\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat E_t({\xi})\widehat{\psi}({\xi})\, d{\xi}\\ &=\dfrac{\partial}{\partial t}\bigg( \dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat E_t({\xi}) \widehat \varphi({\xi})\, d{\xi}\bigg) +\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat E_t({\xi})\widehat{\psi}({\xi})\, d{\xi}\\ &={\partial}_t\big(E_t\ast \varphi\big)(x)+E_t\ast {\psi}(x).\end{aligned}\end{split}\]

8.4. Hliðraða bylgjujafnan

Nú skulum við ákvarða lausn á hliðruðu bylgjujöfnunni með óhliðruðum upphafsskilyrðum,

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=\partial_tu(x,0)=0, &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

og beita til þess Fourier-ummyndun. Með nákvæmlega sömu rökum og í greininni hér fyrir framan fáum við nú að

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_t^2\widehat u({\xi},t)+c^2{\xi}^2 \widehat u({\xi},t)=\widehat f({\xi},t), &{\xi}\in {{\mathbb R}},\ t>0,\\ \widehat u({\xi},0)={\partial}_t\widehat u({\xi},0)=0, &{\xi}\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Green-fall afleiðuvirkjans \(D_t^2+c^2{\xi}^2\) er \(G_{\xi}(t,{\tau})=g({\xi},t-{\tau})\), þar sem \(g({\xi},t)=\sin(ct{\xi})/c{\xi}=\widehat E_t({\xi})=\widehat E({\xi},t)\). Fourier-myndin er því

\[\widehat u({\xi},t) =\int_0^t g({\xi},t-\tau)\widehat f({\xi},\tau)\, d{\tau} =\int_0^t\widehat E({\xi},t-\tau)\widehat f({\xi},\tau)\, d{\tau}\]

og andhverfuformúla Fouriers og földunarreglan segja okkur að

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t)& =\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \bigg(\int_0^t \widehat E({\xi},t-\tau)\widehat f({\xi},\tau)\, d{\tau}\bigg) \, d{\xi}\label{15.4.3}\\ &=\int_0^t \bigg(\dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix{\xi}} \widehat E({\xi},t-\tau)\widehat f({\xi},\tau)\, d{\xi}\bigg) \, d{\tau}\nonumber\\ &=\int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} E(x-y,t-\tau)f(y,\tau)\, dy\, d{\tau}.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Földun tveggja falla \(F\) og \(G\) á \({{\mathbb R}}^n\) er skilgreind með heildinu

\[F\ast G({\xi})=\int_{{{\mathbb R}}^n} F({\xi}-\eta)G(\eta)\, d{\eta}, \qquad {\xi}\in {{\mathbb R}}^n.\]

Nú er \(E(x,t)=0\) ef \(t<0\) og ef við skilgreinum \(f(x,t)=0\) fyrir \(t<0\), þá fáum við formúluna

\[\begin{split}u(x,t)= E\ast f(x,t), \qquad x\in {{\mathbb R}}, \ t>0.\end{split}\]

Lítum nú aftur á tvær síðustu formúlur fyrir \(u(x,t)\) og stingum inn skilgreiningunni á \(E\),

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) &=\int_0^t \int_{-\infty}^{+\infty} E(x-y,t-\tau)f(y,\tau)\, dy\, d{\tau}\\ &=\dfrac 1{2c} \int_0^t \int_{x-c(t-\tau)}^{x+c(t-\tau)} f(y,{\tau})\, dyd{\tau}\nonumber\\ &=\dfrac 1{2c}\iint\limits_{T(x,t)}f(y,{\tau})\, dyd{\tau},\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(T(x,t)\) táknar þríhyrninginn í \((y,{\tau})\)-planinu með hornpunktana \((x,t)\), \((x-ct,0)\) og \((x+ct,0)\).

