7. Laplace-virkinn

7.1. Inngangur

Hlutafleiðuvirkinn

\[\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} +\cdots+\dfrac{\partial^2}{\partial x_n^2}\]

á \({{\mathbb R}}^n\) nefnist Laplace-virki. Óhliðraða jafnan \(\Delta u=0\) nefnist Laplace-jafna og lausn \(u\) á henni á einhverju opnu mengi \(X\subset {{\mathbb R}}^n\) er sögð vera þýtt eða harmónískt fall. Hliðraða jafnan \(\Delta u=f\), þar sem \(f\) er gefið fall á \(X\) nefnist Poisson-jafna. Í einni vídd er Laplace-jafnan einfaldlega \(u{{^{\prime\prime}}}=0\) og þýðu föllin á opnum bilum á \({{\mathbb R}}\) eru því öll af gerðinni \(u(x)=Ax+B\), þar sem \(A\) og \(B\) eru fastar. Green-fall virkjans \(\Delta=d^2/dx^2\) er fallið \(G(x,\xi)=x-\xi\).

Í þessum kafla ætlum við að fjalla um aðferðir til þess að leysa Laplace- og Poisson-jöfnurnar með jaðarskilyrðum á nokkrum tegundum mengja í tví- og þrívíðu rúmi. Mikilvægi Laplace- og Poisson-jafnanna hefur komið skýrt fram í sýnidæmum hjá okkur, þar sem við fjölluðum um rafstöðufræði og æstæð varmaleiðniverkefni.

Í tveimur víddum munum við stundum tákna óháðu breyturnar með \((x,y)\) í stað \((x_1,x_2)\) og skrifa þær á tvinntalnaformi \(z=x+iy\) og á pólformi \(z=re^{i\theta}\). Í tveimur víddum koma fram sterk tengsl við fáguð föll. Það byggir á þeirri staðreynd að raun- og þverhluti fágaðs falls eru þýð föll og samskeyting á þýðu og fáguðu falli er þýtt fall.

Meginverkefnið í þessum kafla er að leiða út heildunarframsetningu á lausn Poisson-jöfnunnar \(\Delta u=f\) á opnu mengi \(X\) með Dirichlet-jaðarskilyrði \(u={\varphi}\) á \({\partial}X\), en hún er

\[u(x)=\int_{{\partial}X} P_X(x,{\xi}){\varphi}({\xi})\, dS({\xi}) + \int_X G_X(x,{\xi}) f({\xi})\, d{\xi},\]

þar sem \(P_X\) nefnist Poisson-kjarni fyrir svæðið \(X\) og \(G_X\) nefnist Green-fall eða Green-kjarni fyrir svæðið \(X\). Fyrra heildið gefur þýtt fall sem uppfyllir jaðarskilyrðin og það síðara gefur lausn á Poisson-jöfnunni með óhliðruðum jaðarskilyrðum.

7.2. Þýð föll og fágaðar varpanir

7.2.1. Þýð föll og fágaðar varpanir

Það er mikill skyldleiki með fáguðum og þýðum föllum. Til þess að sjá hver hann er, skulum við láta \(f\) vera fágað fall á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}={{\mathbb R}}^2\) og skrifa \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\) og \(v={{\operatorname{Im\, }}}f\). Þá eru föllin \(u\) og \(v\) í \(C^{\infty}(X)\) og þau uppfylla Cauchy-Riemann-jöfnurnar \({\partial}_xu={\partial}_yv\) og \({\partial}_yu=-{\partial}_xv\). Þar með fáum við að

\[\Delta u={\partial}_x^2u+{\partial}_y^2u= {\partial}_x{\partial}_yv+{\partial}_y(-{\partial}_x v)=0\]

og

\[\Delta v={\partial}_x^2v+{\partial}_y^2v= {\partial}_x(-{\partial}_yu)+{\partial}_y{\partial}_x u=0.\]

Hér höfum við notfært okkur að blönduðu afleiðurnar uppfylla \(\partial_x\partial_y u=\partial_y\partial_x u\) og \(\partial_x\partial_y v=\partial_y\partial_x v\). Þar með eru bæði föllin \(u\) og \(v\) þýð.

Rifjum upp að Wirtinger-virkjarnir eru

\[{\partial}_z=\dfrac{{\partial}}{{\partial} z} =\tfrac 12\big({\partial}_x-i{\partial}_y\big) \quad \text{ og } \quad {\partial}_{\overline z}=\dfrac{\partial}{\partial\overline z} =\tfrac 12\big({\partial}_x+i{\partial}_y\big).\]

Með beinum útreikningi fáum við að

\[\Delta = 4\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial\bar z} =4\dfrac{\partial^2}{\partial \bar z\partial z}.\]

Hugsum okkur nú að \(u\) sé þýtt fall á \(X\) og að við viljum kanna hvort til sé \(f\in {{\cal A}}(X)\) þannig að \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\). Þá gildir \(u=\frac 12\big(f+\overline f\big)\). Nú er fall \(f\) fágað þá og því aðeins að \(\partial_{\overline z}f=0\) og þar með segir jafnan \(\partial_{\overline z}\partial_zu=\frac 14 \Delta u=0\) okkur að fallið \(\partial_zu\) sé fágað. Við höfum að

\[\partial_z u=\tfrac 12\big(\partial_z f+\partial_z \overline f\big) =\tfrac 12\big(\partial_z f+\overline{\partial_{\overline z} f}\big) = \tfrac 12 f{{^{\prime}}}.\]

(Hér höfum við notað reikniregluna \({\partial}_z\overline f =\overline{({\partial}_{\overline z}f)}\) og að fyrir fágað fall \(f\) er \({\partial}_zf=f{{^{\prime}}}\).) Út úr þessari jöfnu lesum við að \(f\) er stofnfall \(2\partial_z u\). Nú er tilvist á stofnfalli háð því hvernig svæðið \(X\) lítur út. Rifjum upp að sérhvert fágað fall á stjörnusvæði hefur stofnfall og að svæði \(X\) er einfaldlega samanhangandi þá og því aðeins að sérhvert fall í \({{\cal A}}(X)\) hafi stofnfall:

7.2.1.1. Setning

Ef \(X\) er opið mengi í \({{\mathbb C}}\) og \(f\in {{\cal A}}(X)\), þá eru \({{\operatorname{Re\, }}}f\) og \({{\operatorname{Im\, }}}f\) þýð föll á \(X\). Ef \(u:X\to {{\mathbb R}}\) er þýtt fall á einfaldlega samanhangandi svæði, þá er til \(f\in {{\cal A}}(X)\) þannig að \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\).

7.2.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Ef \(u\) er þýtt fall á svæði \(X\) og \(X\) er ekki einfaldlega samanhangandi, þá er alls ekki víst að \(2\partial_z u\) hafi stofnfall. Sem dæmi getum við tekið:

7.2.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Gerum nú ráð fyrir að \(v\) sé eitthvert deildanlegt fall á opnu mengi \(Y\) í \({{\mathbb C}}\), að \(F:X\to Y\) sé deildanleg vörpun og setjum \(u(z)=v(F(z))\). Við táknum breytuna í \(Y\) með \(\zeta\) og skrifum \(\zeta=F(z)\). Keðjureglan í tvinnbreytunum \(z\) og \(\zeta\) verður þá

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial z}(z) &=\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial z}(z) +\dfrac{\partial v}{\partial\overline\zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial \overline F}{\partial z}(z), \\ \dfrac{\partial u}{\partial \overline z}(z) &=\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial \overline z}(z) +\dfrac{\partial v}{\partial\overline \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial \overline F}{\partial \overline z}(z).\end{aligned}\end{split}\]

Ef \(F\) er fágað fall, þá er \(\partial F/\partial\overline z=0\) og \(\partial \overline F/\partial z=\overline{\partial F/\partial \overline z}=0\) og þessar jöfnur einfaldast í

\[\dfrac{\partial u}{\partial z}(z) =\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial z}(z) \qquad \text{ og } \qquad \dfrac{\partial u}{\partial \overline z}(z) =\dfrac{\partial v}{\partial\overline\zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial \overline F}{\partial \overline z}(z)\]

og Leibniz-reglan gefur okkur

\[\tfrac 14 \Delta u(z)= \dfrac{\partial^2u}{\partial\bar z\partial z}(z) =\bigg( \dfrac{\partial^2 v}{\partial\zeta^2}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial\bar z}(z) +\dfrac{\partial^2 v}{\partial\bar \zeta\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{{\partial}\overline F}{\partial \bar z}(z) \bigg) \dfrac{\partial F}{\partial z}(z) +\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial^2 F}{\partial \bar z\partial z}(z).\]

Nú notfærum við okkur að \(\partial F/\partial \overline z =\partial^2 F/\partial \overline z\partial z=0\) og \(\partial\overline F/\partial\overline z=\overline{\partial F/\partial z}=\overline{F{{^{\prime}}}}\) og höfum því

\[\Delta_z u(z)=\Delta_\zeta v({\zeta})\big |F{{^{\prime}}}(z)\big|^2.\]

Af þessari jöfnu leiðir síðan:

7.2.1.4. Setning

Látum \(X\) og \(Y\) vera svæði í \({{\mathbb C}}={{\mathbb R}}^2\), \(F:X\to Y\) vera fágaða vörpun sem er ekki föst, \(v:Y\to {{\mathbb C}}\) og \(u=v(F)\). Fallið \(u\) er þýtt þá og því aðeins að \(v\) sé þýtt.


Með þessa setningu að vopni er oft hægt að flytja upplýsingar um þýð föll á \(Y\) yfir á þýð föll á svæðinu \(X\) með vörpuninni \(F\). Til þess að útskýra þetta skulum við hugsa okkur að við viljum leysa Dirichlet-verkefnið

\[\Delta u= 0 \quad \text{ á } \quad X\qquad \text { og } \qquad u=\varphi \quad \text{ á } \quad \partial X,\]

þar sem \(\varphi\) er gefið samfellt fall á jaðrinum \(\partial X\) og gefum okkur einnig að hægt sé að framlengja fallið \(F\) þannig að það verði samfellt og gagntækt frá lokuninni \(\overline X= X\cup \partial X\) yfir á lokunina \(\overline Y=Y\cup \partial Y\) og táknum andhverfuna með \(F^{[-1]}\), \(z=F^{[-1]}(\zeta)\). Gefum okkur einnig að við getum alltaf leyst verkefnið

\[\Delta v= 0 \quad \text { á } \quad Y \qquad \text{ og } \qquad v=\psi \quad \text{ á } \quad \partial Y,\]

þar sem \(\psi\) er gefið samfellt fall á jaðrinum \(\partial Y\). Ef við setjum einfaldlega \(\psi(\zeta)=\varphi(F^{[-1]}(\zeta))\), fyrir \(\zeta\in \partial Y\). Þá leiðir beint af

\[\Delta_z u(z)=\Delta_\zeta v({\zeta})\big |F{{^{\prime}}}(z)\big|^2\]

að lausn \(u\) á Dirichlet-verkefninu á \(X\) er gefin með \(u(z)=v(F(z))\), þar sem \(v\) er lausnin á Dirichlet-verkefninu á \(Y\).

Af tilvist á vörpuninni \(F\) er það að segja, að til er setning, sem nefnist vörpunarsetning Riemanns og hún segir að um sérhvert einfaldlega samanhangandi svæði \(X\neq {{\mathbb C}}\) gildir að til er gagntæk fáguð vörpun \(F:X\to \Bbb E\), þar sem \(\Bbb E\) táknar opnu einingarskífuna. Ef \(X\) hefur samfellt deildanlegan jaðar, þá fæst jafnframt að hægt er að framlengja \(F\) yfir í samfellda gagntæka vörpun \(F:\overline X\to \overline {\Bbb E}\). Það er erfitt að sanna vörpunarsetningu Riemanns. Sönnunin er hrein tilvistarsönnun og gefur ekki neina formúlu fyrir \(F\). Fyrir viss svæði er hins vegar auðvelt að ákvarða vörpunina \(F\):

7.2.1.5. Sýnidæmi

Sýna dæmi

7.3. Poisson-formúlan á hringskífu

7.3.1. Poisson-formúlan á hringskífu

Í þessari grein höldum við áfram með Dirichlet-verkefnið fyrir Laplace-virkjann á skífunni \(D_a=\{(x,y); x^2+y^2<a^2\}\),

\[\Delta u= 0 \quad \text { á } \quad D_a \qquad \text{ og } \qquad u={\varphi} \quad \text{ á } \quad \partial D_a.\]

Hér er \(\varphi\) gefið fall á jaðri hringskífunnar \({\partial}D_a\). Lausnina fundum við í kaflanum um raðalausnir á hlutafleiðujöfnum með því að innleiða pólhnit og skilgreina \(v(r,\theta)=u(r\cos \theta,r\sin \theta)\) og \({\psi}(\theta)=\varphi(a\cos \theta,a\sin \theta)\). Lausnin er gefin með formúlunni

\[v(r,\theta)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n({\psi}) \bigg(\dfrac r a\bigg)^{|n|}e^{in\theta}.\]

Við stingum nú skilgreiningunni á Fourier-stuðlum fallsins \(\psi\) inn í óendanlegu summuna og skiptum á röð heildis og summu,

\[\begin{split}\begin{aligned} v(r,\theta)&=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \bigg(\dfrac 1{2{\pi}} \int_{-{\pi}}^{\pi} {\psi}(t)e^{-int}\, dt\bigg) \bigg(\dfrac r a\bigg)^{|n|}e^{in\theta}\\ &=\int_{-{\pi}}^{\pi} \bigg(\dfrac 1{2{\pi}} \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \bigg(\dfrac r a\bigg)^{|n|}e^{in(\theta-t)}\bigg) {\psi}(t)\, dt.\end{aligned}\end{split}\]

Við skilgreinum Poisson-kjarnann fyrir skífuna \(D_a=\{x+iy=re^{i{\theta}}; r<a\}\) með

\[\begin{split}\begin{aligned} P_{D_a}(r,{\theta}) &=\dfrac 1{2{\pi}} \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \bigg(\dfrac r a\bigg)^{|n|}e^{in\theta}\\ &=\dfrac 1{2{\pi}}\bigg(1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(\dfrac r a\bigg)^{n}e^{in\theta} +\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg(\dfrac r a\bigg)^{n}e^{-in\theta} \bigg)\nonumber\\ &=\dfrac 1{2{\pi}}\bigg(1+ \dfrac{\big(r/a\big)e^{i{\theta}}}{1-\big(r/a\big)e^{i{\theta}}} +\dfrac{\big(r/a\big)e^{-i{\theta}}}{1-\big(r/a\big)e^{-i{\theta}}} \bigg)\nonumber\\ &=\dfrac 1{2{\pi}}\bigg(1+ \dfrac{re^{i{\theta}}}{a-re^{i{\theta}}} +\dfrac{re^{-i{\theta}}}{a-re^{-i{\theta}}} \bigg)\nonumber\\ &=\dfrac{a^2-r^2}{2{\pi}(a^2-2ar\cos {\theta}+r^2)}.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Við getum því sett lausnina fram sem heildi,

\[\begin{split}\begin{aligned} v(r,{\theta}) &=\int_{-{\pi}}^{{\pi}} P_{D_a}(r,{\theta}-t){\psi}(t)\, dt\\ &=\dfrac{a^2-r^2}{2{\pi}} \int_{-{\pi}}^{{\pi}}\dfrac{{\psi}(t)}{a^2-2ar\cos ({\theta}-t)+r^2} \, dt.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Þessi formúla nefnist Poisson-formúla fyrir hringskífuna \(D_a\). Ef við stingum inn rétthyrndum hnitum \(z=(x,y)=x+iy=re^{i{\theta}}\), þá verður lausnarformúlan fyrir Dirichlet-verkefninu á einingarskífunni,

\[u(z)=\dfrac{a^2-|z|^2}{2{\pi}}\int_{-{\pi}}^{\pi} \dfrac{\varphi(ae^{it})}{|z-ae^{it}|^2}\, dt.\]