8.5. Formúlur d’Alemberts, Poissons og Kirchhoffs

8.5.1. Formúlur d’Alemberts, Poissons og Kirchhoffs

Niðurstaðan úr útreikningum okkar í síðustu tveimur greinum er mun víðtækari en forsendur okkar sögðu til um. Við gerðum ráð fyrir því að föllin \(u\), \(f\), \({\varphi}\) og \({\psi}\) væru heildanleg með tilliti til \(x\) á öllum ásnum \({{\mathbb R}}\) og gátum leitt út formúlu fyrir \(u\). Nú kemur í ljós að formúlan gildir fyrir miklu stærri flokk af föllum:

8.5.1.1. Setning

(d’Alembert-formúlan).   Látum \(f\) vera samfellt deildanlegt fall á \(\{(x,t); t>0\}\), samfellt á \(\{(x,t); t\geq 0\}\) og \(f(x,t)=0\) ef \(t<0\), látum \({\varphi}\) vera tvisvar samfellt deildanlegt fall á \({{\mathbb R}}\) og \({\psi}\) vera samfellt deildanlegt á \({{\mathbb R}}\). Þá hefur upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

ótvírætt ákvarðaða lausn, sem gefin er með formúlunni

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t)&=\dfrac 12\big(\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)\big) +\dfrac 1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi({\xi})\, d{\xi}\nonumber\\ &+\dfrac 1{2c}\iint\limits_{T(x,t)}f({\xi},{\tau})\, d{\xi}d{\tau},\\ &=\dfrac{{\partial}}{{\partial} t}\big(E_t\ast {\varphi}\big)(x)+ E_t\ast {\psi}(x) + E\ast f(x,t),\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem fallið \(E\) er skilgreint með

\[\begin{split}E_t(x)=E(x,t)= \begin{cases} 1/2c, &|x|\leq ct,\\ 0, &|x|>ct\end{cases}\end{split}\]

og \(T(x,t)\) táknar þríhyrninginn með hornpunktana \((x,t)\), \((x-ct,0)\) og \((x+ct,0)\).

8.5.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Þríhyrningurinn \(T(x,t)\) nefnist ákvörðunarsvæði punktins \((x,t)\). Þessi nafngift er til komin vegna þess að gildi lausnarinnar ákvarðast af gildum \({\varphi}\) í tveimur hornpunktum þríhyrningsins, \((x-ct,0)\) og \((x+ct,0)\), af gildum \({\psi}\) á hliðinni á milli þessara punkta og gildum hægri hliðar bylgjujöfnunnar \(f\) á þríhyrningnum.

Ákvörðunarsvæði punktsins :math:`(x,t)`.

Mynd: Ákvörðunarsvæði punktsins \((x,t)\).

Ef \((x_0,t_0)\) er punktur í \((x,t)\)-planinu, þá nefnist svæðið milli línanna \(x+ct=x_0+ct_0\) og \(x-ct=x_0-ct_0\) þar sem \(t\geq t_0\), áhrifasvæði punktsins \((x_0,t_0)\). Gildi lausnarinnar \(u\) í sérhverjum punkti \((x,t)\) í áhrifasvæði punktsins \((x_0,t_0)\) verður þannig fyrir áhrifum af gildi fallsins \(f\) í punktinum \((x_0,t_0)\). Ef \(t_0=0\) og \(x-ct\leq x_0 \leq x+ct=x_0\), þá verður \(u(x,t)\) fyrir áhrifum af gildi \({\psi}\) í \(x_0\). Ef \(t_0=0\) og \(x+ct=x_0\) eða \(x-ct=x_0\), þá verður gildi lausnarinnar einnig fyrir áhrifum af gildum \({\varphi}\) í \(x_0\).

Áhrifasvæði punktsins :math:`(x_0,t_0)`.

Mynd: Áhrifasvæði punktsins \((x_0,t_0)\).