Nú athugum við að bogalengdarfrymið á hringnum \({\partial}D_a\) er \(ds=a\, dt\), þegar hann er stikaður með \(t\mapsto {\zeta}=ae^{it}\) og því getum við umritað lausnarformúluna yfir í heildi yfir \({\partial} D_a\) með tilliti til bogalengdarinnar,

\[u(z)=\dfrac{a^2-|z|^2}{2{\pi}a}\int_{{\partial}D_a} \dfrac{\varphi({\zeta})}{|z-{\zeta}|^2}\, ds({\zeta}).\]

7.3.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Ef við stingum \(z=0\) inn í

\[u(z)=\dfrac{a^2-|z|^2}{2{\pi}a}\int_{{\partial}D_a} \dfrac{\varphi({\zeta})}{|z-{\zeta}|^2}\, ds({\zeta}).\]

og notfærum okkur að \(|{\zeta}|=a\) ef \({\zeta}\in {\partial}D_a\), þá fáum við

\[u(0)=\dfrac 1{2{\pi} a}\int_{{\partial}D_a} \varphi({\zeta})\, ds({\zeta}).\]

Bein afleiðing af þessari formúlu er:

7.3.1.2. Setning

(Meðalgildissetning).   Látum \(u\) vera þýtt fall á opinni hringskífu \(S({\alpha},{\varrho})\) og gerum ráð fyrir að \(u\) sé samfellt á lokuninni \(\overline S({\alpha},{\varrho})\). Þá er

\[u({\alpha})=\dfrac 1{2{\pi} {\varrho}} \int_{{\partial}S({\alpha},{\varrho})} u({\zeta})\, ds({\zeta}) =\dfrac 1{2{\pi}}\int_0^{2{\pi}}u({\alpha}+{\varrho}e^{it})\, dt,\]

þ.e. gildi fallsins \(u\) í miðpunkti skífunnar er jafnt meðalgildi þess yfir jaðarinn.

7.3.1.3. Sönnun

Sýna sönnun

7.4. Poisson-formúlan á hálfplani

7.4.1. Poisson-formúlan á hálfplani

Nú skulum við láta \(\Bbb H_+\) tákna efra hálfplanið, \(\Bbb H_+=\{(x,y); x\in{{\mathbb R}}, y>0\}\), og lítum á Dirichlet-verkefnið

\[\Delta u= 0 \quad \text { á } \quad \Bbb H_+ \qquad \text{ og } \qquad u={\varphi} \quad \text{ á } \quad {{\mathbb R}},\]

þar sem \(\varphi\) er gefið fall á \({{\mathbb R}}\). Við skulum leiða út lausnarformúlu fyrir þetta verkefni með því að beita Fourier-ummyndun. Til þess þurfum við að gera ráð fyrir að \(\varphi\) sé heildanlegt og að \(u(x,y)\) sé heildanlegt sem fall af \(x\) fyrir sérhvert \(y>0\). Við látum þá \(\widehat u(\xi,y)\) tákna Fourier-mynd \(u\) með tilliti til \(x\),

\[\widehat u(\xi,y) ={{\cal F}}\{u(\cdot,y)\}(\xi) =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}u(x,y)\, dx\]

og gefum okkur að allar forsendur í helstu reiknireglum um Fourier-ummyndunina séu uppfylltar, þannig að

\[{{\cal F}}\{\partial_x^ku(\cdot,y)\}(\xi)=(i\xi)^k\widehat u(\xi,y) \qquad \text{ og } \qquad {{\cal F}}\{\partial_y^ku(\cdot,y)\}(\xi)=\partial_y^k\widehat u(\xi,y).\]

Eftir Fourier-ummyndun af öllum liðum verkefnisins fæst að \(\widehat u(\xi,y)\) þarf að uppfylla

\[\begin{split}\begin{cases} -\xi^2\widehat u(\xi,y)+\partial_y^2\widehat u(\xi,y)=0, &\xi\in{{\mathbb R}}, \ y>0,\\ \widehat u(\xi,y)=\widehat \varphi(\xi), &\xi\in {{\mathbb R}},\\ \widehat u(\xi,y) \text{ er takmarkað}, &y\to +\infty. \end{cases}\end{split}\]

Fyrir fast \(\xi\) er þetta annars stigs jafna í \(y\). Almenn lausn hennar er af gerðinni

\[\begin{split}\widehat u(\xi,y)=\begin{cases} A(\xi)e^{-|\xi|y}+B(\xi)e^{|\xi|y}, &\xi\neq 0,\\ A(0)+B(0)y, &\xi=0. \end{cases}\end{split}\]

Til þess að \(\widehat u(\xi,y)\) haldist takmarkað ef \(y\to +\infty\), þá verður \(B(\xi)=0\) að gilda um öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\). Þar með er \(A(\xi)=\widehat\varphi(\xi)\) og við höfum formúluna

\[\widehat u(\xi,y)=e^{-|\xi|y} \widehat{\varphi}(\xi).\]

Hægri hliðin í þessari jöfnu er margfeldi tveggja Fourier-mynda og því getum við skrifað \(u(x,y)\) sem földun tveggja falla ef við getum reiknað út andhverfu Fourier-mynd fallsins \(\xi\mapsto e^{-|\xi|y}\). Það er auðvelt, því í sýnidæmi sýndum við fram á að \({{\cal F}}\{e^{-|\xi|y}\}(x)=2y/(x^2+y^2)\) og þar með gefur andhverfuformúlan að \({{\cal F}}\{P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\}(\xi)=e^{-|\xi|y}\) þar sem \(P_{\Bbb H_+}\) er Poisson-kjarninn fyrir efra hálfplanið,

\[P_{\Bbb H_+}(x,y)=\dfrac{y}{\pi(x^2+y^2)}, \qquad (x,y) \in {{\mathbb R}}^2\setminus{{\{(0,0)\}}}.\]

Földunarreglan fyrir Fourier-myndir gefur okkur nú lausnarformúluna

\[u(x,y)=P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\ast \varphi(x)=\dfrac y\pi\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\varphi(t)}{(x-t)^2+y^2}\, dt.\]

Þessi formúla nefnist Poisson-formúla á efra hálfplaninu. Í útleiðslu okkar á lausnarformúlunni gengum við út frá því að fallið \(\varphi\) væri heildanlegt, en Poisson-formúlan gildir ef við gerum ráð fyrir að \(\varphi\) sé samfellt og takmarkað á \({{\mathbb R}}\).

7.4.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Dirichlet-verkefnið á fjórðungi

7.5. Green-formúlurnar

7.5.1. Green-formúlurnar

Látum nú \(X\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb R}}^2\) og látum \(D\) vera takmarkað hlutsvæði í \(X\) með jaðar \({\partial}D\), sem er samfellt deildanlegur á köflum og innihaldinn í \(X\). Ef \(\vec F:X\to {{\mathbb R}}^2\) er samfellt deildanlegt vigursvið á \(X\), þá gefur Gauss-setningin

\[\iint_D \nabla\cdot\vec F \, dA = \int_{{\partial}D} \vec F\cdot \vec n \, ds,\]

þar sem \(\nabla\cdot={{\operatorname{div}}}\) er sundurleitnivirkinn, \(dA\) er flatarmálsfrymið á \({{\mathbb R}}^2\), \(\vec n\) táknar ytri þvervigurinn á jaðrinum og \(ds\) er bogalengdarfrymið á jaðrinum. Með því að beita Gauss-setningunni á sértilfellið \(\vec F=v \nabla u\) þar sem \(u,v\in C^2(X)\) og \(\nabla={{\operatorname{grad}}}\) er stigullinn, þá fáum við fyrstu formúlu Greens,

\[\int_{{\partial} D} v\dfrac{\partial u}{\partial n} \, ds =\iint_D \nabla v\cdot \nabla u\, dA +\iint_D v \Delta u\, dA.\]

Hér er \({\partial}u/{\partial}n=\nabla u\cdot \vec n\) stefnuafleiða \(u\) í stefnu ytri þvervigursins á jaðrinum. Ef við skiptum á hlutverkum \(u\) og \(v\), þá fáum við

\[\int_{{\partial} D} u\dfrac{\partial v}{\partial n} \, ds =\iint_D \nabla u\cdot \nabla v\, dA +\iint_D u \Delta v\, dA.\]

Tökum nú mismuninn af þessum tveimur jöfnum. Þá fáum við aðra formúlu Greens,

\[\int_{{\partial} D} \bigg(u\dfrac{\partial v}{\partial n} -v\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg) \, ds =\iint_D \big(u \Delta v-v\Delta u\big) \, dA.\]

Þessar formúlur eiga sér hliðstæður í þremur víddum. Þá látum við \(X\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb R}}^3\) og látum \(D\) vera takmarkað hlutsvæði í \(X\) með jaðar \({\partial}D\) innihaldinn í \(X\). Við gefum okkur að jaðarinn sé samfellt deildanlegur flötur. Ef \(\vec F:X\to {{\mathbb R}}^3\) er samfellt deildanlegt vigursvið á \(X\), þá gefur Gauss-setningin

\[\iiint_D \nabla\cdot \vec F \, dV = \iint_{{\partial}D} \vec F\cdot \vec n \, dS,\]

þar sem \(dV\) er rúmmálsfrymið í \({{\mathbb R}}^3\), \(\vec n\) táknar ytri þvervigurinn á jaðrinum og \(dS\) er flatarmálsfrymið á jaðrinum. Með því að beita Gauss-setningunni á sértilfellið \(\vec F=v \nabla u\) eins og áður þar sem \(u,v\in C^2(X)\), þá fáum við fyrstu formúlu Greens,

\[\iint_{{\partial} D} v\dfrac{\partial u}{\partial n} \, dS =\iiint_D \nabla v\cdot \nabla u\, dV +\iiint_D v \Delta u\, dV.\]

Með sama hætti og áður fáum við aðra formúlu Greens,

\[\iint_{{\partial} D} \bigg(u\dfrac{\partial v}{\partial n} -v\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg) \, dS =\iiint_D \big(u \Delta v-v\Delta u\big) \, dV.\]

Nú er nauðsynlegt að samhæfa ritháttinn fyrir heildi í öllum víddum, til þess að þurfa ekki að endurtaka röksemdafærslur, sem eru óháðar víddinni á rúminu. Við hættum því að skrifa margföld heildi og táknum óháðu breyturnar með \(x=(x_1,\dots,x_n)\), \({\xi}=({\xi}_1,\dots,{\xi}_n)\) o.s.frv. Ef fall \(u\) er gefið á einhverju opnu mengi \(D\) í \({{\mathbb R}}^n\) sem hefur samfellt deildanlegan jaðar \({\partial}D\), þá táknum við rúmheildið af \(u\) yfir \(D\) og flatarheildið af \(u\) yfir \({\partial}D\) með

\[\int_D u\, dx \qquad \text { og } \qquad \int_{{\partial}D} u\, dS.\]

Ef víddin er \(2\), þá er \(dS\) bogalengdarfrymi, en ef víddin er \(3\), þá er \(dS\) flatarmálsfrymi. Gauss-formúlurnar gilda raunar þó svo að jaðarinn sé ekki samfellt deildanlegur í öllum punktum. Í tveimur víddum dugir að hann sé samfellt deildanlegur á köflum og í þremur víddum mega vera horn og brot í jaðrinum. Sem dæmi getum við tekið tening eða einhvern annan margflötung. Við munum segja að jaðar á svæði \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\)sléttur, ef hægt er að beita Gauss-setningunni á samfelld vigursvið \(\vec F:\overline X\to {{\mathbb R}}^n\) sem eru samfellt deildanleg á \(X\).

Við eigum eftir að sjá Green-formúlurnar notaðar á margvíslegan hátt. Ein skemmtileg beiting á þeim er sönnun á meðalgildissetningunni. Gerum nú ráð fyrir að \(X\) sé opið hlutmengi í \({{\mathbb R}}^3\) og að \(X\) innihaldi \(\overline D\) þar sem \(D\) er eitthvert takmarkað svæði með sléttan jaðar. Ef \(u\in C^2(X)\cap C(\overline X)\), þá gefur önnur formúla Greens að

\[\int_{{\partial} D} \dfrac{\partial u}{\partial n}\, dS =\int_D \Delta u\, dx.\]

Ef \(u\) er þýtt fall, þá fáum við

\[\int_{{\partial} D} \dfrac{\partial u}{\partial n}\, dS =0.\]

Nú skulum við láta \(D=\overline B(0,r)\) vera lokuðu kúluna með miðju í \(0\) og geislann \(r\). Athugum að ytri þvervigurinn á \({\partial}B(0,r)\) í punktinum \(x=(x_1,x_2,x_3)\) er \(\vec n=\vec e_r=(x_1/r,x_2/r,x_3/r)\). Þar með er

\[\dfrac{{\partial} u}{{\partial} n} =\dfrac {x_1}r\dfrac{{\partial}u}{{\partial} x_1}+ \dfrac {x_2}r\dfrac{{\partial}u}{{\partial} x_2}+ \dfrac {x_3}r\dfrac{{\partial}u}{{\partial} x_3} =\dfrac{{\partial} v}{\partial r},\]

þar sem fallið \(v\) er framsetning á \(u\) í kúluhnitum,

\[v(r,{\theta},\phi)=u(r\sin{\theta}\cos\phi, r\sin{\theta}\sin\phi,r\cos{\theta}).\]

Nú stikum við yfirborð kúlunnar og fáum

\[\int_{{\partial} B(0,r)} \dfrac{\partial u}{\partial n}\, dS =\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{{\partial} v}{\partial r}(r,{\theta},\phi) \, r^2\sin{\theta}\, d{\theta} d\phi.\]

Flatarmál kúluyfirborðsins er \(a({\partial}B(0,r))=4{\pi} r^2\) svo meðalgildi fallsins \(u\) yfir \({\partial}B(0,r)\) er

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac 1{a({\partial}B(0,r))} \int_{{\partial}B(0,r)} u\, dS &=\dfrac 1{4{\pi}r^2}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} v(r,{\theta},\phi) \, r^2\sin{\theta}\, d{\theta} d\phi\\ &=\dfrac 1{4{\pi}}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} v(r,{\theta},\phi) \, \sin{\theta}\, d{\theta} d\phi.\end{aligned}\end{split}\]

Ef við gefum okkur að \(u\) sé þýtt fall, þá gefa formúlurnar fyrir heildi \(\frac{\partial u}{\partial n}\) yfir \(\partial D\) og \(\partial B(0,r)\) hér að framan að

\[\dfrac{\partial} {\partial r}\bigg( \dfrac 1{a({\partial}B(0,r))} \int_{{\partial}B(0,r)} u\, dS\bigg) =\dfrac 1{4{\pi}}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} \dfrac{\partial v}{\partial r}(r,{\theta},\phi) \, \sin{\theta}\, d{\theta} d\phi=0.\]

Þetta meðalgildi er því óháð geislanum \(r\) á kúlunni. Greinilegt er að

\[\lim\limits_{r\to 0}\bigg( \dfrac 1{a({\partial}B(0,r))} \int_{{\partial}B(0,r)} u\, dS\bigg) =\dfrac 1{4{\pi}}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} v(0,{\theta},\phi) \, \sin{\theta}\, d{\theta} d\phi=u(0).\]

Þar með höfum við:

7.5.1.1. Setning

(Meðalgildissetning).   Látum \(u\) vera þýtt fall á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^3\) og gerum ráð fyrir að lokaða kúlan \(\overline B({\alpha},r)\) með miðju í \({\alpha}\) og geislann \(r\) sé innihaldin í \(X\). Þá er

\[u({\alpha})= \dfrac 1{4{\pi}r^2} \int_{{\partial}B({\alpha},r)} u\, dS.\]

7.5.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Með nákvæmlega sömu aðferð er hægt að sanna meðalgildissetninguna í öllum rúmvíddum \(n\).