Formúla d’Alemberts á sér hliðstæðu í tveimur og þremur rúmvíddum. Þá lítum við á verkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial^2_tu}-c^2\Delta u=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}^n, \ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}^n, \end{cases}\end{split}\]

þar sem við táknum hnit punktanna með \(x=(x_1,\dots,x_n)\) og látum \(\Delta\) tákna Laplace-virkjann á \({{\mathbb R}}^n\). Ef víddin \(n\) er \(2\), þá hefur verkefnið ótvírætt ákvarðaða lausn, sem gefin er með Poisson-formúlunni,

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) &= \dfrac{{\partial}}{{\partial} t} \bigg(\dfrac 1 {2{\pi}c} \iint_{S(x,ct)} \dfrac{\varphi({\xi})} {\sqrt{c^2t^2-|x-{\xi}|^2}}\, dA({\xi})\bigg)\nonumber\\ &+ \dfrac 1 {2{\pi}c} \iint_{S(x,ct)} \dfrac{{\psi}({\xi})} {\sqrt{c^2t^2-|x-{\xi}|^2}}\, dA({\xi})\\ &+ \dfrac 1 {2{\pi}c} \int_0^t\iint_{S(x,c(t-{\tau}))} \dfrac{f({\xi},{\tau})} {\sqrt{c^2(t-{\tau})^2-|x-{\xi}|^2}}\, dA({\xi})d{\tau},\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(S(x,r)\) táknar opnu skífuna með miðju í \(x\) og geislann \(r\), \(|x|\) táknar lengd \(x\) og \(dA\) táknar flatarmálsfrymið. Ef víddin \(n\) er \(3\), þá er lausnin hins vegar gefin með Kirchhoff-formúlunni,

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,t) &= \dfrac{{\partial}}{{\partial} t} \bigg(\dfrac 1 {4{\pi}c^2t} \iint_{{\partial}B(x,ct)} \varphi({\xi}) \, dS({\xi})\bigg)\nonumber\\ &+ \dfrac 1 {4{\pi}c^2t} \iint_{{\partial}B(x,ct)} {\psi}({\xi}) dS({\xi})\\ &+ \dfrac 1 {4{\pi}c^2} \iiint_{B(x,ct)} \dfrac{f({\xi},t-|x-{\xi}|/c)} {|x-{\xi}|}\, dV({\xi}),\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(B(x,r)\) táknar kúlu með miðju í \(x\) og geislann \(r\), \({\partial}B(x,r)\) táknar yfirborð hennar, \(dS\) táknar flatarmálsfrymið á yfirborðinu og \(dV\) táknar rúmmálsfrymið.

Ljóskeila og ákvörðunarsvæði.

Mynd: Ljóskeila og ákvörðunarsvæði.

Ef \((x,t)\in {{\mathbb R}}^n\times {{\mathbb R}}\), þá nefnast mengin

\[\begin{split}\begin{aligned} V(x,t)&=\{({\xi},{\tau}); |x-{\xi}|\leq c|t-{\tau}|\},\\ V(x,t)^+&=\{({\xi},{\tau})\in V(x,t); {\tau}\geq t\},\\ V(x,t)^-&=\{({\xi},{\tau})\in V(x,t); {\tau}\leq t\},\end{aligned}\end{split}\]

ljóskeila, framtíðarljóskeila og fortíðarljóskeila í punktinum \((x,t)\) í tímarúminu. Á formúlum Poissons og Kirchhoffs sjáum við að það er mikill eðlismunur á bylgjuútbreiðslu í tveimur og þremur víddum. Í tveimur víddum ákvarðast lausnin \(u(x,t)\) af gildum \(f\) í fortíðarljóskeilunni á tímabilinu \([0,t]\) og af gildum \({\varphi}\) og \({\psi}\) í skurðplani fortíðarljóskeilunnar í \((x,t)\) við planið \(t=0\). (Athugið að við hugsum okkur að punktarnir \(x\in {{\mathbb R}}^n\) liggi í tímarúminu við tímann \(t=0\).) Því er eðlilegt að skilgreina ákvörðunarsvæði punktsins \((x,t)\) sem mengið \(T(x,t)=\{({\xi},{\tau})\in V^-(x,t); 0\leq {\tau}\leq t \}\) fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}^2\) og \(t>0\). Í þremur rúmvíddum ákvarðast \(u(x,t)\) af gildum \(f\) á yfirborði fortíðarljóskeilunnar á tímabilinu \([0,t]\) og af gildum \({\varphi}\) og \({\psi}\) í skurðplani yfirborðs fortíðarljóskeilunnar \({\partial}V^-(x,t)\) og plansins \(t=0\). Í þremur víddum er því eðlilegt að skilgreina ákvörðunarsvæði punktsins \((x,t)\), sem mengið \(T(x,t)=\{({\xi},{\tau})\in {\partial}V^-(x,t); 0\leq {\tau}\leq t \}\). Áhrifasvæði punktsins \((x,t)\) er eðlilegt að skilgreina sem framtíðarljóskeiluna, ef rúmvíddin er \(2\), en yfirborð framtíðarljóskeilunnar ef rúmvíddin er \(3\). Sá eiginleiki bylgjuvirkjans í þremur víddum, að gildi lausnar á hliðruðu bylgjujöfnunni í punkti \((x,t)\) skuli eingöngu ráðast af gildunum á yfirborði fortíðarljóskeilunnar, er nefnt lögmál Huygens.