7.6. Há- og lággildislögmál fyrir þýð föll

7.6.1. Há- og lággildislögmál fyrir þýð föll

Mikilvægasta afleiðing meðalgildissetningarinnar er:

7.6.1.1. Setning

(Há- og lággildislögmál).   Látum \(X\) vera takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\), \(n=2,3\) og látum \(u:\overline X\to {{\mathbb R}}\) vera fall sem er þýtt á \(X\) og samfellt á lokuninni \(\overline X\). Þá tekur \(u\) hæsta og lægsta gildi sitt á jaðrinum \({\partial} X\). Ef hæsta eða lægsta gildi er tekið í innri punkti, þá er \(u\) fastafall.

7.6.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Af hágildislögmálinu leiðir síðan ótvíræðni í lausn Dirichlet-verkefnisins fyrir Poisson-jöfnuna:

7.6.1.3. Setning

Látum \(X\) vera takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\), \(n=2,3\), og gerum ráð fyrir að til sé \(u\in C^2(X)\cap C(\overline X)\) sem uppfyllir

\[\Delta u=f \quad \text { á } \quad X \qquad \text{ og } \qquad u=\varphi \quad \text { á } \quad {\partial}X,\]

þar sem \(f\in C(X)\) og \(\varphi\in C({\partial} X)\) eru gefin föll. Þá er \(u\) ótvírætt ákvarðað.

7.6.1.4. Sönnun

Sýna sönnun

7.7. Green-föll

7.7.1. Green-föll

Í þessari grein ætlum við að fást við úrlausn á Poisson-jöfnunni með Dirichlet-jaðarskilyrðum á svæðum \(X\subset {{\mathbb R}}^n\), þar sem \(n\) getur verið \(2\) eða \(3\),

\[\Delta u=f \quad \text{ á } \quad X \qquad \text { og } \qquad u={\varphi} \quad \text{ á } \quad {\partial} X,\]

og við sýnum fram á að oft sé hægt að setja lausnina fram með heildum af gerðinni

\[u(x)=\int_{{\partial}X} P_X(x,\xi){\varphi}(\xi)\, dS(\xi) +\int_X G_X(x,\xi)f(\xi)\, d\xi \qquad x \in X,\]

þar sem \(P_X\) og \(G_X\) nefnast Poisson-kjarni og Green-fall fyrir Laplace-virkjann á svæðinu \(X\). Byrjum á því að gera ráð fyrir að \(X\) sé opið takmarkað hlutmengi í \({{\mathbb R}}^n\) með sléttan jaðar. Við skilgreinum fallið \(E\) með

\[\begin{split}E(x)=\begin{cases} \dfrac 1{2{\pi}} \ln |x|, & x\in {{\mathbb R}}^n\setminus{{\{0\}}}, \ n=2,\\ \dfrac {-1}{4{\pi}|x|}, & x\in {{\mathbb R}}^n\setminus {{\{0\}}}, \ n=3. \end{cases}\end{split}\]

Munið að \(|x|\) táknar lengd vigurs í \({{\mathbb R}}^n\). Athugið að fallið \(E\) er þýtt á \({{\mathbb R}}^n\setminus {{\{0\}}}\). Við festum nú einn punkt \(x\in X\) og lítum á fallið

\[\xi\mapsto E(x-\xi)=E(\xi-x).\]

Þetta fall er þýtt á \({{\mathbb C}}\setminus{{\{x\}}}\) og tekur gildið \(-{\infty}\) í \(x\), svo við skerum litla kúlu \(\overline B(x,{\varepsilon})\) umhverfis \(x\) úr \(X\) og lítum á \(X_\varepsilon=X\setminus \overline B(x,\varepsilon)\) eins og sýnt er á myndinni.

Svæðið :math:`X_{\varepsilon}`

Mynd: Svæðið \(X_{\varepsilon}\)

Önnur formúla Greens gefur okkur þá

\[\int_{\partial X_\varepsilon}\bigg(u(\xi) \dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi)-E(x-\xi) \dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi)\bigg)\, dS(\xi) =-\int_{X_\varepsilon} E(x-\xi)\Delta u(\xi)\, d\xi.\]

Jaðarinn \(\partial X_\varepsilon\) samanstendur af tveimur hlutum, \(\partial X\) og \(\partial B(x,\varepsilon)\). Í punkti \(\xi\) á hringnum \(\partial B(x,\varepsilon)\) er stefna ytri þvervigursins inn í kúluna og því er

\[\begin{split}\dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi) =\begin{cases} -\dfrac {\partial}{\partial r}\bigg(\dfrac 1{2\pi} \ln r\bigg) \bigg|_{r=\varepsilon}=-\dfrac 1{2\pi\varepsilon}, &n=2,\\ -\dfrac {\partial}{\partial r}\bigg(\dfrac {-1}{4\pi r}\bigg) \bigg|_{r=\varepsilon}=\dfrac {-1}{4\pi\varepsilon^2}, &n=3. \end{cases}\end{split}\]

Þar með er

\[\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{\partial B(x,\varepsilon)}u(\xi) \dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi) \, dS(\xi) =-\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \dfrac 1{a({\partial}B(x,{\varepsilon}))} \int_{{\partial}B(x,{\varepsilon})} u\, dS = -u(x).\]

Athugið að síðasta markgildið er tekið af meðalgildi \(u\) á \({\partial}B(x,{\varepsilon})\) og vegna samfelldni \(u\) stefnir það á \(u(x)\). Ef \(n=2\), þá er seinni liðurinn í vinstri hlið þriðju síðustu formúlu jafn

\[\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{\partial B(x,\varepsilon)} E(x-\xi) \dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi) \, dS(\xi) =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} {\varepsilon}{\ln \varepsilon} \dfrac 1{a({\partial}B(x,{\varepsilon}))} \int_{{\partial}B(x,{\varepsilon})} \dfrac{\partial u}{\partial n} \, dS =0.\]

Ef \(n=3\), fæst sams konar markgildi með \({\varepsilon}\) í stað \({\varepsilon}\ln{\varepsilon}\). Fyrst fallið \(\xi\mapsto E(x-\xi)\) er heildanlegt í grennd um \(x\), þá fáum við að

\[\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{X_\varepsilon}E(x-\xi) \Delta u(\xi)\, d\xi = \int_{X}E(x-\xi) \Delta u(\xi)\, d\xi.\]

Nú getum við látið \(\varepsilon\to 0\) og notfært okkur síðustu þrjár formúlur. Við fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x)&= \int_{\partial X}\bigg(u(\xi) \dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi)-E(x-\xi) \dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi)\bigg)\, dS(\xi)\\ &+\int_{X} E(x-\xi)\Delta u(\xi)\, d\xi .\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Látum nú \(v\) vera þýtt fall á \(X\) sem er samfellt á lokuninni og beitum annarri formúlu Greens,

\[0=\int_{\partial X}\bigg( u(\xi)\dfrac{\partial v}{\partial n}(\xi) -v(\xi)\dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi)\bigg)\, dS(\xi) +\int_X v(\xi)\Delta u(\xi)\, d\xi .\]

Nú leggjum við saman tvær síðustu formúlur og fáum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x)&= \int_{\partial X}u(\xi)\bigg( \dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi) +\dfrac{\partial v}{\partial n}(\xi)\bigg)\, dS(\xi) \\ &-\int_{\partial X}\bigg(E(x-\xi)+v(\xi)\bigg) \dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi) \, dS(\xi)\nonumber\\ &+\int_{X} \bigg(E(x-\xi)+v(\xi)\bigg) \Delta u(\xi)\, d\xi .\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Hugsum okkur nú að við gætum ákvarðað fall \(v\) sem er háð \(x\) og \(\xi\) þannig að \(\xi\mapsto v(x,\xi)\) er þýtt og \(E(x-\xi)+v(x,\xi)=0\), ef \(x\in \partial X\) og \(\xi\in X\). Þá verður miðliðurinn í síðustu formúlu að núlli.

7.7.1.1. Skilgreining

Green-fall á svæðinu \(X\) er fall \(G_X:\overline X\times \overline X\to {{\mathbb C}}\), þannig að fyrir sérhvert \(\xi\in X\) er \(x\mapsto G_X(x,\xi)\) tvisvar samfellt deildanlegt í \(X\setminus{{\{\xi\}}}\) og

(i) \(\Delta_xG_X(x,\xi)=0\) á \(X\setminus {{\{\xi\}}}\).

(ii) \(G_X(x,\xi)=0\) ef \(x\in \partial X\) og \(\xi\in X\). Ef \(X\) er ótakmarkað, þá er

\[\begin{split}\lim\limits_{\substack{b z\to \infty \\ z\in X }} G_X(x,\xi) =0.\end{split}\]

(iii) Unnt er að skrifa \(G_X(x,\xi)=E(x-\xi)+w(x,\xi)\), þar sem fallið \(x\mapsto w(x,\xi)\) er þýtt á öllu \(X\).


Það eru einkum tveir eiginleikar Green-fallsins sem við þurfum að nota, ótvíræðni og samhverfa:

7.7.1.2. Setning

Látum \(X\) vera takmarkað svæði með sléttan jaðar og gerum ráð fyrir að til sé Green-fall \(G_X\) á \(X\). Þá er \(G_X\) ótvírætt ákvarðað og \(G_X(x,{\xi})=G_X({\xi},x)\) fyrir öll \(x,{\xi}\in \overline X\).

7.7.1.3. Sönnun

Sýna sönnun

Niðurstaðan úr þessum erfiðu útreikningum er, að ef \(G_X\) er Green-fall takmarkaðs svæðis \(X\) og við gerum ráð fyrir að ytri þverafleiðan \(\partial G_X(x,\xi)/\partial n\) af \(G_X\) með tilliti til \(\xi\) sé til ef \(x\in X\) og \(\xi\in {\partial}X\), þar sem ekki er brot á jaðrinum \(\partial X\), þá gefur formúlan

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x)&= \int_{\partial X}u(\xi)\bigg( \dfrac{\partial E}{\partial n}(x-\xi) +\dfrac{\partial v}{\partial n}(\xi)\bigg)\, dS(\xi) \\ &-\int_{\partial X}\bigg(E(x-\xi)+v(\xi)\bigg) \dfrac{\partial u}{\partial n}(\xi) \, dS(\xi)\nonumber\\ &+\int_{X} \bigg(E(x-\xi)+v(\xi)\bigg) \Delta u(\xi)\, d\xi \nonumber\end{aligned}\end{split}\]

okkur

\[u(x)=\int_{\partial X} \dfrac{\partial G_X}{\partial n}(x,\xi) u(\xi)\, dS(\xi) +\int_X G_X(x,\xi) \Delta u(\xi)\, d\xi.\]

Einnig fáum við lausnarformúlu fyrir verkefnið \(\Delta u=f\) á \(X\) með \(u=\varphi\) á \(\partial X\), þar sem \(f\) er gefið samfellt fall á \(X\) og \(\varphi\) er gefið samfellt fall á \(\partial X\), því

\[u(x)=\int_{\partial X} \dfrac{\partial G_X}{\partial n}(x,\xi) \varphi(\xi)\, dS(\xi) +\int_X G_X(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.\]

7.7.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Green-fall skífu og kúlu

7.7.1.5. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Green-fall hálfplans og hálfrúms.

Nú skulum við innleiða ritháttinn \(z\) og \({\zeta}\) fyrir punkta í \({{\mathbb R}}^2={{\mathbb C}}\) eins og venja er í tvinnfallagreiningu og láta \(\Bbb E=\{z\in {{\mathbb C}}; |z|<1\}\) tákna einingarskífuna í \({{\mathbb C}}\). Auðvelt er að sannfæra sig um að

\[G_{\Bbb E}(z,\zeta) = \dfrac 1{2\pi}\bigg(\ln|x-\xi| -\ln|1-\overline \zeta z|\bigg) =\dfrac 1{2\pi}\ln\bigg|\dfrac{x-\xi}{1-\overline \zeta z}\bigg|.\]

Gerum nú ráð fyrir að \(X\) og \(Y\) séu opin mengi í \({{\mathbb C}}\), að \(F:\overline X\to \overline Y\) sé samfelld og gangtæk vörpun, sem er fáguð á \(X\). Gerum einnig ráð fyrir að við þekkjum Green-fall mengisins \(Y\) og að við viljum ákvarða Green-fall \(X\). Þetta reynist vera auðvelt, því

\[G_X(z,\zeta)=G_Y(F(z),F(\zeta)), \qquad z,\zeta\in \overline X.\]

Til þess að sjá að þessi formúla gildir, þá athugum við að hægt er að skrifa

\[G_Y(z_1,\zeta_1)= \dfrac 1{2\pi}\ln |z_1-\zeta_1|+w_Y(z_1,\zeta_1),\]

og því uppfyllir

\[G_X(z,\zeta)= \dfrac 1{2\pi}\ln |z-\zeta|+ \dfrac 1{2\pi}\ln|(F(z)-F(\zeta))/(z-\zeta)|+w_Y(F(z),F(\zeta)),\]

skilyrðin (i)-(iii) í skilgreiningunni á Green-falli, því fallið

\[z\mapsto w_X(z,\zeta)= \dfrac 1{2\pi}\ln|(F(z)-F(\zeta))/(z-\zeta)|+w_Y(F(z),F(\zeta))\]

er þýtt, því samskeyting af þýðu og fáguðu falli er þýtt.

7.7.1.6. Sýnidæmi

Sýna dæmi

7.8. Poisson-kjarnar

7.8.1. Poisson-kjarnar

Í þessum kafla höfum við leyst Dirichlet-verkefnið fyrir hringskífu og hálfplan. Í báðum tilfellunum leiddum við út lausnarformúlu, sem er heildi yfir jaðarinn á svæðinu og hægt er að líta á það sem földun á jaðargildunum og kjarna, sem við nefndum Poisson-kjarna. Nú ætlum við að alhæfa þessar formúlur, en við sáum í síðustu grein að lausnarformúla fyrir verkefnið

\[\Delta u=0 \quad \text{ á } \quad X \qquad \text{ og } \qquad u=\varphi \quad \text{ á } \quad {\partial} X,\]

er gefin með heildinu

\[u(z)=\int_{{\partial} X} \dfrac{{\partial} G_X}{{\partial} n}(z,{\zeta}) \varphi({\zeta}) \, dS({\zeta}).\]

7.8.1.1. Skilgreining

Látum \(X\)vera svæði í \({{\mathbb C}}\) og látum \(G_X\) vera Green-fall á \(X\). Gerum ráð fyrir að jaðarinn \({\partial} X\) sé samfellt deildanlegur á köflum og skilgreinum

\[P_X(z,{\zeta})=\dfrac{{\partial} G_X}{{\partial} n}(z,{\zeta}),\]

ef \(z\in X\) og \({\zeta}\in {\partial} X\) er punktur, þar sem ytri þvervigurinn \(\vec n({\zeta})\) er vel skilgreindur og

\[\dfrac{{\partial} G_X}{{\partial} n}(z,{\zeta}) =\lim\limits_{{\varepsilon}\to 0+} \dfrac{G_X(z,{\zeta}-{\varepsilon}\vec n({\zeta}))-G_X(z,{\zeta})} {-{\varepsilon}}.\]

Auðvelt er að sannfæra sig um að

\[P_{\Bbb E}(z,e^{it}) =\dfrac{{\partial} G_{\Bbb E}}{{\partial} r}(z,re^{it}) \bigg|_{r=1}=\dfrac{1-|z|^2}{2{\pi}|z-e^{it}|^2},\]

og

\[P_{\Bbb H_+}(z,{\zeta})= -\dfrac{{\partial}G_{\Bbb H_+}(z,{\zeta}+i{\eta})}{{\partial}{\eta}} \bigg|_{{\eta}=0}= \dfrac {\zeta}{{\pi}(z^2+{\zeta}^2)},\]

í samræmi við umfjöllun okkar um Poisson-formúluna í greinum hér að framan.