Yfirborðsbylgjur á vatni uppfylla tvívíða jöfnu, sem er áþekk bylgjujöfnunni, en miklu flóknari í úrlausn. Fyrir litlar bylgjur er hægt að gefa sér að lausnir bylgjujöfnunnar séu góð nálgun á yfirborðsbylgjum. Ef steini er kastað í vatn í punktinum \(x_0\) við tímann \(t_0\), þá fer yfirborðsbylgja eftir vatninu og við getum gert ráð fyrir því að frávik efnispunkts \(u(x,t)\) í \(x\) við tímann \(t\) sé gefið sem lausn á

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial^2_tu}-c^2\Delta u=f(x,t), &x\in {{\mathbb R}}^n, \ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), \quad \partial_tu(x,0)=\psi(x), &x\in {{\mathbb R}}^n, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \({\varphi}=0\), \({\psi}=0\) og \(f\) er alls staðar \(0\) nema í lítilli grennd um \((x_0,t_0)\). Bylgjan kemur í punktinn \(x\) við tímann \(t=|x-x_0|/c\). Poisson-formúlan segir nú að áhrif bylgjunnar muni vara áfram í punktinum \(x\) fyrir öll \(t\geq t_0+|x-x_0|/c\).

Lítum nú á ljósgjafa í punktinum \(x_0\in {{\mathbb R}}^3\) sem gefur frá sér merki sem varir örstutta stund við tímann \(t_0\). Bylgjan \(u\) sem berst frá honum er lausin á upphafsgildisverkefninu með \({\varphi}=0\), \({\psi}=0\) og \(f\) er alls staðar \(0\) nema í lítilli grennd um \((x_0,t_0)\). Nú sjáum við á Kirchhoff-formúlunni að þegar \(t\) er orðið það stórt að yfirborð ljóskeilunnar í \((x,t)\) sker ekki svæðið þar sem \(f\) er frábrugðið \(0\), þá eru engin áhrif af ljósmerkinu í punktinum \(x\). Ljósið er horfið.

8.6. Kúlubylgjur

Lausn á bylgjujöfnunni í þremur rúmvíddum, sem er einungis háð \((r,t)\), þar sem \(r=|x|\) er lengd vigursins \(x=(x_1,x_2,x_3)\), nefnist kúlubylgja. Með því að nota formúluna fyrir Laplace-virkjann í kúluhnitum í viðauka D, fáum við að \(u(r,t)\) er lausn á jöfnunni

\[\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} - c^2\dfrac 1{r^2}\dfrac{{\partial}}{{\partial}r}\bigg( r^2\dfrac{{\partial}u}{{\partial}r}\bigg) =\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} - c^2\bigg(\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}r^2}+\dfrac 2r\dfrac{{\partial}u}{{\partial}r}\bigg) =0.\]

Nú skilgreinum við fallið \(v(r,t)=ru(r,t)\) og sjáum að

\[\dfrac{{\partial}^2v}{{\partial}t^2} - c^2\dfrac{{\partial}^2v}{{\partial}r^2} = r\bigg( \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} - c^2\bigg(\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}r^2}+\dfrac 2r\dfrac{{\partial}u}{{\partial}r}\bigg) \bigg).\]

Þar með er \(u\) kúlubylgja þá og því aðeins að \(v\) sé lausn á bylgjujöfnunni í einni rúmvídd.