Gerum nú ráð fyrir að við höfum gagntæka vörpun \(F:\overline X\to \overline Y\) sem varpar jaðrinum \({\partial} X\) gagntækt á \({\partial} Y\) og er fáguð á \(X\). Til einföldunar skulum við gera ráð fyrir að \({\zeta}\mapsto G_X(z,{\zeta})\) sé samfellt deildanlegt í grennd um \(\overline X\) fyrir öll \(z\in X\) og að \({\zeta}\mapsto G_Y(z,{\zeta})\) sé samfellt deildanlegt í grennd um \(\overline Y\) fyrir öll \(z\in Y\). Ef \({\zeta}\in {\partial} X\) og \({\gamma}(s)\) er stikun á \({\partial} X\) í grennd um \({\zeta}\) með tilliti til bogalengdarinnar \(s\), \({\gamma}(0)={\zeta}\) og umferðarstefnan er jákvæð miðað við svæðið \(X\), þá er einingarsnertill í \({\zeta}\) gefinn sem \(\vec T({\zeta})={\gamma}{{^{\prime}}}(0)\) og einingarþvervigurinn er því \(\vec n({\zeta})=-i\vec T({\zeta})=-i{\gamma}{{^{\prime}}}(0)\).

Ef \(u\) er samfellt deildanlegt fall í grennd um \({\zeta}\), þá er

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{{\partial} u}{{\partial} n}({\zeta}) &={{\operatorname{grad}}}u({\zeta}) \cdot \vec n({\zeta})\\ &={{\operatorname{Re\, }}}\bigg(\bigg( \dfrac{{\partial} u}{{\partial} {\xi}}({\zeta})-i \dfrac{{\partial} u}{{\partial} {\eta}}({\zeta})\bigg) (-i){\gamma}{{^{\prime}}}(0)\bigg)\\ &=2{{\operatorname{Im\, }}}\bigg(\dfrac{{\partial} u}{{\partial} {\zeta}}({\zeta}) {\gamma}{{^{\prime}}}(0) \bigg).\end{aligned}\end{split}\]

Nú er \(F({\gamma}(s))\) stikun á jaðrinum \({\partial} Y\) umhverfis punktinn \(F({\zeta})\) og snertill er \(\big(F({\gamma})\big){{^{\prime}}}(0)=F{{^{\prime}}}({\zeta}){\gamma}{{^{\prime}}}(0)\). Einingarsnertill er síðan \(F{{^{\prime}}}({\zeta}){\gamma}{{^{\prime}}}(0)/|F{{^{\prime}}}({\zeta})|\). Nú skrifum við \(u=v(F)\), þar sem \(v\) er samfellt deildanlegt í grennd um \(F({\zeta})\). Þá sjáum við að

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{{\partial} u}{{\partial} n}({\zeta}) &=2{{\operatorname{Im\, }}}\bigg( \dfrac{{\partial} v}{{\partial} {\zeta}} (F({\zeta}))F{{^{\prime}}}({\zeta}){\gamma}{{^{\prime}}}(0)\bigg)\\ &= \dfrac{{\partial} v}{{\partial} n}(F({\zeta})){|F{{^{\prime}}}({\zeta})|} .\end{aligned}\end{split}\]

Nú beitum við þessari formúlu á fallið \(z\mapsto G_X(z,{\zeta})=G_Y(F(z),F({\zeta}))\) og fáum samband milli Poisson-kjarnanna á \(X\) og \(Y\),

\[P_X(z,{\zeta})=P_Y(F(z),F({\zeta}))|F{{^{\prime}}}({\zeta})|, \qquad z\in X, \ {\zeta}\in {\partial}X.\]

7.9. Hnikareikningur og jaðargildisverkefni

7.9.1. Hnikareikningur og jaðargildisverkefni

Oft eru jaðargildisverkefni jafngild ákveðnum útgildisverkefnum, sem snúast um að hámarka eða lágmarka ákveðin orkuheildi. Gott dæmi er Dirichlet-verkefnið fyir Poisson-jöfnuna,

\[-\Delta u =f \quad \text{ á } \quad X \qquad \text{ og } \qquad u=g \quad \text { á } \quad {\partial} X.\]

Það tengist orkuheildinu

\[{\cal E}[w]=\tfrac 12 \int_X|\nabla w|^2 \, dx - \int_X f w \, dx,\]

þar sem við gerum ráð fyrir að \(X\) sé takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\) með sléttan jaðar og \(f\) og \(g\) eru gefin samfelld föll á \(X\) og \({\partial}X\). Við hugsum okkur að vörpunin \(w\mapsto {\cal E}[w]\) sé skilgreind á \(V_g\), mengi allra falla \(w\in C^2(X)\cap C(\overline X)\) sem uppfylla jaðarskilyrðið \(u=g\) á \({\partial}X\). Fall \(v\in C^2(X)\cap C(\overline X)\), sem uppfyllir óhliðruðu jaðarskilyrðin, nefnist leyfileg hnikun á föllum í \(V_g\). Athugið að fyrir slík föll er \(w+sv\in V_g\) fyrir öll \(w\in V_g\) og öll \(s\in {{\mathbb R}}\) og við fáum að orkuheildið er

\[{\cal E}[w+sv] ={\cal E}[w]+ s\int_X\big(\nabla w\cdot\nabla v - f v\big) \, dx +\tfrac 12 s^2 \int_X|\nabla v|^2 \, dx.\]

Ef við beitum fyrstu formúlu Greens og notfærum okkur að \(v=0\), á \({\partial}X\), þá fáum við

\[{\cal E}[w+sv] ={\cal E}[w] -s\int_X\big(\Delta w + f\big)v \, dx +\tfrac 12 s^2 \int_X|\nabla v|^2 \, dx.\]

Af þessu sjáum við að

\[\dfrac d{ds} {\cal E}[w+sv]\bigg|_{s=0} = -\int_X \big(\Delta w + f\big) v \, dx\]

og

\[\dfrac {d^2}{ds^2} {\cal E}[w+sv]\bigg|_{s=0} =\int_X |\nabla v|^2 \, dx.\]

7.9.1.1. Setning

(Lögmál Dirichlets).   Fallið \(u\in C^2(X)\cap C(\overline X)\) er lausn á Dirichlet-verkefninu

\[-\Delta u =f \quad \text{ á } \quad X \qquad \text{ og } \qquad u=g \quad \text { á } \quad {\partial} X\]

þá og því aðeins að \(E[w]\geq E[u]\) fyrir öll \(w\in C^2(X)\cap C(\overline X)\) sem uppfylla \(w=g\) á \({\partial} X\).

7.9.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Dirichlet-lögmálið og aðrar hliðstæðar lágmörkunarsetningar fyrir önnur jaðargildisverkefni, eru ákaflega mikilvægar í tölulegri greiningu, þegar verið er að finna nálgunarlausnir á jaðargildisverkefnum. Aðferðin er kennd við Rayleigh og Ritz. Hún snýst um að velja fyrst fall \(v_0\) á \(\overline X\), sem uppfyllir hliðraða jaðarskilyrðið \(v_0=g\) á \({\partial}X\) eða er nálgun á þessu skilyrði. Síðan eru valin föll \(v_1,\dots,v_N\) á \(\overline X\) sem uppfylla óhliðruð jaðarskilyrði. Þvínæst er vörpunin

\[{{\mathbb R}}^N \ni c=(c_1,\dots,c_N) \mapsto {\cal E}[v_0+c_1v_1+\cdots+c_Nv_N]\]

lágmörkuð. Út frá skilyrðinu

\[\dfrac {\partial}{\partial c_j}{\cal E}[v_0+c_1v_1+\cdots+c_Nv_N]=0, \qquad j=1,\dots,N,\]

sést með beinum reikningi að lágmarkið er tekið í falli \(v=v_0+c_1v_1+\cdots+c_Nv_N\), þar sem \(c\) uppfyllir línulegt jöfnuhneppi \(Ac=b\). Stuðlafylkið \(A=\big(a_{jk}\big)\) og hægri hliðin \(b=(b_1,\dots,b_N)\) eru gefin með

\[a_{jk}=\int_X\nabla v_j\cdot \nabla v_k\, dx, \qquad b_j=\int_X fv_j\, dx -\int_X \nabla v_0\cdot \nabla v_j\, dx.\]

Grunnföllin \(v_0,v_1,\dots,v_N\) er hægt að velja á marga mismunandi vegu og með skynsamlegu vali á þeim er hægt að sýna fram á að skekkjan \(|u-v|\) verði lítil á öllu svæðinu \(X\).