Nú skulum við líta á bylgjujöfnuna í þremur víddum með kúlusamhverfri hægri hlið og kúlusamhverfum upphafsgildum. Lausnin \(u\) uppfyllir

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} - c^2\bigg(\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}r^2}+\dfrac 2r\dfrac{{\partial}u}{{\partial}r}\bigg)=f(r,t), &r>0, \ t>0,\\ u(r,0)={\varphi}(r), \quad {\partial}_tu(r,0)={\psi}(r), &r>0. \end{cases}\end{split}\]

Við gerum ráð fyrir því að \(f\) sé samfellt á \(\{(r,t); r\geq 0, t\geq 0\}\) og að \({\varphi}\) og \({\psi}\) séu samfelld á \(\{r; r\geq 0\}\). Hliðstætt verkefni fyrir fallið \(v\) er þá

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2v}{{\partial}t^2} - c^2\dfrac{{\partial}^2v}{{\partial}r^2}=rf(r,t), &r>0, \ t>0,\\ v(r,0)=r{\varphi}(r), \quad {\partial}_tv(r,0)=r{\psi}(r), &r\geq 0,\\ v(0,t)=0, &t>0. \end{cases}\end{split}\]

Við munum leysa þessi verkefni þegar við höfum fjallað um speglanir á bylgjum.

8.7. Speglanir á bylgjum

8.7.1. Speglanir á bylgjum

Formúla d’Alemberts lýsir lausnum einvíðu bylgjujöfnunnar á öllum raunásnum. Með því að beita svokallaðri speglunaraðferð getum við notað hana til þess að leysa bylgjujöfnuna með jaðarskilyrðum. Þetta er auðvelt að útskýra í:

8.7.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Ákvörðunarsvæði punktsins :math:`(x,t)`, :math:`x-ct<0`.

Mynd: Ákvörðunarsvæði punktsins \((x,t)\), \(x-ct<0\).

8.7.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

8.7.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi

8.7.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi

8.7.1.5. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Sveiflandi strengur; framhald

8.8. Úrlausn á bylgjujöfnum með Laplace-ummyndun

8.8.1. Úrlausn á bylgjujöfnum með Laplace-ummyndun

Við höfum nú séð hvernig hægt er að beita Fourier-ummyndun til þess að finna formúlur fyrir lausnir á bylgjujöfnunni sem skilgreindar eru á öllum rauntalnaásnum. Ef lausnin er gefin á hálfás, til dæmis jákvæða tímaásnum, þá er oft snjallt að beita Laplace-ummyndun til þess að ákvarða lausnarformúlu. Við lítum á tvö dæmi:

8.8.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Bylgjujafnan á hálflínu

8.8.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Bylgjujafnan á takmörkuðu bili

8.9. Æfingardæmi

8.9.1. Æfingardæmi

8.9.1.1. Dæmi

Reiknið út Fourier-mynd lausnarinnar á símajöfnunni með upphafsskilyrðum,

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_x^2u={\alpha}{\partial}_t^2u+{\beta}{\partial}_tu+{\gamma}u, \\ u(x,0)={\varphi}(x), \quad {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

þar sem við gefum okkur að \({\varphi}\) og \({\psi}\) séu heildanleg föll á \({{\mathbb R}}\). Sýnið að í tilfellinu \({\varphi}=0\) og \({\gamma}=0\) sé til lausnarformúla af gerðinni

\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty} E(x-y,t){\psi}(y)\, dy,\]

án þess að reyna að reikna fallið \(E\) út.

8.9.1.2. Dæmi

Reiknið út Fourier-myndina af lausninni á upphafsgildisverkefninu:

\[\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} -c^2\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2} +{\alpha}\dfrac{{\partial}u}{{\partial}t}+{\beta}u=f(x,t), \qquad u(x,0)=\varphi(x), \quad {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x).\]

8.9.1.3. Dæmi

Beitið Fourier-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y), &x\in {{\mathbb R}}, \ y>0,\\ u(x,0)=g(x), \quad \partial_yu(x,0)=h(x), \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\), \(g\) og \(h\) eru heildanleg föll af \(x\) á \({{\mathbb R}}\).