7.10. Æfingardæmi

7.10.1. Æfingardæmi

7.10.1.1. Dæmi

Sýnið að í pólhnitum séu virkjarnir \({\partial}_z\) og \(\partial_{\overline z}\) gefnir með formúlunum

\[\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac {e^{-i\theta}}2\bigg(\dfrac{\partial}{\partial r} -\dfrac ir \dfrac{\partial}{\partial \theta}\bigg) \qquad \text { og } \qquad \dfrac{\partial}{\partial \overline z} = \dfrac {e^{i\theta}}2\bigg(\dfrac{\partial}{\partial r} +\dfrac ir \dfrac{\partial}{\partial \theta}\bigg).\]

Hér er átt við að ef \(v(r,\theta)=u(re^{i\theta})=u(r\cos\theta,r\sin \theta)\), þá er

\[\dfrac{\partial u}{\partial z}(z) = \dfrac {e^{-i\theta}}2\bigg(\dfrac{\partial v}{\partial r}(r,\theta) -\dfrac ir \dfrac{\partial v}{\partial \theta}(r,\theta)\bigg), \qquad \dfrac{\partial u}{\partial \overline z}(z) = \dfrac {e^{i\theta}}2\bigg(\dfrac{\partial v}{\partial r}(r,\theta) +\dfrac ir \dfrac{\partial v}{\partial \theta}(r,\theta)\bigg).\]

7.10.1.2. Dæmi

Notið formúlurnar í síðasta dæmi til þess að leiða út formúluna fyrir Laplace-virkjann í pólhnitum.

7.10.1.3. Dæmi

Sýnið að \(\Delta =4{{\partial}^2}/{{\partial}z{\partial}\bar z} =4{{\partial}^2}/{{\partial}\bar z{\partial}z}\).

7.10.1.4. Dæmi

Sýnið að \({\partial_z \overline f}= \overline{\partial_{ \overline z}f}\) og \(\partial_{ \overline z} \overline f= \overline{{\partial_z f}}\).

7.10.1.5. Dæmi

Sannið keðjuregluna á forminu

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial z}(z) &=\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial z}(z) +\dfrac{\partial v}{\partial\overline\zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial \overline F}{\partial z}(z), \\ \text{og}\\ \dfrac{\partial u}{\partial \overline z}(z) &=\dfrac{\partial v}{\partial \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial F}{\partial \overline z}(z) +\dfrac{\partial v}{\partial\overline \zeta}({\zeta}) \dfrac{\partial \overline F}{\partial \overline z}(z).\end{aligned}\end{split}\]

7.10.1.6. Dæmi

Sýnið að Poisson-kjarninn sé þýtt fall á efra hálfplaninu og staðfestið að taka megi afleiður af fallinu

\[u(x,y)=P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\ast \varphi(x)=\dfrac y\pi\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\varphi(t)}{(x-t)^2+y^2}\, dt\]

með því að deilda undir heildið í hægri hliðinni.

7.10.1.7. Dæmi

Sýnið að \(P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\to \delta_0\) í veikum skilningi og síðan að \(P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\ast \varphi(x)\to \varphi(x)\), ef \(y\to 0\), fyrir sérhvert \(x\in {{\mathbb R}}\) og sérhvert samfellt takmarkað fall \(\varphi\).

7.10.1.8. Dæmi

Notið niðurstöðurnar úr dæmi 1 og 2 til þess að sanna að

\[u(x,y)=P_{\Bbb H_+}(\cdot,y)\ast \varphi(x)=\dfrac y\pi\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\varphi(t)}{(x-t)^2+y^2}\, dt\]

sé lausnarformúla fyrir verkefnið

\[\Delta u= 0 \quad \text { á } \quad \Bbb H_+ \qquad \text{ og } \qquad u={\varphi} \quad \text{ á } \quad {{\mathbb R}}.\]

7.10.1.9. Dæmi

Notið speglunaraðferð og Green-fallið fyrir efra hálfplanið til þess að finna Green-fallið fyrir fjórðunginn \(D=\{(x,y); x>0, y>0\}\).

7.10.1.10. Dæmi

Sýnið að vörpunin \(z\mapsto z+1/z\) varpi \(X=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z>0, |z|>1\}\) gagntækt á efra hálfplanið og ákvarðið síðan \(G_X\).

7.10.1.11. Dæmi

Notið niðurstöðuna úr dæmi 2 til þess að finna \(G_X\), þar sem \(X=\{z=x+iy\in{{\mathbb C}}; |z|>1, 0<y<x\}\).

7.10.1.12. Dæmi

Notið speglun og formúluna fyrir Green-fallið á hring til þess að finna Green-fall á hálfhring \(X=\{z; |z|<1, {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\) og fjórðung úr hring \(Y=\{z; |z|<1, {{\operatorname{Re\, }}}z>0, {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\).

7.10.1.13. Dæmi

Notið formúluna

\[P_X(z,{\zeta})=P_Y(F(z),F({\zeta}))|F{{^{\prime}}}({\zeta})|, \qquad z\in X, \ {\zeta}\in {\partial}X.\]

til þess að reikna út Poisson-kjarnann fyrir svæðið sem afmarkast af hjartaferlinum.

7.10.1.14. Dæmi

Sýnið að Poisson-kjarninn fyrir kúluna \(D_a\) í \({{\mathbb R}}^3\) er

\[P_{D_a}(x,{\xi})=\dfrac{a^2-|x|^2}{4{\pi}|x-{\xi}|^3}.\]

7.10.1.15. Dæmi

Sýnið að Poisson-kjarninn fyrir hálfrúmið \(\Bbb H_+\) í \({{\mathbb R}}^3\)

\[P_{\Bbb H_+}(x,{\xi})=\dfrac{x_3} {2{\pi}\big((x_1-{\xi}_1)^2+(x_2-{\xi}_2)^2+x_3^2\big)^{3/2}}.\]

7.10.1.16. Dæmi

Látum \(X\) vera takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\), \(F\in C( \overline X)\) og gerum ráð fyrir að

\[\int_X F v\, dx=0, \qquad v\in C(\overline X), \quad v=0 \ \text { á } \ {\partial} X.\]

Sýnið að \(F\) sé núllfallið. Gerum ráð fyrir að jaðarinn \({\partial} X\) á \(X\) sé sléttur og að

\[\int_{\partial X} Fv \, dS=0, \qquad v\in C(\overline X).\]

Sýnið að \(F=0\) á \({\partial} X\).

7.10.1.17. Dæmi

Látum \(X\) vera takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\) með sléttan jaðar og gerum ráð fyrir að Neumann-verkefnið: \(\Delta u=f\) á \(X\) og \({\partial}u/ {\partial}n=g\) á \({\partial}X\), hafi lausn. Sýnið að

\[\int\limits_X f\, dx=\int\limits_{{\partial}X}g \, dS.\]

Skilgreinum orkuheildið fyrir Neumann-verkefnið með

\[E[w]=\tfrac 12 \int_X |\nabla w|^2\, dx -\int_{\partial X}g w\, dS,\]

þar sem \(w\in C^2(X)\cap C(\overline X)\). Sýnið að orkuheildið taki lággildi í lausninni á Neumann-verkefninu.

7.10.1.18. Dæmi

Látum \(X\) vera takmarkað svæði í \({{\mathbb R}}^n\) og gefum okkur að til sé lausn á Robin-verkefninu

\[\Delta u=f \quad \text{ á } \quad X \qquad \text { og } \qquad \dfrac{{\partial}u}{{\partial} n}+{\alpha}u=h \quad \text{ á } \quad {\partial} X,\]

þar sem \(f\) er samfellt fall á \(X\), \({\alpha}\) og \(h\) eru samfelld föll á jaðrinum \({\partial} X\) og \({\alpha}\geq 0\) er ekki núllfallið. Sýnið að lausnin er ótvírætt ákvörðuð. Setjið fram orkuheildi sem hefur lausnina sem lággildi.