8.9.1.4. Dæmi

Skrifið upp lausnarformúluna fyrir kúlubylgjur, með því að leysa verkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} - c^2\bigg(\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}r^2}+\dfrac 2r\dfrac{{\partial}u}{{\partial}r}\bigg)=f(r,t), &r>0, \ t>0,\\ u(r,0)={\varphi}(r), \quad {\partial}_tu(r,0)={\psi}(r), &r>0. \end{cases}\end{split}\]

8.9.1.5. Dæmi

Beitið speglunaraðferð og d’Alembert formúlunni til þess að reikna út \(u(\frac 12, 2)\), þar sem \(u\) er lausnin á bylgjujöfnunni

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} -\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &0<x<1,\ t>0,\\ u(0,t)=0, \ {\partial}_xu(1,t)=0, &t>0,\\ u(x,0)=4x(1-x), \ {\partial}_tu(x,0)=x, &0<x<1. \end{cases}\end{split}\]

8.9.1.6. Dæmi

Lítum á föllin \(u(x,t)\) og \(v(x,t)\), sem eru lausnir

\[\begin{split}\begin{gathered} \begin{cases} {\partial}_t^2u-{\partial}_x^2u=0,&0<x<1, t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), \ {\partial}_tu(x,0)=0, &0<x<1,\\ u(0,t)=u(1,t)=0, &t>0, \end{cases} \\ \begin{cases} {\partial}_t^2v-{\partial}_x^2v=0, & 0<x<1, t>0,\\ v(x,0)=0, \ {\partial}_tv(x,0)={\psi}(x), & 0<x<1,\\ {\partial}_xv(0,t)={\partial}_xv(1,t)=0, &t>0, \end{cases}\end{gathered}\end{split}\]

þar sem \(\varphi\) og \({\psi}\) eru \(2\)-lotubundin föll, \(\varphi\) er oddstætt \({\psi}\) er jafnstætt og þau uppfylla \(\varphi(x)={\psi}(x)=2x\), ef \(0\leq x\leq 1/2\), og \(\varphi(x)={\psi}(x)=2-2x\), ef \(1/2\leq x\leq 1\). Beitið d’Alembert formúlunni til þess að reikna út \(u(\frac 13,2)\), \(u(\frac 45,2)\), \(v(\frac 12,3)\) og \(v(\frac 74,3)\).

8.9.1.7. Dæmi

(Símajafnan). Ef \(u\) táknar straum eða spennu í rafstreng, til dæmis símalínu, þá gefa Maxwell-jöfnurnar

\[{\partial}_x^2u={\alpha}{\partial}_t^2u+{\beta}{\partial}_tu+{\gamma}u.\]

þar sem \({\alpha}=LC\), \({\beta}=(RC+LG)\), \({\gamma}=RG\), \(C\) táknar rýmd strengsins á lengdareiningu, \(G\) táknar lekaleiðni á lengdareiningu, \(R\) táknar viðnám á lengdareiningu og \(L\) táknar sjálfspan á lengdareiningu. Nú viljum við ákvarða spennu í löngum streng, þar sem merki er gefið í öðrum endapunktinum. Við hugsum okkur því að strengurinn sé óendanlega langur og leysum því símajöfnuna á \(\{(x,t); x>0, t>0\}\) með hliðarskilyrðunum

\[u(x,0)={\partial}_tu(x,0)=0, \quad \lim_{x\to +{\infty}}u(x,t)=0, \quad u(0,t)=f(t).\]

(i) Gefið ykkur að lausn sé til og reiknið út Laplace-mynd hennar með tilliti til tíma.

(ii) Reiknið út \(u\) í sértilfellinu, þegar \({\beta}^2=4{\alpha}{\gamma}\). Sýnið að þá fáist einföld deyfð bylgja, sem berst eftir \(x\) ásnum. Ákvarðið hraða og deyfingarstuðul bylgjunnar.